第17期 26.2.2 二次函数y=αx²+bx+C的图象与性质(第二课时) 26.2.3 求二次函数的表达式 26.3 实践与探索（参考答案见19期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 抛物线的对称性是二次函数的一个重要特征，即若 抛物线上有两个对称点的坐标为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），则一 定有ｙ１ ＝ｙ２，且其对称轴为直线ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 若二次函数 ｙ＝２（ｘ－１）２＋５的图象经过 （ｍ，ｎ）和（３，ｎ）两点，则ｍ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．５２ Ｄ．－ ５ ２ 解析：由题可得 ｍ＋３ ２ ＝１，解得ｍ＝－１．故选Ｂ． 例２　已知抛物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有一 个交点，且过点 Ａ（ｍ－２，ｎ），Ｂ（ｍ＋４，ｎ），则 ｎ的值为 ． 解析：因为抛物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ过点Ａ（ｍ－２， ｎ），Ｂ（ｍ＋４，ｎ），所以对称轴为直线ｘ＝ｍ＋１，又因为抛 物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有一个交点，所以顶点为 （ｍ＋１，０），所以设抛物线表达式为ｙ＝－３（ｘ－ｍ－１）２， 把Ａ（ｍ－２，ｎ）代入，得ｎ＝－３（ｍ－２－ｍ－１）２＝－２７， 即ｎ＝－２７．故填 －２７． 例３　 已知点 Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）在抛物线 ｙ＝ ｍｘ２－２ｍ２ｘ＋ｎ（ｍ≠０）上，当ｘ１＋ｘ２＞４且ｘ１＜ｘ２时， 都有ｙ１ ＜ｙ２，则ｍ的取值范围为 （　　） Ａ．０＜ｍ≤２ Ｂ．－２≤ｍ＜０ Ｃ．ｍ＞２ Ｄ．ｍ＜－２ 解析：由题易得该抛物线的对称轴为直线 ｘ＝ －－２ｍ ２ ２ｍ ＝ｍ，因为当ｘ１＋ｘ２ ＞４且ｘ１ ＜ｘ２时，都有ｙ１ ＜ｙ２，所以当ｍ＞０时，０＜２ｍ≤４，解得０＜ｍ≤２；当 ｍ＜０时，２ｍ＞４，此时ｍ无解． 综上，ｍ的取值范围为０＜ｍ≤２．故选Ａ． 例４　已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）经过点 Ａ（２，ｔ），Ｂ（３，ｔ），Ｃ（４，２），Ｄ（６，４），那么ａ－ｂ＋ｃ的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．ｔ 解析：因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）经过点 Ａ（２，ｔ），Ｂ（３，ｔ）， 所以抛物线的对称轴为直线ｘ＝２＋３２ ＝ ５ ２， 所以点Ｄ（６，４）的对称点坐标为（－１，４）， 所以当ｘ＝－１时，ｙ＝４，即ａ－ｂ＋ｃ＝４．故选Ｃ． 书 二次函数与一元二次方程本是一家，两者关系密 切，相互渗透，在解题运用中相辅相成，相得益彰，常常 携手出现在中考的舞台上． 例１　若抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍ与ｘ轴只有一个公 共点，则ｍ的值为 ． 解析：因为抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍ与ｘ轴只有一个 公共点， 所以方程ｘ２－６ｘ＋ｍ＝０有两个相等的实数根， 所以Δ＝（－６）２－４ｍ＝０，所以ｍ＝９． 故填９． 例２　经过Ａ（２－３ｂ，ｍ），Ｂ（４ｂ＋ｃ－１，ｍ）两点的 抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ（ｘ为自变量）与ｘ轴有 交点，则线段ＡＢ长为 （　　） Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．１５ 解析：因为抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ的对称 轴为直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－ ｂ ２×（－１２） ＝ｂ，抛物线经过Ａ（２ －３ｂ，ｍ），Ｂ（４ｂ＋ｃ－１，ｍ）两点， 所以 ２－３ｂ＋４ｂ＋ｃ－１ ２ ＝ｂ，即ｃ＝ｂ－１， 所以ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋ ２ｂ－２， 因为抛物线与ｘ轴有交点，所以Δ＝ｂ２－４ａｃ≥０， 即 ｂ２－４×（－１２）×（－ｂ ２＋２ｂ－２）≥０，整理，得 （ｂ－２）２≤０， 所以ｂ＝２，ｃ＝ｂ－１＝２－１＝１， 所以２－３ｂ＝２－６＝－４，４ｂ＋ｃ－１＝８＋１－１＝８， 所以ＡＢ＝８－（－４）＝１２． 