第17期 24.4 直线与圆的位置关系 24.5 三角形的内切圆（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 １．已知：点Ｐ是⊙Ｏ外一点． （１）尺规作图：如图１，以ＯＰ为直径作⊙Ｏ′交⊙Ｏ 于Ｅ，Ｆ两点，连接 ＯＰ，ＰＥ，ＰＦ（保留作图痕迹，不要求 写作法）； （２）在（１）的条件下，求证：ＰＥ，ＰＦ是⊙Ｏ的切线． ２．如图２，△ＡＢＣ内接于 ⊙Ｏ，ＡＢ为 ⊙Ｏ的直径， ∠ＡＣＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，过点Ｄ作直线ＤＥ交ＣＢ 的延长线于点Ｅ，且∠ＢＤＥ＝∠ＤＣＥ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若⊙Ｏ的半径为 ５２，求ＤＢ的长． １．如图１，Ｄ为△ＡＢＣ内一点，且∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ， ＢＤ⊥ＣＤ．作ＤＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＨＤ的延长线交ＡＣ于Ｅ，若 ＤＥ＝３，ＡＢ＝５，则ＢＣ＝ ． ２．如图２，在半径为４的⊙Ｏ中，弦ＡＣ＝ 槡４２，Ｂ是 ⊙Ｏ上的一动点（不与点Ａ重合），Ｄ是ＡＢ的中点，Ｍ为 ＣＤ的中点，则ＡＭ的最大值为 ． 书 １７．（１）△ＡＢＣ是等腰 直角三角形，理由如下： 因为 ＡＣ为 ⊙Ｏ的直 径，所以 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ ＝９０°，因为 ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＣＤＢ，所以 ) ) ＡＢ＝ＢＣ，所 以ＡＢ＝ＢＣ，又因为∠ＡＢＣ ＝９０°，所以△ＡＢＣ是等腰 直角三角形． （２）ＣＤ的长为 槡２３． １８．（１）ＤＥ＝ＢＤ，理 由如下： 因为Ｅ是△ＡＢＣ角平 分线的交点，所以 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所 以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ，∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＥ，所以 ) ) ＢＤ＝ＣＤ， 所以 ∠ＤＢＣ＝∠ＣＡＤ ＝ ∠ＢＡＥ，因 为 ∠ＤＢＥ ＝ ∠ＣＢＥ＋∠ＤＢＣ，∠ＤＥＢ＝ ∠ＡＢＥ ＋ ∠ＢＡＥ， 所 以 ∠ＤＢＥ＝∠ＤＥＢ，所以ＤＥ ＝ＤＢ． （２）连接 ＣＤ，由（１） 得 ) ) ＢＤ＝ＣＤ，所以ＣＤ＝ＢＤ ＝ＤＥ＝２，因为∠ＢＡＣ＝ ９０°，所以 ＢＣ是 ⊙Ｏ的直 径，所以 ∠ＢＤＣ＝９０°，所 以ＢＣ＝ ＢＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ 槡２２，所以△ＡＢＣ外接圆的 半径 ＝ １２ＢＣ＝槡２． １９．（１）证明：连接 ＡＤ，因为点 Ｄ是 ) ＢＣ的中 点，所以∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ． 又因为 ＡＣ ＝ＡＢ，ＡＤ ＝ ＡＤ，所以△ＣＡＤ≌△ＢＡＤ， 所以 ∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＤ，ＣＤ ＝ ＢＤ，所 以 ∠ＤＣＥ ＝ ∠ＤＢＦ．又因为 ∠ＣＤＥ＝ ∠ＢＤＦ，所以 △ＣＥＤ≌ △ＢＦＤ，所以ＤＦ＝ＤＥ． （２） 因 为 四 边 形 ＡＢＤＣ是圆内接四边形，所 以∠ＤＢＦ＝∠ＡＣＤ．因为 ∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ，所 以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＤＢＦ，所 以 ∠ＡＢＤ＝９０°，所以∠ＥＣＤ ＝∠ＡＢＤ＝９０°，所以 ＡＤ 是⊙Ｏ的直径．因为ＣＤ＝ ＢＤ＝６，ＣＥ＝８，所以 ＤＥ ＝１０，所以ＥＢ＝１０＋６＝ 书 上期２版 ２４．２．３圆的确定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ａ； ４．一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形； ５．１４０°；　６．（１，４）；　７．５；　８．槡２３． ９．（１）图略． （２）因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，所以ＡＢ ＝ ５２＋１２槡 ２ ＝１３，所以△ＡＢＣ的外接圆的面积为π· （ １３ ２） ２ ＝１６９４π． 