第11期 24.1 测量 24.2 直角三角形的性质 24.3 锐角三角函数（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 １０期参考答案 一、１．Ｄ；　２．Ｄ； ３．Ｃ；　４．Ｂ；　５．Ｂ； ６．Ａ；　７．Ｃ；　８．Ｄ； ９．Ｂ；　１０．Ｂ；　１１．Ａ； １２．Ｂ． 二、１３．１２５；　１４．２∶ １；　１５．１２；　１６．４． 三、１７．不一定相似， 理由略． １８．（１）图略． （２）３∶１． （３）９＋ 槡３５＋ 槡３２． １９．证明：（１）略． （２）因为梯形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ，又因为 ∠ＢＣＥ ＝ ∠ＡＢＤ， 所 以 ∠ＤＢＣ ＝ ∠ＤＣＥ， 因 为 ∠ＢＤＣ ＝ ∠ＣＤＥ， 所 以 △ＤＥＣ∽△ＤＣＢ，所以ＤＥＣＤ＝ ＣＤ ＤＢ，所以ＣＤ ２＝ＤＥ·ＤＢ． ２０．这条河的宽度为 ３０米． ２１．（１）证明：因为ＡＤ ⊥ ＢＣ，ＤＥ⊥ ＡＣ，所 以 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＤ＝９０°．因 为∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＥ，所以 △ＤＡＥ∽ △ＢＡＤ，所以ＤＡＡＢ ＝ＡＥＡＤ，所以 ＡＤ ２ ＝ＡＢ· ＡＥ． （２）ＡＧＤＧ的值为 ３ ２（提 示：证△ＡＧＥ∽△ＤＧＦ）． 四、２２．１４４；　２３．５× （ ３ ２） ２ｎ－２；　２４．２， 槡２ １３３ ； 　２５．２或 ２３． 五、２６．（１）明德楼的 高ＰＡ为１２米． （２）塑像 ＥＦ的影长 ＦＮ为４米． ２７．（１）２０１３或 ８ ７． （２）过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ ＡＢ于点 Ｆ，设运动时间为 ｔ秒时，ＣＤ⊥ＤＥ，则ＡＤ＝ ｔｃｍ，ＢＤ＝（４－ｔ）ｃｍ，ＢＥ ＝ ２ｔｃｍ，ＣＥ ＝ （５ － ２ｔ）ｃｍ（０≤ｔ≤ ５２）．因为 ∠Ｂ ＝ ∠Ｂ，∠ＥＦＢ ＝ ∠ＣＡＢ ＝ ９０°， 所 以 Ｒｔ△ＢＦＥ∽Ｒｔ△ＢＡＣ，所以 书 重点集训营 １．在直角三角形中，３０°角对的直角边是斜边的一 半．若ｓｉｎ（α＋２０°）＝ １２，则α的度数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４０° Ｂ．３０° Ｃ．２０° Ｄ．１０° ２．已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝槡３３，则 ∠Ｂ的度数是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．７５° ３．已知α为锐角，若槡３ｔａｎ ２α－４ｔａｎα＋槡３＝０，则 α的度数为 ． ４．在△ＡＢＣ中，（２ｃｏｓＡ－槡２） ２＋｜１－ｔａｎＢ｜＝０， 则△ＡＢＣ的形状是 ． ５．如图，在等腰 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＣ， 若ＡＢ＝１，求ＢＣ的长． 辅助线周周练 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１０， ＡＣ＝２０，Ｄ为ＡＢ的中点，连结ＣＤ，将△ＢＣＤ沿ＣＤ翻 折得到△Ｂ′ＣＤ，Ｂ′Ｄ交ＡＣ于点Ｅ，则ＤＥＥＢ′＝ ． ２．如图２，ｓｉｎ∠Ｏ＝３５，长度为２的线段ＤＥ在射线 ＯＢ上滑动，点Ｃ在射线ＯＡ上，且ＯＣ＝５，△ＣＤＥ的两 个内角的角平分线相交于点Ｆ，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＤＥ，垂 足为Ｇ，则ＦＧ的最大值为 ． 【提示】 １．过点Ｂ作ＢＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＤ 于点Ｆ，由勾股定理可求ＡＢ的长，由锐角三角函数的 定义可求 ＢＨ，ＣＨ，ＤＨ的长，由折叠的性质可得 ∠ＢＤＣ＝∠Ｂ′ＤＣ，Ｓ△ＢＣＤ ＝Ｓ△ＤＣＢ′，利用锐角三角函 数可求得ＥＦ的长，根据面积关系即可求解． ２．连结ＣＦ，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＣＤ于Ｍ，ＦＮ⊥ＥＣ于 Ｎ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＥ于Ｈ．根据正弦的定义求得ＣＨ 的长，利用面积法可得ＦＧ·（２＋ＥＣ＋ＣＤ）＝６，推出 当ＥＣ＋ＣＤ的值最小时，ＦＧ的值最大，过点Ｃ作ＣＫ ∥ＤＥ，使得ＣＫ＝ＤＥ＝２，作点Ｋ关于直线ＯＢ的对 称点Ｊ，连结ＣＪ交ＯＢ于Ｅ，连结ＫＪ交ＯＢ于Ｔ，连结 ＫＥ，此时 ＣＥ＋ＣＤ的值最小，最小值为 ＣＪ的长，在 Ｒｔ△ＪＫＣ中，利用勾股定理解出ＣＪ的长即可． 书 一、求三角函数值 例１　ｔａｎ４５°的值等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．槡２２ Ｄ． 槡３ ３ 分析：直接根据特殊角的三角函数值求解即可． 解：ｔａｎ４５°＝１．故选 Ｂ． 二、求角度 例２　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ｃｏｓＡ＝１２，则 ∠Ａ的大小是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．