第16期 26.1 二次函数 26.2.1 二次函数y=αx²的图象与性质 26.2.2 二次函数y=αx²+bx+C的图象与性质(第一课时)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 （上接４版参考答案） ２１．证明：（１）在平行 四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ． 因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ，所 以 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ．因为ＡＢ２ ＝ＢＦ·ＢＤ，所以ＡＢＢＤ＝ ＢＦ ＡＢ． 又因为 ∠ＡＢＤ＝∠ＦＢＡ， 所以 △ＡＢＦ∽ △ＤＢＡ，所 以 ∠ＦＡＢ＝∠ＡＤＢ，所以 ∠ＦＡＢ＝∠ＡＢＤ，所以 ＡＦ ＝ＢＦ，即点Ｆ在边ＡＢ的垂 直平分线上． （２） 由 （１） 可 知 ∠ＣＢＤ＝∠ＦＡＢ，又因为 ∠ＦＥＢ ＝ ∠ＢＥＡ，所 以 △ＦＥＢ∽ △ＢＥＡ，所以ＢＥＡＥ ＝ＢＦＡＢ．因为 ＡＢ ＢＤ＝ ＢＦ ＡＢ，所以 ＡＢ ＢＤ＝ ＢＥ ＡＥ．因为 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＢＤ，所以 ＡＢ＝ＡＤ，所 以 ＡＤ ＢＤ＝ ＢＥ ＡＥ，即ＡＤ·ＡＥ＝ ＢＥ·ＢＤ． 四、２２．３；　２３．－３或 ２９；　２４． 槡１２０３；　２５．槡 ７ ３． 五、２６．（１）ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－２，ｘ３ ＝１． （２） ２ｘ＋槡 ３＝ｘ，方 程的两边平方，得２ｘ＋３＝ ｘ２，即ｘ２－２ｘ－３＝０，所以 （ｘ－３）（ｘ＋１）＝０，所以ｘ －３＝０或ｘ＋１＝０，解得 ｘ１＝３，ｘ２＝－１，当ｘ＝－１ 时， ２×（－１）＋槡 ３ ＝１ ≠－１，所以ｘ＝－１不是原 方程 的 解． 所 以 方 程 ２ｘ＋槡 ３＝ｘ的解是ｘ＝３． （３） 因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝ ∠Ｄ ＝９０°，ＡＢ ＝ＣＤ ＝ ３ｍ．设ＡＰ＝ｘｍ，则ＰＤ＝ （８－ｘ）ｍ，因为ＢＰ＋ＣＰ＝ 书 上期１，２版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ａ 二、１３．１６００００；　１４．７０；　１５．－４；　１６．槡２５． 三、１７．ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ １ ２． １８．（１）图略．　（２）（５２， ９ ２）．　（３）图略． １９．电视塔的高度ＮＰ为９０ｍ． ２０．（１）本周他销售这种水果可获利２８８元． （２）不能获得５００元的利润，理由：依题意，得（ｘ－１０）· （－２ｘ＋８０）＝５００，整理，得 ｘ２－５０ｘ＋６５０＝０，因为 Δ＝ （－５０）２－４×１×６５０＝－１００＜０，所以该方程无实数根，所以 不能获得５００元的利润． ２１．（１）１４．　（２） ５ ６． 四、２２．７；　２３．２０２３；　２４．槡１７；　２５．２４０４４． 五、２６．（１）因为 ａ２ ＝（ ４＋槡槡 ７）２ ＝４＋槡７，ｂ２ ＝ （ ４－槡槡 ７）２ ＝４－槡７，所以ａ２＋ｂ２ ＝４＋槡７＋４－槡７＝８． （２）由（１）知ａ２＋ｂ２ ＝８， 因为 ａｂ＝ ４＋槡槡 ７ × ４－槡槡 ７ ＝ ４２－（槡７）槡 ２ ＝ １６－槡 ７＝３，所以（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２＝８＋６＝１４．所以 ａ＋ｂ＝±槡１４，因为ａ＞０，ｂ＞０，所以ａ＋ｂ＝槡１４． ２７．（１）ＡＢ＝ 槡２６． （２）ＢＣ＝２ＦＧ． 证明：连结ＢＦ，因为ＥＦ∥ＢＣ，所以∠ＡＦＥ＝∠Ｃ．因为∠Ｃ ＝∠ＡＢＤ，所以∠ＡＦＥ＝∠ＡＢＤ．又因为∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＢ，所以 △ＡＦＥ∽△ＡＢＤ．所以ＡＦＡＢ＝ ＡＥ ＡＤ，所以 ＡＦ ＡＥ＝ ＡＢ ＡＤ，所以△ＡＢＦ∽ △ＡＤＥ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝９０°，所以 ∠ＢＦＤ＝∠ＢＥＤ＝ ９０°，所以∠ＦＢＣ＝∠Ｃ＝４５°，所以ＦＢ＝ＦＣ．因为ＦＧ⊥ＢＣ，所 以ＢＣ＝２ＦＧ． ２８．（１）ＢＤ＝ＣＥ；９０． （２）结论：①ＢＤ＝槡３ＣＥ；②９０°．