能力提高　１０．（１）连接ＡＢ，ＢＣ，分别作ＡＢ，ＢＣ的 垂直平分线，两直线交于点Ｍ，则Ｍ是过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的 圆的圆心，所以Ｍ（１，－２）．故填（１，－２）． （２）点Ｄ在⊙Ｍ外部，理由如下： 因为Ｍ（１，－２），Ｄ（－３，－２），Ｂ（０，１），所以ＭＤ＝ １－（－３）＝４，ＭＢ＝ １２＋（－２－１）槡 ２ ＝槡１０，所以 ＭＤ＞ＭＢ，所以点Ｄ在⊙Ｍ的外部． ２４．３圆周角 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．２４；　５．９９°； ６．４０°；　７．１４０°． ８．（１）证明：因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ⊥ＡＢ，所以 ) ) ＢＣ＝ＢＤ，所以∠Ａ＝∠２，又因为ＯＡ＝ＯＣ，所以∠１＝ ∠Ａ，所以∠１＝∠２． （２）因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＣＤ⊥ＡＢ，ＣＤ＝６，所以 ∠ＣＥＯ＝９０°，ＣＥ＝ＥＤ＝３，设⊙Ｏ的半径是ｒ，因为ＥＢ ＝２，所以ＯＥ＝ｒ－２，在Ｒｔ△ＯＥＣ中，由勾股定理，得ｒ２ ＝（ｒ－２）２＋３２，解得ｒ＝１３４，所以⊙Ｏ的半径为 １３ ４． ９．（１）因为ＢＣ是圆的直径，所以∠ＢＤＣ＝９０°，因 为ＡＣ＝ＢＣ，所以△ＡＢＣ是等腰三角形，所以ＡＤ＝ＢＤ． （２）因为ＢＣ是圆的直径，所以∠ＢＥＣ＝９０°，因为 ＡＣ＝ＢＣ＝１０，ＡＤ＝ＢＤ＝６，所以ＣＤ＝ ＢＣ２－ＢＤ槡 ２ ＝８，ＡＢ＝１２，因为∠ＢＥＣ＝９０°，所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２×ＡＢ ×ＣＤ＝１２×ＡＣ×ＢＥ，所以 １ ２×１２×８＝ １ ２×１０×ＢＥ， 解得ＢＥ＝９．６，所以ＡＥ＝ ＡＢ２－ＢＥ槡 ２ ＝７．２． 能力提高 　１０．因为 ＡＢ是直径，所以 ∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＤＢ＝９０°，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，所 以ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝８（ｃｍ），因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ， 所以∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＤＢ，所以ＡＤ＝ＢＤ．在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，所以ＡＤ ＝ＢＤ＝ １００槡２ ＝ 槡５２（ｃｍ）．所以四边形ＡＣＢＤ的面积 ＝△ＡＢＣ的面积 ＋△ＡＢＤ的面积 ＝１２×６×８＋ １ ２× 槡５２× 槡５２＝４９（ｃｍ ２）． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ 二、９．５０°；　１０．槡２５５；　１１．槡２３；　１２．（ ５ ２，－ １ ２）； １３．５２．５°；　１４．槡２９－２． 三、１５．（１）图略． （２）⊙Ｏ的半径为槡４１． １６．（１）因为ＢＣ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＢＡＣ＝９０°， 因为ＡＢ＝２，∠ＡＣＢ＝３０°，所以ＢＣ＝２ＡＢ＝４，所以ＯＢ ＝ＯＣ＝ １２ＢＣ＝２．即⊙Ｏ的半径为２． （２）因为∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＣＢ＝３０°，所以∠Ｂ＝ ６０°，因为四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形，所以 ∠Ｄ ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°．因为点Ｄ为 ) ＡＣ的中点，所以ＡＤ＝ ＣＤ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ＝ １２（１８０°－∠Ｄ）＝３０°． 书 【提示】 １．作△ＡＢＤ的外接圆交ＣＤ延长线于Ｃ′，连接 ＡＣ′，ＢＣ′，根据圆周角定理及等量代换得出∠ＢＣＤ＝ ∠ＢＣ′Ｄ，确定ＣＢ＝Ｃ′Ｂ，再由中位线的判定和性质得 出ＤＥ是△ＡＣＣ′的中位线，则ＡＣ′＝２ＤＥ＝６，最后利 用勾股定理求解即可． ２．