第13期 25.1 在重复试验中观察不确定现象 25.2.1 概率及其意义 25.2.2 频率与概率（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 （上接４版参考答案） ×ｃｏｓ∠ＢＣＫ≈ １．６米， ＢＨ ＝ ＫＩ ＝ ＡＢ × ｓｉｎ∠ＢＡＨ≈２４米，１．６ ＋２．４＋１．３＝５３（米）， 所以车厢最高点Ｃ离地 面的距离为５．３米． （２）该货车不会发 生车辆倾覆安全事故， 理由：过点 Ｇ作 ＧＭ⊥ ＡＦ于点Ｍ，同（１）得ＣＩ ＝ＣＫ＋ＫＩ＝ ＢＣ× ｃｏｓ∠ＢＣＫ ＋ ＡＢ × ｓｉｎ∠ＢＡＨ＝２×槡２２＋４ ×槡２２ ＝ 槡３２（米）．在 Ｒｔ△ＣＩＡ中，ＣＩ＝槡３２米， ＡＣ ＝ ＢＣ２＋ＡＢ槡 ２ ＝ 槡２５米，所以由勾股定 理得 ＡＩ＝ ＡＣ２－ＣＩ槡 ２ ＝槡２米，因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以ＣＧ＝ ＡＧ，因为ＧＭ∥ＣＩ，所以 ＡＧ ＧＣ＝ ＡＭ ＭＩ，所以ＡＭ＝ＭＩ ＝１２ＡＩ＝ 槡２ ２≈０７０７１ ＞０７，所以该货车不会 发生车辆倾覆安全事故． 四、２２．（ 槡３６ ６ － ７２）；　２３． 槡２ ２；　２４．１ ＋槡２；　２５．槡 ５ ５． 五、２６．（１）ｓｉｎＢ＝ 槡５ ５． （２）因为ＣＤ＝槡５， ｓｉｎＢ＝槡５５，所以 ＡＢ＝ ２ＣＤ＝ 槡２５，所以ＡＣ＝ ２．因为 ∠ＣＡＨ＝∠Ｂ， 所以 ｓｉｎ∠ＣＡＨ＝ｓｉｎＢ ＝槡５５，设 ＣＥ＝ｘ（ｘ＞ ０），则 ＡＥ＝槡５ｘ，由勾 股定理，得 ｘ２ ＋２２ ＝ （槡５ｘ） ２，所以ＣＥ＝ｘ＝ １（负 值 舍 去）， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，因为ＡＢ＝ 书 近年对概率问题的考查，增加了同其他数学知识的 联系，展示了数学的整体性．现举例予以说明． 一、概率与三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，Ａ，Ｂ是由边长为１个单位长度的小正 方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其 余的格点中任意放置点Ｃ，恰好能使 △ＡＢＣ构成直角三 角形的概率是 ． 解析：由图２可知共有２３种等可能的结果，其中能 使△ＡＢＣ构成直角三角形的结果有 Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５， Ｃ６，Ｃ７，Ｃ８，共８种，所以恰好能使△ＡＢＣ构成直角三角形 的概率为 ８ ２３．故填 ８ ２３． 二、概率与一元二次方程 例２　若关于ｘ的方程ｘ２－３ｘ＋ｍ＝０有两个不相 等的实数根，且ｍ≥－３，则从满足条件的所有整数ｍ中 随机选取一个，恰好是负数的概率是 ． 解析：根据题意，关于ｘ的方程ｘ２－３ｘ＋ｍ＝０有两 个不相等的实数根，故该一元二次方程的根的判别式 Δ ＞０，即Δ＝（－３）２－４×１×ｍ＞０，解得ｍ＜９４，又因 为ｍ≥－３，所以 －３≤ｍ＜ ９４， 所以满足条件的所有整数为 －３，－２，－１，０，１，２共 ６个，其中负数有 －３，－２，－１共３个，所以从满足条件 的所有整数ｍ中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ３６ ＝ １２．故填 １ ２． 三、概率与轴对称图形 例３　有背面完全相同，正面分别有等边三角形、平 行四边形、菱形、正五边形、圆的卡片５张，正面朝下将其 混合后从中随机抽取一张，则抽中卡片上的图形是轴对 称图形的概率为 ． 解析：卡片中，轴对称图形有等边三角形、菱形、正 五边形、圆共４张，所以Ｐ＝ ４５．故填 ４ ５． 【对应练习见《重点集训营》】 书 上期２版 ２４．４解直角三角形（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｄ； ４．（１５０－ 槡５０３）；　５．（ ９ ２，６）；　６．１０５；　７．槡２３＋ 槡２２． ８．Ａ，Ｂ两点之间的距离约为１５６２米． 能力提高　９．（１）ＢＣ的长为 槡２２＋１． （２）因为ＡＥ是ＢＣ边上的中线，所以ＣＥ＝１２ＢＣ＝ 槡２＋ １ ２，所以ＤＥ＝ＣＥ－ＣＤ＝槡２－ １ ２，所以ｔａｎ∠ＤＡＥ ＝ＤＥＡＤ＝槡２－ １ ２． ２４．４解直角三角形（第二课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３． 槡１０３；　４．８；　５．５９． ６．