理由如下： 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３０°，所以 ∠ＡＣＢ＝６０°，所以 ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ＡＢＡＣ＝槡３，在Ｒｔ△ＡＤＥ中，∠ＡＤＥ＝３０°，所以∠ＡＥＤ ＝６０°，所以ｔａｎ∠ＡＥＤ＝ＡＤＡＥ＝槡３，所以 ＡＢ ＡＣ＝ ＡＤ ＡＥ，所以 ＡＢ ＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ．因为∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＤＡＣ＝∠ＤＡＥ －∠ＤＡＣ，所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，所以△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ，所以ＢＤＣＥ ＝ＡＢＡＣ＝槡３，所以 ＢＤ＝槡３ＣＥ．因为 △ＢＡＤ∽ △ＣＡＥ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ＝３０°，所以∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＝９０°． （３）因为∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＢＣ＝３０°，所以ＡＣ＝ ＡＢｔａｎ∠ＡＣＢ ＝１，ＢＣ＝ ＡＢｓｉｎ∠ＡＣＢ ＝２．因为 ∠Ｂ＝∠ＡＤＥ＝３０°，ＢＤ ＝ 槡３ＣＥ，四边形 ＡＤＣＥ为轴对称图形，所以 ∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＥ＝ ３０°，此时△ＡＤＥ，△ＣＤＥ关于ＤＥ对称，即△ＡＤＥ≌△ＣＤＥ，因 为∠Ｂ＝∠ＡＤＥ＝３０°，所以∠Ｂ＝∠ＣＤＥ＝３０°，所以ＡＢ∥ ＤＥ，所以∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ＝３０°，所以∠ＤＡＣ＝９０°－∠ＢＡＤ＝ ６０°，ＢＤ＝ＡＤ．因为ＡＤ＝ＣＤ，所以△ＡＤＣ是等边三角形，所以 ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ，所以ＢＤ＝ＡＣ＝１． 上期３，４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ 二、１３．０．８；　１４．３０°；　１５．１∶２；　１６．２或０． 三、１７．２－ 槡２３． １８．ＯＤ＝ 槡２３，ｔａｎ∠ＥＤＯ＝槡 ３ ３． １９．（１）进馆人次的月平均增长率为５０％． （２）由题意可得，第四个月的人数为２８８（１＋５０％）＝４３２ ＜５００．所以校图书馆能接待第四个月的进馆人次． ２０．（１）１６；２０． （２）１５０． （３）画树状图略．共有１２种等可能的结果，其中恰好选到一 男一女的结果有６种，所以恰好选到一男一女的概率Ｐ＝ ６１２＝ １ ２． （下转１，４版中缝） 书 重点集训营 题型一：函数图象 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在同一坐标系中，一次函数ｙ＝－ｋｘ＋｜ｂ｜与二 次函数ｙ＝ｘ２＋ｋ的图象可能是 （　　） ２．在同一直角坐标系中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ和二 次函数ｙ＝ｋ（ｘ＋ｂ）２的图象大致可能为 （　　） ３．已知二次函数ｙ＝ｘ２－２ 的图象如图所示，则坐标原点可 能是 （　　） Ａ．点Ｍ Ｂ．点Ｎ Ｃ．点Ｐ Ｄ．点Ｑ 题型二：比较大小 １．若Ａ（０，ｙ１），Ｂ（２，ｙ２），Ｃ（３，ｙ３）为二次函数ｙ＝ （ｘ－２）２＋ｍ图象上的三点，则ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ３ ＜ｙ２ Ｂ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ ２．已知Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）是抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ １）２－ａ（ａ≠０）上的点，下列命题正确的是 （　　） Ａ．若｜ｘ１－１｜＞｜ｘ２－１｜，则ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．若｜ｘ１－１｜＞｜ｘ２－１｜，则ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．若｜ｘ１｜＝｜ｘ２｜，则ｙ１ ＝ｙ２ Ｄ．若｜ｘ１－１｜＝｜ｘ２－１｜，则ｙ１ ＝ｙ２ ３．点Ａ（ｍ，ｙ１），Ｂ（ｍ＋１，ｙ２）都在二次函数ｙ＝（ｘ －１）２的图象上，若 ｙ１ ＜ｙ２，则 ｍ的取值范围是 ． 