连接ＡＯ，ＢＯ，取ＡＯ的中点Ｅ，连接ＤＥ，根据三 角形中位线的性质得到ＤＥ＝１ ２ＯＢ＝２，得到点Ｄ在 以Ｅ为圆心，以２为半径的圆上运动，连接ＣＥ，取ＣＥ 的中点Ｇ，连接ＧＭ，ＡＧ，同理得到点Ｍ在以点Ｇ为圆 心，以１为半径的圆上运动，进而得到当点Ａ，Ｇ，Ｍ三 点共线时，ＡＭ取得最大值，即ＡＧ＋ＧＭ的长度，取线 段ＯＥ的中点Ｆ，连接ＧＦ，然后利用勾股定理求解即 可． 书 第一招：有直径，直接证 例１　如图１，已知ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，ＢＣ交 ⊙Ｏ于点 Ｄ，Ｅ是 ) ＢＤ的中点，ＡＥ与ＢＣ交 于点Ｆ，∠Ｃ＝２∠ＥＡＢ．求证： ＡＣ是⊙Ｏ的切线． 证明：连接ＡＤ，因为 Ｅ是 ) ＢＤ的中点，所以 ) ) ＤＥ＝ＢＥ， 所以∠ＥＡＢ＝∠ＥＡＤ． 因为∠ＡＣＢ＝２∠ＥＡＢ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＢ． 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＤＢ＝９０°， 所以∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠ＤＡＣ＋∠ＤＡＢ＝∠ＢＡＣ＝９０°， 所以ＡＣ⊥ＡＢ， 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以ＡＣ是⊙Ｏ的切线． 第二招：连半径，证垂直 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，点Ｃ在⊙Ｏ上，且点Ｃ为 ) ＢＥ的中点，连接 ＡＥ并延长交 ＢＣ的延长线于点 Ｄ．过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ＡＤ，垂足为点Ｆ．求证：ＣＦ 是⊙Ｏ的切线． 证明：连接ＡＣ，ＯＣ， 因为点Ｃ为 ) ＢＥ的中点，所以∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＥ． 又因为ＡＢ是直径，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝９０°，ＡＣ ＝ＡＣ， 所以△ＢＡＣ≌△ＤＡＣ．所以∠Ｂ＝∠Ｄ． 又因为∠Ｂ＝∠ＯＣＢ， 所以∠ＯＣＢ＝∠Ｄ．所以ＯＣ∥ＡＤ． 因为ＣＦ⊥ＡＤ，所以ＯＣ⊥ＣＦ． 因为ＯＣ是⊙Ｏ的半径，所以ＣＦ是⊙Ｏ的切线． 第三招：作垂直，证半径 例 ３　 如 图 ３， 在 △ＡＢＣ中，以边 ＡＣ上一点 Ｏ为圆心，ＯＡ为半径作 ⊙Ｏ，与ＡＢ相切于点 Ａ．作 ＣＤ⊥ ＢＯ交 ＢＯ的延长线 于点Ｄ，且∠ＣＢＤ＝∠ＤＣＯ．求证：ＢＣ是⊙Ｏ的切线． 证明：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＢＣ于点Ｅ， 因为ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ａ，ＣＤ⊥ＢＯ， 所以∠ＢＡＯ＝∠Ｄ＝９０°． 又因为∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＤＣＯ， 因为∠ＣＢＤ＝∠ＤＣＯ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＤＢＣ， 又因为ＯＡ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＢＣ， 所以ＯＥ＝ＯＡ，所以ＢＣ是⊙Ｏ的切线． 【对应练习见《重点集训营》】 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% ! " # $ % &' ! ! ! ( & ) ! " $ * + ! ( & % " ! # ! , ! ! ! ! " *& ) ( % ( ) * & - % ! ! ! ( ) & % . ! ! 书 直线与圆的位置关系是本节的重要内容，要学好这 部分知识，需要掌握以下几种题型． 一、直接判断位置关系 例１　已知半径为５的圆，其圆心到直线的距离是 ３，此时直线和圆的位置关系为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．相离 Ｂ．相切 Ｃ．相交 Ｄ．无法确定 解析：半径ｒ＝５，圆心到直线的距离ｄ＝３． 因为５＞３，即ｒ＞ｄ，所以直线和圆相交． 故选Ｃ． 二、计算后判断位置关系 例２　 如图 １，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＢ＝５，ｃｏｓＡ＝４５，以点Ｂ为圆心， ｒ为半径作⊙Ｂ，当ｒ＝３时，⊙Ｂ与ＡＣ的 位置关系是 （　　） Ａ．