专题09 高二上学期期中必刷题精选（考题猜想，常考121题20类考点专练）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题09 高二上学期期中必刷题精选（常考121题20类考点专练） 考点1 空间向量中的共线、共面问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）已知直线l的方向向量，若点是直线l上的点，下列点坐标中，也是直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据空间平行向量的坐标表示，结合方向向量的概念依次判断选项即可. 【详解】设. A：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故A不符合题意； B：若点在直线上，有， 则存在实数使得成立，即向量与共线，故B符合题意； C：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故C不符合题意； D：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故D不符合题意； 故选：B. 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 解得． 故选：B. 3．（23-24高二下·广东·期中），，，若，，共面，则实数k为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理列式求解即可. 【详解】由于共面，则存在，使得， 又， 故， 故，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 5．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理解决即可. 【详解】因为且，则存在实数，使得，即， 又因为，，不共面，则，解得. 故选：A 6．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误， 故选：C 7．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 8．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 考点2 空间向量的数量积运算及其应用 一、单选题 1．（23-24高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的概念进行运算即可求得． 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可． 【详解】根据题意知， 则， 所以原式， 故选：C． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】以为基底表示后可求的值. 【详解】由正三棱柱可得，， 而， 故 . 故选：A. 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 5．（24-25高二上·湖北·阶段练习）在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模. 【详解】如图：    以为基底，则，， 所以. 因为. 所以 . 所以. 故选：D 考点3 空间向量基本定理 一、单选题 1．（15-16高二上·贵州遵义·期末）如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】可知：， 即. 故选：B. 2．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，结合向量坐标的意义即可求解. 【分析】因为向量在基底下的坐标为， 可得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：B. 3．（24-25高二上·吉林·阶段练习）在空间四边形OABC中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间向量的线性运算法则计算即可得. 【详解】． 故选：B. 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，已知斜三棱柱，设分别为与BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】因为， ， . 故选：D. 5．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件用，，表示，即可得答案. 【详解】由题设， 结合，得， 故选：C 考点4 空间向量解决距离问题 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 故选：B 2．（23-24高二下·江苏徐州·期末）在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，再利用点到平面距离的向量法，即可求出结果. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 所以点到平面的距离为， 故选：C. 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意知，平面，平面， 所以，又， 故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以，， 记， 则， 所以F到直线BC的距离为. 故选：A 4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量方法求点面距离即可. 【详解】底面ABCD为等腰梯形，，， 如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， ， 设平面的法向量为， 则，所以，两式相减可得， 令，解得， 则平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为. 故选：D.    二、多选题 5．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 考点5 空间向量解决夹角问题 一、单选题 1．（23-24高一下·河北承德·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量法求解线线夹角. 【详解】    由题意知， 所以，，，， ， ，, 所以 故选：D. 2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点为，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量公式求解可得. 【详解】取中点为，连接， ，， 又侧面底面，侧面底面，平面， 底面， ，，，连接，则， 以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 设平面的法向量为， 则，可取， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为． 故选：．    3．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 4．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出各点坐标，求得平面法向量，利用线面角公式计算化简求得答案. 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 5．（22-23高二上·湖北武汉·期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（    ） A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为 D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为 【答案】C 【分析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果. 【详解】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为， 则，，，，， 设，其中， 对于A，若存在某个位置使得，，， 所以，解得，不满足题意，故A错误； 对于B，若存在某个位置使得，，， 则，该方程无解，故B错误； 对于C，设平面的一个法向量为， ，， 由，令，则， 若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以存在，即为的中点，满足题意，故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 又，， 由，取，得， 设平面的一个法向量为， ，， 由，取，则， 若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为， 则， 整理得，易得，所以该方程无解，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决立体几何的相关问题，解题过程要注意利用方程思想进行向量运算，认真细心，准确计算． 