辅助线周周练 １．如图１，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｃ经过正方形ＯＡＢＣ的 三个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，点Ｂ在ｙ轴上，则ａｃ的值为 ． ２．如图２，点Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ在抛物线ｙ＝ｘ ２的图 象上，点 Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，…，Ｂｎ在 ｙ轴上，若 △Ａ１Ｂ０Ｂ１， △Ａ２Ｂ１Ｂ２，…，△ＡｎＢｎ－１Ｂｎ都为等腰直角三角形（点 Ｂ０ 是坐标原点），则△Ａ２０２４Ｂ２０２３Ｂ２０２４的腰长为 ． ! " # ! " ! " # # ! " # $ ! " # 书 一、ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象是一条抛物线，它 的对称轴是ｙ轴，顶点坐标是原点（０，０）． （１）用描点法作二次函数的图象：①列表；②描点； ③连线． （２）当ａ＞０和ａ＜０时，二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 的图象具有不同的性质，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 ｙ轴 （０，０）， 为最 低点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而减 小；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 增大 ａ＜０ 向下 ｙ轴 （０，０）， 为最 高点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而增 大；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 减小 抛物线ｙ＝ａｘ２的开口大小与｜ａ｜的关系非常密切， 当｜ａ｜越大时，抛物线的开口越小；当｜ａ｜越小时，抛物 线的开口越大． 二、ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象是一条 抛物线，它的对称轴是直线ｘ＝ｈ，顶点坐标为（ｈ，ｋ）．二 次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的性质与ａ，ｈ，ｋ的关 系密切，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 直线 ｘ＝ｈ （ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而减小； 当ｘ＞ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而增大； 当 ｘ＝ｈ时，ｙ有 最小值，其最小 值为ｋ ａ＜０ 向下 直线 ｘ＝ｈ （ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而增大； 当ｘ＞ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而减小； 当 ｘ＝ｈ时，ｙ有 最大值，其最大 值为ｋ 【对应练习见《重点集训营》】 书 二次函数的图象形象直观地反映了二次函数的性 质，含有大量的有用信息，是考查数形结合思想和获取 图象信息能力的好素材． 一、单图象问题 例１　函数ｙ＝ａｘ２＋ｂ（ａ≠０）与函数ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ ≠０）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （　　） 分析：本题考查的是一次函数与二次函数图象共存 的问题，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题 的关键．根据二次函数和一次函数的图象与性质分别得 出ａ，ｂ的符号，即可得答案． 解：Ａ．由二次函数图象可得ａ＞０，ｂ＞０，由一次函 数图象可得ａ＞０，ｂ＞０，故该选项符合题意； Ｂ．由二次函数图象可得ａ＜０，ｂ＞０，由一次函数图 象可得ａ＞０，ｂ＞０，故该选项不符合题意； Ｃ．由二次函数图象可得ａ＜０，ｂ＞０，由一次函数图 象可得ａ＞０，ｂ＜０，故该选项不符合题意； Ｄ．由二次函数图象可得ａ＞０，ｂ＞０，由一次函数图 象可得ａ＜０，ｂ＞０，故该选项不符合题意．故选Ａ． 