６０° Ｄ．７５° 分析：根据特殊角的三角函数值求解即可． 解：因为ｃｏｓＡ＝ １２，∠Ａ是Ｒｔ△ＡＢＣ的内角，所以 ∠Ａ＝６０°．故选Ｃ． 例３　在△ＡＢＣ中，∠Ｃ，∠Ｂ为锐角，且满足｜ｓｉｎＣ －槡２２｜＋（ 槡３ ２－ｃｏｓＢ） ２ ＝０，则∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．１００° Ｂ．１０５° Ｃ．９０° Ｄ．６０° 分析：直接利用绝对值以及偶次方的性质得出 ∠Ｃ ＝４５°，∠Ｂ＝３０°，再根据三角形的内角和得出答案． 解：因为 ｜ｓｉｎＣ－槡２２｜＋（ 槡３ ２ －ｃｏｓＢ） ２ ＝０，所以 ｓｉｎＣ－槡２２ ＝０， 槡３ ２－ｃｏｓＢ＝０， 则ｓｉｎＣ＝槡２２，ｃｏｓＢ＝ 槡３ ２，故∠Ｃ＝４５°，∠Ｂ＝３０°， 所以∠Ａ＝１８０°－４５°－３０°＝１０５°．故选Ｂ． 三、计算 例４　计算：３０－（１２） －２ｓｉｎ３０°＋槡８ｃｏｓ４５°． 分析：根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数 值，二次根式的性质进行计算即可求解． 解：原式 ＝１－４×１２＋ 槡２２× 槡２ ２ ＝１． 四、求边长 例５　 如图，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＝３０°，Ｄ是边 ＡＢ上一点，∠ＢＤＣ＝４５°，ＡＤ＝ ４，求ＢＣ的长（结果保留根号）． 分析：由题意可得△ＢＣＤ为等腰直角三角形，则ＢＤ ＝ＢＣ．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，利用锐角三角函数的定义及特殊 角的三角函数值即可求出ＢＣ的长． 解：因为∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＢＤＣ＝４５°，所以△ＢＣＤ为 等腰直角三角形，所以ＢＤ＝ＢＣ．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｔａｎ∠Ａ ＝ｔａｎ３０°＝ＢＣＡＢ，即 ＢＣ ＢＣ＋４＝ 槡３ ３，解得ＢＣ＝２（槡３＋１）． 所以ＢＣ的长为２（槡３＋１）． 【对应练习见《重点集训营》】 书 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这 一定理是研究线段倍分问题的基础，可以理清角与角 或线段与线段之间的关系，从而把题设与结论结合起 来，使问题得以圆满地解决． 例１　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，∠ＡＢＣ＝ ９０°，∠Ｄ＝１２０°，ＡＤ＝ＣＤ＝ ４，Ｏ是对角线ＡＣ的中点，连结 ＢＯ并延长交边 ＣＤ于点 Ｅ，则 ＢＥ的长为 ． 解析：如图１，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＤ交ＡＤ的延长线于 点Ｆ，过点Ｏ作ＯＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，所以∠ＡＦＣ＝９０°， 因为 ∠ＡＤＣ＝１２０°，ＡＤ ＝ＣＤ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＤＣＡ＝３０°，∠ＦＤＣ＝６０°，所以∠ＤＣＦ＝３０°，所以 ＤＦ＝ １２ＤＣ＝２，所以 ＦＣ＝ 槡２３，所以 ＡＣ＝２ＣＦ＝ 槡４３，因为点 Ｏ是斜边 ＡＣ的中点，所以 ＢＯ＝ＣＯ＝ １ ２ＡＣ＝ 槡２３，所以∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ，又因为ＡＤ∥ＢＣ， 所以∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝３０°，所以∠ＢＣＥ＝６０°，所以 ∠ＢＥＣ＝９０°，所以 ∠ＢＥＣ ＝∠ＯＧＣ ＝９０°，所以 △ＯＧＣ≌ △ＯＥＣ，所以 ＯＧ＝ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＧＢ中， ∠ＯＢＧ＝３０°，所以ＯＧ＝１２ＯＢ＝槡３，所以ＯＥ＝槡３， 所以ＢＥ＝ＯＢ＋ＯＥ＝ 槡３３．故填 槡３３． 例２　如图２，在菱形ＡＢＣＤ中， ∠ＢＥＦ＝α°，Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ和ＢＣ 的中点，ＥＰ⊥ＣＤ于点Ｐ，则 ∠ＰＦＣ ＝ ． 解析：如图２，延长ＰＦ交ＥＢ的 延长线于点Ｈ，因为四边形ＡＢＣＤ是 菱形，Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ和ＢＣ的中点，所以 ＡＢ＝ＢＣ， ＢＥ＝１２ＡＢ，ＢＦ＝ １ ２ＢＣ，所以ＢＥ＝ＢＦ，因为∠ＢＥＦ＝ α°，所以 ∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ＝α°，因为 ＡＨ∥ ＤＣ，所以 ∠ＦＢＨ＝∠ＦＣＰ，因为 ∠ＢＦＨ＝∠ＣＦＰ，所以 △ＢＨＦ ≌△ＣＰＦ，所以ＨＦ＝ＦＰ，所以Ｆ是ＰＨ的中点，因为ＥＰ ⊥ＣＤ，所以ＥＰ⊥ＡＢ，在Ｒｔ△ＨＥＰ中，ＥＦ是中线，ＰＨ是 斜边，所以ＰＨ＝２ＥＦ，所以ＥＦ＝ＦＨ＝ＦＰ，所以∠Ｈ＝ α°，∠ＣＦＰ＝∠ＢＦＨ＝１８０°－∠Ｈ－∠ＨＥＦ－∠ＥＦＢ ＝１８０°－３α°．