（１）１６． （２）能实施有效救援，理由：当起重臂最长，转动张 角最大时，即ＡＣ＝３０米，∠ＣＡＥ＝１５０°，过点Ａ作ＡＧ⊥ ＣＦ于点Ｇ，则∠ＣＡＧ＝６０°，在 Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ＝ＡＣ· ｓｉｎ６０°＝３０×槡３２ ＝ 槡１５３≈２５５（米），所以ＣＦ＝ＣＧ＋ ＧＦ≈２５５＋４＝２９５（米）．因为２９５＞２６，所以能实施 有效救援． 能力提高　７．（１）乙山Ｂ处到河边ＣＤ的垂直距离为 ３６０米． （２）过点Ｂ作ＢＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ 于点Ｅ，过点Ａ作ＡＨ⊥ＢＦ于点Ｈ，则四边形ＡＥＦＨ为矩 形，所以ＨＦ＝ＡＥ＝１２０米，ＡＨ＝ＥＦ，所以ＢＨ＝２４０米． 由题意易得∠ＢＡＨ＝２５°，在 Ｒｔ△ＡＢＨ中，ｔａｎ∠ＢＡＨ＝ ＢＨ ＡＨ，所以 ＡＨ≈ ５１５米，所以 ＥＦ＝ＡＨ≈ ５１５米，在 Ｒｔ△ＡＣＥ中，易得ＣＥ＝５０米，由（１）易得ＤＦ＝２７０米， 所以ＣＤ＝１９５米．所以河ＣＤ的宽度约为１９５米． 上期３，４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ 二、１３．槡３；　１４．（２－２ｃｏｓα）；　１５． １２ １３；　１６．３０８． 三、１７．槡２３． １８．（１）ＢＤ＝１２． （２）ｔａｎＣ＝ ３２． １９．（１）Ｂ处距离小岛Ｃ的距离约为２２６海里． （２）过点Ｃ作ＣＮ⊥ＢＥ于点Ｎ，在Ｒｔ△ＢＣＮ中，因为 ∠ＣＢＮ＝４５°＋２５°＝７０°，ＢＣ＝ 槡１６２海里，所以ＣＮ＝ ＢＣ·ｓｉｎ∠ＣＢＮ≈２２．６×０９４≈２１２（海里），因为２１．２ ＞２０，所以能安全通过． ２０．（１）证明：由尺规作图可知，ＡＢ＝ＡＦ，ＡＥ是 ∠ＢＡＦ的角平分线，所以 ∠ＥＡＢ＝∠ＥＡＦ，在 △ＡＥＢ和 △ＡＥＦ中， ＡＢ＝ＡＦ， ∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＥ， ＡＥ＝ＡＥ { ， 所以 △ＡＥＢ≌ △ＡＥＦ，所 以ＢＥ＝ＥＦ，因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＢＥＡ＝∠ＦＡＥ，所以 ∠ＡＥＢ＝∠ＥＡＢ，所以 ＢＥ＝ＡＢ，因为 ＥＦ＝ＢＥ，ＡＢ＝ ＡＦ，所以ＡＢ＝ＢＥ＝ＥＦ＝ＡＦ，所以四边形 ＡＢＥＦ是菱 形． （２）１２． ２１．（１）过点Ｂ，Ｃ作ＢＨ⊥ＡＦ，ＣＩ⊥ＡＦ，垂足分别为 Ｈ，Ｉ，ＣＩ交ＡＢ于点Ｌ，过点Ｂ作ＢＫ⊥ＣＩ于点Ｋ，则四边形 ＢＨＩＫ是矩形，所以ＢＨ＝ＫＩ，因为∠ＣＬＢ＝∠ＡＬＩ，∠ＣＢＬ ＝∠ＬＩＡ，所以 ∠ＢＣＫ＝∠ＬＡＩ，因为斜坡 ＡＢ的坡角为 ３７°，即∠ＢＡＦ＝３７°，所以∠ＢＣＫ＝３７°，所以ＣＫ＝ＢＣ （下转１，４版中缝） 书 数学思想是数学知识的精髓，是数学的生命和灵 魂，是把知识转化为能力的桥梁．现举例说明本章中涉 及的数学思想． 一、整体思想 例１　如图１，在两个同心圆中，四条直径把大圆分 成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在灰色区域的 概率是 ． 解析：可将小圆绕圆心旋转４５°而圆环部分不动，如 图２所示，这样容易求出灰色区域的面积占大圆面积的 １ ２，即Ｐ（飞镖落在灰色区域）＝ １ ２．故填 １ ２． 二、分类思想 例２　若从 －２，－１，０，１，２中随机选取一个数作为 ｋ的值，则关于ｘ的方程ｋｘ２－ ２ｋ＋槡 ３·ｘ＋１＝０有实 数根的概率是 ． 解析：因为关于ｘ的方程ｋｘ２－ ２ｋ＋槡 ３·ｘ＋１＝０ 有实数根，分两种情况：①ｋ≠０，则Δ＝（－ ２ｋ＋槡 ３） ２ －４ｋ·１≥０且２ｋ＋３≥０，解得 －３２≤ｋ≤ ３ ２且ｋ≠ ０；②ｋ＝０，原方程化为 －槡３ｘ＋１＝０，有实数根． 综上，－３２≤ｋ≤ ３ ２，所以符合条件的 ｋ的值有 －１，０，１共３个，故方程有实数根的概率为 ３５．故填 ３ ５． 三、方程思想 例３　一个不透明的箱子中有５个红球和若干个黄 球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球 的概率为 １ ４，则这个箱子中黄球的个数为 个． 解析：设黄球的个数为 ｘ个，根据题意得 ５ｘ＋５＝ １ ４，解得ｘ＝１５． 经检验，ｘ＝１５不是方程的增根，所以ｘ＝１５是原 方程的解．故填１５． 书 １．从３６７，π，槡５，－ ３ 槡８中随机抽取一个数，此数是无 理数的概率是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１４ Ｂ． １ ２ Ｃ． ３ ４ Ｄ．１ ２．如图１是一个转盘，扇形１，２，４的圆心角分别是 ６０°，７０°，８０°，任意转动转盘，指针指向扇形３的概率是 （　　） Ａ．１２ Ｂ． ５ １２ Ｃ． １ ３ Ｄ． ４ ９ ３．