例２　二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋ ３）２＋ｋ的图象如图１所示，已知 点 Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２）和 Ｃ（－６．５，ｙ３）都在该图象上，则 ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ３ ＞ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ３ ＞ｙ２ ＞ｙ１ Ｃ．ｙ２ ＞ｙ１ ＞ｙ３ Ｄ．ｙ２ ＞ｙ３ ＞ｙ１ 分析：根据函数表达式可知，其对称轴为直线 ｘ＝ －３，图象开口向下．根据二次函数图象的对称性，利用 在对称轴的左侧，ｙ随ｘ的增大而增大，可判断ｙ２＞ｙ１＞ｙ３． 解：由二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋３）２＋ｋ的图象可知对称 轴为直线ｘ＝－３，根据二次函数图象的对称性可知，点 Ａ（－１，ｙ１）与点（－５，ｙ１）对称，点Ｂ（－２，ｙ２）与点（－４， ｙ２）对称． 因为点（－５，ｙ１），Ｃ（－６５，ｙ３）与点（－４，ｙ２）在对 称轴的左侧，所以ｙ随ｘ的增大而增大． 因为 －４＞－５＞－６．５，所以ｙ２＞ｙ１＞ｙ３．故选Ｃ． 二、双图象问题 例３　如图２，抛物线ｙ１＝ ａ（ｘ＋２）２－３与 ｙ２ ＝ １ ２（ｘ－ ３）２＋１交于点 Ａ（１，３），过点 Ａ 作ｘ轴的平行线，分别交两条抛 物线于点Ｂ，Ｃ，则以下结论： ①无论ｘ取何值，ｙ２总是正数； ②ａ＝１； ③当ｘ＝０时，ｙ１－ｙ２ ＝４； ④２ＡＢ＝３ＡＣ， 其中正确的是 ． 分析：根据ｙ２ ＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１的图象在ｘ轴上方 即可得出 ｙ２的取值范围；把 Ａ（１，３）代入抛物线 ｙ１ ＝ ａ（ｘ＋２）２－３即可得出ａ的值；由抛物线与ｙ轴的交点求 出ｙ１－ｙ２的值；根据两函数的表达式直接得出ＡＢ与ＡＣ 的关系即可． 解：①因为抛物线ｙ２＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１开口向上，顶 点坐标在ｘ轴的上方，所以无论ｘ取何值，ｙ２的值总是正 数，故本结论正确； ②把Ａ（１，３）代入抛物线ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２） ２－３，得３ ＝ａ（１＋２）２－３，解得ａ＝ ２３，故本结论错误； ③由②可知，抛物线ｙ１的表达式为ｙ１ ＝ ２ ３（ｘ＋ ２）２－３，当ｘ＝０时，ｙ１ ＝ ２ ３×（０＋２） ２－３＝－１３，ｙ２ ＝ １２×（０－３） ２＋１＝１１２，所以ｙ１－ｙ２＝－ １ ３－ １１ ２ ＝ －３５６，故本结论错误； ④因为抛物线ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２） ２－３与ｙ２＝ １ ２（ｘ－ ３）２＋１交于点Ａ（１，３）， 所以ｙ１的对称轴为直线ｘ＝－２，ｙ２的对称轴为直线 ｘ＝３，所以Ｂ（－５，３），Ｃ（５，３），所以ＡＢ＝６，ＡＣ＝４， 所以２ＡＢ＝３ＡＣ，故本结论正确．故填①④． 练一练：已知二次函数 ｙ＝（ｘ－２ａ）２＋ａ－１（ａ为 常数），当 ａ取不同的值时， 其图象构成一个“抛物线 系”．如图 ３分别是当 ａ＝ －１，ａ＝０，ａ＝１，ａ＝２时 二次函数的图象，它们的顶 点在一条直线上，这条直线的表达式是 ． 书 二次函数是函数大家族中极为重要的成员，它的许 多性质在我们实际生活中有着广泛应用，因此同学们学 习时一定要深刻领会二次函数的概念，通过对问题情境 的分析确定二次函数的表达式，为运用二次函数及其性 质解决实际问题打下坚实的基础． 一、二次函数的概念 一般地，形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０） 的函数，叫做二次函数．其中，ｘ是自变量，ａ，ｂ，ｃ分别是 函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： （１）二次函数的自变量ｘ的最高次数是２； （２）特别要注意ａ≠０这一个条件．若ａ＝０，表达式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中就不含有二次项，它就成了一次函数 ｙ＝ｂｘ＋ｃ； （３）当ｂ＝０，ｃ＝０时，ｙ＝ａｘ２是特殊的二次函数． 例１　下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二 次函数？ （１）ｙ＝ｘ＋１ｘ；　（２）ｙ＝（３ｘ－１） ２－９ｘ２； （３）ｙ＝１０πｒ２；　（４）ｙ＝槡３ｘ ３＋２ｘ２－５； （５）ｙ＝３（ｘ－１）２＋２０２４；　（６）ｙ＝ １ ２ｘ２ ＋４ｘ． 