相离 Ｂ．相切 Ｃ．相交 Ｄ．无法确定 解析：因为Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝５，ｃｏｓＡ＝ ４ ５，所以 ＡＣ ＡＢ＝ ＡＣ ５ ＝ ４ ５，所以 ＡＣ＝４，所以 ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝３． 因为ｒ＝３，所以ＢＣ＝ｒ＝３， 所以⊙Ｂ与ＡＣ的位置关系是相切． 故选Ｂ． 三、根据位置关系求值 例３　如图２，直线ａ⊥ｂ， 垂足为点Ｈ，点Ｐ在直线ｂ上， ＰＨ＝４ｃｍ，Ｏ为直线ｂ上一动 点，以点 Ｏ为圆心，１ｃｍ为半 径作圆，当点Ｏ从点Ｐ出发以 ２ｃｍ／ｓ的速度向右作匀速运 动，经过ｔｓ与直线ａ相切，则ｔ为 ． 解析：因为直线ａ⊥ｂ，所以⊙Ｏ与直线ａ相切时，切 点为Ｈ，所以ＯＨ＝１ｃｍ．当点Ｏ在点Ｈ的左侧，⊙Ｏ与 直线ａ相切时，ＯＰ＝ＰＨ－ＯＨ＝４－１＝３（ｃｍ），所以ｔ ＝ ３２ｓ； 当点Ｏ在点Ｈ的右侧，⊙Ｏ与直线ａ相切时，ＯＰ＝ ＰＨ＋ＯＨ＝４＋１＝５（ｃｍ），所以ｔ＝５２ｓ．所以⊙Ｏ与 直线ａ相切，ｔ为 ３２ｓ或 ５ ２ｓ． 故填 ３ ２ｓ或 ５ ２ｓ． 书 结论１：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ａ，ＡＣ ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，内切圆⊙Ｏ的半径为ｒ，Ｄ，Ｅ，Ｆ为切点，则ｒ ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 证明：如图１，连接 ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，则四边形 ＣＤＯＥ为 正方形．所以ＣＤ＝ＯＥ＝ｒ． 由题意，易得ＡＦ＝ＡＥ，ＣＥ＝ＣＤ，ＢＦ＝ＢＤ． 所以ａ＋ｂ－ｃ＝（ＢＤ＋ＤＣ）＋（ＡＥ＋ＥＣ）－（ＡＦ＋ ＢＦ）＝２ＣＤ＝２ｒ． 所以ｒ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 结论２：如图２，若⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆，则∠ＡＯＢ ＝９０°＋１２∠ＡＣＢ． 证明：因为⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆， 所以∠１＝ １２∠ＣＡＢ，∠２＝ １ ２∠ＡＢＣ． 所以 ∠ＡＯＢ ＝１８０°－（∠１＋∠２） ＝１８０°－ １ ２（∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ）＝１８０°－ １ ２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝９０° ＋１２∠ＡＣＢ． 结论３：如图３，在△ＡＢＣ中，内切圆⊙Ｏ和ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ分别相切于点Ｅ，Ｆ，Ｄ，则∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 证明：如图３，连接ＯＥ，ＯＦ，则ＯＦ⊥ＡＣ，ＯＥ⊥ＢＣ． 因为四边形ＣＦＯＥ的内角和为３６０°， 所以∠ＦＯＥ＋∠ＡＣＢ＝１８０°． 因为∠ＦＤＥ＝ １２∠ＦＯＥ， 所以∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 结论４：如图４，△ＡＢＣ的三边长 ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ分别为 ａ，ｂ，ｃ，其面积为 Ｓ，内切圆 ⊙Ｉ的半径为 ｒ，则 ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 证明：如图４，连接ＩＡ，ＩＢ，ＩＣ． 因为Ｓ＝Ｓ△ＡＩＢ＋Ｓ△ＡＩＣ＋Ｓ△ＢＩＣ ＝ １ ２ＡＢ·ｒ＋ １ ２ＡＣ· ｒ＋１２ＣＢ·ｒ＝ １ ２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ，所以ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 书 与圆有关的探索性问题在数学学习中屡见不鲜． 现列举两例介绍其解法，供大家学习时参考． 