第18期 24.6 正多边形与圆 24.7 弧长与扇形面积（参考答案见20期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 三、１５．（１）证明略． （２）∠ＡＢＦ的度数为 ３０°． １６．（１）证明：因为 ＡＢ 为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＤＢ ＝９０°，所 以 ∠ＤＢＡ ＋ ∠ＤＡＢ＝９０°，因为∠Ｅ＝ ∠ＤＡＢ，∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＤ， 所以 ∠ＤＢＡ＋∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所以∠ＣＡＢ＝９０°，所 以 ＣＡ⊥ ＡＢ，所以 ＡＣ是 ⊙Ｏ的切线． （２）ＥＢ的长为１． １７．（１）证明：连接 ＯＤ，因为 ＯＤ＝ＯＥ，所以 ∠ＯＥＤ＝∠ＯＤＥ，因为ＤＥ ∥ ＯＡ，所 以 ∠ＯＤＥ ＝ ∠ＡＯＤ，∠ＤＥＯ＝∠ＡＯＣ， 所以 ∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ，又 因为ＯＡ＝ＯＡ，ＯＣ＝ＯＤ， 所以 △ＡＯＤ≌ △ＡＯＣ，因 为ＡＣ是切线，所以 ∠ＡＣＢ ＝９０°，所以 ∠ＡＤＯ ＝ ∠ＡＣＢ＝９０°．因为 ＯＤ是 半径，所以ＡＢ是⊙Ｏ的切 线． （２）因为ＡＢ是⊙Ｏ的 切线，所以 ∠ＢＤＯ＝９０°， 所以ＢＤ２＋ＯＤ２＝ＯＢ２，即 ４２＋３２＝（３＋ＢＥ）２，解得 ＢＥ＝２，所以 ＢＣ＝ＢＥ＋ ＥＣ＝８．因为 ＡＤ，ＡＣ是 ⊙Ｏ的切线，所以 ＡＤ ＝ ＡＣ，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ２ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ２，所以（４＋ＡＣ）２ ＝ＡＣ２＋８２，解得ＡＣ＝６． １８．证明：（１）因为点Ｉ 是 △ＡＢＣ的内心，所以 ＡＩ 平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＤ ＝∠ＣＡＤ，因为 ) ) ＣＤ＝ＣＤ， 所以 ∠ＣＢＤ＝∠ＣＡＤ，所 以∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＤ． （２）连接 ＤＣ，因为 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，所以 ＢＤ ＝ＣＤ．因为点 Ｉ是 △ＡＢＣ 的内心，所以 ∠ＡＢＩ＝ ∠ＣＢＩ．由（１）得∠ＣＢＤ＝ ∠ＢＡＤ，因 为 ∠ＢＩＤ ＝ ∠ＡＢＩ＋∠ＢＡＤ，∠ＤＢＩ＝ ∠ＣＢＩ＋ ∠ＣＢＤ， 所 以 ∠ＢＩＤ＝∠ＩＢＤ，所以ＩＤ＝ ＢＤ，所以 ＢＤ＝ＣＤ＝ＩＤ． 所以点Ｄ是△ＢＩＣ的外心． １９．证明：（１）连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＡＩ，因为ＡＢ＝ ＡＣ，ＯＢ＝ＯＣ，ＯＡ＝ＯＡ，所 以△ＡＯＢ≌ △ＡＯＣ，所以 ∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＯ，所以 ＡＯ 平分 ∠ＢＡＣ，因为点 Ｉ是 △ＡＢＣ的内心，所以 ＡＩ平 分∠ＢＡＣ，所以ＡＯ与ＡＩ在 同一条直线上，所以 ＯＡ所 在的直线经过点Ｉ． （２）连接ＯＤ，则ＯＤ＝ ＯＡ， 所 以 ∠ＯＡＤ ＝ ∠ＯＤＡ，所以 ２∠ＯＡＤ ＋ ∠ＡＯＤ ＝ １８０°， 所 以 ∠ＯＡＤ＋１２∠ＡＯＤ＝９０°， 书 上期２版 ２４．４直线与圆的位置关系（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．６０；　５．１＜ｄ＜５． ６．证明：连接ＯＣ，因为ＯＡ＝ＯＣ，所以∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ．因 为ＡＣ平分∠ＥＡＢ，所以∠ＯＡＣ＝∠ＣＡＥ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＯＣＡ， 所以ＯＣ∥ＡＥ．因为ＡＥ⊥ＣＥ，所以ＯＣ⊥ＣＥ，因为ＯＣ是半径， 所以ＣＥ是⊙Ｏ的切线． 能力提高　７．证明：（１）连接ＯＤ，ＯＢ，ＡＣ，因为⊙Ｏ经过菱 形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｄ，所以 ＡＣ过点 Ｏ，ＡＤ＝ＤＣ＝ＢＣ＝ＡＢ， ∠ＤＡＯ＝∠ＢＡＯ，∠ＤＣＯ ＝∠ＢＣＯ．又因为 ＯＤ ＝ＯＢ，所以 △ＡＯＤ≌△ＡＯＢ，所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＢＯ．因为ＡＢ与⊙Ｏ相切， 所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＢＯ＝９０°，因为ＯＤ是⊙Ｏ的半径，所以ＡＤ与 ⊙Ｏ相切． （２）连接ＯＦ，ＯＥ，在△ＤＯＣ和△ＢＯＣ中，因为ＤＣ＝ＢＣ， ∠ＤＣＯ＝∠ＢＣＯ，ＯＤ＝ＯＢ，所以△ＤＯＣ≌△ＢＯＣ，所以∠ＯＤＦ ＝∠ＯＢＥ．