故填１８０°－３α°． 书 一、利用网格求正弦值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，在边长为１ 的小正方形网格中，点 Ａ，Ｂ， Ｃ，Ｄ都在这些小正方形的顶 点上，ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，则 ｓｉｎ∠ＢＯＤ＝ ． 解析：如图１，过点Ｃ作ＣＥ ∥ＡＢ，连结ＤＥ，则∠ＤＣＥ＝∠ＢＯＤ，由图易得∠１＝∠２ ＝∠３＝∠４＝４５°，所以∠ＣＥＤ＝∠２＋∠３＝９０°． 因为小正方形的边长为１，所以在 Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＤＥ ＝ 槡２２，ＣＤ＝槡１０，所以 ｓｉｎ∠ＤＣＥ＝ ＤＥ ＣＤ＝ 槡２５ ５，所以 ｓｉｎ∠ＢＯＤ＝ｓｉｎ∠ＤＣＥ＝ 槡２５５．故填 槡２５ ５． 二、利用网格求余弦值 例２　如图２，在４×４网格 正方形中，每个小正方形的边长 为１，顶点为格点，若△ＡＢＣ的顶 点均是格点，则 ｃｏｓ∠ＢＡＣ的值 是 （　　） Ａ．槡５５ 　　Ｂ． 槡１０ ５ Ｃ．槡２５５ 　　Ｄ． ４ ５ 解析：过点Ｃ作ＡＢ的垂线交ＡＢ于点Ｄ，因为每个小 正方形的边长为１，所以ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝槡１０，ＡＢ＝５，设 ＡＤ＝ｘ，则ＢＤ＝５－ｘ，在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理，得 ＤＣ２ ＝ＡＣ２－ＡＤ２， 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，由勾股定理，得ＤＣ２ ＝ＢＣ２－ＢＤ２， 所以１０－（５－ｘ）２＝５－ｘ２，解得ｘ＝２，所以ｃｏｓ∠ＢＡＣ ＝ＡＤＡＣ＝ 槡２５ ５．故选Ｃ． 三、利用网格求正切值 例３　由４个形状相同， 大小相等的菱形组成如图３所 示的网格，菱形的顶点称为格 点，点Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，∠Ｏ ＝６０°，则ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ （　　） Ａ．１３ Ｂ． １ ２ Ｃ． 槡３ ３ Ｄ． 槡３ ２ 解析：连结ＡＤ，因为网格是有一个角为６０°的菱形， 所以△ＡＯＤ，△ＢＣＤ，△ＡＣＤ都是等边三角形， 所以ＡＤ＝ＢＤ＝ＢＣ＝ＡＣ，所以四边形ＡＤＢＣ为菱 形，且∠ＤＢＣ＝６０°，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ＝３０°，所以 ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ｔａｎ３０°＝槡３３．故选Ｃ． 书 三角函数的求值问题是本章的基础问题，也是考试 中的常考题型，其类型多变，解法灵活，有一定的技巧 性．下面介绍常用的四种方法，供大家参考． 一、回归定义 例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝２， 则ｃｏｓＡ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．３ Ｂ．１３ Ｃ． 槡１０ １０ Ｄ． 槡３ １０ １０ 解析：因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝ ２，所以ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２ １０，所以ｃｏｓＡ＝ ＡＣ ＡＢ＝ 槡３ １０ １０ ．故选Ｄ． 二、巧设参数 例２　在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｔａｎＡ＝５１２，那 么ｃｏｓＡ＝ ． 解析：由ｔａｎＡ＝５１２，可设ＡＣ＝１２ｋ，ＢＣ＝５ｋ，所以 ＡＢ＝ （１２ｋ）２＋（５ｋ）槡 ２ ＝１３ｋ，所以ｃｏｓＡ＝ＡＣＡＢ＝ １２ｋ １３ｋ ＝１２１３．故填 １２ １３． 三、等角代换 例３　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８， ＢＣ＝６，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ， 则ｔａｎ∠ＢＣＤ的值是 ． 解析：因为 ∠Ａ＋∠Ｂ ＝ ９０°，∠ＢＣＤ＋∠Ｂ＝９０°，所以 ∠Ａ＝∠ＢＣＤ，所以ｔａｎ∠ＢＣＤ＝ ｔａｎＡ＝ＢＣＡＣ＝ ６ ８ ＝ ３ ４．故填 ３ ４． 四、构造直角 例４　如图２，在正方形方格纸 中，每个小正方形的边长都相等，Ａ， Ｂ，Ｃ，Ｄ都在格点处，ＡＢ与 ＣＤ相交 于点Ｐ，则ｃｏｓ∠ＡＰＣ的值为 （　　） Ａ．槡３５ 　　　Ｂ． 槡２５ ５ Ｃ．２５ 　　　Ｄ． 槡５ ５ 解析：把ＡＢ向上平移一个单位到 ＤＥ，连结 ＣＥ，则 ＤＥ∥ＡＢ，所以∠ＡＰＣ＝∠ＥＤＣ．在△ＤＣＥ中，易求得ＥＣ ＝槡５，ＤＣ＝ 槡２５，ＤＥ＝５，所以ＥＣ ２＋ＤＣ２ ＝ＤＥ２，所以 △ＤＣＥ是直角三角形，且 ∠ＤＣＥ＝９０°，所以 ｃｏｓ∠ＡＰＣ ＝ｃｏｓ∠ＥＤＣ＝ＤＣＤＥ＝ 槡２５ ５．故选Ｂ． 书 ９期２版 ２３．