故选Ｂ． 书 （上接４版参考答案） （２）存在．令ｙ＝０，则 （ｘ＋４）２＝０，解得ｘ１＝ｘ２ ＝－４，所以点 Ａ（－４，０）． 因为ＡＰ∥ ＯＢ，所以当 ＡＰ ＝ＯＢ＝１６时，以Ｐ，Ａ，Ｏ，Ｂ 为顶点的四边形是平行四 边形．当点Ｐ在点Ａ的上方 时，点 Ｐ的坐标为（－４， １６），当点Ｐ在点 Ａ的下方 时，点 Ｐ的坐标为（－４， －１６）．综上，当点 Ｐ的坐 标为（－４，１６）或（－４， －１６）时，以 Ｐ，Ａ，Ｏ，Ｂ为 顶点的四边形为平行四边 形． １８．（１）过点 Ｃ作 ＣＤ ⊥ＡＢ于点Ｄ，设ＡＤ为ａ， 因为△ＡＢＣ为等边三 角形，ＣＤ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ ＤＢ＝ａ，∠ＡＣＤ＝３０°，所 以ＡＣ＝２ａ，由勾股定理， 得ＣＤ＝槡３ａ，所以点 Ｂ坐 标为（２＋ａ，槡３ａ），因为点 Ｂ在抛物线上，所以槡３ａ＝ ２（２＋ａ－２）２，解得ａ＝槡３２ 或 ａ＝０（舍去），所以 Ｂ（４＋槡３２ ， ３ ２）． （２）Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ· ＣＤ＝ 槡３３４． １９．（１）ａ＝４，ｂ＝５． （２）由题意设 Ｂ（２， ｍ）（ｍ＞０），直线ＯＡ的表 达式为 ｙ＝ｋｘ，因为 Ａ（５， ５），所以５ｋ＝５，解得 ｋ＝ １，所以直线 ＯＡ的表达式 为ｙ＝ｘ，设直线ＯＡ与抛物 线对称轴交于点 Ｈ，则 Ｈ（２，２），所以ＢＨ＝｜ｍ－２｜， 因为 Ｓ△ＯＡＢ ＝１５，所以 １ ２ ×｜ｍ－２｜×５＝１５，解得 ｍ１ ＝８，ｍ２ ＝－４（舍去）， 所以点Ｂ的坐标为（２，８）． （３）设直线ＡＢ的表达 式为 ｙ＝ｃｘ＋ｄ，把 Ａ（５， ５），Ｂ（２，８） 代 入， 得 ５ｃ＋ｄ＝５， ２ｃ＋ｄ＝８{ ， 解 得 !"# !$"%&'( 书 二次函数常常作为中考数学的压轴题出现，难度较 大，综合性较强，下面举例说明，供同学们参考． 例　已知抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ ＋ｃ与ｘ轴相交于Ａ（－１，０），Ｂ两 点，与ｙ轴相交于点Ｃ（０，－３）． （１）求ｂ，ｃ的值； （２）Ｐ为第一象限抛物线上一 点，△ＰＢＣ的面积与 △ＡＢＣ的面 积相等，求直线ＡＰ的表达式； （３）在（２）的条件下，设Ｅ是直线ＢＣ上一点，点Ｐ关 于ＡＥ的对称点为点Ｐ′，试探究，是否存在满足条件的点 Ｅ，使得点Ｐ′恰好落在直线 ＢＣ上，如果存在，求出点 Ｐ′ 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（１）由题意，得 １－ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝－３{ ． 所以 ｂ＝－２， ｃ＝－３{ ． （２）由（１）得抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３． 令ｙ＝０，则ｘ２－２ｘ－３＝０，得ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３，所 以点Ｂ的坐标为（３，０）． 因为Ｓ△ＰＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＣ，所以ＡＰ∥ＢＣ． 因为Ｂ（３，０），Ｃ（０，－３），所以直线ＢＣ的表达式为ｙ ＝ｘ－３． 因为ＡＰ∥ＢＣ，所以可设直线ＡＰ的表达式为ｙ＝ｘ ＋ｍ． 因为Ａ（－１，０）在直线ＡＰ上，所以０＝－１＋ｍ，解得 ｍ＝１，所以直线ＡＰ的表达式为ｙ＝ｘ＋１． （３）存在，设Ｐ点坐标为（ｐ，ｎ）． 因为点Ｐ在直线ｙ＝ｘ＋１和抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－ ３上， 所以ｎ＝ｐ＋１，ｎ＝ｐ２－２ｐ－３．所以ｐ＋１＝ｐ２－ ２ｐ－３． 解得ｐ１＝４，ｐ２＝－１（舍去），所以点Ｐ的坐标为（４， ５）． 由题意得∠ＡＥＰ＝∠ＡＥＰ′，Ｐ′Ｅ＝ＰＥ． 因为ＡＰ∥ＢＣ，所以∠ＰＡＥ＝∠ＡＥＰ′，所以∠ＰＡＥ ＝∠ＰＥＡ． 所以ＰＥ＝ＰＡ＝ （４＋１）２＋（５－０）槡 ２ ＝ 槡５２． 设点Ｅ的坐标为（ｔ，ｔ－３），则ＰＥ２＝（ｔ－４）２＋（ｔ－ ３－５）２ ＝（槡５２） ２，所以ｔ＝６±槡２１． 当ｔ＝６＋槡２１时，点 Ｅ的坐标为（６＋槡２１，３＋ 槡２１）， 设Ｐ′（ｓ，ｓ－３），由 Ｐ′Ｅ＝ＰＥ＝ 槡５２，得（ｓ－６－ 槡２１） ２＋（ｓ－３－３－槡２１） ２ ＝（槡５２） ２，解得ｓ＝１＋ 槡２１，则点Ｐ′的坐标为（１＋槡２１，－２＋槡２１）． 当ｔ＝６－槡２１时，同理可得，点 Ｐ′的坐标为（１－ 槡２１，－２－槡２１）． 