如图２，在３×４的小正方形网格中，已有５个阴 影小正方形，任意再涂１个小正方形，使得６个阴影小 正方形是正方体展开图的概率为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． ４ ７ Ｃ． ５ ７ Ｄ． ２ ３ ４．从 －３，０，１，２这四个数中任取一个数作为一元 二次方程ａｘ２＋３ｘ－１＝０的系数ａ的值，能使该方程有 实数根的概率是 ． ５．如图３，是由智力玩具七巧 板的七块板拼成的正方形，其中 １，２，３，５，７号板是等腰直角三角 形，４号板是正方形，６号板是平 行四边形．若随机向正方形上投 掷一个米粒，那么米粒刚好停在７ 号板区域的概率是 ． 辅助线周周练 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＤＥ⊥ＡＣ交ＢＣ于点Ｅ， 点Ｆ在ＣＤ上，连结ＢＦ交ＤＥ于点Ｇ，且ＢＧ＝ＧＦ＝ＤＦ， 若ＡＣ＝ 槡６２，则ＢＣ的值为 ． ２．如图２，在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｄ＝６０°，ＣＤ＝４，Ｅ 为菱形内部一点，且ＡＥ＝２，连结ＣＥ，点Ｆ为ＣＥ中点， 连结ＢＦ，取 ＢＦ中点 Ｇ，连结 ＡＧ，则 ＡＧ的最大值为 ． 书 在试验过程中，经过大量的重复试验，得到的频率 可以近似地看作概率．利用这个知识点可以解决一些 问题． 一、估计概率 例１　某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制 成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约 为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．０．９５ Ｂ．０．９０ Ｃ．０．８５ Ｄ．０．８０ 解析：这种树苗成活的频率稳定在０．９，成活的概 率估计值约是０．９０． 故选Ｂ． 二、估计数量 例２　在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的 小球共４０个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸 球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在２５％ 和４５％，则口袋中白色球的个数可能是 （　　） Ａ．４个 Ｂ．８个 Ｃ．１２个 Ｄ．１６个 解析：由题意知，红色球的个数为 ４０×２５％ ＝ １０（个），黑色球的个数为４０×４５％ ＝１８（个）， 所以口袋中白色球的个数为 ４０－１０－１８＝ １２（个）． 故选Ｃ． 【练一练】 １．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如 下： 射击次数 ２０ ８０ １００ ２００ ４００１０００ “射中８环以上”的次数 １８ ６８ ８２ １６８ ３２７ ８２３ “射中８环以上”的频率 （结果保留两位小数） ０．９００．８５０．８２０．８４０．８２０．８２ 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时 “射中８环以上”的概率约是 （　　） Ａ．０．９０ Ｂ．０．８２ Ｃ．０．８５ Ｄ．０．８４ ２．某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进 行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从这批 芯片中取１００００个芯片，约有 个合格品． 抽查数ｎ １０００ ２０００ ３０００ ４０００ ５０００ 合格品数ｍ ９５７ １９２６ ２８６８ ３８４４ ４８１０ 合格品频率 ｍ ｎ ０．９５７ ０．９６３ ０．９５６ ０．９６１ ０．９６２ 答案：１．Ｂ；　２．９６００． ! !" #$% 书 在现实生活中，我们会遇到各种各样的事件．必然 事件——— 有些事情我们事先能肯定它一定会发生；不 可能事件———有些事情我们事先能肯定它一定不会发 生；随机事件 ——— 有些事情我们事先无法肯定它会不 会发生． 确定事件发生的可能性是确定的．不可能事件是永 远不会发生的事件，其发生的可能性为０；必然事件是在 一定的条件下一定发生的事件，其发生的可能性是 １００％． 根据随机事件发生的可能性的大小，我们把随机事 件又可分为：很可能发生事件（发生的可能性很大），可 能发生事件（有一定的可能性发生），不太可能发生事件 （发生的可能性很小）． 例１　下列事件中是随机事件的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．