例１　如图１－①，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ是⊙Ｏ的 弦，ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ． （１）请写出三个不同类型 獉獉獉獉 的正确结论； （２）如图１－②，连接ＣＤ，设∠ＣＤＢ＝α，∠ＡＢＣ＝β， 试找出α与β之间的一个关系式，并给予证明． 解析：（１）由 ＯＤ＝ＯＢ，可得 △ＯＢＤ是等腰三角 形； 由ＡＢ是⊙Ｏ的直径，可得∠ＡＣＢ＝９０°，△ＡＢＣ是 直角三角形； 由ＢＣ是⊙Ｏ的弦，ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ， 可得ＢＥ＝ＣＥ， ) ) ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＥＤ＝∠ＯＥＢ＝９０°； 由∠ＯＥＢ＝９０°，可得ＯＥ２＋ＢＥ２ ＝ＯＢ２等． 任选其中三个都符合要求． （２）α＝９０°＋β． 证明：因为α＋∠ＢＡＣ＝１８０°，∠ＡＣＢ＋β＋∠ＢＡＣ ＝１８０°，所以α＝∠ＡＣＢ＋β． 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°，所以α ＝９０°＋β． 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为线段ＢＣ上异于Ｂ，Ｃ 的一动点，以Ａ为圆心，ＡＤ的长为 半径作⊙Ａ与ＡＢ，ＡＣ分别交于Ｅ， Ｆ，连接 ＤＥ，ＤＦ，若 ∠Ｂ＝５０°，随 着点Ｄ的运动，∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＦ的 值是否为定值？若不是，请说明理 由；若是，请求出该定值． 解 析：∠ＢＤＥ ＋ ∠ＣＤＦ ＝ ４０°，为定值．理由如下： 如图３，在⊙Ａ上取任意一点 Ｇ，连接ＥＧ，ＦＧ，则四边形ＥＤＦＧ是 圆内接四边形． 因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝５０°，所 以∠Ｃ＝∠Ｂ＝５０°，所以∠ＢＡＣ ＝８０°，所以 ∠Ｇ＝ １２∠ＢＡＣ＝４０°，所以 ∠ＥＤＦ＝ １８０°－∠Ｇ＝１４０°． 因为 ∠ＡＥＤ ＝∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝５０°＋∠ＢＤＥ， ∠ＡＦＤ＝∠Ｃ＋∠ＣＤＦ＝５０°＋∠ＣＤＦ，ＡＥ＝ＡＤ＝ ＡＦ，所以 ∠ＥＤＡ＝∠ＡＥＤ＝５０°＋∠ＢＤＥ，∠ＦＤＡ＝ ∠ＡＦＤ＝５０°＋∠ＣＤＦ，所以∠ＥＤＦ＝∠ＥＤＡ＋∠ＦＤＡ ＝１００°＋∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＦ＝１４０°，所以 ∠ＢＤＥ＋ ∠ＣＤＦ＝４０°，为定值． " &' ()* ( ! ! & ) ! $ + * ) ! " + ! ( ! " ! $ () / + & ! # )+ ! $ ( * !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ) & * ! ( + ) & * ! ( + ! " " +, - . + ( $ & ) * ! # 0 + ( $ & ) * ! " ! ! " #! !!"#" $"% !" "%"$&!%'"$( /01 !2"3456 7489:;<4=> !" ? ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. 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" " +* …üý s01 !2$ 345Ý sþÿ $ 3H=IJ6 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知平面内有 ⊙Ｏ和点 Ａ，Ｂ，若 ⊙Ｏ的半径为 ３ｃｍ，线段ＯＡ＝４ｃｍ，ＯＢ＝３ｃｍ，则直线ＡＢ与⊙Ｏ的 位置关系为 （　　） Ａ．相离 Ｂ．相交 Ｃ．相切 Ｄ．相交或相切 ２．如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，连接 ＡＣ，ＢＣ，若∠ＢＣＤ＝５０°，则∠Ｂ的度数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．５５° ３．如图２，⊙Ｏ与正方形ＡＢＣＤ的两边ＡＢ，ＡＤ相切， 且ＤＥ与⊙Ｏ相切于Ｅ点．若⊙Ｏ的半径为４，且ＡＢ＝ １０，则ＤＥ的长度为 （　　） 槡Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ． ３０ Ｄ． １１ ２ ４．已知⊙Ｏ的直径为２，点Ｐ到圆心的距离为ｄ，且 关于ｘ的方程２ｘ２＋ 槡２２ｘ＋３－ｄ＝０有实数根，则过点 Ｐ可作⊙Ｏ的切线的条数有 （　　） Ａ．