综上所述，点Ｐ′的坐标为（１＋槡２１，－２＋槡２１）或 （１－槡２１，－２－槡２１）． 【对应练习见《重点集训营》】 书 重点集训营 如图１，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，二次函数ｙ＝ｘ２ －４ｘ＋ｃ的图象与ｙ轴的交点坐标为（０，５），图象的顶点 为Ｍ．矩形ＡＢＣＤ的顶点Ｄ与原点Ｏ重合，顶点Ａ，Ｃ分 别在ｘ轴，ｙ轴上，顶点Ｂ的坐标为（１，５）． （１）求ｃ的值及顶点Ｍ的坐标； （２）如图２，将矩形ＡＢＣＤ沿ｘ轴正方向平移ｔ个单 位（０＜ｔ＜３）得到对应的矩形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′．已知边Ｃ′Ｄ′， Ａ′Ｂ′分别与函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｃ的图象交于点Ｐ，Ｑ，连 结ＰＱ，过点Ｐ作ＰＧ⊥Ａ′Ｂ′于点Ｇ． ①当ｔ＝２时，求ＱＧ的长； ②当点Ｇ与点Ｑ不重合时，是否存在这样的ｔ，使 得△ＰＧＱ的面积为１？若存在，求出此时ｔ的值；若不存 在，请说明理由． 辅助线周周练 １．如图１，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝ ２７０°，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＢＣ上的中点，ＥＦ＝３，则ＡＢ２＋ ＤＣ２的值是 ． ２．如图２，ＡＢＣＤ中，ＢＤ＝１２，∠ＡＯＢ＝６０°，点Ｆ 为ＡＢ中点，点Ｅ为ＡＯ边上一点，若ＡＥ＝ＯＥ＋ＯＢ，则 ＥＦ的长为 ． ! " # $ % & & # % ' ! $ " ! # ! ! 书 上期２版 ２６．１二次函数 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．＜；　５．四． ６．（１）正方体的体积ｙ与棱长ｘ之间的关系是ｙ＝ｘ３，不是 二次函数； （２）该商品８月的售价ｙ与ｘ之间的关系是ｙ＝３０（１－ｘ）２， 是二次函数； （３）汽车匀速行驶的时间ｔ与速度ｖ之间的关系是ｔ＝ ｓｖ， 不是二次函数； （４）等腰三角形的顶角度数ｙ°与底角度数 ｘ°之间的关系 是ｙ＝１８０°－２ｘ，不是二次函数． 能力提高　７．（１）当ｍ＝２时，ｙ是ｘ的二次函数． （２）①当ｍ＋３＝０且ｍ＋２≠０时，即ｍ＝－３时，ｙ是ｘ的 一次函数；②当ｍ２＋ｍ－４＝０且ｍ＋２≠０时，ｙ是ｘ的一次函 数，解得ｍ＝－１±槡１７２ ；③当ｍ ２＋ｍ－４＝１且ｍ＋３＋ｍ＋ ２≠０时，ｙ是ｘ的一次函数，解得ｍ＝－１±槡２１２ ． 综上，当ｍ为 －３或－１±槡１７２ 或 －１±槡２１ ２ 时，ｙ是ｘ的一 次函数． ２６．２．１二次函数ｙ＝ａｘ２的图象与性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．ｋ＜２；　５．２； ６．ｙ２ ＞ｙ１；　７．槡 ２５ ３． ８．（１）ａ的值是 １２，ｂ的值是４． （２）Ｓ△ＢＯＣ ＝１２． 能力提高　９．（１）ａ＝ １２，ｂ＝６． （２）分别过点Ａ，Ｄ作ＡＭ⊥ｙ轴于点Ｍ，ＤＮ⊥ｙ轴于点Ｎ． 由（１）知直线ＡＢ的表达式为ｙ＝－１２ｘ＋６，令ｘ＝０，则ｙ＝６， 所以 Ｃ（０，６），因为 ∠ＡＭＣ＝∠ＤＮＣ＝∠ＡＣＤ ＝９０°，所以 ∠ＡＣＭ＋∠ＤＣＮ＝９０°，∠ＤＣＮ＋∠ＣＤＮ＝９０°，所以∠ＡＣＭ＝ ∠ＣＤＮ，因为ＣＡ＝ＣＤ，所以△ＡＭＣ≌△ＣＮＤ，所以ＣＮ＝ＡＭ＝ ４，ＤＮ＝ＣＭ＝２，所以Ｄ（－２，２），当ｘ＝－２时，ｙ＝１２×（－２） ２ ＝２，所以点Ｄ在抛物线ｙ＝ １２ｘ ２上． ２６．２．２二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与性质（第一课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ｄ； ５．－９；　６．＜；　７．１． ８．（１）ｍ的值为５或１． （２）ｂ的值为０． 能力提高　９．（１）抛物线的表达式为ｙ＝－１２ｘ ２＋ｘ＋４， 直线ＢＣ的表达式为ｙ＝－ｘ＋４． （２）根据题意，设ＯＮ＝ＯＭ＝ｔ，ＭＨ＝－１２ｔ ２＋ｔ＋４，因为 ＯＮ∥ＭＨ，所以当ＯＮ＝ＭＨ时，四边形ＯＭＨＮ为矩形，即 ｔ＝ －１２ｔ ２＋ｔ＋４，解得ｔ＝ 槡２２或ｔ＝－ 槡２２（舍去），所以ＭＨ＝ －１２ｔ ２＋ｔ＋４＝ 槡２２，所以Ｈ（槡２２，槡２２）． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｃ 二、９．３；　１０．ｍ＞－１；　１１．－１；　１２．１；　１３．４； １４．（－２３，－１）． 三、１５．（１）二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２＋５ｘ＋４． （２）ｙ＝ｘ２＋５ｘ＋２． １６．