考点6 直线中的斜率问题 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】∵，，， 则，， 直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故选：A． 2．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大； 倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大， 所以 故选： A. 3．（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，即可求解. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或，    而，， 所以或. 故选：A. 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 5．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知实数满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到点在线段上移动，且，，设，利用斜率公式，求得的值，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由题意知，点满足关系式，且， 可得点在线段上移动，且，，如图所示， 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是. 故选：D. 考点7 直线中的平行、垂直问题 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合两直线垂直的性质列出方程即可求解. 【详解】因为直线， 所以， 解得：. 故选：C. 2．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可. 【详解】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的充要条件求出，再把点代入直线，可把值求出，再把已知点代入另一直线中，求出得解． 【详解】因为直线：与直线：互相垂直， 则，解得， 又因两直线垂足为，则，解得， 将代入直线，则， 解之得， 所以. 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）设为实数，已知直线，若，则（    ） A．6 B． C．6或 D．或3 【答案】A 【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可. 【详解】因为，所以，解得：或. 当时，，平行； 当时，，可判断此时重合，舍去. 故选：A 6．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 考点8 直线中的对称问题 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】将线段的中点代入直线的方程中即可求解． 【详解】由题可知，线段的中点在直线上，即， 所以， 故选：B． 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 4．（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得点坐标，由此能求出光线所在的直线方程． 【详解】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在上的处， 由于光线从点经两次反射后又回到点， 根据反射规律，则 作出点关于的对称点，作出点关于的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点关于轴的对称点 设点关于直线的对称点 所以，解得， 所以直线，即 联立，得， 所以直线，即光线L所在的直线方程为 故选：C． 考点9 直线中的距离问题 一、单选题 1．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 2．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】由题意得：，是直线上的两点， 则，， 若，则， 即， 则，则， 故． 故选：D 3．（2024高二·全国·专题练习）已知，，且，，则坐标原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题设可得的直线方程为； 所以原点到直线的距离为. 故选：A. 4．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】的几何意义为直线上的点到原点的距离，由点到直线的距离公式可得． 【详解】点为直线上任意一点， 又的几何意义为直线上的点到的距离， 故最小值为到直线的距离，即最小值为 故选：C． 5．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设直线的方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，化简直线的方程，即可得出结果. 【详解】因为直线与平行，设直线的方程为， 因为、之间的距离与点到的距离均为， 则，解得， 所以，直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 6．（24-25高二上·天津河东·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用两点距离公式将问题转化为点到点的距离之和的最小值，再利用将军饮马问题的解决方法，数形结合即可得解. 【详解】因为， 设，， 则表示点到点的距离之和， 设点关于直线的对称点为，又直线斜率为， 则，解得，则， 因为点在直线上， 所以， 当为与直线的交点时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 考点10 圆的方程 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程. 【详解】由，得， 令，则， 即直线恒过定点， 则圆的方程为，即， 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于求解. 【详解】原方程可化为， 方程表示圆，则有，即. 故选：D 3．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 【答案】B 【分析】先求出点的对称点，代入圆的方程求解即可. 【详解】设，则 所以 由题可知， 故选：B 5．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为， 线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为. 故选：D. 6．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到圆的标准方程为，根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆的方程为， 可得圆的标准方程为，所以，解得， 因为点在圆外，可得， 整理得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 考点11 直线与圆相交及弦长问题 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】A 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，所心直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】求得圆心坐标为，半径为，由弦长公式可解得. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可. 【详解】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3， 从而，圆的半径为 故所求圆的方程为 即 故选：C 4．