０条 Ｂ．１条 Ｃ．２条 Ｄ．１或２条 ５．如图３，点Ｉ为等边△ＡＢＣ的内心，连接ＡＩ并延长 交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，已知外接圆的半径为２，则线 段ＤＢ的长为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．２３ ６．如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上一点，Ｄ是 ⊙Ｏ外一点，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，连接ＯＣ．若使 ＣＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，添加的下列条件中，不正确的是 （　　） Ａ．ＯＣ∥ＡＥ Ｂ．∠ＯＡＣ＝∠ＣＡＥ Ｃ．∠ＯＣＡ＝∠ＣＡＥ Ｄ．ＯＡ＝ＡＣ ７．如图５，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ，ＢＣ是⊙Ｏ的弦，Ｉ是 △ＡＢＣ的内心，连接ＯＩ，若ＯＩ＝槡２，∠ＢＯＩ＝４５°，则ＢＣ 的长是 （　　） Ａ．槡２２＋槡 槡３ Ｂ．２＋ 槡３ ２ Ｃ．１＋槡２ Ｄ．１＋槡３ ８．如图６，半径ｒ＝ 槡２２的⊙Ｍ在ｘ轴上平移，且圆 心Ｍ在ｘ轴上，当⊙Ｍ与直线ｙ＝ｘ＋２相切时，圆心Ｍ 的坐标为 （　　） Ａ．（０，０） Ｂ．（２，０） Ｃ．（０，０）或（－６，０） Ｄ．（２，０）或（－６，０） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．已知直线ｌ与半径长为Ｒ的⊙Ｏ相离，且点Ｏ到 直线ｌ的距离为５，那么Ｒ的取值范围是 ． １０．如图７，在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径，ＡＣ是弦，过点Ｃ的 切线与ＡＢ的延长线交于点Ｄ，若∠Ａ＝２５°，则∠Ｄ的度 数为 ． １１．如图８，△ＡＢＣ的内切圆⊙Ｏ与ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ分别 相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，且ＡＢ＝８，ＢＣ＝１７，ＣＡ＝１５，则阴影 部分（即四边形ＡＥＯＦ）的面积是 ． １２．如图９，将一枚圆形铜 钱的模型放入一个矩形袋子 ＡＢＣＤ中，铜钱模型与矩形袋 子的下边沿ＢＣ相切于点Ｅ，与 上边沿ＡＤ交于点 Ｆ，Ｇ，若 ＡＢ ＝４，ＦＧ＝１０，则该圆形铜钱 模型的半径为 ． １３．在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，则 △ＡＢＣ的外接圆半径 Ｒ与内切圆半径 ｒ的差 Ｒ－ｒ＝ ． １４．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１３，ＢＣ＝２４，点 Ｄ为 △ＡＢＣ的对称轴上一动点，过点Ｄ作⊙Ｏ与ＢＣ相切，点 Ｏ在△ＡＢＣ的对称轴上，ＢＤ与⊙Ｏ相交于点Ｅ，那么ＡＥ 的最大值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１０，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，点Ｄ为半径ＯＡ 的中点，过点Ｄ作ＣＤ⊥ＯＡ交弦ＡＢ于点Ｅ，交⊙Ｏ于点 Ｆ，且ＣＥ＝ＣＢ． （１）求证：ＢＣ是⊙Ｏ的切线； （２）连接ＡＦ，ＢＦ，求∠ＡＢＦ的度数． １６．（１０分）如图１１，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，点 Ｄ，Ｅ在 ⊙Ｏ上，位于直径ＡＢ两侧，连接ＥＤ，ＥＢ，连接ＢＤ并延长 至点Ｃ，使得∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＤ． （１）求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线； （２）若点Ｅ是弧ＡＢ的中点，ＡＢ＝槡２，求ＥＢ的长． １７．（１０分）如图１２，⊙Ｏ与△ＡＢＣ的ＡＣ边相切于点 Ｃ，与ＡＢ，ＢＣ边分别交于点Ｄ，Ｅ，ＤＥ∥ＯＡ，ＣＥ是⊙Ｏ的 直径． （１）求证：ＡＢ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＢＤ＝４，ＥＣ＝６，求ＡＣ的长． １８．