５位似图形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．１∶２；　５．２５２． 能力提高　６．（１）图略． （２）图略． ２３．６．１用坐标确定位置 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｃ； ４．（北偏东４０°，３５海里）；　５．（５，１５０°）；　６．（３，１２０°）． ７．根据图象可得，湖心亭（２，５），望春亭（３，２），牡丹亭（８， ６），东门（９，３），游乐园（７，１）． 能力提高　８．４８． ２３．６．２图形的变换与坐标 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．（４，－３）；　４．１∶３；　５．９． ６．（１）图略． （２）图略． （３）点Ａ２的坐标为（３，６），△ＡＢＣ与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的周长比是 １∶２． 能力提高　７．（１）（－５，６）． （２）（４，－１）或（５，－５）． （３）若平移方式为：向上平移１个单位，向右平移３个单位， 则点Ｑ（０，ｙ＋１），分别过点Ｑ，Ｂ作ｘ轴，ｙ轴的平行线，两平行线 交于点Ｈ，则ＢＨ＝ｙ＋２，ＱＨ＝４，因为Ｓ△ＢＰＱ ＝Ｓ△ＢＨＱ－Ｓ△ＢＨＰ －Ｓ△ＨＱＰ，所以５＝ １ ２ ×（ｙ＋２）×４－ １ ２ ×（ｙ＋２）×１－ １ ２ ×４×１，解得ｙ＝ ８３，因为 ８ ３ ＜３，所以点 Ｐ的坐标是（－３， ８ ３）；若平移方式为：向下平移３个单位，向右平移４个单位，则 点Ｑ（１，ｙ－３），分别过点Ｑ，Ｂ作ｙ轴的平行线，再过点Ｐ作ｘ轴 的平行线，三条平行线交于点Ｍ，Ｎ，则ＢＭ＝ｙ＋１，ＱＮ＝３，ＮＰ ＝４，ＰＭ＝１，ＭＮ＝５，因为Ｓ△ＢＰＱ ＝Ｓ梯形ＢＭＮＱ－Ｓ△ＢＭＰ－Ｓ△ＰＮＱ， 所以５＝ｙ＋１＋３２ ×５－ １ ２ ×（ｙ＋１）×１－ １ ２ ×３×４，解得 ｙ＝ ３４，因为 ３ ４ ＜３，所以点Ｐ的坐标是（－３， ３ ４）． 所以点Ｐ的坐标为（－３，８３）或（－３， ３ ４）． ９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ 二、９．２车３号；　１０．（２，４）；　１１．（５，４）；　１２．５２或 １５ ２； 　１３．（７，２）；　１４．５３． 三、１５．略． １６．（１）图略． （２）图略． １７．（１）建立平面直角坐标系略．坐标为：点 Ａ（－３，－１）， 点Ｂ（－２，０），点Ｅ（１，３），点Ｆ（２，４）． （２）０．３×（８＋７）×２＝９（平方米）． 答：地毯要９平方米． １８．（１）ＤＦ＝２ＡＣ＝４． （２）因为∠Ｏ＝２２°，∠ＡＢＣ＝３８°，所以∠ＯＣＢ＝１８０°－ ２２°－３８°＝１２０°．因为△ＡＢＣ与△ＤＥＦ位似，点Ｏ为位似中心， 所以 ＯＢ ＯＥ＝ ＯＣ ＯＦ＝ ＢＣ ＥＦ，所以 △ＯＢＣ∽ △ＯＥＦ，所以 ∠ＯＦＥ＝ ∠ＯＣＢ＝１２０°． １９．（１）图略，顶点Ａ１的坐标为（０，３）． （２）△Ａ１Ｂ１Ｃ１的面积 ＝５． （３）设点Ｐ的坐标为（ａ，０），由（１）得点 Ｃ１的坐标为（４， ０），则Ｃ１Ｐ＝｜４－ａ｜，因为以Ａ１，Ｃ１，Ｐ为顶点的三角形面积为 ３ ２，所以 １ ２ ×｜４－ａ｜×３＝ ３ ２，所以ａ＝３或ａ＝５，所以点Ｐ 的坐标为（３，０）或（５，０）． ２０．（１）Ｃ（－１，０），Ｄ（３，０），Ｓ△ＢＣＤ ＝４． （２）因为△ＢＭＤ的面积是△ＢＣＤ面积的 ５４，所以△ＢＭＤ 的面积 ＝５４×４＝５，当点Ｍ在ｘ轴正半轴上时，设点Ｍ（ｍ，０）， 所以Ｓ△ＢＭＤ ＝ １ ２ ×ＤＭ×ＡＯ＝５，所以ＤＭ＝５，且点Ｄ（３，０）， 所以点Ｍ（８，０）或点Ｍ（－２，０）（舍去）；当点Ｍ在ｙ轴正半轴上 时，设点Ｍ（０，ｎ），点Ｍ在线段ＯＡ上时，因为Ｓ△ＢＭＤ ＝Ｓ梯形ＡＯＤＢ －Ｓ△ＡＢＭ －Ｓ△ＭＯＤ ＝５，所以 （３＋４）×２ ２ － １ ２ ×３×ｎ－ １ ２ ×４ ×（２－ｎ）＝５，所以ｎ＝４（舍去）．当点Ｍ在线段ＯＡ的延长线 上时，因为 Ｓ△ＢＭＤ ＝Ｓ梯形ＡＯＤＢ ＋Ｓ△ＡＢＭ －Ｓ△ＭＯＤ ＝５，所以 （３＋４）×２ ２ ＋ １ ２ ×４×（ｎ－２）－ １ ２ ×３×ｎ＝５，所以ｎ＝４， 所以Ｍ（０，４）． 综上所述，当点 Ｍ（０，４）或（８，０）时，△ＢＭＤ的面积是 △ＢＣＤ面积的 ５４． ９期４版 重点集训营 １．Ｃ；　２．（１２，１）． ３．（１）图略． （２）（－４，－６）． （３）△Ａ１Ｂ１Ｃ１的面积为８． ! " #! !!"# " $"% !! !"!#&$'%!( !"#$%&'" ()*+,-'. !! ! !"#$ !"# !$"%&'( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! )*"+,-./ !01234"5( ! " # $ ! % ! # % " $ ! ! " 67 89: !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! # ! " ! ! " $ ! # # ! " & # ! $ ' ( ) " ! ! ! & " # ! & $ $ " & # ! ! % # & ! % ! " ;< =>? " @A BCD # " "" ) $ ! ! % 书 重点集训营 １．在直角三角形中，３０°角对的直角边是斜边的一 半．