分析：（１）的最高次数不是２，且含有自变量的式子 包含分式；（２）利用去括号与合并同类项后得ｙ＝－６ｘ＋ １，是一次函数；（３）是二次函数；（４）的自变量的最高次 数是３；（５）整理后可得ｙ＝３ｘ２－６ｘ＋２０２７，符合二次 函数的定义；（６）的最高次数是２，但含有自变量的式 子包含分式． 解：（３）（５）是二次函数，（１）（２）（４）（６）不是二次函数． 方法指导：识别二次函数的关键是：（１）函数的关 系式是整式；（２）经化简整理后，自变量的最高次数是 ２；（３）二次项系数不等于零． 二、建立二次函数模型 解有关二次函数的应用题，与一次函数应用题类 似，都是寻找等量关系，如总利润 ＝单件利润×数量，长 方形的面积 ＝长 ×宽等． 例２　如图，利用一面 墙（墙的长度为 ２０ｍ），用 ３４ｍ长的篱笆围成两个鸡 场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道１ｍ宽的 门，设ＡＢ的长为ｘｍ，两个鸡场的面积和为Ｓ，求Ｓ关于ｘ 的关系式． 分析：根据题意和图形可以表示出矩形的长，根据 面积 ＝长 ×宽即可求得Ｓ关于ｘ的关系式． 解：由题意可得，矩形的长为（３４－３ｘ＋２）ｍ， 所以Ｓ＝ｘ（３４－３ｘ＋２）＝ｘ（３６－３ｘ）＝－３ｘ２＋３６ｘ， 即Ｓ关于ｘ的关系式是Ｓ＝－３ｘ２＋３６ｘ（１６３≤ｘ＜１２）． 方法指导：列二次函数的表达式要遵循以下步骤： （１）审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，并把 未知量用字母表示；（２）找出已知量、未知量之间的数 量关系，用代数式表示；（３）找出等量关系，把文字语 言、图形语言等用等式表示，并把等式化为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ（ａ≠０）的形式． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " #! !!"#" $"% !" %&%'&(&')*( !"#$%&'" ()*+,-'. ! ! !"#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " !" #$% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! # " !$+, ! ) ! # %-% %-) %-& %-+) " ! , " &' ( ) " *+ ,-. ! " # ! " # ! " # !$& ! " # !$& /0!12345 6789:;<=> !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ' ( ) * + , .$ ! " # / " ! " # ! " # ! " # ! - " % # , " ) " . ! % .$ ! " # ! " ! " # ! " # ! " # / 0 1 2 ! # 3 . 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法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后 得出结论． 6<& "Ý#}j'> 书 １０ｍ，ＢＰ＝ ＡＰ２＋ＡＢ槡 ２， ＣＰ＝ ＣＤ２＋ＰＤ槡 ２，所以 ９＋ｘ槡 ２ ＋ （８－ｘ）２＋槡 ９ ＝１０，所 以 （８－ｘ）２＋槡 ９＝１０－ ９＋ｘ槡 ２，两边平方，得（８ －ｘ）２ ＋９ ＝１００－２０ ９＋ｘ槡 ２＋９＋ｘ２，整理，得 ５ ｘ２＋槡 ９＝４ｘ＋９，两边 平方并整理，得 ｘ２－８ｘ＋ １６＝０，即（ｘ－４）２＝０，所 以ｘ＝４．经检验，ｘ＝４是 方程的解． 答：ＡＰ的长为４ｍ． ２７．（１）ＡＤ的长度约 为１４千米． （２）由题意可得：ＢＣ ＝１０，ＣＤ＝１４，所以路线 ①的路程为ＡＤ＋ＤＣ＋ＢＣ ＝３８千米．过点Ｄ作ＤＦ⊥ ＡＢ于点Ｆ，因为 ＤＦ＝ＢＣ ＝１０，∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＮ＝ ４５°，∠ＤＦＡ＝９０°，所以 △ＤＡＦ为等腰直角三角 形，所以ＡＦ＝ＤＦ＝１０，所 以ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ＡＦ＋ ＤＣ ＝２４．由题意可得 ∠ＥＢＳ＝６０°，所以∠Ｅ＝ ６０°，所以 ＡＥ＝ ＡＢｔａｎ６０°＝ 槡８３，ＢＥ ＝ ＡＢ ｓｉｎ６０° ＝ 槡１６３，所以路线 ② 的路程 为ＡＥ＋ＢＥ≈４２千米，所以 路线①的路程 ＜路线 ② 的路程，故小明应该选择 路线①． ２８．（１）∠Ａ１Ｂ１Ｍ ＝ ５０°． （２）结论：ＡＭ＝Ａ１Ｍ． 理由：连结 ＣＭ，设 ＡＣ 交ＢＭ于点Ｏ．