（１）－１，－１． （２）点Ｂ的坐标为（２，－４）． （３）由图象可得，当ａｘ２ ＜ｋｘ－２时，ｘ＜－１或ｘ＞２． １７．（１）抛物线ｙ＝（ｘ＋４）２的对称轴为直线ｘ＝－４，令ｘ＝ ０，则ｙ＝（０＋４）２＝１６，所以点Ｂ（０，１６），所以点Ｂ关于对称轴的 对称点Ｂ′（－８，１６），设直线ＯＢ′的表达式为ｙ＝ｋｘ，将（－８，１６）代 入，得１６＝－８ｋ，解得ｋ＝－２，所以直线ＯＢ′的表达式为ｙ＝－２ｘ， 当ｘ＝－４时，ｙ＝８，所以Ｃ（－４，８）． （下转１，４版中缝） 书 一、销售问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 某超市购进一批 拼装玩具，进价为每个１０元， 在销售过程中发现，日销售 量ｙ（个）与销售单价 ｘ（元） 之间满足如图１所示的一次 函数关系，则该超市每天销 售这款拼装玩具的最大利润 为 元（利润 ＝总销售额 －总成本）． 解析：设日销售量 ｙ（个）与销售单价 ｘ（元）之间 的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 因为点（２５，５０），（３５，３０）在该函数图象上，所以 ２５ｋ＋ｂ＝５０， ３５ｋ＋ｂ＝３０{ ，解得 ｋ＝－２， ｂ＝１００{ ， 所以日销售量ｙ（个）与销售单价ｘ（元）之间的函 数关系式为ｙ＝－２ｘ＋１００， 设每天的销售利润为ｗ（元），则ｗ＝（ｘ－１０）·ｙ ＝（ｘ－１０）（－２ｘ＋１００）＝－２ｘ２＋１２０ｘ－１０００＝－２（ｘ －３０）２＋８００， 因为－２＜０，所以当ｘ＝３０时，ｗ有最大值为８００， 即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为８００元． 故填８００． 二、体育问题 例２　如图２，一名学生 推铅球，铅球行进高度 ｙ（单 位：ｍ）与水平距离 ｘ（单位： ｍ）之间的关系是ｙ＝－１１２（ｘ －１０）（ｘ＋４），则铅球推出的距离ＯＡ＝ ｍ． 解析：令ｙ＝０，则０＝－１１２（ｘ－１０）（ｘ＋４），解得 ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝－４，所以ＯＡ＝１０．故填１０． 三、拱桥问题 例３　如图３－①是太原晋阳湖公园一座抛物线 型拱桥，按如图３－②所示建立坐标系，得到函数ｙ＝ －１２５ｘ ２，正常水位时水面宽 ＡＢ＝３０米，当水位上升 ５米时，则水面宽ＣＤ为 （　　） Ａ．２０米 Ｂ．１５米 Ｃ．１０米 Ｄ．８米 解析：因为ＡＢ＝３０米，所以当ｘ＝１５时，ｙ＝－１２５ ×１５２ ＝－９， 当水位上升５米时，ｙ＝－４， 把ｙ＝－４代入ｙ＝－１２５ｘ ２，得 －４＝－１２５ｘ ２，解得 ｘ＝±１０， 此时水面宽ＣＤ＝２０米．故选Ａ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " #! !!"# " $"% !" !"!#&$%'!#( !"#$%&'" ()*+,-'. ! ! !"#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! )*!+,-./ !01234 "# 5( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " 67 89: " ;< =>? " @A B C " DE FGH (&! !' (' '% (% ' )&" ! # (&) )&) ' % ! ! 书 【提示】 １．连结ＡＣ，取ＡＣ的中点Ｍ，连结ＥＭ，ＦＭ，根据 三角形的中位线定理可以得到ＥＭ∥ＤＣ，ＭＦ∥ＡＢ， ＥＭ＝１ ２ＤＣ，ＭＦ＝１ ２ＡＢ，推导出∠ＥＭＦ＝９０°，再 利用勾股定理解题即可求出答案． ２．在ＡＯ上截取ＡＩ＝ＯＢ，连结ＢＩ，取ＢＩ的中点 Ｈ，连结ＥＨ，ＦＨ，可证明ＩＥ＝ＯＥ，根据三角形的中位 线定理得ＥＨ∥ＯＢ，ＥＨ＝１ ２ＯＢ，ＦＨ∥ＡＩ，ＦＨ＝ １ ２ＡＩ，延长ＥＨ到点Ｇ，使ＧＨ＝ＥＨ＝ＦＨ，连结ＦＧ，则 ＥＧ＝２ＥＨ，可证明△ＦＧＨ是等边三角形，则ＦＧ＝ ＦＨ，∠ＨＦＧ＝６０°，再证明∠ＨＦＥ＝３０°，即可求得 ＥＦ的长． (& ! ' % ) # ( %! "! % * + , &! !! & ! ) $"%' ( % - & ! ) $"%' ! # ! ! ) *+ IJK , ) *+ FLM , # - .+ NOK , ) *+ P Q , ) *+ 8 R -./01+ N ? 23/01+ NST -4506+ U V -4578+ WXB LYZ [ \ ]^_ ` a bcd FeG `fS g X hi_ jkJ [>l m>n FJo pR& qr\ s d tuv Lwx 91-.+ [yz 91:;+ L w <=-.+ y>{ >?-.+ |}~ @ABC+ € #+,@‚@% * #ƒm@ˆ% #‰Š‹Œ†%('$+'!,$!'