若ｓｉｎ（α＋２０°）＝１ ２ ，则α的度数是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．４０°Ｂ．３０°Ｃ．２０°Ｄ．１０° ２．已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝槡３ ３ ，则 ∠Ｂ的度数是（　　） Ａ．３０°Ｂ．４５°Ｃ．６０°Ｄ．７５° ３．已知α为锐角，若槡３ｔａｎ ２ α－４ｔａｎα＋槡３＝０，则 α的度数为． ４．在△ＡＢＣ中，（２ｃｏｓＡ－槡２） ２ ＋｜１－ｔａｎＢ｜＝０， 则△ＡＢＣ的形状是． ５．如图，在等腰△ＡＢＣ中，∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＣ， 若ＡＢ＝１，求ＢＣ的长． 辅助线周周练 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１０， ＡＣ＝２０，Ｄ为ＡＢ的中点，连结ＣＤ，将△ＢＣＤ沿ＣＤ翻 折得到△Ｂ′ＣＤ，Ｂ′Ｄ交ＡＣ于点Ｅ，则ＤＥ ＥＢ′＝． ２．如图２，ｓｉｎ∠Ｏ＝３ ５ ，长度为２的线段ＤＥ在射线 ＯＢ上滑动，点Ｃ在射线ＯＡ上，且ＯＣ＝５，△ＣＤＥ的两 个内角的角平分线相交于点Ｆ，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＤＥ，垂 足为Ｇ，则ＦＧ的最大值为． 【提示】 １．过点Ｂ作ＢＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＤ 于点Ｆ由勾股定理可求ＡＢ的长，由锐角三角函数的 定义可求ＢＨ，ＣＨ，ＤＨ的长，由折叠的性质可得 ∠ＢＤＣ＝∠Ｂ′ＤＣ，Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＤＣＢ′，利用锐角三角函 数可求得ＥＦ的长，根据面积关系即可求解． ２．连结ＣＦ，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＣＤ于Ｍ，ＦＮ⊥ＥＣ于 Ｎ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＥ于Ｈ．根据正弦的定义求得ＣＨ 的长，利用面积法可得ＦＧ·（２＋ＥＣ＋ＣＤ）＝６，推出 当ＥＣ＋ＣＤ的值最小时，ＦＧ的值最大，过点Ｃ作ＣＫ ∥ＤＥ，使得ＣＫ＝ＤＥ＝２，作点Ｋ关于直线ＯＢ的对 称点Ｊ，连结ＣＪ交ＯＢ于Ｅ，连结ＫＪ交ＯＢ于Ｔ连结 ＫＥ，此时ＣＥ＋ＣＤ的值最小，最小值为ＣＪ的长，在 Ｒｔ△ＪＫＣ中，利用勾股定理解出ＣＪ的长即可． "#$% %&'()*+, E<FGHIJK E<FHLMNOPQRS E<FHTUVWXYZ[J\ ]^,_`ab% _cdefg hijklmb%nod'(%#)"*"*+!,( pqrod!%)!"* #+,sts% - #uysb% #`az{|d"&.%).!*%!./ #+,}~dE<€‚ƒ„…†‡ˆ %&!o]^,_‰&]I`az #pŠ`‹d"&"""/ #‚Œz,Žd"&.%#.!*%%!. 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ÈÉÊÉËÌÍ¿ !#-& ÎÉÊÉÏ] JÐiÑ1!"#$%&'()*+,+-. /012+,+34.561789:+ .,+34;1 <=>?@AB2+, +34;- ) *+ efg , ) *+ ÒÓÔ , # - .+ BÕg , ) *+ Ö × , ) *+ Ø Ù -./01+ B Ú 23/01+ BÛÜ -4506+ Ý Þ -4578+ ßàá Óâã ä å æƒç è é êëì Òíî èïÛ ð à ñòç óôf äõö yõ÷ Òfø ùÙ& úûå ü ì ýþÿ Ó!" 91-.+ ä#$ 91:;+ Ó ! <=-.+ #õ% >?-.+ &'( @ABC+ )*+ " s, -.Å 书 ＢＦ ＢＡ＝ ＢＥ ＢＣ＝ ＥＦ ＣＡ，即 ＢＦ ４ ＝ ２ｔ ５，所以ＢＦ＝ ８ｔ ５ ｃｍ，ＥＦ ＝６ｔ５ｃｍ，所以ＤＦ＝（４－ １３ｔ ５）ｃｍ，因为ＣＤ⊥ＤＥ，所 以 ∠ＣＤＥ ＝９０°，所以 ∠ＡＤＣ＋∠ＥＤＦ＝９０°，因 为 ∠ＢＡＣ ＝９０°，所 以 ∠ＡＤＣ＋∠ＡＣＤ＝９０°，所 以∠ＡＣＤ＝∠ＥＤＦ，所以 Ｒｔ△ＡＣＤ∽ Ｒｔ△ＦＤＥ，所 以 ＡＣ ＤＦ＝ ＡＤ ＥＦ，即 ３ ４－１３５ｔ ＝ ｔ ６ｔ ５ ，所以ｔ＝ ２１３（秒）． ２８．（１）证明：在正方 形 ＡＢＣＤ中，因为 ∠Ａ＝ ∠ＡＤＣ＝∠ＢＣＤ ＝９０°， ＡＤ ＝ ＤＣ，所以 ∠Ａ ＝ ∠ＤＣＭ ＝９０°，因为ＤＭ⊥ ＰＤ，所以 ∠ＡＤＰ＋∠ＰＤＣ ＝∠ＣＤＭ＋∠ＰＤＣ＝９０°， 所以∠ＡＤＰ＝∠ＣＤＭ，所 以△ＤＡＰ≌ △ＤＣＭ，所以 ＤＰ＝ＤＭ． （２）过点 Ｑ作 ＱＮ⊥ ＢＣ于点Ｎ，因为 ∠ＡＢＣ＝ ９０°，ＤＱ⊥ＡＢ，所以四边形 ＤＢＮＱ是矩形，所以∠ＤＱＮ ＝９０°，ＱＮ＝ＤＢ，因为ＱＭ ⊥ ＰＱ，所 以 ∠ＤＱＰ ＋ ∠ＰＱＮ＝∠ＭＱＮ＋∠ＰＱＮ ＝９０°，所以 ∠ＤＱＰ ＝ ∠ＭＱＮ，因为 ∠ＱＤＰ ＝ ∠ＱＮＭ ＝ ９０°， 所 以 △ＤＱＰ∽△ＮＱＭ，所以ＰＱＱＭ ＝ＤＱＱＮ＝ ＤＱ ＤＢ，因为ＢＣ＝８， ＡＣ＝１０，∠ＡＢＣ＝９０°，所 以 ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ ６，因为ＡＤ＝２ＤＢ，所以ＤＢ ＝２，因为∠ＡＤＱ＝∠ＡＢＣ ＝９０°，所以ＤＱ∥ＢＣ，所以 △ＡＤＱ∽△ＡＢＣ，所以ＤＱＢＣ＝ ＡＤ ＡＢ＝ ２ ３，所以ＤＱ＝ １６ ３， 所以 ＰＱ ＱＭ＝ ＤＱ ＤＢ＝ ８ ３． （３）因为ＡＣ＝ｍＡＢ，ＣＱ ＝ｎＡＣ，所以ＣＱ＝ｍｎＡＢ，所 以ＡＱ＝ＡＣ－ＣＱ＝（ｍ－ ｍｎ）ＡＢ．