（23-24高二下·全国·随堂练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（ ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】由，则为直角三角形，所以可得圆心为的中点，半径为，从而可求出圆的方程，则可求出圆与轴的交点，进而可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以为直角三角形， 所以过三点的圆的圆心，半径为， 所以过三点的圆的方程为， 令，则，得， 所以， 故选:C 5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与圆的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，由，得点共线，    显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，且， 由消去x得：，设， 则，又， 所以. 故选：B 考点12 直线与圆相切 一、单选题 1．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出切线的斜率，再求直线方程即可，特别要注意直线斜率是否存在. 【详解】因为，所以圆心，半径， ①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍； ②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得. 所以切线方程为. 故选：D. 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 4．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【详解】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出⊙C圆心坐标，半径，，求出和，求出四边形的面积. 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 考点13 直线与圆中的最值和范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得面积最小值. 【详解】根据，则直线的方程为，即， 又由，则圆心为， 则， 所以点到直线的最小值， . 故选：C 3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】圆心为，半径为， 若圆上有四个点到直线的距离等于1， 所以到直线的距离小于， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解. 【详解】因为可化为， 所以直线恒过定点， 由圆知圆心，半径， 由圆的几何性质知，当与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短， 此时弦长为, 故选：B 5．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离的范围，由三角形的面积公式计算即可. 【详解】因为线分别与轴，轴交于两点， 所以，所以， 由，可得圆的圆心为，半径为， 因为点在圆上，所以圆心到直线的距离为， 故到直线的距离的范围为， 则. 故选：A. 6．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】由点的坐标特点得到点在直线上运动，进而转化为一个动点两个定点的距离和最小问题，只需要再做一次点关于直线对称即可. 【详解】点在直线：上， 圆心关于直线对称点， 圆：关于直线对称圆： 如图： 连接与圆交直线于点，连接交圆于， 此时最小，， 故选：C 7．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出弦的中点的轨迹方程，进而可得出答案. 【详解】圆的圆心，半径， 则， 由，得， 所以，则， 在中，， 所以弦的中点的轨迹方程为，圆心为，半径， 圆心到直线距离的， 所以弦的中点到直线距离的最大值为. 故选：A . 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】设圆和圆，得到的最大值为，的最小值为，由点在直线上，求得关于的对称点为，结合，即可求解. 【详解】由题意，的最大时，最大，最小即可， 设圆，可得圆心，半径， 设圆，可得圆心，半径， 则的最大值为，的最小值为，    所以 ， 因为在直线上，关于的对称点为， 直线与交点为，所以， 共线时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 考点14 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则， 由于，即， 故圆与圆的位置关系为相交． 故选：D． 2．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）圆与圆的公切条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 【答案】A 【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步判断两圆的位置关系，最后得出两圆的公切线的条数. 【详解】由是以为圆心， 3为半径的圆.， 转换为， 即该圆是以为圆心，4为半径的圆. 所以圆心距， 所以 所以两圆相交，故公切线的条数为2， 故选：A 4．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆联立求出相交弦的弦长即可. 【详解】由圆，圆， 两式相减得相交弦所在直线方程：. 由圆可得圆， 所以圆心、半径. 所以圆心到直线的距离， 所以相交弦长为. 故选：C 5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 6．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆的圆心距大于两圆的半径只差的绝对值，小于半径之和即可求解； 【详解】由题意可得圆与圆相交， 则， 解得或， 所以的取值范围是， 故选：C. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是， 则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为，    则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确. 故选：D. 8．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据点关于直线对称确定Q在圆上．联立，求出Q点坐标，根据对称知识，即可求得答案. 【详解】由题可知，直线l经过坐标原点O，所以， 则Q在圆上． 联立方程组，两式相减得， 代入得，则， 即，则， 而关于直线对称， 则， 故选：A 考点15 椭圆的离心率 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆离心率的公式计算. 【详解】椭圆满足， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆定义在中由余弦定理求得，同理在中利用余弦定理可得，再由可得关系，进而得离心率. 【详解】连接，设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，即. 由可知， 在中利用余弦定理可得 ， 同理可解得， 又因为，即， 所以． 故选：A. 6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设，    因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 考点16 双曲线的渐近线 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质，即可解题. 【详解】由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 2．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用离心率公式结合渐近线方程可解. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为. 故选：D 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线相同可设所求为，将点代入求得即可得解. 【详解】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 则双曲线方程为. 故选：B． 4．