因为ＯＤ＝ＯＦ＝ＯＢ＝ＯＥ，所以∠ＯＤＦ＝∠ＯＦＤ＝ ∠ＯＢＥ＝∠ＯＥＢ，所以∠ＤＯＦ＝∠ＢＯＥ，所以ＤＦ＝ＢＥ． ２４．４直线与圆的位置关系（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．２１５°；　５．１４． ６．（１）由切线长定理可知，ＤＣ＝ＤＡ，ＥＣ＝ＥＢ，ＰＡ＝ＰＢ， 则△ＰＤＥ的周长 ＝ＰＤ＋ＤＥ＋ＰＥ＝ＰＤ＋ＤＣ＋ＥＣ＋ＰＥ＝ＰＤ ＋ＤＡ＋ＥＢ＋ＰＥ＝ＰＡ＋ＰＢ＝２ＰＡ＝１２，所以ＰＡ＝６． （２）连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，则 ∠ＤＯＣ ＝∠ＤＯＡ，∠ＣＯＥ ＝ ∠ＢＯＥ．所以 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ＋∠ＣＯＥ＋∠ＤＯＡ＋∠ＢＯＥ＝ ２（∠ＤＯＣ＋∠ＣＯＥ）＝２∠ＤＯＥ＝１４４°．在四边形ＰＡＯＢ中，因 为∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝９０°，∠ＡＯＢ＝１４４°，所以∠ＡＰＢ＝３６°． 能力提高　７．（１）证明：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＣＤ于点 Ｅ，因为 ＡＭ切⊙Ｏ于点Ａ，所以ＯＡ⊥ＡＤ，因为ＤＯ平分∠ＡＤＣ，所以ＯＥ ＝ＯＡ，因为ＯＡ为⊙Ｏ的半径，所以ＯＥ是⊙Ｏ的半径，所以ＣＤ 是⊙Ｏ的切线． （２）过点Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＭ， ＢＮ分别切⊙Ｏ于点Ａ，Ｂ，所以ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＢ⊥ＢＣ，所以四边形 ＡＢＦＤ为矩形，所以ＢＦ＝ＡＤ＝４，所以ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝５．因 为ＣＤ，ＡＭ，ＢＣ为⊙Ｏ的切线，所以ＤＥ＝ＤＡ＝４，ＣＥ＝ＣＢ＝ ９，所以 ＤＣ ＝ ＤＥ ＋ＣＥ ＝ １３，在 Ｒｔ△ＤＣＦ中，ＤＦ ＝ ＤＣ２－ＣＦ槡 ２ ＝１２，所以ＡＢ＝１２，所以 ＯＡ＝６，在 Ｒｔ△ＯＡＤ 中，ＯＤ＝ ＯＡ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ 槡２ １３． ２４．５三角形的内切圆 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．３５°；　５．１２． ６．ＣＥ的长为３． 能力提高　７．（１）证明：因为Ｉ是△ＡＢＣ的内心，所以ＡＥ 平分∠ＣＡＢ，ＢＩ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ，∠ＡＢＩ＝ ∠ＣＢＩ．因为∠ＢＩＥ＝∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＩ，∠ＩＢＥ＝∠ＩＢＤ＋∠ＥＢＤ， 因为∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＥ，所以∠ＢＩＥ＝∠ＥＢＩ，所以ＥＢ＝ＥＩ． （２）连接ＥＣ，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＡＢ，ＥＮ⊥ＡＣ交ＡＣ的延长线 于点Ｎ，则ＥＭ＝ＥＮ．因为∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ，所以 ) ) ＢＥ＝ＣＥ，所以 ＢＥ＝ＥＣ＝４．因为ＡＥ＝ＡＥ，ＥＭ＝ＥＮ，所以△ＡＥＭ≌△ＡＥＮ， 所以 ＡＭ ＝ＡＮ．因为 ＢＥ＝ＥＣ，ＥＭ ＝ＥＮ，所以 △ＢＭＥ≌ △ＣＮＥ，所以ＢＭ＝ＣＮ．设ＢＭ＝ｘ，则８－ｘ＝６＋ｘ，解得ｘ＝ １，即ＢＭ＝１，所以ＡＭ＝７．又因为ＢＥ＝４，由勾股定理得，ＥＭ ＝ ４２－１槡 ２ ＝槡１５，所以ＡＥ＝ （槡１５）２＋７槡 ２ ＝８，因为ＥＩ ＝ＢＥ＝４，所以ＡＩ＝ＡＥ－ＥＩ＝４． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ 二、９．０＜Ｒ＜５；　１０．４０°；　１１．９；　１２．４１８；　１３．１．５； １４．６＋槡６１． 书 １．如图１，Ｃ，Ｄ是以ＡＢ为直径的半圆周的三等分 点，ＣＤ＝８，Ｐ是直径上的任意一点．则阴影部分的面 积等于 （结果保留π）． ２．如图２是同学们设计的“心”形图案，正方形 ＡＢＣＤ的边长为ａ，以Ａ为圆心，ＡＢ长为半径作扇形，又 分别以ＢＣ和ＣＤ的长为直径作半圆，则图中阴影部分 的面积为 ． ３．如图３，矩形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，分别以ＡＢ，ＢＣ， ＣＤ，ＡＤ为直径向外作半圆，若ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，则阴影 部分的面积为 ． ４．