- #+,Ž†‘’“”•^–—˜™š $(! ›œ,žŸ&œ ‰Š‹ #¡¢‰£†%(%%%- #•¤‹¥,¦§†%('$$'!,$$!' %('$$'!,$!(,!̈ ©( #¥ª†«¬+,•¤‹­®¯°±²¡³!́ ( #¡¢¥ª¦§†$$$.' #µ¶·¸¥¹º¥»¼¥ #+,½¯°±’¾•(¿ÀÁÂÃ, #ÄÅÆÇȵɛ†/#%%%%#%%%//% #ÄŋŒ†%('/$'!,/!'' #+,ÊË7ÌͨÎÏÐÑÒÓÔÕÖוØٗÚÛÜÝÞßàá // ›(âÏãäÑÏåæçè.㫬+,•¤‹­éê Ÿ&œ ëìÌíî&1ï "$ 5 "#$% %&'()*+, !-*!*! Øðñœ )./( ! 00(12 òóô¬õæ !ïØö·( !-*!*( ÷Øðñœòøùú !-*( ûü¬ýþ ÿ!"#1&'()*+,-./01234 56789: ;,<=>09?-./07@A B:C1D)*-./0EF!-.8GHI7J >: DKL,MNHI7J>OP1 6* ‘í$î ÿ% ‘íîÀ&ßà¨Î'( ‘íî)*ÆÇÑÒÓÔÿ+ œ,ž‰Šˆ% ž,†IJK °-./01ˆ%2›†23/#+%,%,&Õ4( ¡34›†!/+!%, & ( ' ) ! % ! ( !" #" " 书 ｃ＝－１， ｄ＝１０{ ，所以直线 ＡＢ的 表达式为ｙ＝－ｘ＋１０，当 ＰＡ－ＰＢ的值最大时，Ａ，Ｂ， Ｐ在同一条直线上，因为 Ｐ 是 ｙ轴上的点，所以 Ｐ（０， １０）． ２０．（１）由 题 意 得 Ｃ（０，３）．因为一次函数 ｙ ＝ａｘ＋２ａ＋３＝ａ（ｘ＋２） ＋３，所以一次函数 ｙ＝ａｘ ＋２ａ＋３过定点（－２，３）， 当ｘ＝－２时，ｙ＝－（－２＋ １）２＋４＝３，所以（－２，３） 在抛物线上，所以 Ｐ（－２， ３）．①因为点 Ｑ为该一次 函数图象的“１阶方点”，所 以当Ｑ的纵坐标为 －１时， △ＰＣＱ面积最大．所以 △ＰＣＱ面积最大为 １２ ＰＣ· ｜ｙＣ－ｙＱ｜＝ １ ２×２×（１＋ ３）＝４．②因为一次函数ｙ ＝ａｘ＋２ａ＋３图象的“１阶 方点”有且只有一个，所以 在以Ｏ为中心，边长为２的 正方形ＡＢＣＤ中，当直线与 正方形区域只有惟一交点 时，图象的“１阶方点”有 且只有一个，当一次函数 过（－１，－１）时，有 －１ ＝－ａ＋２ａ＋３，解得 ａ＝ －４；当一次函数过（１，１） 时，有１＝ａ＋２ａ＋３，解得 ａ＝－２３．综上，ａ＝－ ２ ３ 或 －４． （２）如图，在以Ｏ为中 心，边长为 ２ｍ的正方形 ＡＢＣＤ中，当抛物线与正方 形区域有公共部分时，二 次函数 ｙ＝－（ｘ－ｍ）２－ ２ｍ＋２图象的“ｍ阶方点” 一定存在，当 ｍ ＞０时， Ａ（ｍ，ｍ），Ｃ（－ｍ，－ｍ）， Ｂ（ｍ，－ｍ），Ｄ（－ｍ，ｍ）， 当抛物线经过点Ｂ时，－ｍ ＝－（ｍ－ｍ）２－２ｍ＋２，解 得ｍ＝２；当抛物线经过点 Ｄ时，ｍ＝－（－ｍ－ｍ）２－ ２ｍ ＋ ２， 解 得 ｍ ＝ －３－槡４１ ８ （舍去）或ｍ＝ －３＋槡４１ ８ ．综上，ｍ为取 值范围为 －３＋槡４１ ８ ≤ ｍ ≤２． 上期４版 重点集训营 题型 一：１．Ｄ；　２．Ｄ； 　３．Ａ． 题 型 二：１．Ｂ；　２．Ｄ； 　３．ｍ＞ １２． !"# !$"%&'( 书 ２６．２．２二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 　　的图象与性质（第二课时） １．某农场要建矩形的饲养室，如图１所示，一面靠 着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间 再建一道墙隔开，并在两处各留１ｍ宽的门，已知计划 中的材料可建墙体总长为２２ｍ（不包括门），则能建成 的饲养室最大总占地面积为 （　　） 　　 　　 　　 　　 　　　 　　 　　Ａ．５２ｍ２ Ｂ．４８ｍ２ Ｃ．４５ｍ２ Ｄ．４１ｍ２ ２．如图２，若用长１０ｍ的铁丝借助墙ＡＢ围成一个 斜边为ＥＤ的直角三角形ＥＣＤ，则所围成的△ＥＣＤ的最 大面积为 （　　） Ａ．５．５ｍ２ Ｂ．７．５ｍ２ Ｃ．１０．５ｍ２ Ｄ．１２．５ｍ２ ３．如图 ３，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝１２ｍｍ，ＢＣ＝ ２４ｍｍ，动点Ｐ从点Ａ开始沿边 ＡＢ向点Ｂ以２ｍｍ／ｓ的速度移 动，动点Ｑ从点Ｂ开始沿边ＢＣ 向点Ｃ以４ｍｍ／ｓ的速度移动， 如果Ｐ，Ｑ两点分别从Ａ，Ｂ两点同时出发，设运动时间 为ｔｓ，那么△ＰＢＱ的面积Ｓ的最大值为 ｍｍ２． 能力提高 ４．如图４，学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙， 另外三边用篱笆围成．已知墙长４２米，篱笆长８０米．设 垂直于墙的边ＡＢ长为ｘ米，平行于墙的边ＢＣ为ｙ米，围 成的矩形面积为Ｓ米２． （１）求ｙ与ｘ，Ｓ与ｘ的关系式； （２）围成的矩形花圃面积能否为７５０米２？