瓜熟蒂落 Ｂ．一箭双雕 Ｃ．缘木求鱼 Ｄ．石沉大海 解析：Ａ．瓜熟蒂落，这是必然事件，故 Ａ不符合题 意；Ｂ．一箭双雕，这是随机事件，故 Ｂ符合题意；Ｃ．缘木 求鱼，这是不可能事件，故 Ｃ不符合题意；Ｄ．石沉大海， 这是必然事件，故Ｄ不符合题意． 故选Ｂ． 例２　下列成语所描述的事件属于不可能事件的 是 （　　） Ａ．水落石出 Ｂ．水涨船高 Ｃ．水滴石穿 Ｄ．水中捞月 解析：Ａ．水落石出是必然事件，不符合题意；Ｂ．水 涨船高是必然事件，不符合题意；Ｃ．水滴石穿是必然事 件，不符合题意；Ｄ．水中捞月是不可能事件，符合题意． 故选Ｄ． 例３　下列事件中，是必然事件的是 （　　） Ａ．射击运动员射击一次，命中靶心 Ｂ．掷一次骰子，向上一面的点数是６ Ｃ．任意买一张电影票，座位号是２的倍数 Ｄ．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球 解析：Ａ．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事 件，故Ａ不符合题意；Ｂ．掷一次骰子，向上一面的点数是 ６，是随机事件，故Ｂ不符合题意；Ｃ．任意买一张电影票， 座位号是２的倍数，是随机事件，故Ｃ不符合题意；Ｄ．从 一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事 件，故Ｄ符合题意． 故选Ｄ． ! &' ()* ! "# +,- $ ! "# ./0 $ % & '# 12- $ ! "# 3 4 $ ! "# 5 6 &'()*# 1 7 +,()*# 189 &-.)/# : ; &-.01# <=> /?@ A B CDE F G HIJ .KL FM8 N = OPE QR, AST USV .,$ W6X YZB [ J \]^ /_` 2*&'# Aab 2*34# / _ 56&'# aSc 78&'# def 9:;<# ghi """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" = > %= !!"# > ?>@ !" !"!#A$B!%C !"#$%&'" ()*+,-'. " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! & ! ! !! ! !"#$ jkl !m"nXop "#$% %&'()*+, #qrstsn ' #uUs{n #|}~€y")(&*(!+&!(% #qr‚yƒ"„…†‡Dˆ‰Š‹Œ &)!Žr‘XŽ’“}~ #”)“•y")"""% #‡–—˜r™šy")(&#(!+&&!( ")(&#(!+&!)+›œp #˜žyŸ qr‡–~‚¡¢£¤¥¦”§›̈ p #”)˜ž™šy&&&,( #©ª«¬˜­®˜¯°˜ #qr±£¤¥„j‡p²³´µ¶r #·¸¹º»©¼y&#""""#"""&&" #·¸—€y")(&#(!+&!(( #qr½&¾¿ÀœÁÂÃÄÅÆǛÈɇÊˉÌÍÎÏÐÑÒÓ && pÔÂÕÖÄÂ×ØÙÚÛ՟ qr‡–~‚¡ÜÝ ‘XŽ’Þß¿àáXâã !" v ! sä /åæ !"!#$ %& & "'$( "'$" "',( "'," " &" &! &#! # % , " # ! $ $ , " $ % $ + $ ( $ ## $ ) $ ! $ & ! ! ! çè 1 % éê#qrëÛì ›íâîïðkvp """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""" # " $ % & ' ( ! ! ) " $ % & ' ( ! $ ! & # ) ! $ ! ! + # ) ! ( % & ! ) ƒ"àñá’òó ƒ"ôá³õÑҜÁö÷ ƒ"àáøù¹ºÄÅÆÇòú Žr“}{n ûy+,- ¤üýþÿ!{n"y-.&#*"+"+/›0p ”#$y!&*!"+ !('& %&'()X*+,-w./ !('!'& 012345 !('!'!61 01 ò7ü81'()*+,-./0123/01 456/07689 :;<=>?@A BCDEAF>@A' 书 【提示】 １．连结ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ，连结ＯＧ，令ＡＣ与ＢＦ交 于点Ｍ，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对 顶角相等和余角的性质可得∠ＯＭＧ＝∠ＣＭＦ＝ ∠ＡＣＤ＝∠ＣＯＧ，设ＯＧ＝ｘ，ＤＦ＝２ｘ，则ＯＧ＝ＧＭ ＝ＭＦ＝ＦＣ＝ｘ，解方程求出ｘ的值，利用勾股定理 即可求出ＢＣ的值． ２．