（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 5．（23-24高二下·湖南·期末）已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接代入点到直线距离公式求出，再求离心率. 【详解】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点到渐近线的距离， 所以，，. 故选：A 6．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可. 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 考点17 双曲线的离心率 一、单选题 1．（23-24高三上·广东·期末）若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过椭圆的离心率得出之间的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】由题意， 在椭圆中，离心率， ∴，即， 在双曲线中， ∴双曲线的离心率. 故选：A. 2．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的渐近线求离心率的取值范围. 【详解】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以. 故选:：D 3．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，则，，再根据双曲线的定义求出，从而求出离心率. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 又， 所以双曲线的离心率. 故选：A 4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据向量关系得出渐近线得倾斜角，再根据渐近线斜率及关系进而得出离心率. 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. 由 ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴, 连接 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 所以. 故选：A. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理构造齐次式，再利用对勾函数的性质求范围即可. 【详解】设点在第一象限，由题知， 解得，， 在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 所以， 令，因为，所以， 则， 由“对勾”函数的性质可知，函数在区间上单调递增， 所以． 故选：C 6．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 考点18 抛物线的定义及其应用 一、单选题 1．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 2．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据焦半径公式得到方程，求出. 【详解】因为点到C的准线的距离为4，所以，解得． 故选：C 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】根据题意可得准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为，从而可得，即可求解. 【详解】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，所以， 当且仅当三点共线且准线时，等号成立．故的最小值为12．故A正确. 故选：A. 4．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知点，抛物线的焦点为， 射线与抛物线 交于点，与拋物线准线相交于，若 ， 则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】过作准线，垂足为，根据抛物线的定义可得，可得，运算求解即可. 【详解】过作准线，垂足为，则， 由题意可得：， 且为锐角，则， 可得， 在中，， 即，解得. 故选：C. 5．（23-24高二下·湖南·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据抛物线定义求出，再代入回抛物线方程求出其纵坐标，最后计算面积即可. 【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用抛物线定义将 转化为 ，数形结合根据线段和的几何意义求得 的最小值, 即可求得答案. 【详解】在抛物线 中， , ∴, 又 , 故 在抛物线 的外部, ∴, ∵抛物线 的焦点为 , 准线方程为 , ∴， ， ∵, 当三点共线（ 在之间）时， 取到最小值 , ∴ 的最小值为 , 故选: C 考点19 圆锥曲线中的弦长问题及其应用 一、解答题 1．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 2．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设点，点，利用点差法即可求得直线方程的斜率，从而解决问题． （2）由（1），联立直线方程和抛物线方程，消元得一元二次方程，再结合根系数的关系和弦长公式即可得解. 【详解】（1）设点，点，线段所在的直线方程的斜率为k 1°当斜率k不存在时，线段所在的直线方程为， 解方程得 所以，或， 此时，线段的中点坐标为，不合题意； 2°当斜率k存在时，，在抛物线上，，． 两式相减，得． ∵点是的中点，∴，即 ， 直线的方程为，即； 综上，线段所在的直线方程为. （2）由（1）知，直线方程为：，与抛物线方程联立得： 消元得， ，， ． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【答案】(1)方程为，左、右焦点坐标分别为 (2) 【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. 【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为 (1)求E的方程; (2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点，的重心在直线上，且则满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由得，，再由的面积为，求出，得E的方程； （2）由题意直线l的斜率存在，设 ， ， ，代入抛物线方程有 ，由 的重心在直线 上， ，得 ，又 ，有 ，得 ，可得直线l的方程. 【详解】（1）M为抛物线上一点，且，则有， 解得，故， 又的面积为，得，所以， 则E的方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，l与E交于A，B两点，线段 AB 的中点的纵坐标为0， 的重心不在直线上，因此直线l的斜率都存在． 设 ， ， ，由 （1） 知 ， 由 消去x后整理得 ，则， 有 因为 的重心在直线 上，所以 ，则 ，所以 ， 由 ，有 ，则 ，即 ，所以 ， ，，满足，且直线l不过点F， 因此直线l的方程为 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和，及点在双曲线上，求出，即可求出的方程； （2）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用，即可求出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 6．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知点为椭圆上不同两点，点为椭圆的一个焦点. (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)若的面积，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据椭圆上点坐标以及焦点坐标解方程可得椭圆的标准方程，由离心率定义计算可得离心率； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线以及椭圆方程并求得弦长,再由面积即可得出直线的方程. 