若能，求 出ｘ的值． （３）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存 在，求出这个最大值，并求出此时ｘ的值． ２６．２．３求二次函数的表达式 １．一桥洞呈抛物线 形状，这个桥洞的最大高 度为１６ｍ，跨度为４０ｍ， 现把它的示意图放在 如图１所示的平面直角 坐标系中，则抛物线对 应的函数关系式为 （　　） Ａ．ｙ＝ １２５（ｘ－２０） ２－１６ Ｂ．ｙ＝－１２５（ｘ－２０） ２＋１６ Ｃ．ｙ＝ １２５（ｘ－２０） ２＋１６ Ｄ．ｙ＝－１２５（ｘ－２０） ２－１６ ２．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ自变量ｘ与函数值ｙ的 部分对应值如下表． ｘ … －１ ０ １ ２ ３ … ｙ … １０ ５ ２ １ ２ … 则当ｘ＝５时，ｙ的值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．５ Ｄ．１０ ３．二次函数的图象如图２所示， 则这个二次函数的表达式为（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３ Ｂ．ｙ＝ｘ２－２ｘ－３ Ｃ．ｙ＝－ｘ２＋２ｘ－３ Ｄ．ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３ ４．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各 指出这个函数的一个性质． 甲：函数图象的顶点在ｘ轴上；乙：当ｘ＜１时，ｙ随 ｘ的增大而减小；丙：该函数的开口大小、形状均与函数 ｙ＝ｘ２的图象相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上 述所有性质的一个二次函数表达式 ． ５．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象的对称轴是 直线ｘ＝１，且图象过点Ａ（３，０）和点Ｂ（－２，５），求此函 数的表达式． ６．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３（ａ≠０）的图象经过点 Ａ（１，０），Ｂ（３，０）． （１）求该二次函数的表达式和对称轴； （２）设Ｐ（ｍ，ｙ１），Ｑ（ｍ＋１，ｙ２）（ｍ＞２）是该二次 函数图象上的两点．当ｍ≤ｘ≤ｍ＋１时，函数的最大值 与最小值的差为５，求ｍ的值． 　　 　　　　　 　　　　　 　　　２６．３实践与探索（第一课时） １．廊桥是我国古老的文 化遗产，抛物线形的廊桥示 意图如图１所示．已知抛物线 的函数表达式为 ｙ＝－１４０ｘ ２ ＋１０，为增加安全性，在该抛 物线上同一高度且水平距离 为８米的Ｃ，Ｄ两处安装警示灯，则警示灯 Ｄ距离水面 ＡＢ的距离为 （　　） Ａ．８．４米 Ｂ．９．６米 Ｃ．１０．４米 Ｄ．１１．６米 ２．“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可 获利ｘ元，一天可售出（２００－１０ｘ）本，则该书店出售该 种中考复习资料的日利润最大为 （　　） Ａ．５００元 Ｂ．７５０元 Ｃ．１０００元 Ｄ．４０００元 ３．中国石拱桥是 我国古代人民建筑艺 术上的智慧象征，如图 ２所示，某桥拱是抛物 线形，正常水位时，水 面宽ＡＢ为２０ｍ，由于持续降雨，水位上升３ｍ，若水面 ＣＤ宽为 １０ｍ，则此时水面与桥面距离 ＯＥ的长为 ｍ． 能力提高 ４．随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务 在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件４０元的价 格购进某款Ｔ恤，以每件６０元的价格出售．经统计，元 旦前一周的销量为５００件，该电商在元旦期间进行降价 销售．调查发现，该Ｔ恤在元旦前一周销售量的基础上， 每降价１元，销售量就会增加５０件．设该Ｔ恤的定价为 ｘ元，获得的利润为ｗ元． （１）求ｗ与ｘ之间的函数关系式； （２）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门 规定销售利润率不高于３０％，如何定价才能使得利润 最大？并求出最大利润是多少元（利润率 ＝利润 进价 × １００％）？ ２６．３实践与探索（第二课时） １．抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－３与ｘ轴的两个交点分别为 （　　） Ａ．（３，０）和（－１，０） Ｂ．（－３，０）和（１，０） Ｃ．（２，０）和（－４，０） Ｄ．（４，０）和（－２，０） ２．