（１０分）如图１３，Ｉ是△ＡＢＣ的内心，ＡＩ的延长线 交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＤ； （２）连接ＢＩ，ＣＩ，求证：点Ｄ是△ＢＩＣ的外心． １９．（１２分）如图１４，等腰三角形 ＡＢＣ内接于 ⊙Ｏ， ＡＢ＝ＡＣ，点Ｉ是△ＡＢＣ的内心，连接ＢＩ并延长交⊙Ｏ于 点Ｄ，点Ｅ在ＢＤ的延长线上，满足∠ＥＡＤ＝∠ＣＡＤ．试 证明： （１）ＯＡ所在的直线经过点Ｉ； （２）点Ｄ是ＩＥ的中点． ２０．（１２分）如图１５，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ 与∠ＡＢＣ的角平分线相交于点Ｅ，ＡＥ的延长线交△ＡＢＣ 的外接圆于点Ｄ，连接ＢＤ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＤＢＣ； （２）求证：点 Ｂ，Ｅ，Ｃ在以点 Ｄ为圆心的同一个圆 上； （３）若ＡＢ＝５，ＢＣ＝８，求△ＡＢＣ内心与外心之间 的距离                                                                                                                                                                 ． 书 ２４．４直线与圆的位置关系（第一课时） １．已知⊙Ｏ的半径等于８ｃｍ，圆心Ｏ到直线ｌ上某 点的距离为８ｃｍ，则直线ｌ与⊙Ｏ的公共点的个数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．１或２ Ｄ．０或１ ２．如图１，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，切点分别为Ａ，Ｂ， 点Ｃ为⊙Ｏ上一点，∠Ｐ＝６６°，则∠Ｃ的度数为 （　　） Ａ．６６° Ｂ．６３° Ｃ．５７° Ｄ．６０° ３．如图２，在平面直角坐标系中，过格点 Ａ，Ｂ，Ｃ画 圆弧，则点Ｂ与下列格点连线所得的直线中，能够与该 圆弧相切的格点坐标是 （　　） Ａ．（５，２） Ｂ．（２，４） Ｃ．（１，４） Ｄ．（６，２） ４．如图３，Ａ，Ｂ是⊙Ｏ上的两点，ＡＣ是过Ａ点的一 条直线，如果∠ＡＯＢ＝１２０°，那么当∠ＣＡＢ的度数等于 度时，ＡＣ才能成为⊙Ｏ的切线． ５．如图４，在平面直角坐标系中，半径为２的⊙Ｐ的 圆心Ｐ的坐标为（－３，０），将⊙Ｐ沿ｘ轴正方向平移，使 ⊙Ｐ与 ｙ轴相交，则平移的距离 ｄ的取值范围是 ． ６．如图５，四边形 ＡＢＣＤ是 ⊙Ｏ的内接四边形，ＡＢ 是⊙Ｏ的直径，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ交ＡＤ的延长线于点 Ｅ，已知ＡＣ平分∠ＥＡＢ．求证：ＣＥ是⊙Ｏ的切线． ７．如图６，⊙Ｏ经过菱形 ＡＢＣＤ的顶点 Ｂ，Ｄ，与边 ＢＣ，ＣＤ分别相交于点Ｅ，Ｆ． （１）若ＡＢ与⊙Ｏ相切，求证：ＡＤ与⊙Ｏ相切； （２）求证：ＢＥ＝ＤＦ． ２４．４直线与圆的位置关系（第二课时） １．如图１，ＰＡ，ＰＢ分别切圆Ｏ于Ａ，Ｂ两点，ＰＡ＝５， 则ＰＢ的长为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ２．如图２所示，△ＡＢＣ的内切圆 ⊙Ｏ分别与 ＡＢ， ＢＣ，ＡＣ相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，且ＡＤ＝６，ＢＥ＝４，ＣＦ＝８，则 △ＡＢＣ的周长为 （　　） Ａ．３６ Ｂ．３８ Ｃ．４０ Ｄ．４２ ３．如图３，过点Ａ作⊙Ｏ的切线ＡＢ，ＡＣ，切点分别是 Ｂ，Ｃ，连接ＢＣ．过 ) ＢＣ上一点Ｄ作⊙Ｏ的切线，交ＡＢ，ＡＣ 于点Ｅ，Ｆ．若∠Ａ＝９０°，△ＡＥＦ的周长为２，则ＢＣ的长 为 （　　） 槡 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．２２ ４．如图４，在 ⊙Ｏ中，Ｑ是 ⊙Ｏ外一点，ＱＡ，ＱＢ与 ⊙Ｏ相切于Ａ，Ｂ两点，点Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点，若∠Ｑ ＝１１０°，则∠Ｂ＋∠Ｄ的度数为 ． ５．如图５，以正方形 ＡＢＣＤ的 ＡＢ边为直径作半圆Ｏ，过点Ｃ作直 线切半圆于点 Ｆ，交 ＡＤ边于点 Ｅ， 若△ＣＤＥ的周长为１２，则直角梯形 ＡＢＣＥ的周长为 ． ６．如图６，Ｐ是⊙Ｏ外一点，ＰＡ， ＰＢ是⊙Ｏ的两条切线，切点分别为 Ａ，Ｂ，Ｃ为劣弧 ) ＡＢ上一点，过点Ｃ作⊙Ｏ的切线，分别交 ＰＡ，ＰＢ于点Ｄ，Ｅ． （１）若△ＰＤＥ的周长为１２，求ＰＡ的长； （２）若∠ＤＯＥ＝７２°，求∠ＡＰＢ的度数． ７．