由旋转的性 质 可 知，∠ＢＣＢ１ ＝ ∠ＡＣＡ１，ＣＢ＝ＣＢ１，ＣＡ＝ ＣＡ１，所以 ＣＢ ＣＡ＝ ＣＢ１ ＣＡ１ ，所以 △ＢＣＢ１∽ △ＡＣＡ１，所以 ∠ＣＢＯ ＝ ∠ＯＡＭ．因为 ∠ＢＯＣ ＝ ∠ＡＯＭ，所以 △ＡＯＭ∽△ＢＯＣ，所以ＯＡＯＢ ＝ＯＭＯＣ，所以 ＯＡ ＯＭ ＝ ＯＢ ＯＣ．因 为∠ＡＯＢ＝∠ＭＯＣ，所以 △ＡＯＢ∽ △ＭＯＣ，所以 ∠ＯＡＢ ＝ ∠ＯＭＣ．因为 ∠ＯＡＢ＋∠ＯＣＢ＝９０°，所 以∠ＡＭＯ＋∠ＯＭＣ＝９０°， 所以 ∠ＡＭＣ＝９０°，所以 ＣＭ⊥ ＡＡ１．因为 ＣＡ ＝ ＣＡ１，所以ＡＭ＝ＭＡ１． （３）槡２． !"# !$"%&'( 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列函数中，是二次函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝２ｘ＋１ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋１ Ｃ．ｙ＝（ｘ－１）２－ｘ２ Ｄ．ｙ＝ １ ｘ２ ２．二次函数ｙ＝ｘ２－２的对称轴是 （　　） Ａ．直线ｘ＝０ Ｂ．直线ｘ＝１ Ｃ．直线ｘ＝２ Ｄ．直线ｘ＝－２ ３．若函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｍ的图象上有两点Ａ（０，ｙ１）， Ｂ（１，ｙ２），则 （　　） Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ１ ＝ｙ２ Ｄ．ｙ１，ｙ２的大小不确定 ４．已知二次函数ｙ＝－１４（ｘ－２） ２＋５，若ｙ随ｘ的 增大而减小，则ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≥２ Ｂ．ｘ≤２ Ｃ．ｘ≥－２ Ｄ．ｘ≤－２ ５．若抛物线ｙ＝－２（ｘ＋ｍ－１）２－３ｍ＋６的顶点在 第一象限，则ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．ｍ＜１ Ｂ．ｍ＜２ Ｃ．１＜ｍ＜２ Ｄ．－２＜ｍ＜－１ ６．已知抛物线ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｋ（ａ＜０，ａ，ｋ为常 数），Ａ（－３，ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２），Ｃ（２，ｙ３）是抛物线上三点， 则ｙ１，ｙ２，ｙ３由小到大依序排列为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｂ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１ ７．在正比例函数ｙ＝ｋｘ中，ｙ随ｘ的增大而减小，则 二次函数ｙ＝ｋ（ｘ－１）２的图象大致是 （　　） ８．如图１是二次函数ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象的一部分，对称 轴为直线ｘ＝ １２，且经过点（２，０）， 则下列结论错误的是 （　　） Ａ．ａｂｃ＜０ Ｂ．－２ｂ＋ｃ＝０ Ｃ．４ａ＋２ｂ＋ｃ＜０ Ｄ．若（－５２，ｙ１），（ ５ ２，ｙ２）是抛物线上的两点，则ｙ１ ＜ｙ２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．若二次函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘ２＋２ｘ＋ｍ２－２ｍ－３图 象经过原点，则ｍ的值为 ． １０．若点（０，０）是抛物线ｙ＝（ｍ＋１）ｘ２的最低点， 则ｍ的取值范围是 ． １１．已知关于ｘ的二次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ２－ｘ＋ｍ２ －１的图象经过原点，则ｍ的值为 ． １２．如图２，在平面直角坐标 系中，点 Ａ是抛物线 ｙ＝－（ｘ－ ｈ）２＋５上的任意一点，过点 Ａ作 ＡＢ∥ｘ轴交抛物线于点 Ｂ，若 ＡＢ ＝４，则点 Ｂ到 ｘ轴的距离为 ． １３．已知二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ，当ａ≤ｘ≤ｂ时，其最 小值为－１，最大值为３，则ｂ－ａ的最大值是 ． １４．如图３，抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ －３与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点（Ａ在左 边），与ｙ轴交于Ｃ点，Ｐ是线段ＡＣ 上的一点，连结 ＢＰ交 ｙ轴于点 Ｑ， 连结ＯＰ，当 △ＯＡＰ和 △ＰＱＣ的面 积之和与△ＯＢＱ的面积相等时，点 Ｐ的坐标为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的自变量ｘ与 函数值ｙ的对应值如下表，根据下表回答问题： ｘ … －３ －２ －１ ０ … ｙ … －２ －２ ０ ４ … （１）求出该二次函数的表达式； （２）写出向下平移２个单位后，图象所对应的二次 函数表达式． １６．