如图４，已知⊙Ｏ的半径为１，ＡＢ是直径，分别以 点Ａ，Ｂ为圆心，以ＡＢ的长为半径画弧，两弧相交于Ｃ， Ｄ两点，则图中阴影部分的面积是 ． １．如图１，在扇形 ＡＢＤ中，∠ＢＡＤ＝６０°，ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ交弧ＢＤ于点Ｃ，点Ｐ为半径ＡＢ上一动点，若ＡＢ ＝４，则阴影部分周长的最小值为 ． ２．如图 ２，四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｄ ＝９０°， ∠ＤＡＢ＝１３５°，且ＡＢ＝２，ＡＤ＝ 槡４２．以Ｂ为圆心，ＢＣ 为半径作弧，交ＢＡ的延长线于点Ｅ，若点Ｑ为弧ＥＣ上 的动点，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，设点Ｉ为△ＢＱＨ的 内心，连接ＢＩ，ＱＩ，当点Ｑ从点Ｃ运动到点Ｅ时，则内心 Ｉ所经过的路径长为 ． 书 求与圆有关的阴影部分的面积这类题目在各地考 试题中时常出现，所给阴影部分的图形一般是不规则 的，需要将不规则图形转化成规则图形求解．现介绍几 种转化方法，供大家学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、和差转化法 例１　如图１，平行四 边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ， ＢＤ交于点Ｏ，且ＡＣ⊥ＡＢ， 以Ｏ为圆心，分别以 ＯＡ， ＯＣ的长为半径画弧交对 角线ＢＤ于点Ｅ，Ｆ，若ＡＣ＝４，∠ＡＢＯ＝３０°，则图中阴影 部分的面积为 ． 解析：因为ＡＣ⊥ＡＢ，所以∠ＢＡＣ＝９０°，因为∠ＡＢＯ ＝３０°，所以∠ＡＯＢ＝６０°，因为ＡＣ＝４，所以ＯＡ＝ＯＣ＝ １ ２ＡＣ＝２，所以ＡＢ＝ 槡２３，所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＡＢ·ＯＡ＝ 槡２３，Ｓ扇形ＡＯＥ ＝ ６０π·２２ ３６０ ＝ ２ ３π，所以Ｓ阴影 ＝２（Ｓ△ＡＯＢ － Ｓ扇形ＡＯＥ）＝２（槡２３－ ２ ３π）＝ 槡４３－ ４ ３π． 故填 槡４３－ ４ ３π． 二、等积转化法 例２　如图２，以等边三角形 的一边ＢＣ为直径作半圆Ｏ交另两 边于Ｄ，Ｅ两点，等边三角形的边 长为６，则图中阴影部分的面积为 ． 解析：连接 ＯＤ，ＯＥ，ＤＥ．因为 △ＡＢＣ是等边三角形，所以∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，因 为ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ＯＥ＝ １２ＢＣ＝３，所以 △ＢＯＤ， △ＣＯＥ都是等边三角形，所以 ∠ＢＯＤ＝∠ＥＯＣ＝６０°， ＢＤ＝ＣＥ＝３，所以 ∠ＤＯＥ＝６０°，ＡＤ＝ＡＥ＝３，所以 △ＤＯＥ是等边三角形，△ＡＤＥ是等边三角形，所以 △ＡＤＥ≌ △ＢＯＤ≌ △ＣＯＥ≌ △ＤＯＥ，所以 Ｓ△ＡＤＥ ＝ Ｓ△ＢＯＤ ＝Ｓ△ＣＯＥ ＝Ｓ△ＤＯＥ，所以弓形ＢＤ，弓形ＤＥ与弓形ＣＥ 的面积相等，所以Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＯＤ ＝ ６０π×３２ ３６０ ＝ ３ ２π． 故填 ３ ２π． 三、容斥原理法 例３　如图３，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°， 分别以点Ｂ，Ｃ为圆心，以ＢＡ 长为半径画弧，两弧分别交 线段ＢＣ于点Ｅ，Ｄ，若ＤＥ＝ ４－ 槡２２，则图中的阴影部分 面积为 ． 解析：因为在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，所 以∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°．设ＡＢ＝ＡＣ＝ａ，则ＢＣ＝槡２ａ，所 以ＤＥ＝ＢＥ＋ＣＤ－ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ－ＢＣ＝２ａ－槡２ａ，所 以４－ 槡２２＝２ａ－槡２ａ，解得ａ＝２，所以Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＣＤ ＋Ｓ扇形ＡＢＥ－Ｓ△ＡＢＣ ＝ ４５π×２２ ３６０ ＋ ４５π×２２ ３６０ － １ ２×２×２＝ π－２． 故填π－２． 【对应练习见《重点集训营》】 书 【提示】 １．作点Ｄ关于直线ＡＢ的对称点Ｄ′，连接ＤＤ′交 ＡＢ于点Ｅ，连接Ｄ′Ｃ交ＡＢ于点Ｐ，连接ＰＤ，ＡＤ′，则当 Ｄ′，Ｐ，Ｃ三点共线时，阴影部分的周长最小，即ＤＰ＋ ＰＣ＝Ｄ′Ｐ＋ＰＣ＝Ｄ′Ｃ，根据角平分线性质得到 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＝１ ２∠ＢＡＤ，推出∠ＣＡＤ′＝９０°，根 据弧长公式算出) ＤＣ，利用勾股定理算出Ｄ′Ｃ即可． ２．