因为∠ＢＡＣ＝９０°， 所以ＢＣ＝ ＡＢ２＋ＡＣ槡 ２ ＝ １＋ｍ槡 ２ＡＢ，过点 Ｑ作 ＱＮ ⊥ ＢＣ于点 Ｎ，因为 ∠Ａ＋ ∠ＡＢＮ＋∠ＢＮＱ＋∠ＡＱＮ＝ ３６０°，所以 ∠ＡＢＮ＋∠ＡＱＮ ＝１８０°，所 以 ∠ＡＱＮ ＝ ∠ＰＢＮ．因 为 ∠ＰＱＭ ＝ ∠ＰＢＣ，所 以 ∠ＰＱＭ ＝ ∠ＡＱＮ， 所 以 ∠ＡＱＰ ＝ ∠ＮＱＭ，因为∠Ａ＝∠ＱＮＭ ＝９０°， 所 以 △ＱＡＰ∽ △ＱＮＭ，所以ＰＱＱＭ ＝ ＡＱ ＮＱ．因 为 ∠Ａ ＝∠ＱＮＣ ＝９０°， ∠ＱＣＮ ＝ ∠ＢＣＡ， 所 以 △ＱＣＮ∽△ＢＣＡ，所以ＱＮＢＡ＝ ＣＱ ＣＢ ＝ ｍｎＡＢ １＋ｍ槡 ２ＡＢ ＝ ｍｎ １＋ｍ槡 ２ ， 所 以 ＱＮ ＝ ｍｎ １＋ｍ槡 ２ ＡＢ，所以ＰＱＱＭ＝ ＡＱ ＮＱ ＝１－ｎｎ １＋ｍ槡 ２． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．２ｓｉｎ４５°的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 槡Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．槡 ３ ２ Ｄ． 槡２ ２ ２．已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝α，ＡＣ＝３， 那么ＡＢ的长等于 （　　） Ａ．３ｓｉｎα Ｂ．３ｃｏｓα Ｃ．３ｔａｎα Ｄ．３ｔａｎα ３．如图１，在平面直角坐标系中，点Ａ坐标为（４，３）， 那么ｔａｎα的值是 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ４ ３ Ｄ． ３ ４ ４．如图２，在单位长度为１的网格中，△ＡＢＣ的三个 顶点均在格点上，则ｓｉｎ∠ＡＣＢ的值等于 （　　） Ａ． 槡２ １３１３ Ｂ． 槡３ １３ １３ Ｃ． 槡２２ ５ Ｄ． 槡２ ５ ５．式子 ２ｘ＋ｔａｎ４５槡 °ｘ－ｔａｎ４５° 有意义的ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≥－１２且ｘ≠１ Ｂ．ｘ≠１ Ｃ．ｘ≥－１２ Ｄ．ｘ＞－ １ ２且ｘ≠１ ６．如图３，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ为ＡＢ边的 中点，ＤＥ⊥ＡＢ交ＢＣ的延长线于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ，若 ＤＦ＝３，ＦＥ＝４，则ＡＢ的长度为 （　　） 槡Ａ．１０ Ｂ．４５ 槡 槡Ｃ．６３ Ｄ．２ ２１ ７．如图４，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图 的方法，图中线段ａ与直尺垂直，线段ｂ与数轴垂直，则 点Ｄ表示的数是 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ６ ５ Ｃ．２ Ｄ． ７ ５ ８．如图５，在正方形ＡＢＣＤ中， Ｅ，Ｆ分别为边ＡＢ与ＡＤ上的点，连 结ＣＥ，ＢＦ，交点为Ｇ，且ＣＥ⊥ＢＦ， 连 结 ＤＧ， 若 ＤＧ ＝ ＣＤ， 则 ｔａｎ∠ＤＧＦ的值为 （　　） Ａ．３４ Ｂ． １ ２ Ｃ．１４　 Ｄ． ２ ３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．已知α为锐角，且槡３ｔａｎ（９０°－α）＝１，则α的度 数为 ． １０．在△ＡＢＣ中，如果ＡＢ＝ＡＣ＝７，ＢＣ＝１０，那么 ｃｏｓＢ的值是 ． １１．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，斜边ＡＢ上的中线是 ３ｃｍ，ｓｉｎＡ＝ １３，则Ｓ△ＡＢＣ ＝ ｃｍ ２． １２．如图６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＣＢＡ＝９０°，以点Ａ为 圆心，适当长为半径画弧，分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，再分 别以点Ｄ，Ｅ为圆心，大于 １２ＤＥ为半径画弧，两弧交于点 Ｆ，作射线ＡＦ交边ＢＣ于点Ｇ，若ＢＧ＝１，ＢＣ＝４，则ｃｏｓＣ 的值为 ． １３．如图７，矩形 ＡＢＣＤ的四个顶点分别在直线 ｌ３， ｌ４，ｌ２，ｌ１上．若直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３∥ｌ４且间距相等，ＡＢ＝４， ＢＣ＝２，则ｔａｎα的值为 ． １４．如图 ８，在菱形纸片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，∠Ａ＝６０°， 将菱形纸片翻折，使点 Ａ落在 ＣＤ的中点Ｅ处，折痕为ＦＧ，点 Ｆ，Ｇ分别在边 ＡＢ，ＡＤ上，则 ｃｏｓ∠ＥＦＧ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）计算： （１）ｔａｎ ２６０°＋２ｃｏｓ４５° ２ｓｉｎ２６０°－ｃｏｓ６０° ； （２）槡３ｔａｎ３０°＋槡 ２ ２ｃｏｓ４５°＋ｓｉｎ ２６０°·ｃｏｓ６０°． １６．