（１０分）如图４，已知二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 与一次函数ｙ＝ｋｘ－２的图象相交于Ａ（－１，－１），Ｂ两 点． （１）ａ＝ ，ｋ＝ ； （２）求点Ｂ的坐标； （３）直接写出当ａｘ２ ＜ｋｘ－２时，ｘ的取值范围． １７．（１０分）如图５，二次函数ｙ＝（ｘ＋４）２的图象与 ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｂ． （１）在抛物线的对称轴上找一点 Ｃ，使得 ＢＣ＋ＯＣ 最小，求出Ｃ点的坐标； （２）在对称轴上是否存在一点Ｐ，使以Ｐ，Ａ，Ｏ，Ｂ为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Ｐ的坐标； 若不存在，请说明理由． １８．（１０分）如图６，抛物线ｙ＝２（ｘ－２）２与平行于 ｘ轴的直线交于点Ａ，Ｂ，抛物线顶点为 Ｃ，△ＡＢＣ为等边 三角形，求： （１）点Ｂ的坐标； （２）△ＡＢＣ的面积． １９．（１２分）如图７，已知二次函数ｙ＝ｘ２－ａｘ的对 称轴为直线ｘ＝２，过点Ａ（５，ｂ）． （１）直接写出ａ，ｂ的值； （２）若点Ｂ是抛物线对称轴上的一点，且点Ｂ在第 一象限，当△ＯＡＢ的面积为１５时，求Ｂ的坐标； （３）在（２）的条件下，Ｐ是ｙ轴上的点，当ＰＡ－ＰＢ的 值最大时，求Ｐ的坐标． ２０．（１２分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都 不大于ｎ（ｎ≥０）的点叫做这个函数图象的“ｎ阶方点”． 例如，点（１，１）是一次函数ｙ＝ｘ图象的“１阶方点”． （１）如图８，已知抛物线ｙ＝－（ｘ＋１）２＋４交ｙ轴于 点Ｃ，一次函数ｙ＝ａｘ＋２ａ＋３的图象交抛物线第二象限 于点Ｐ，点Ｑ为该一次函数图象的“１阶方点”． ①求△ＰＣＱ的面积的最大值； ②若一次函数ｙ＝ａｘ＋２ａ＋３图象的“１阶方点”有 且只有一个，求ａ的值； （２）若抛物线ｙ＝－（ｘ－ｍ）２－２ｍ＋２的“ｍ阶方 点”一定存在，求ｍ的取值范围                                                                                                                                                                 ． 书 ２６．１二次函数 １．若ｙ＝（ｍ－４）ｘ２－５ｘ＋３表示ｙ是ｘ的二次函 数，则ｍ的取值范围为 （　　） 　　 　 　　　 　　 　　　　 　　 　Ａ．ｍ≠０ Ｂ．ｍ＞４ Ｃ．ｍ＜４ Ｄ．ｍ≠４ ２．设ａ，ｂ，ｃ分别是二次函数ｙ＝－ｘ２＋３的二次项 系数、一次项系数、常数项，则 （　　） Ａ．ａ＝－１，ｂ＝３，ｃ＝０ Ｂ．ａ＝－１，ｂ＝０，ｃ＝３ Ｃ．ａ＝－１，ｂ＝３，ｃ＝３ Ｄ．ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝３ ３．正方形的边长为３，若边长增加ｘ，则面积增加ｙ， ｙ与ｘ的关系式为 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２＋６ｘ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋６ｘ＋９ Ｃ．ｙ＝ｘ２－６ｘ Ｄ．ｙ＝ｘ２－６ｘ－９ ４．若二次函数ｙ＝（２ｘ－１）２＋１的二次项系数为 ａ，一次项系数为 ｂ，常数项为 ｃ，则 ｂ２－４ａｃ ０（填“＞”“＜”或“＝”）． ５．若ｙ＝（ｍ＋１）ｘ｜ｍ｜＋１＋４ｘ－５是关于ｘ的二次函 数，则一次函数ｙ＝ｍｘ＋ｍ的图象不经过第 象 限． ６．根据下面的描述列出函数关系式，并判断列出 的关系式是否为二次函数． （１）正方体的体积ｙ与棱长ｘ之间的关系； （２）某商品在６月的售价为３０元，７月和８月连续 两次降价销售，平均每月降价的百分率为ｘ，该商品８月 的售价ｙ与ｘ之间的关系； （３）距离ｓ一定时，汽车匀速行驶的时间ｔ与速度ｖ 之间的关系； （４）等腰三角形的顶角度数ｙ°与底角度数ｘ°之间 的关系． ７．已知函数ｙ＝（ｍ＋３）ｘｍ２＋ｍ－４＋（ｍ＋２）ｘ＋３（其 中ｘ≠０）． （１）当ｍ为何值时，ｙ是ｘ的二次函数？ （２）当ｍ为何值时，ｙ是ｘ的一次函数？ ２６．２．１二次函数ｙ＝ａｘ２的图象与性质 １．在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ｘ２的开口方向 是 （　　） Ａ．