连接ＩＣ，则∠ＱＢＩ＝∠ＣＢＩ，证明△ＩＢＱ≌ △ＩＢＣ，得到∠ＢＩＣ＝∠ＢＩＱ，计算∠ＱＢＩ＋∠ＩＱＢ的 度数，得到∠ＢＩＣ＝∠ＢＩＱ＝１３５°，过Ｂ，Ｉ，Ｃ三点作 ⊙Ｏ，内心Ｉ经过的路径长为) ＢＣ的长，求得 ∠ＢＯＣ的 度数，求出ＢＣ＝１０，在等腰直角三角形ＢＣＯ中，利用 勾股定理得ＢＯ的长，最后根据弧长公式解题即可． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" # $ ! " # $ % & ' ! ! ! $ ( & % " ! " ( $ ) % " ! ! ! ( % " ! ! " ( ! ) " % ! ! ! * + , " ( - & ! " !& " ( % ! # % " $ ( ! ! $ ! ! " ( % ! # 书 一、计算圆锥的底面半径 例 １　 如图 １，以正方形纸片 ＡＢＣＤ的顶点Ａ为圆心，ＡＢ长为半径 画弧，用这个纸片制作一个无底的 圆锥．若正方形的边长为１，则圆锥 底面的半径为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１４ Ｂ． １ ３ Ｃ．２３ Ｄ．１ 解析：设圆锥的底面半径为 ｒ，由题意，得 ２πｒ＝ ９０×１×π １８０ ，解得ｒ＝ １ ４．故选Ａ． 二、计算圆锥的高 例 ２　 如图 ２，有一块半径为 １ｍ，圆心角为９０°的扇形铁皮，要把 它做成一个圆锥形容器（接缝忽略 不计），那么这个圆锥形容器的高为 （　　） Ａ．１４ｍ Ｂ． ３ ４ｍ Ｃ． 槡１５ ４ ｍ Ｄ． 槡３ ２ｍ 解析：设圆锥底面半径为ｒｍ，则２πｒ＝９０π×１１８０ ，解 得ｒ＝１４，所以其高ｈ＝ １ ２ (－ )１４槡 ２ ＝槡１５４ （ｍ）． 故选Ｃ． 三、计算圆锥的母线 例３　已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ２４０°的扇形，若这个圆锥的底面半径长是６，则这个圆 锥的母线长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．６ Ｃ．９ Ｄ．１２ 解析：圆锥的底面周长 ＝２π×６＝１２π，则 ２４０π×ｌ １８０ ＝１２π，解得ｌ＝９．故选Ｃ． 四、计算展开图中扇形的圆心角 例４　 如图３，已知圆锥的 高与母线夹角 ∠α＝３０°，则此 圆锥侧面展开图的圆心角度数 为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．１２０° Ｃ．１８０° Ｄ．３６０° 解析：设圆锥侧面展开图的 圆心角度数为ｎ°，底面圆半径为 ｒ，因为∠α＝３０°，所以ＡＢ＝２ｒ．因为２πｒ＝ｎπ·２ｒ１８０ ，所 以ｎ＝１８０．故选Ｃ． 五、计算圆锥的侧面积 例５　小吴同学在数学综合 实践活动中，制作了一个圆锥模 型（如图４所示），经过小吴同学 测量，得到圆锥底面直径为 １０ｃｍ，圆锥的高为１２ｃｍ，则根据 测量数据推算该圆锥的侧面积为 ｃｍ２（结果保留π）． 解析：因为ｈ＝１２ｃｍ，ｒ＝１２ｄ＝５（ｃｍ），可设圆锥 母线长为 ｌｃｍ，由勾股定理，得 ｌ＝ ５２＋１２槡 ２ ＝ １３（ｃｍ），圆锥侧面展开图的面积为 Ｓ侧 ＝πｒｌ＝ ６５π（ｃｍ２）．故填６５π． 书 利用弧长公式可以直接计算弧长，也可以由公式变 形求圆心角和半径．下面就弧长公式的应用举例说明如 下，供同学们学习参考． 一、求弧长 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，ＡＣ是弦，ＡＢ ＝４，∠Ａ＝ ３０°，则 ) ＢＣ的长度为 ． 解析：连接 ＯＣ，因为 ∠Ａ＝ ３０°，所以∠ＣＯＢ＝６０°，因为ＡＢ ＝４，所以ＯＢ＝２，所以 ) ＢＣ的长 度为 ６０π·２ １８０ ＝ ２π ３．故填 ２π ３． 二、求圆心角 例２　如图２，传送带的一 个转动轮的半径为１８ｃｍ，转动 轮转ｎ°，传送带上的物品 Ａ被 传送１２πｃｍ，则ｎ＝ ． 解析：由题意，得 ｎπ×１８ １８０ ＝１２π，解得 ｎ＝１２０．故填 １２０． 三、求半径 例３　已知圆上一段弧长为５πｃｍ，它所对的圆心 角为１００°，则该圆的半径为 （　　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．９ｃｍ Ｃ．１２ｃｍ Ｄ．１８ｃｍ 解析：设该圆的半径为 ｒｃｍ，根据题意，得１００πｒ１８０ ＝ ５π，解得ｒ＝９，即该圆的半径为９ｃｍ．故选Ｂ． 四、求复杂路径 例４　如图３，将含有３０°角的直角三角板在桌面上 做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点Ａ的位置变化 为Ａ→Ａ１→Ａ２，其中ＡＢ＝６，第二次翻滚被桌面上一小 木块挡住，使三角板与桌面成２０°角，则点Ａ翻滚到Ａ２位 置时共走过的路径长为 ． 解析：因为ＡＢ＝６，∠ＡＣＢ＝３０°，∠Ａ２Ｃ１Ｄ＝２０°， 所以∠ＡＣＢ＝∠Ａ１Ｃ１Ｂ＝∠Ａ２Ｃ１Ｂ２＝３０°，∠ＡＢＣ＝ ∠Ａ１ＢＣ１ ＝６０°，ＢＣ＝２ＡＢ＝１２，所以 ＡＣ＝Ａ１Ｃ１ ＝ １２２－６槡 ２ ＝ 槡６３， 所以∠ＡＢＡ１ ＝１２０°，∠Ａ１Ｃ１Ａ２ ＝１３０°， 所以点 Ａ翻滚到 Ａ２位置时共走过的路径长为 １２０π×６ １８０ ＋ １３０π× 槡６３ １８０ ＝４π＋ 槡１３３ ３ π． 