下表给出了二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中 ｘ，ｙ的一些对应值，则可以估计一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ＝０（ａ≠０）的一个近似解ｘ１的范围为 （　　） ｘ … ０．６ ０．７ ０．８ ０．９ １ … ｙ … －０．４４－０．１１０．２４ ０．６１ １ … Ａ．０．６＜ｘ１ ＜０．７ Ｂ．０．７＜ｘ１ ＜０．８ Ｃ．０．８＜ｘ１ ＜０．９ Ｄ．０．９＜ｘ１ ＜１ ３．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的部分图象如图 所示，则ｙ＞０时ｘ的取值范围 为 ． ４．已知抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ ＋ｃ与ｘ轴只有一个交点，将其 向下平移ｍ个单位长度后，抛物线与ｘ轴交于Ａ（ａ，０）， Ｂ（ａ＋６，０），则ｍ的值为 ． 能力提高 ５．已知直线ｙ１ ＝２ｘ－２与抛物线ｙ２ ＝ａｘ ２＋ａｘ－ ２ａ（ａ为非０常数）． （１）求证：直线与抛物线总有公共点； （２）无论ｘ为何值，总有ｙ１≤ｙ２，求ａ的值或取值范 围 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! ! ! ! ! " # $ % ! ! & " ' % ! " 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．抛物线ｙ＝ｘ２－５ｘ＋６与ｘ轴的交点情况是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．有两个交点 Ｂ．只有一个交点 Ｃ．没有交点 Ｄ．无法判断 ２．若抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｍｘ＋９与ｘ轴只有一个交点， 则ｍ的值为 （　　） Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．± 槡３２ Ｄ．±３ ３．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ经过点Ａ（－３，－３），且 该抛物线的对称轴经过点Ａ，则该抛物线的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝－１３ｘ ２－２ｘ Ｂ．ｙ＝－１３ｘ ２＋２ｘ Ｃ．ｙ＝ １３ｘ ２－２ｘ Ｄ．ｙ＝ １３ｘ ２＋２ｘ ４．如图１，小明以抛物线为灵感，在 平面直角坐标系中设计了一款高 ＯＤ为 １３的奖杯，杯体轴截面ＡＢＣ是抛物线ｙ＝ ４ ７ｘ ２＋６的一部分，则杯口的口径 ＡＣ长 为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ５．根据下列表格中二次函数ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ的自变量ｘ与函数值ｙ的对应值， ｘ ６．１７ ６．１８ ６．１９ ６．２０ ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ －０．０３ －０．０１ ０．０２ ０．０４ 判断方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０，ａ，ｂ，ｃ为常数）的 一个解ｘ的范围可能是 （　　） Ａ．６＜ｘ＜６．１７ Ｂ．６．１７＜ｘ＜６．１８ Ｃ．６．１８＜ｘ＜６．１９ Ｄ．６．１９＜ｘ＜６．２０ ６．如图２，隧道的截面由抛物 线和长方形 ＯＡＢＣ构成，已知抛物 线的表达式为ｙ＝－１６ｘ ２＋２ｘ＋４， 需要在抛物线形拱壁上安装两排 灯，如果灯离地面的高度为８ｍ，那 么两排灯的水平距离是 （　　） Ａ．２ｍ Ｂ．４ｍ 槡 槡Ｃ．４２ｍ Ｄ．４３ｍ ７．某超市销售一种饮料，每瓶进价为４元，经市场调 查表明：每瓶售价每增加１元，日均销售量减少８０瓶；当 售价为每瓶７元时，日均销售量为４００瓶，若要日均毛利 润最大，每瓶饮料的售价应是 （　　） Ａ．６元 Ｂ．７元 Ｃ．８元 Ｄ．９元 ８．对于一个函数，自变量ｘ取ｃ时，函数值为０，则称 ｃ为这个函数的零点．若关于ｘ的二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ ｍ（ｍ≠０）有两个不相等的零点ｘ１，ｘ２（ｘ１ ＜ｘ２），关于ｘ 的方程 －ｘ２＋６ｘ－ｍ－２＝０有两个不相等的非零实数 根ｘ３和ｘ４（ｘ３ ＜ｘ４），则下列式子一定正确的是（　　） Ａ．０＜ ｘ１ ｘ３ ＜１ Ｂ． ｘ１ ｘ３ ＞１ Ｃ．０＜ ｘ２ ｘ４ ＜１ Ｄ． ｘ２ ｘ４ ＞１ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．