连结ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ，连结ＦＯ，取ＯＢ的中点 Ｈ，连结ＨＧ和ＡＨ，易证得ＯＦ和ＧＨ分别为△ＡＣＥ和 △ＢＯＦ的中位线，求得ＯＦ和ＧＨ的长度，在Ｒｔ△ＯＡＨ 中，利用勾股定理求得ＡＨ的长，再利用三角形的三 边关系可得，当ＡＧ＝ＡＨ＋ＨＧ时有最大值． 书 槡２５，ＡＣ＝２，所以由勾 股定理得ＢＣ＝４，所以 ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝３． ２７．（１）点 Ａ到墙 面的距离约为４．４ｃｍ． （２）过点 Ｂ作 ＢＧ ∥ＣＤ，过点Ｄ作ＤＧ⊥ ＢＧ，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＧ， 交ＣＤ于点Ｅ，过点Ｏ作 ＯＨ⊥ＢＧ于点 Ｈ，因为 花洒的最高点Ｂ与身高 １７５ｃｍ人的头顶的铅垂 距离为１５ｃｍ，所以 ＢＧ ＝ １５ ＋ １７５ ＝ １９０（ｃｍ），因为 ∠ＣＯＡ ＝２６°，ＯＡ＝１０ｃｍ，所 以 ＯＥ ＝ＡＯｃｏｓ∠ＥＯＡ ≈９．０ｃｍ，∠ＥＡＯ＝９０° －∠ＣＯＡ＝６４°，所以 ∠ＯＡＦ＝１８０°－∠ＥＡＯ ＝１１６°，所以 ∠ＢＡＦ＝ ∠ＯＡＢ－∠ＯＡＦ＝３０°， 所以ＢＦ＝ＡＢｓｉｎ３０°＝ ４ｃｍ． 因 为 四 边 形 ＯＥＦＨ为矩形，所以 ＦＨ ＝ＯＥ＝９０ｃｍ，所以 ＨＧ＝ＢＧ－ＢＦ－ＦＨ＝ １７７ｃｍ，因为四边形 ＯＨＧＤ为矩形，所以 ＯＤ ＝ＨＧ＝１７７ｃｍ． 答：旋转头的固定 点Ｏ与地面的距离约为 １７７ｃｍ． ２８．（１）过点 Ｂ作 ＢＦ⊥ＣＨ，垂足为 Ｆ，延 长ＡＤ交 ＢＦ于点 Ｅ，则 ＡＥ⊥ ＢＦ，垂足为 Ｅ，在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，因为ＡＢ＝ ４８ｍ，∠ＢＡＥ ＝２２°， ｓｉｎ∠ＢＡＥ＝ＢＥＡＢ，所以 ３ ８≈ ＢＥ ４．８，解得 ＢＥ≈ １．８ｍ，因为ＥＦ＝ＤＨ＝ １２ｍ，所以ＢＦ＝ＢＥ＋ ＥＦ＝３ｍ．所以点 Ｂ到 海面ＨＣ的距离为３ｍ． （２）过点 Ｂ作 ＢＮ ⊥ＯＨ，垂足为 Ｎ，延长 ＡＤ交ＢＮ于点Ｍ，则ＡＭ ⊥ ＢＮ，垂足为 Ｍ．在 Ｒｔ△ＢＡＭ 中，ＡＢ ＝ ４８ｍ，∠ＢＡＭ ＝ ５３°， ｃｏｓ∠ＢＡＭ ＝ ＡＭＡＢ， ｓｉｎ∠ＢＡＭ ＝ＢＭＡＢ，所以 ３ ５≈ ＡＭ ４．８， ４ ５≈ ＢＭ ４８，解 得ＡＭ≈２８８ｍ，ＢＭ＝ ３８４ｍ，因 为 ＡＤ ＝ ０４ｍ，ＭＮ ＝ ＤＨ ＝ １２ｍ，所以 ＤＭ ＝ＡＭ －ＡＤ＝２．４８ｍ，ＢＮ ＝ ＢＭ＋ＭＮ＝５．０４ｍ，在 Ｒｔ△ＢＯＮ 中，ＯＢ ＝ ５４６ｍ，由勾股定理，得 ＯＮ＝ ＯＢ２－ＢＮ槡 ２ ＝ ２１ｍ，所以ＯＨ＝ＯＮ＋ ＨＮ ＝ ＯＮ ＋ＤＭ ＝ ４．５８ｍ．所以点 Ｏ到岸 边ＤＨ的距离为４．５８ｍ． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．黄河入海流 Ｂ．大漠孤烟直 Ｃ．汗滴禾下土 Ｄ．手可摘星辰 ２．从 －１３，０，５，π，槡６中随机任取一数，取到无理数 的概率是 （　　） Ａ．１５ Ｂ． ２ ５ Ｃ． ３ ５ Ｄ． ４ ５ ３．用如图１所示两个可自由转动的转盘做游戏：分 别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为６的概率是 （　　） Ａ．１２ Ｂ． １ ３ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ３ ４ ４．如图２，在３×３的正方形网格中，点Ａ，Ｂ在格点 （网格线的交点）上，在其余１４个点上任取一个点Ｃ，使 △ＡＢＣ成为以ＡＢ为腰的等腰三角形的概率是 （　　） Ａ．１７ Ｂ． ２ ７ Ｃ． ３ １４ Ｄ． ３ ７ ５．一个口袋里只有黑球１０个和若干个黄球，从口袋 中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀， 重复上述过程，共试验２００次，其中有１２０次摸到黄球， 由此估计袋中共有球的个数是 （　　） Ａ．６ Ｂ．１０ Ｃ．１５ Ｄ．２５ ６．从标有数字１～２０的２０张卡片中任意抽取一张， 下列事件中，可能性最大的是 （　　） Ａ．卡片上的数字是质数 Ｂ．卡片上的数字是２的倍数 Ｃ．卡片上的数字是合数 Ｄ．卡片上的数字是３的倍数 ７．在一个不透明袋子中装有１２个只有颜色不同的 球，其中１个红球、５个黄球、２个蓝球和４个绿球，从中任 意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图３所示， 则该球的颜色最有可能是 （　　） Ａ．