故填４π＋ 槡１３３３ π． 书 一、求边长 例１　如图１，ＡＢ，ＡＣ分 别是某圆内接正六边形、正 方形的一边，若 ＡＢ＝２，则 ＡＣ的长为 ． 解析：设圆的圆心是 Ｏ， 连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，因为ＡＢ是圆内接正六边形的一边，所 以∠ＡＯＢ＝６０°，所以△ＡＯＢ是等边三角形，所以ＯＡ＝ ＡＢ＝２．因为ＡＣ是圆内接正方形的一边，所以∠ＡＯＣ＝ ９０°，所以△ＡＯＣ是等腰直角三角形，所以ＯＡ＝ＯＣ＝２， 所以ＡＣ＝ 槡２２．故填 槡２２． 二、求角度 例 ２　 如图 ２，正五边形 ＡＢＣＤＥ内接于 ⊙Ｏ，Ｐ为劣弧 ＡＢ 上的动点，则 ∠ＡＰＢ的大小为 ． 解析：连接 ＯＡ，ＯＢ，ＡＤ，ＢＤ， 因为五边形 ＡＢＣＤＥ是正五边形， 所以∠ＡＯＢ＝３６０°５ ＝７２°，所以 ∠ＡＤＢ＝１２∠ＡＯＢ＝３６°，因为正五边形ＡＢＣＤＥ的外接 圆为⊙Ｏ，所以四边形ＡＰＢＤ是⊙Ｏ的内接四边形，所以 ∠ＡＰＢ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，所以∠ＡＰＢ＝１４４°．故填１４４°． 三、求面积 例３　如图３，六边形ＡＢＣＤＥＦ 是⊙Ｏ的内接正六边形，设正六边 形ＡＢＣＤＥＦ的面积为 Ｓ１，△ＡＣＥ的 面积为Ｓ２，则 Ｓ１ Ｓ２ ＝ ． 解析：连接ＯＡ，ＯＣ，ＯＥ，因为六 边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边 形，所以ＡＣ＝ＡＥ＝ＣＥ，所以△ＡＣＥ是⊙Ｏ的内接正三 角形．因为∠Ｂ＝１２０°，ＡＢ＝ＢＣ，所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ ＝３０°，因为∠ＣＡＥ＝６０°，所以∠ＯＡＣ＝∠ＯＡＥ＝３０°， 所以∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＣ＝３０°，同理可得，∠ＢＣＡ＝∠ＯＣＡ ＝３０°．又因为 ＡＣ＝ＡＣ，所以 △ＢＡＣ≌ △ＯＡＣ，所以 Ｓ△ＢＡＣ ＝Ｓ△ＯＡＣ，由圆和正六边形的性质可得，Ｓ△ＢＡＣ ＝ Ｓ△ＡＦＥ ＝Ｓ△ＣＤＥ，由圆和正三角形的性质可得，Ｓ△ＯＡＣ ＝ Ｓ△ＯＡＥ ＝Ｓ△ＯＣＥ．因为Ｓ１ ＝Ｓ△ＢＡＣ ＋Ｓ△ＡＦＥ ＋Ｓ△ＣＤＥ ＋Ｓ△ＯＡＣ ＋Ｓ△ＯＡＥ＋Ｓ△ＯＣＥ ＝２（Ｓ△ＯＡＣ＋Ｓ△ＯＡＥ＋Ｓ△ＯＣＥ）＝２Ｓ２，所以 Ｓ１ Ｓ２ ＝２．故填２． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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敏大腿根部距脚尖９０ｃｍ，即ＯＡ＝９０ｃｍ，当其完成图中 一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为 （　　） Ａ．４５２πｃｍ Ｂ． ４５ ４πｃｍ Ｃ．４５πｃｍ Ｄ． ４５ ２ｃｍ ４．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海 风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示 意图如图３所示，扇叶ＯＡ的长为２０米，当扇叶ＯＡ旋转 至ＯＢ位置时，扇叶ＯＡ扫过的面积为 （　　） Ａ．４０π３ 平方米 Ｂ． ８０π ３ 平方米 Ｃ．４００π３ 平方米 Ｄ． ８００π ３ 平方米 ５．如图４，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边 形，如果这个正六边形ＡＢＣＤＥＦ的周长是 槡１８３ｃｍ，则这 个正六边形的外接圆半径是 （　　） 槡 槡 槡Ａ．３ｃｍ Ｂ．２３ｃｍ Ｃ．３３ｃｍ Ｄ．６ｃｍ ６．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使 用的一种图形．如图５，以等边三角形ＡＢＣ的三个顶点为 圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱 洛三角形”．若等边三角形 ＡＢＣ的边长为２，则该“莱洛 三角形”的面积等于 （　　） Ａ．２π Ｂ．２π－槡３ Ｃ．２π－ 槡２３ Ｄ．２π＋槡３ ７．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为 一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图 ６．已知矩形的宽为２ｍ，对角线为４ｍ，则改建后门洞的 圆弧长是 （　　） Ａ．（５３π＋２）ｍ Ｂ． １０ ３πｍ Ｃ．８３πｍ Ｄ． ５ ３πｍ ８．如图７，在 ⊙Ｏ中，Ａ，Ｂ为 ⊙Ｏ上两点，且∠ＡＯＢ＝１２０°，分 别以点Ａ，Ｂ为圆心，ＯＡ长为半径 画圆，将两圆相交的公共部分依 次绕点Ｏ顺时针旋转７２°得到如 图所示的“五叶花瓣”（阴影图 案）．若ＯＡ＝１，则图中“五叶花瓣”的面积为 （　　） Ａ．