向上 Ｂ．向下 Ｃ．向左 Ｄ．向右 ２．如图 １，与抛物线 ｙ＝ １ ３ｘ ２，ｙ＝２ｘ２，ｙ＝－１３ｘ ２，ｙ＝ －２ｘ２的图象对应的是 （　　） Ａ．①②④③ 　Ｂ．②①④③ Ｃ．①②③④ 　Ｄ．②①③④ ３．当ａｂ＞０时，ｙ＝ａｘ２与ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象大致 是 （　　） ４．已知二次函数ｙ＝（２－ｋ）ｘ２，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ 增大而增大，则实数ｋ的取值范围是 ． ５．已知点（－１，２）在二次函数ｙ＝ｋｘ２的图象上，则 ｋ的值是 ． ６．点Ａ（ａ２，ｙ１），Ｂ（－ａ ２－１，ｙ２）在二次函数ｙ＝２ｘ ２ 的图象上，比较ｙ１和ｙ２的大小为 ． ７．如图２，正方形ＯＡＢＣ的顶 点Ｂ在抛物线ｙ＝３ｘ２的第一象 限的图象上，若点 Ｂ的纵坐标是 横坐标的２倍，则对角线ＡＣ的长 为 ． ８．如图３，直线ｙ＝－ｘ＋ｂ与 ｙ轴交于点 Ａ，与抛物线 ｙ＝ａｘ２ 交于Ｂ，Ｃ两点，且点Ｂ的坐标为（２，２）． （１）求ａ，ｂ的值； （２）连结ＯＣ，ＯＢ，求△ＢＯＣ的面积． 能力提高 ９．如图４，直线ｙ＝－１２ｘ＋ｂ与抛物线ｙ＝ａｘ ２交 于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，其中点Ａ的坐标为（－４， ８）． （１）求ａ，ｂ的值； （２）若ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｃ，ＣＤ＝ＣＡ，试说明点Ｄ在抛 物线上． ２６．２．２二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 　　的图象与性质（第一课时） １．抛物线ｙ＝ｘ２＋５的顶点坐标是 （　　） Ａ．（０，５） Ｂ．（０，－５） Ｃ．（５，０） Ｄ．（－５，０） ２．在平面直角坐标系中，将二次函数ｙ＝（ｘ－１）２ ＋１的图象向左平移１个单位长度，再向下平移２个单 位长度，所得函数的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝（ｘ－２）２－１ Ｂ．ｙ＝（ｘ－２）２＋３ Ｃ．ｙ＝ｘ２＋１ Ｄ．ｙ＝ｘ２－１ ３．已知二次函数ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋５，当ｙ随ｘ的增大 而增大时，ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≤－１ Ｂ．ｘ≥１ Ｃ．ｘ≤１ Ｄ．ｘ≥－１ ４．下列关于二次函数ｙ＝－３（ｘ＋１）（ｘ－２）的图 象和性质的叙述中，正确的是 （　　） Ａ．点（０，２）在函数图象上 Ｂ．开口方向向上 Ｃ．对称轴是直线ｘ＝１ Ｄ．与直线ｙ＝３ｘ有两个交点 ５．已知二次函数ｙ＝－（ｘ＋ｈ）２，当ｘ＜－３时，ｙ随 ｘ的增大而增大，当ｘ＞－３时，ｙ随ｘ的增大而减小，当 ｘ＝０时，则ｙ的值为 ． ６．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＜０）经过Ａ（－４， １），Ｂ（２，１），Ｃ（－５，ｙ１），Ｄ（１，ｙ２）四点，则ｙ１与ｙ２的大 小关系是ｙ１ ｙ２（填“＞”“＜”或“＝”）． ７．如图１，在平面直角坐标系中， 点Ａ在抛物线ｙ＝（ｘ－１）２＋２上运 动，过点Ａ作ＡＢ⊥ｘ轴于点Ｂ．以ＡＢ 为斜边作Ｒｔ△ＡＢＣ，则ＡＢ边上的中线 ＣＤ的最小值为 ． ８．已知二次函数 ｙ＝２（ｘ－ｍ）２ －２（ｍ是常数）的图象经过点Ｐ（ａ，ｂ）． （１）若ａ＝３，ｂ＝６，求ｍ的值； （２）若点Ｐ到对称轴的距离为１，求ｂ的值． 能力提高 ９．如图２，抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｘ轴交于 Ａ（－２，０），Ｂ（４，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求抛物线和直线ＢＣ的表达式； （２）动点Ｍ，Ｎ从点Ｏ同时出发，都以每秒１个单位 长度的速度分别在线段ＯＢ，ＯＣ上向点Ｂ，Ｃ运动，过点 Ｍ作ｘ轴的垂线交ＢＣ于点Ｆ，交抛物线于点Ｈ，当四边 形ＯＭＨＮ为矩形时，求点Ｈ的坐标 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !" #$ %& !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# )*+,-.!"!"#!"!#!#/0123(4 ! ! !"#$ %&'( ! 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