（１０分）如图９，已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ 分别是边ＢＣ，ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＤＣ，连结ＡＤ，ＢＥ相交 于点Ｐ，过点Ｂ作ＢＱ⊥ＡＤ，Ｑ为垂足，求证：ＢＰ＝２ＰＱ． １７．（１０分）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ，ｂ，ｃ分别是 ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边． （１）已知ｃ＝ 槡２５，ｂ＝槡１０，求∠Ａ； （２）已知ｃ＝８，ｃｏｓ∠Ａ＝槡３２，求ｂ． １８．（１０分）如图１０，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１５， ｔａｎＡ＝ ４３．求： （１）Ｓ△ＡＢＣ； （２）∠Ｂ的余弦值． １９．（１２分）如图１１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝１５０°，ＡＣ＝ ４，ｔａｎＢ＝ １８． （１）求ＢＣ的长； （２）利用此图形求ｔａｎ１５°的值（精确到０．１，参考数 据：槡２≈１．４１，槡３≈１．７３，槡５≈２．２４）． ２０．（１２分）对于钝角α，定义它的三角函数值如下： ｓｉｎα＝ｓｉｎ（１８０°－α），ｃｏｓα＝－ｃｏｓ（１８０°－α）． （１）求ｓｉｎ１２０°，ｃｏｓ１２０°，ｓｉｎ１５０°的值； （２）若一个三角形的三个内角的比是１∶１∶４，Ａ，Ｂ 是这个三角形的两个顶点，ｓｉｎＡ，ｃｏｓＢ是方程４ｘ２－ｍｘ－ １＝０的两个不相等的实数根，求ｍ的值及∠Ａ和∠Ｂ的 大小                                                                                                                                                                 ． 书 ２４．１测量 １．如图１，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自 己与树的距离为２０ｍ，树的顶端在水中的倒影距自己 ５ｍ远，该同学的身高为１．７ｍ，则树高为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３．４ｍ Ｂ．５．１ｍ Ｃ．６．８ｍ Ｄ．８．５ｍ ２．如图２，一棵大树被风吹断，已知折断处距地面 ５米，树的折断部分与地面成 ４５°的角，这棵大树有 米． ３．如图３，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸 选定一点Ａ，再在河的这一边选定点Ｂ和点Ｃ，使得ＡＢ ⊥ＢＣ，然后选定点Ｅ，使ＥＣ⊥ＢＣ，确定ＢＣ与ＡＥ的交点 Ｄ，若测得ＢＤ＝１８０米，ＤＣ＝６０米，ＥＣ＝７０米，请你求 出小河的宽度是多少米？ ２４．２直角三角形的性质 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线， 若ＡＢ＝１０，则ＣＤ＝ （　　） Ａ．１０ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．５ ２．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，∠Ｃ＝９０°，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，若ＣＤ＝２，则ＡＢ的长为 （　　） Ａ．４ Ｂ．８ 槡 槡Ｃ．４３ Ｄ．２３ ３．如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是ＡＢ的 中点，连结ＣＤ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＣＤ交ＢＣ于点Ｅ，若ＣＥ ＝槡６，ＤＥ＝槡２，则ＡＢ的长为 ． ４．如图４，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ是∠ＢＡＣ的 平分线，若 ＣＤ ＝２，ＡＤ ＝ＢＤ，则 △ＡＢＤ的面积为 ． ５．如图５，四边形ＡＢＣＤ是菱形，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ， ＡＦ⊥ＣＤ，垂足分别为点Ｅ，Ｆ，ＡＥ，ＡＦ分别交ＢＤ于点Ｇ， Ｈ． （１）求证：ＡＧ＝ＡＨ； （２）延长ＡＦ，ＢＣ相交于点Ｐ，当ＢＧ＝ＧＨ时，求证： ＰＦ＝槡３ＤＦ． ２４．３．１锐角三角函数（第一课时） １．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝２５，ｓｉｎＢ＝３５，则 ＡＣ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．９ Ｂ．１５ Ｃ．１８ Ｄ．１２ ２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ＡＣ＝４，ＡＢ＝５，则 ｃｏｓＡ等于 （　　） Ａ．