５π３－ 槡５３ ２ Ｂ． π ６－ 槡３ ４ Ｃ．π－槡３４ Ｄ． 槡５３ ２ － π ６ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．一个扇形的面积是２４πｃｍ２，圆心角是６０°，则此 扇形的半径是 ｃｍ． １０．如图８，正五边形ＡＢＣＤＥ的边长为２，以Ｂ为圆 心，以 ＢＡ为半径作弧 ＡＣ，则阴影部分的面积为 ． １１．传统服饰日益受到关注，明清时期女子主要裙 式之一的马面裙可以近似地看作扇环，如图９所示为其 示意图，其中 ∠ＡＯＤ＝６０°， ) ＡＤ长为 π３米， ) ＢＣ长为 ３π ５米，则裙长ＡＢ为 米． １２．如图１０，已知点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为一个正多边形的顶 点，Ｏ为正多边形的中心，若 ∠ＡＤＢ＝１５°，则这个正多 边形的边数为 ． １３．如图１１，在２×３的网格图中，每个小正方形的 边长均为１，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都在格点上，线段ＣＤ与弧 ＡＣ 交于点Ｅ，则图中阴影部分的面积为 ． １４．如图 １２，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ２，将正方形 ＡＢＣＤ按如图所示方式在直线ｌ进行两次旋转，则点Ｃ在 两次旋转过程中经过的路径的长是 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图 １３，已知 ⊙Ｏ内接正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的边长为６ｃｍ，求这个正六边形的边心距ｒ６、面 积Ｓ６． １６．（１０分）如图１４，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝６， ∠ＢＡＣ＝４５°，以ＡＢ为直径作半圆，交ＢＣ于点Ｄ，交ＡＣ 于点Ｅ． （１）求线段ＣＥ的长； （２）求弧ＤＥ的长． １７．（１０分）如图１５，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆 锥的底面圆的半径为４ｍ，高为３ｍ． （１）求这个圆锥的母线长； （２）为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油 毡的面积至少是多少（π取３．１４，结果精确到１ｍ２）？ １８．（１０分）某数学小组使用量角器探究圆的相关 性质，如图１６所示，将两块量角器完全重合在一起（量 角器的直径为ＡＢ，圆心为Ｏ），保持下面一块不动，上面 的一块沿ＡＢ所在的直线向左平移，当圆心与点 Ａ重合 时，量角器停止平移，此时半圆Ｏ与半圆Ａ交于点Ｐ，连 接ＢＰ． （１）ＢＰ与半圆Ａ有怎样的位置关系？请说明理由． （２）若量角器的直径ＡＢ＝４，求图中阴影部分的面 积． １９．（１２分）如图１７，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＴ是⊙Ｏ的 切线，ＢＴ交⊙Ｏ于另一点Ｄ，且ＴＤ＝ＢＤ． （１）求证：∠ＡＢＴ＝４５°； （２）若Ｅ为 ) ＡＤ的中点，ＡＢ＝２，连接ＢＥ，求 ) ＤＥ的长 及阴影部分的面积． ２０．（１２分）如图１８－①，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝８， 点Ｃ在⊙Ｏ上且位于直线ＡＢ上方，将半径ＯＣ绕点Ｏ顺 时针旋转４０°，点Ｃ的对应点为点Ｄ，连接ＣＤ，ＢＤ． （１）以 ＣＤ为边的 ⊙Ｏ内接正多边形的边数为 ； （２）当直径ＡＢ平分∠ＣＯＤ时，求 ) ＡＣ的长； （３）如图１８－②，连接ＡＣ并延长，交ＢＤ的延长线 于点Ｅ，当△ＡＢＥ是等腰三角形时，直接写出扇形 ＡＯＤ 的面积                                                                                                                                                                 ． 书 ２４．６正多边形与圆 １．如图１，正八边形内接于 ⊙Ｏ，连接 ＯＡ，ＯＢ，则 ∠ＡＯＢ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５５° Ｂ．５０° Ｃ．４５° Ｄ．４０° ２．半径为 ２的圆的一个内接正多边形的内角为 １２０°，则这个内接正多边形的边长为 （　　） 槡 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．２３ ３．如图２，已知⊙Ｏ的周长等于６π，则它的内接正 六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是 （　　） Ａ． 槡２７３２ Ｂ． 槡２７３ ４ Ｃ． 槡９３ ４ 槡Ｄ．２７３ ４．如图３，五边形ＡＢＣＤＥ是⊙Ｏ的内接正五边形， 则∠ＡＥＢ的度数为 ． ５．