【详解】（1）由在椭圆上可得， 解得， 又可得，因此，即 所以椭圆的标准方程为, 其离心率为. （2）根据题意可知，若直线的斜率不存在，则，如下图所示： 此时，的面积为，满足题意； 可得此时直线的方程为； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，如下图所示： 联立，消去并整理可得， 解得或，又，所以 此时， 点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得， 所以直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或 考点20 圆锥曲线中的定值、定点问题 一、解答题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）设，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算得即可. 【详解】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知， 点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线， 故点P的轨迹C的方程为：． （2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：． 由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设， 由得：，， 设，，则，． 所以，，故即． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可； （2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明． 【详解】（1）由题可设双曲线的方程为． 因为经过点， 所以，解得， 故的方程为． （2）若直线的斜率存在，设， 由，消去得， 则，即， 设，则， 因为，所以，即， 所以，整理得， 设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以， 又，所以； 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为， 不妨设直线的斜率为1，则， 将点的坐标代入方程，得， 所以， 所以． 综上，为定值． 3．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 【答案】(1) (2)0 【分析】(1)根据抛物线的定义即可求解； (2)设出直线，的方程，与抛物线联立，列出式子利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以点M到定点的距离等于到定直线的距离， 所以M的轨迹为抛物线，方程为； （2）设，如图： 设直线AB的方程为， 直线PQ的方程为且 ，， 由 ,得，， ， 同理， 因为， 所以， 因为，所以由得． 5．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， (1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； (2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析；定点坐标 【分析】（1）直曲联立表示出韦达定理，再由中点坐标公式求出，最后结合两点间距离公式求出即可； （2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则，由斜率关系求出；当直线的斜率存在时，直曲联立表示出韦达定理，再由斜率的定义结合化简得到和的关系，然后再求出直线所过定点即可； 【详解】（1） 当时，， 设， ，消去可得， ， ， 由中点坐标公式可得，， 又，解得，符合题意； （2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则， 因为点为椭圆上顶点，所以， 所以，则， 所以， 当直线的斜率存在时，直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得， ， ， 则， 将韦达定理代入上式并化简可得， 即，舍，所以， 所以直线，此时直线过定点， 综合以上可知直线过定点. 6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用中点弦问题求解即可； （2）利用韦达定理得到再根据斜率的坐标表示可得，结合韦达定理可证明. 【详解】（1）设，则有， 且，作差可得， 所以， 由点斜式得，， 整理得即为直线的方程. （2）    不妨设的直线方程为， 联立，消去整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以为定值. 7．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    8．（23-24高二上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据向量关系得点的坐标关系，利用相关点法可得； （2）设方程为，的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得，代入方程化简即可得证. 【详解】（1）设，则，则， 又，所以，得， 因为点在抛物线上，所以， 所以动点的轨迹方程为 （2）显然直线斜率存在且不为0，设方程为， 由得，， 设，则， 所以①， 直线的方程为， 由得，， 设，则②， 由①②得，整理得③， 若直线斜率不存在，则，代入③可得， 则，所以直线方程为； 若直线斜率存在，则， 则直线方程为，即， 将③代入得， 即，故直线斜率存在时过定点. 综上，直线过定点. 【点睛】关键点睛：第二问关键在于设出方程，联立抛物线方程，利用韦达定理消去点坐标，得到坐标关系，根据此关系代入方程整理即可得证. 9．（24-25高三上·广东·开学考试）设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)设，求当取得最小值时直线的方程； (3)设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）设，由利用数量积坐标化得到关系，利用中点坐标公式将坐标用坐标表示，代入消元即可得； （2）由双曲线的性质可得的范围，得到最小值，再求解最值状态下即为实轴端点时的直线方程即可； （3）求解当直线斜率不存在时的方程；当斜率存在时，写出直线的方程，利用一垂直二平分求解点坐标，进而得到直线的方程，观察方程写出定点. 【详解】（1）设，则， 所以从而 因为，所以，即． 则，化简得． 所以点的轨迹方程为． （2）由（1）得，则的最小值为1，此时或， 即或． 当时，可得，从而直线的方程为； 当时，同理可得直线的方程为． （3）设，，由（2）可知， 当时，直线，得，直线； 当时，直线，得，直线． 当是其他点时，直线的斜率存在， 且， 则直线的方程为， 注意到，化简得． 点与关于直线对称， 设，则由， 解得， 又，所以 ， 从而， 令，得，因此直线过定点． 【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于多参设法的消参方法，一是代入消元，如第（1）问中将用动点坐标表示代入关系式即可；二是整体消元，如第（3）问中的应用；三是设而求法，解元消元，如第（3）问中坐标的运算求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 高二上学期期中必刷题精选（常考121题20类考点专练） 考点1 空间向量中的共线、共面问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）已知直线l的方向向量，若点是直线l上的点，下列点坐标中，也是直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 3．（23-24高二下·广东·期中），，，若，，共面，则实数k为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 6．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 8．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点2 空间向量的数量积运算及其应用 一、单选题 1．（23-24高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·阶段练习）在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点3 空间向量基本定理 一、单选题 1．（15-16高二上·贵州遵义·期末）如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林·阶段练习）在空间四边形OABC中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，已知斜三棱柱，设分别为与BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（   ） A． B． C． D． 