３４ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ４ ５ Ｄ． ４ ３ ３．如图１所示，△ＡＢＣ的顶 点 是 方 形 网 格 的 格 点， 则 ｔａｎ∠ＡＢＣ的值为 （　　） Ａ．槡５１０ Ｂ． １ ４ Ｃ．１２ Ｄ． 槡５ ５ ４．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ｓｉｎＡ＝５１３，则ｃｏｓＡ 的值为 ． ５．如图２，将矩形 ＡＢＣＤ沿 ＣＥ折 叠，使得点Ｂ落在ＡＤ边上的点Ｆ处，若 ＣＢ ＣＤ＝ ４ ３，则ｔａｎ∠ＡＦＥ＝ ． ６．如图 ３，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，Ｄ为ＢＣ的中点，ＡＣ＝３，ｔａｎ∠ＣＤＡ ＝ ３２，求ＡＢ的长． ７．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ， 若ＡＣ＝１５，ｃｏｓＡ＝ ４５．求ＢＤ，ＣＤ的长． ２４．３．１锐角三角函数（第二课时） １．１２ｔａｎ６０°的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． 槡３ ６ Ｃ． 槡３ ２ 槡Ｄ．３ ２．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝ １２∠Ａ，则 ｃｏｓＡ等于 （　　） Ａ．槡３２ Ｂ． １ ２ 槡Ｃ．３ Ｄ． 槡３ ３ ３．在平面直角坐标系中，点 Ａ（ｓｉｎ３０°，－ｃｏｓ６０°） 关于ｘ轴对称的点的坐标是 （　　） Ａ．（－１２，－ 槡３ ２） Ｂ．（ １ ２， １ ２） Ｃ．（１２， 槡３ ２） Ｄ．（－ １ ２，－ １ ２） ４．已知 △ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ都是锐角，且（ｃｏｓＡ－ １ ２） ２＋｜ｔａｎＢ－１｜＝０，则∠Ｃ＝ 度． ５．关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｘ＋ｔａｎα＝０有两 个相等的实数根，则锐角α＝ ． ６．在△ＡＢＣ中，ｔａｎＡ＝１，ｃｏｓＢ＝槡２２，则△ＡＢＣ是 三角形． ７．计算： （１）２ｓｉｎ３０°－ｔａｎ４５°＋ｃｏｓ２３０°； （２）槡２·ｃｏｓ４５°－ｓｉｎ３０°＋ｔａｎ ２６０°． ２４．３．２用计算器求锐角三角函数值 １．用计算器求ｓｉｎ２４°３７′的值，以下按键顺序正确 的是 （　　） 　 　　 　　　　 　 　　　 　　 　　Ａ．ｓｉｎ２４°’”３７°’” ＝ Ｂ．ｓｉｎ°’”２４°’”３７ ＝ Ｃ．ＳＨＩＦＴｓｉｎ２４°’”３７°’” ＝ Ｄ．ｓｉｎ２４°’”３７ ＝ ２．已知ｓｉｎＡ＝０８９１７，运用科学计算器求锐角 Ａ 时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下 的键是 （　　） Ａ．ｓｉｎ－１ Ｂ．ＳＨＩＦＴ Ｃ．°’” Ｄ．ａｂ／ｃ ３．用课本上介绍的科学计算器依次按键：４ｓｉｎ６ ０ ＝，显示的结果在哪两个相邻整数之间 （　　） Ａ．２～３ Ｂ．３～４ Ｃ．４～５ Ｄ．５～６ ４．运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ４ · ５ － （ｓｉｎ４ ５ ） ｘ２ ＋槡１ ９ ＝，则计 算器显示的结果是 ． ５．在平面直角坐标系中，Ｏ是坐标原点，点 Ｐ是第 二象限内一点，连结ＯＰ．若ＯＰ与ｘ轴的负半轴之间的 夹角α＝５０°，ＯＰ＝１３５，则点 Ｐ到 ｘ轴的距离约为 （用科学计算器计算，结果精确到０．０１）． ６．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 锐角的度数（结果精确到１″）： （１）ｓｉｎＡ＝０６２７５，ｓｉｎＢ＝００５４７； （２）ｃｏｓＡ＝０６２５２，ｃｏｓＢ＝０１６５９； （３）ｔａｎＡ＝４８４２５，ｔａｎＢ＝０８８１６． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !" #$ %& %&'( ! " !"# !$"%&'( . )*!+,-./ !0123456( 789:;<!"#$%!"&'= ! " # $ ! %" & ! $ ! & , -./ & " 0 ' # ( # ) ! 0 * + , - . / % ! ( 0 0 0 " 0 & 0 / . % + * ! ! ' . % * ! /, % + - / . , * ! # % . - , + / * ! ) * % . ! // )*"+,-./ >0123456? @&ABCDEFG&1H ## 6 @&ABCDEFG&1H ## 6 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! % + * . ! 0 * ! " ! / . +% * ! " . , * - % + ! & # &, ! / , % + . * ! " .% + * ! & * + . % ! / . , + % * ! " . + % * ! 0 1 % , . / 2 - ) * ! # 34 - * + . ! " % + 5 , * 1 . ! 1 "#$ #' ! &