如图４摆放的两个正六边形的顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在 圆上．若ＡＢ＝１，则该圆的半径为 ． ６．已知ＡＢ是⊙Ｏ的内接正十边形的一条边，ＢＣ是 ⊙Ｏ的内接正十五边形的一条边，则以 ＡＣ为一边的 ⊙Ｏ的内接正多边形的边数是 ． ７．如图５，六边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边形． （１）求证：在六边形ＡＢＣＤＥＦ中，过顶点 Ａ的三条 对角线四等分∠ＢＡＦ； （２）设⊙Ｏ的面积为Ｓ１，六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积为 Ｓ２，求 Ｓ１ Ｓ２ 的值（结果保留π）． ２４．７弧长与扇形面积（第一课时） １．点Ａ，Ｂ，Ｃ在 ⊙Ｏ上的位置如图１所示，∠Ａ＝ ７０°，⊙Ｏ的半径为３，则 ) ＢＣ的长是 （　　） Ａ．７６π Ｂ． ７ ３π Ｃ． ７ ２π Ｄ．７π ２．把长度为２π的一根铁丝弯成圆心角是１２０°的 一条弧，那么这条弧所在圆的半径是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ３．如图２，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，⊙Ｏ的半径为 ３，∠Ｄ＝１１５°，则 ) ＡＣ的长是 ． ４．在社会实践活动中，小明同学用一个半径为 １２ｃｍ的定滑轮带动重物上升．如图３，滑轮上一点Ａ绕 点Ｏ逆时针旋转１２０°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之 间没有滑动，则重物上升了 ｃｍ． ５．如图４，在扇形ＡＯＢ中，半径ＯＡ＝９，将扇形ＡＯＢ 沿过点Ｂ的直线折叠，点Ｏ恰好落在 ) ＡＢ上的点Ｄ处，折 痕交ＯＡ于点Ｃ，则图中阴影部分的周长是 ． ６．如图５，ＡＢ是半圆Ｏ的直径，点Ｐ为半圆上一点 （不与点Ｂ重合），点Ｃ是 ) ＰＢ的中点，过点Ｃ作⊙Ｏ的切 线，交ＡＰ的延长线于点Ｄ，交ＡＢ的延长线于点Ｅ． （１）判断ＡＤ与ＣＤ的位置关系，并说明理由； （２）若ＡＢ＝４，∠ＰＡＢ＝４５°，求 ) ＰＢ与线段ＯＥ的长 度，并比较二者的大小． ２４．７弧长与扇形面积（第二课时） １．已知某扇形弧长为３π，圆心角为６０°，则该扇形 面积为 （　　） Ａ．５２π Ｂ． ７ ２π Ｃ． １７ ２π Ｄ． ２７ ２π ２．如果两个扇形的半径之比为１∶２，圆心角之比也 为１∶２，那么它们的面积之比为 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶１ Ｄ．１∶８ ３．如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ为对角线，Ｏ为ＡＣ 中点．分别以点Ａ，Ｃ为圆心，以ＡＯ的长为半径画弧，与 正方形的边相交．当 ＡＢ＝２时，阴影部分的面积为 （结果保留π）． ４．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ， 以ＡＢ为直径的⊙Ｏ与ＡＣ相交于点Ｄ．若ＡＢ＝８，则图 中阴影部分的面积是 ． ５．如图 ３，在圆心角为 １３５°的扇形 ＡＯＢ中，半径 ＯＡ ＝２ｃｍ，Ｃ，Ｄ为弧 ＡＢ的三等 分点，连接 ＯＣ，ＯＤ，ＡＣ，ＣＤ， ＢＤ，则图中阴影部分的面积 为 ｃｍ２． ６．如图４，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，ＡＥ与⊙Ｏ相切于点Ｂ， 连接ＢＣ，ＢＤ，过圆心Ｏ作ＯＥ∥ＢＣ，连接ＥＢ并延长，交 ＤＣ延长线于点Ａ． （１）求证：∠Ｄ＝∠Ｅ； （２）若Ｆ是ＯＥ的中点，⊙Ｏ的半径为２，求阴影部 分的面积． ２４．７弧长与扇形面积（第三课时） １．如图１，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个 底面半径为２，侧面积为８π的圆锥，则该扇形的圆心角 θ为 （　　） Ａ．９０° Ｂ．１３５° Ｃ．１８０° Ｄ．２７０° ２．若圆锥的侧面展开图是圆心角为１２０°的扇形， 则该圆锥的侧面积与底面积的比为 （　　） Ａ．３∶２ Ｂ．２∶１ Ｃ．３∶１ Ｄ．４∶１ ３．如图２，⊙Ａ的半径为３，作正六边形ＡＢＣＤＥＦ，点 Ｂ，点Ｆ在⊙Ａ上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面 展开图，则这个圆锥的高为 ． ４．如图３，从一张腰长为槡２ｃｍ的等腰直角三角形 铁皮ＯＡＢ中剪出一个最大的扇形 ＯＣＤ，用剪下的扇形 铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底 面半径为 ｃｍ． ５．如图４，在矩形纸片ＡＢＣＤ中，ＡＤ长为３０ｃｍ，把它 分割成正方形纸片ＡＢＦＥ和矩形纸片ＥＦＣＤ后，分别裁 出扇形ＥＦＢ和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧 面和底面，则围成的圆锥的表面积为 ｃｍ２． ６．