红色 Ｂ．黄色 Ｃ．蓝色 Ｄ．绿色 ８．如图４，背面图案、形状大小都相同的四张卡片的 正面分别记录着有关函数ｙ＝２ｘ－４的四个结论，现将 卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确 的概率是 （　　） 图象经过一、 三、四象限 　 ｙ随ｘ的增 大而增大 　 与ｘ轴的交点 为（０，－４） 　 当０＜ｘ＜２时 －４＜ｙ＜０ 图４ Ａ．１４ Ｂ． １ ２ Ｃ． ３ ４ Ｄ．１ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．“氢气在氧气中燃烧生成水”，这是 事件 （填“随机”“不可能”或“必然”）． １０．某路口红绿灯的设置时间为红灯３０秒，绿灯若 干秒，黄灯３秒，若遇到绿灯的概率为２０３１，则绿灯的时长 为 秒． １１．赤壁青砖茶，色泽青褐，香气纯正，滋味醇和，饮 用青砖茶，除生津解渴外，还具有清新提神，帮助消化， 杀菌止泻等功效．赤壁青砖茶因具有得天独厚的生长条 件，悠久的历史和独特的制作工艺，茶产业已成为赤壁 市农业特色产业之一，下表是赤璧市某茶叶种植合作社 茶树种植成活情况统计表： 种植茶树棵数 ３０００ ５０００ ８０００１００００２００００５００００ 成活棵数 ２８５６ ４６８０ ７４７２ ９３７１１８８４２４７０５０ 成活率 ０．９５２０．９３６０．９３４０．９３７０．９４２０．９４１ 根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的 概率为 （结果保留两位小数）． １２．已知一元二次方程ｘ２＋２ｘ＋ｃ＝０，随机从 －２， －１，１，２四个数中选一个作为ｃ的值，则可以使得该方程 有解的概率为 ． １３．在一只不透明的口袋中放入ａ个除颜色外其它 完全相同的球，其中黑球有２个，每次搅匀后随机从中 摸出一个球，记下颜色再放回口袋中．通过大量重复试 验后发现，摸到黑球的频率在 １ ８附近摆动，则放入口袋 中球的总数为 ． １４．若有七张完全一样的卡片正面分别写有 －１， －２，－３，０，１，２，３，现背面向上，任意抽取一张卡片，其 上面的数字作为ｋ的值能使关于ｘ的分式方程ｋ－１ｘ－１＝２ 的解为正数，且使反比例函数ｙ＝３－ｋｘ 图象过第一、三 象限的概率为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）在一个不透明的口袋中装有大小、形状 一模一样的５个红球，３个蓝球和２个白球，它们已经在 口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能 事件还是必然事件． （１）从口袋中一次任意取出５个球，全是蓝球； （２）从口袋中一次任意取出５个球，只有蓝球和白 球，没有红球； （３）从口袋中一次任意取出６个球，恰好红、蓝、白 ３种颜色的球都齐了． １６．（１０分）某商场举行有奖销售，发行奖券 ５０００张，其中设一等奖２个、二等奖８个、三等奖４０个、 四等奖２００个、五等奖１０００个．有一位顾客购物后得到 一张奖券，问这位顾客： （１）获得一等奖的概率是多少？ （２）获奖的概率是多少？ １７．（１０分）小红打算选择一家快餐店订外卖．他借 助网络评价，选择了 Ａ，Ｂ，Ｃ三家快餐店，对每家快餐店 随机选择１０００条网络评价统计如表： 等级评价条数快餐店 五星 四星 三星及三星以下 合计 Ａ ４１２ ３８８ ｘ １０００ Ｂ ４２０ ３９０ １９０ １０００ Ｃ ４０５ ３７５ ２２０ １０００ （１）求ｘ值； （２）当客户给出评价不低于四星时，称客户获得良 好用餐体验．请你为小红从 Ａ，Ｂ，Ｃ中推荐一家快餐店， 使得能获得良好用餐体验可能性最大．写出你推荐的结 果，并说明理由． １８．（１０分）下表是某芯片生产厂质检部门对该厂 生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 ５００ １０００ １５００ ２０００ ４０００ 合格数 ４７２ ９４８ １４２５ ｂ ３８０４ 合格品的频率 ａ ０．９４８ ０．９５０ ０．９４９ ０．９５１ （１）求出表中ａ＝ ，ｂ＝ ； （２）从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率 约是 （精确到０．０１）； （３）如果要生产４７５０个合格的芯片，那么该厂估 计要生产多少个芯片？ １９．（１２分）如图５，现有一个圆形转盘被平均分成 ６份，分别标有３，４，５，６，７，８这六个数字，转动转盘，当 转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针 指向分界线，则重新转），求： （１）转到数字５是 事件（填“随机”“必然” 或“不可能”）； （２）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多 少？ （３）若小明转动两次后分别转到的数字是３和７，小 明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作 为三条线段（长度单位均相同），求这三条线段能构成三 角形的概率． ２０．（１２分）某商场有一个可以自由转动的圆形转 盘（如图６）．规定：顾客购物１００元以上可以获得一次转 动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就 获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指 向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数ｎ １００ １５０ ２００ ５００ ８００ １０００ 落在“铅笔”的次数ｍ ６８ １１１ １３６ ３４５ ５４６ ７０１ 落在“铅笔”的频率 ｍ ｎ ０．６８ ０．７４ ０．６８ ０．６９ ０．６８ ０．７０ （１）转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为 （结果保留小数点后一位）； （２）经统计，该商场每天约有５０００名顾客参加抽 奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为４元，支出的铅笔 和饮料的奖品总费用是８０００元，请计算该商场每支铅 笔和每瓶饮料的费用； （３）在（２）的条件下，该商场想把每天支出的奖品 费用控制在６０００元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的 圆心角应调整为多少度                                                                                                                                                                 ． 书 ２５．１在重复试验中观察不确定现象 （第一课时） １．在足球比赛中，“某队点球不进”这一事件是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．随机事件 Ｂ．必然事件 Ｃ．不可能事件 Ｄ．无法确定 ２．不透明的袋子中装有３个白球和１个黑球，这些 球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出２个 球，下列事件是必然事件的是 （　　） Ａ．２个球都是白球 Ｂ．２个球都是黑球 Ｃ．２个球中有白球 Ｄ．２个球中有黑球 ３．在一口锅里有外表一样的汤圆，其中７个是花生 馅的，５个是黑芝麻馅的，８个是豆沙馅的，小文随意捞 起一个，捞到可能性最大的汤圆是 （　　） Ａ．花生馅汤圆 Ｂ．黑芝麻馅汤圆 Ｃ．豆沙馅汤圆 Ｄ．无法确定 ４．“ａ是实数，则｜ａ｜≥０”这一事件是 事 件（填“必然”“不可能”或“随机”）． ５．下列事件：① 任意画一个三角形，其内角和为 １８０°；②在平面内任意画两条直线，则其位置关系是相 交；③掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是６，其 中是随机事件的是 （填序号）． ６．如图，质地均匀的小立方体的 一个面上标有数字１，两个面上标有 数字２，三个面上标有数字３，抛掷这 个小立方体，则向上一面的数字可能 性最大的是 ． 能力提高 ７．盒中装有红球、黄球共１０个，每个球除颜色外其 余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请 你按要求设计出装球方案： （１）“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （２）“摸到红球”是必然事件； （３）“摸到两个黄球”是随机事件； （４）“摸到两个黄球”是确定事件． ２５．１在重复试验中观察不确定现象 （第二课时） １．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了１００次，“正 面朝上”的频数为５３，则“正面朝上”的频率为（　　） Ａ．０．４７ Ｂ．０．５３ Ｃ．４７ Ｄ．５３ ２．在对某次试验数据的整理过程中，某个事件出 现的频率随试验的次数变化的折线统计图如图所示， 这个图中折线变化的特点是 ， 根据折线统计图可知该事件发生的频率稳定在 左右（精确到小数点后一位）． ３．