考点4 空间向量解决距离问题 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏徐州·期末）在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 考点5 空间向量解决夹角问题 一、单选题 1．（23-24高一下·河北承德·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·湖北武汉·期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（    ） A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为 D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为 考点6 直线中的斜率问题 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．以上都不对 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知实数满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点7 直线中的平行、垂直问题 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．-1 D．-2 2．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）设为实数，已知直线，若，则（    ） A．6 B． C．6或 D．或3 6．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点8 直线中的对称问题 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 考点9 直线中的距离问题 一、单选题 1．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 2．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则（    ） A．5 B． C．10 D． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知，，且，，则坐标原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 5．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·天津河东·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 考点10 圆的方程 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 5．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点11 直线与圆相交及弦长问题 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 2．（2024·全国·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C．4 D． 3．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·全国·随堂练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（ ） A． B．8 C． D．10 5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 考点12 直线与圆相切 一、单选题 1．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 2．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 考点13 直线与圆中的最值和范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 考点14 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 2．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）圆与圆的公切条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 4．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 8．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 考点15 椭圆的离心率 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点16 双曲线的渐近线 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖南·期末）已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 考点17 双曲线的离心率 一、单选题 1．（23-24高三上·广东·期末）若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 考点18 抛物线的定义及其应用 一、单选题 1．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 2．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ） A．6 B． C．8 D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知点，抛物线的焦点为， 射线与抛物线 交于点，与拋物线准线相交于，若 ， 则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（23-24高二下·湖南·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 考点19 圆锥曲线中的弦长问题及其应用 一、解答题 1．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 2．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为 (1)求E的方程; (2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点，的重心在直线上，且则满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 6．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知点为椭圆上不同两点，点为椭圆的一个焦点. (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)若的面积，求直线的方程. 考点20 圆锥曲线中的定值、定点问题 一、解答题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 3．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 5．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， (1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； (2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 7．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 8．（23-24高二上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 9．（24-25高三上·广东·开学考试）设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)设，求当取得最小值时直线的方程； (3)设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$