若抛物线ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）经过Ａ（１，３），则该抛物 线的表达式为 ． １０．抛物线ｙ＝ｘ２＋６ｘ＋ｍ与ｘ轴无公共点，则ｍ的 取值范围为 ． １１．太阳加工厂的师傅用长为６ｍ的铝合金型材做一 个形状如图３所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面 积最大，此时该矩形窗框的长与宽的和为 ｍ． １２．某抛物线形拱桥的示意图如图４所示，已知桥长 ＡＢ＝４８米，拱桥最高处点Ｃ到水面ＡＢ的距离为１２米， 在该抛物线上的点Ｅ，Ｆ处要安装两盏警示灯（点Ｅ，Ｆ关 于ｙ轴对称），警示灯Ｆ距水面ＡＢ的高度是９米，则这两 盏灯的水平距离ＥＦ是 米． １３．有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图５ 所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 ｙ＝ －３１６ｘ ２＋ｂｘ来表示，已知ＯＫ＝８米．若借助横梁ＳＴ（ＳＴ ∥ＯＫ）建一个门，要求门的高度为１．５米，则横梁ＳＴ的 长度是 米． １４．如图６，抛物线ｙ＝ａｘ２－５ａｘ＋４经过△ＡＢＣ的 三个顶点，已知ＢＣ∥ｘ轴，点Ａ在ｘ轴上，点Ｃ在ｙ轴上， 且ＡＣ＝ＢＣ，则ａ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）已知抛物线Ｃ１的表达式为ｙ＝ｘ ２－２ｘ ＋１，将抛物线Ｃ１先向右平移１个单位长度，再向下平移 ２个单位长度得到抛物线Ｃ２． （１）求抛物线Ｃ２的函数表达式； （２）点Ａ（ａ，－３）是否在抛物线Ｃ２上？请说明理由． １６．（１０分）已知二次函数ｙ＝ａｘ２－４ａｘ（ａ≠０）． （１）求证：该函数的图象与ｘ轴总有两个公共点； （２）当０＜ｘ＜４时，ｙ＜４，直接写出ａ的取值范围． １７．（１０分）如图７，在篮球比赛中，东东投出的球在 点Ａ处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分， 抛物线顶点为点Ｂ． （１）求该抛物线的函数表达式； （２）当球运动到点Ｃ时被东东抢到，已知ＣＤ⊥ｘ轴 于点Ｄ，ＣＤ＝２．６ｍ，求ＯＤ的长． １８．（１０分）为提高学生的综合素质，丰富学生的校 园生活，某学校的师生们要在一块一边靠墙（墙长１５米） 的空地上修建一个矩形劳动教育基地 ＡＢＣＤ，劳动教育 基地的一边靠墙，另三边用总长４０米的栅栏围成（如图 ８所示）．若设劳动教育基地的 ＢＣ边长为ｘ米，面积为 ｙ平方米． （１）判断该劳动教育基地的面积能否达到１５０平方 米？若能，请求出ｘ的值；若不能，请说明理由． （２）当ｘ是多少时，劳动教育基地面积ｙ最大？最大 面积是多少？ １９．（１２分）某商店出售一款商品，已知该商品的进 价为４０元 ／件，日销售量ｙ（件）与销售单价ｘ（元）之间 满足关系式为：ｙ＝－１０ｘ＋９００．该商品的销售单价、日 销售量、日销售利润的部分对应数据如下表： 销售单价ｘ（元） ７５ ７８ 日销售量ｙ（件） ａ １２０ 日销售利润ｗ（元） ５２５０ ｂ （１）表中ａ的值是 ，ｂ的值是 ； （２）求该商品日销售利润的最大值； （３）由于某种原因，该商品进价每件降低了ｍ元（ｍ ＞０），该商店在今后的销售中，规定该商品的销售单价 不低于６８元，日销售量与销售单价满足的函数关系式保 持不变，若日销售最大利润是６６００元，直接写出 ｍ的 值． ２０．（１２分）如图９，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线 ｙ＝－ｘ＋５与ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｂ，点Ｃ为抛 物线ｙ＝ａｘ２－２ａ２ｘ＋ａ３＋１２ａ的顶点． （１）用含ａ的代数式表示顶点Ｃ的坐标； （２）当顶点Ｃ在△ＡＯＢ内部，且Ｓ△ＡＯＣ ＝ ５ ２时，求 抛物线的表达式； （３）如果将抛物线向右平移１个单位，再向下平移 １ ２个单位后，平移后的抛物线的顶点Ｐ仍在△ＡＯＢ内， 求ａ的取值范围                                                                                                                                                                 ． ( ) * &" + , ! # ! $ & " * % ! % "# $% &' !"#$%&'()*+ &$'#('!)#!*% !",-%&'()*+ &$'#('!)##!' )*+,-.!"!"!"/0123(#!"!#4 ! ! !"#$ %&'( ! 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