小颖和小红在做投掷骰子（质地均匀的正方体） 试验时，他们共做了６０次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 １ ２ ３ ４ ５ ６ 出现的次数 ７ ９ ６ ８ ２０ １０ （１）计算“３点朝上”的频率和“５点朝上”的频率； （２）小颖说：“根据试验，一次试验中出现５点朝上 的可能性最大．”小红说：“如果投掷６００次，那么出现６ 点朝上的次数正好是１００次．”小颖和小红的说法正确 吗？为什么？ ２５．２．１概率及其意义 １．一道选择题有 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个答案，其中有且只 有一个正确选项，在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ中随意选择一个选项，所 选选项恰好正确的概率是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１４ Ｃ． １ ２ Ｄ．１ ２．边长为４ｃｍ的正方形纸上有一半径为１ｃｍ的圆 形阴影，随机往纸上投针，则针落在阴影部分的概率是 （　　） Ａ．π４ Ｂ． １ ４ Ｃ． π １６ Ｄ． １ １６ ３．在一个不透明的袋中装有２个黄球、３个黑球和 ５个红球，它们除颜色不同外，其他都相同，现将若干个 红球放入袋中，与原来的１０个球均匀混合在一起，使从 袋中随机摸出１个球是红球的概率为 ２３，则后来放入袋 中红球的个数是 （　　） Ａ．４个 Ｂ．５个 Ｃ．６个 Ｄ．１０个 ４．１６世纪，意大利学者吉罗拉美·卡尔达诺是第 一个系统地推算概率的人，他最初研究的是“掷骰子” 游戏中的概率问题．若抛掷一枚均匀的正四面体骰子， 骰子每个面上分别刻有１，２，３，４，则骰子着地一面的点 数为偶数的概率为 ． ５．我国北方有一个习俗：过年包饺子时会随机在 饺子中包上糖果或硬币，我们称其为“幸运饺子”．吃到 “幸运饺子”的人新的一年的日子会甜甜美美、万事如 意．小亮家共煮了６０个饺子，其中有４个“幸运饺子”， 小亮从中随机挑选了一个饺子正好是“幸运饺子”的概 率是 ． ６．如图是一个可以自由转动 的质地均匀的转盘，被分成１２个相 同的小扇形．若把某些小扇形涂上 红色，使转动的转盘停止时，指针 指向红色的概率是 １ ３，则涂上红色 的小扇形有 个． ７．已知一靶中心５０环的半径ｒ＝１０ｃｍ，３０环的半 径Ｒ１ ＝２０ｃｍ，１０环的半径Ｒ２ ＝４０ｃｍ，如果每弹都打 在靶上并取得环数，求： （１）击中靶上５０环的可能性； （２）击中３０环或５０环的可能性； （３）击中１０环的可能性． ２５．２．２频率与概率 １．口袋中有白球和红球共１０个，这些球除颜色外 其它都相同．小明将口袋中的球搅匀后随机从中摸出 一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继续重复这一过 程，共摸了１００次，结果有４０次是红球，请你估计下一 次操作摸到红球的概率是 （　　） Ａ．０．３ Ｂ．０．４ Ｃ．０．５ Ｄ．０．６ ２．一对夫妇都能卷舌，他们的基因型皆为 Ｒｒ（Ｒ为 显性基因，ｒ为隐性基因），则他们的子女能卷舌（基因 型为ＲＲ和Ｒｒ）的概率是 （　　） Ａ．１２ Ｂ． ３ ４ Ｃ． １ ４ Ｄ．０ ３．小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中 的鱼的总数进行评估，第一次捞出１００条，将每条鱼标 上记号放入水中，待它们充分混入鱼群后，又捞出 ２００条，其中带有记号的鱼有５条，则鱼池中估计有鱼 条． ４．在一个不透明的布袋中，有三个除颜色外其它 均相同的小球，其中两个黑色，一个红色． （１）先从袋中拿出一个黑色小球，请用树状图求出 小明和小红从袋中剩下的小球中，有放回地各取一次， 小球颜色不同的概率； （２）如果老师在布袋中加入若干个红色小球，然后 小明通过做试验的方式猜测加入的小球数，小明每次 摸出一个小球记录下颜色并放回，试验数据如下表： 试验次数 １００ ２００ ３００ ４００ ５００ １０００ 摸出红球 ７８ １４７ ２２８ ３０４ ３７３ ７５１ 请你帮小明算出老师放入了多少个红色小球 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !"#$%&'()"*+ !" , !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ -.#/0123 45*6789,: %&'( ! 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