如图５所示，已知圆锥底面半径ｒ＝５ｃｍ，母线长 为２０ｃｍ． （１）求它的侧面展开图的圆心角； （２）若一甲虫从Ａ点出发沿着圆锥侧面绕行到母 线ＳＡ的中点 Ｂ，请你动脑筋想一想它所走的最短路线 是多少 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ？ 书 因为∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＯＤ， 所以 ∠ＯＡＤ＋∠ＡＢＤ ＝ ９０°，因为∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ ＝ ∠ＣＡＤ，∠ＥＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ，所 以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＥＡＤ， 所 以 ∠ＩＡＥ ＝ ∠ＯＡＤ＋∠ＥＡＤ＝９０°．因 为 ∠ＤＩＡ ＝ ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＯ ＝∠ＤＡＩ，所以ＩＤ＝ＡＤ，因 为 ∠ＤＩＡ＋∠Ｅ ＝９０°， ∠ＤＡＩ＋∠ＤＡＥ＝９０°，所 以∠Ｅ＝∠ＤＡＥ，所以 ＥＤ ＝ＡＤ，所以ＩＤ＝ＥＤ，所以 点Ｄ是ＩＥ的中点． ２０．（１）证明：因为ＡＤ 平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＤ ＝∠ＣＡＤ，因为 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＣＡＤ，所 以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＤＢＣ． （２）证明：连接ＣＤ，因 为∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，所以 ) ) ＢＤ＝ＣＤ，所以ＢＤ＝ＤＣ， 因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＥＢＣ．因 为 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＤＢＣ ＋ ∠ＥＢＣ，∠ＢＥＤ＝∠ＤＡＢ＋ ∠ＡＢＥ，由（１）知∠ＢＡＤ＝ ∠ＤＢＣ，所以 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＢＥＤ，所以ＤＢ＝ＤＥ，所 以ＤＢ＝ＤＥ＝ＤＣ，所以点 Ｂ，Ｅ，Ｃ在以点Ｄ为圆心的 同一个圆上． （３）连接ＯＢ，设ＡＤ与 ＢＣ相交于点Ｈ， 因为 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ平 分∠ＢＡＣ，所以 ＡＤ⊥ ＢＣ， 所以ＢＨ＝ １２ＢＣ＝４，所 以 ＡＨ＝ ＡＢ２－ＢＨ槡 ２ ＝ ３．设ＯＢ＝ｘ，则ＯＡ＝ＯＤ ＝ＯＢ＝ｘ，ＯＨ＝ＯＡ－ＡＨ ＝ｘ－３，在 Ｒｔ△ＢＨＯ中， ＯＢ２＝ＢＨ２＋ＯＨ２，即ｘ２＝ ４２＋（ｘ－３）２，解得 ｘ＝ ２５ ６，即ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＢ＝ ２５ ６．因为 ＡＤ为 ⊙Ｏ的直 径，所以ＡＤ＝２ＯＡ＝２５３， 在 Ｒｔ△ＡＢＤ 中， 因 为 ∠ＡＢＤ＝９０°，所以 ＢＤ＝ ＡＤ２－ＡＢ槡 ２ ＝ ２０ ３，所以 ＤＥ＝ＢＤ＝２０３，所以 ＯＥ ＝ＤＥ－ＯＤ ＝ ５２．因为 ∠ＢＡＣ与∠ＡＢＣ的角平分 线相交于点Ｅ，所以点Ｅ为 △ＡＢＣ的内心，所以ＯＥ的 长即为△ＡＢＣ内心与外心 之间的距离，所以 △ＡＢＣ 内心与外心之间的距离为 ５ ２． 上期４版 重点集训营 １．（１）连接ＯＰ，作ＯＰ 的垂线交ＯＰ于点Ｏ′，以Ｏ′ 为圆心，Ｏ′Ｐ为半径画圆， 连接ＰＥ，ＰＦ即可．作图略． （２）证明：连接 ＯＥ， ＯＦ，因为 ＯＰ为直径，所以 ∠ＰＥＯ＝∠ＰＦＯ＝９０°，即 ＯＥ⊥ＰＥ，ＯＦ⊥ ＰＦ．因为 ＯＥ，ＯＦ是 ⊙Ｏ的半径，所 以ＰＥ，ＰＦ是⊙Ｏ的切线． ２．（１）证明：连接ＯＤ， 因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所 以∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°． 因为 ∠ＡＣＢ的平分线交 ⊙Ｏ于点Ｄ，所以∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＣＤ＝４５°，所以∠ＤＡＢ ＝∠ＡＢＤ ＝４５°，所以 △ＤＡＢ是等腰直角三角 形．因为ＯＡ＝ＯＢ，所以ＯＤ ⊥ ＡＢ，所 以 ∠ＯＤＢ ＝ ∠ＤＣＢ＝４５°，因为∠ＢＤＥ ＝∠ＤＣＥ，所以 ∠ＢＤＥ＝ ４５°，所以∠ＯＤＥ＝９０°，因 为ＯＤ是⊙Ｏ的半径，所以 ＤＥ是⊙Ｏ的切线． （２）ＢＤ的长为 槡５２２．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