如图７，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＭ，ＢＮ分别切⊙Ｏ于 点Ａ，Ｂ，ＣＤ交ＡＭ，ＢＮ于点Ｄ，Ｃ，ＤＯ平分∠ＡＤＣ． （１）求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＡＤ＝４，ＢＣ＝９，求ＯＤ的长． ２４．５三角形的内切圆 １．如图 １，点 Ｏ是 △ＡＢＣ外接圆的圆心，点 Ｉ是 △ＡＢＣ的内心，连接ＯＢ，ＩＡ．若∠ＯＢＣ＝２０°，则∠ＣＡＩ 的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．３５° ２．如图２，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是△ＡＢＣ的内心，连接 ＤＢ，ＤＣ，过点Ｄ作ＥＦ∥ＢＣ，分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ，若 ＢＥ＋ＣＦ＝８，则ＥＦ的长为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．８ Ｄ．１６ ３．如图３，点Ｉ为△ＡＢＣ的内切圆的圆心，连接 ＢＩ 并延长，交△ＡＢＣ的外接圆于点 Ｄ，连接 ＡＤ，ＡＩ，若 ＢＤ ＝７，ＡＤ＝５，则ＢＩ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２．５ Ｄ．３．５ ４．如图４，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝７０°，△ＡＢＣ的内 切圆⊙Ｏ与ＡＢ，ＢＣ分别相切于点Ｄ，Ｅ，连接ＤＥ，ＡＯ的 延长线交ＤＥ于点Ｆ，则∠ＡＦＤ＝ ． ５． 如 图 ５，⊙Ｏ 是 △ＡＢＣ的内切圆，切点分别 为 Ｄ，Ｅ，Ｆ，且 ∠Ａ＝９０°， ＢＣ＝ ５２，ＣＡ＝２，则 ⊙Ｏ 的半径是 ． ６．如图６，已知⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆，切点分别 为Ｄ，Ｅ，Ｆ．若ＡＢ＝６，ＡＣ＝４，ＢＣ＝８，求ＣＥ的长． ７．如图７，Ｏ是△ＡＢＣ的外心，Ｉ是△ＡＢＣ的内心， 连接ＡＩ并延长交ＢＣ和⊙Ｏ于点Ｄ，Ｅ． （１）求证：ＥＢ＝ＥＩ； （２）若ＡＢ＝８，ＡＣ＝６，ＢＥ＝４，求ＡＩ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 １６．在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＢ２＋ ＢＥ２＝ＡＥ２，设ＡＢ＝ＡＣ＝ ｘ，则ｘ２＋１６２＝（ｘ＋８）２， 解得ｘ＝１２，所以ＡＢ＝１２． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＢ２＋ＢＤ２ ＝ ＡＤ２， 所 以 ＡＤ ＝ １２２＋６槡 ２ ＝ 槡６５，所以 ⊙Ｏ的半径为 槡３５． ２０．（１）证明：因为 ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ，所以 ) ＡＢ ) ＝ＢＣ，所 以 ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＣＤＢ， 即 ＤＢ 平 分 ∠ＡＤＣ． （２）因 为 ＢＤ 平 分 ∠ＡＢＣ，所 以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，所 以 ) ) ) ) ＡＢ＋ＡＤ＝ＢＣ＋ＣＤ，即 ) ) ＢＡＤ＝ＢＣＤ，所以ＢＤ是直 径，所以∠ＢＡＤ＝９０°． （３）因为ＣＦ∥ＡＤ，所 以∠Ｆ＋∠ＢＡＤ＝１８０°，因 为∠ＢＡＤ＝９０°，所以∠Ｆ ＝９０°．因为 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，所以 ＡＤ＝ＤＣ．因为 ＡＣ＝ＡＤ， 所以ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ，所以 △ＡＤＣ是等边三角形，所 以∠ＡＤＣ＝６０°．因为 ＢＤ 平分 ∠ＡＤＣ，所以 ∠ＣＤＢ ＝ １２∠ＡＤＣ＝３０°．因为 ＢＤ是直径，所以∠ＢＣＤ＝ ９０°，所以 ＢＣ＝ １２ＢＤ．因 为四边形 ＡＢＣＤ是圆内接 四边形，所以 ∠ＡＤＣ ＋ ∠ＡＢＣ ＝ １８０°， 所 以 ∠ＡＢＣ ＝ １２０°， 所 以 ∠ＦＢＣ＝６０°，所以∠ＦＣＢ ＝９０°－６０°＝３０°，所以 ＦＢ＝ １２ＢＣ．因为ＢＦ＝２， 所以ＢＣ＝４，所以 ＢＤ＝ ２ＢＣ＝８．因为ＢＤ是直径， 所以 此 圆 半 径 的 长 为 １ ２ＢＤ＝４． 上期４版 重点集训营 １．６０°； 槡　２．３３； 槡３．７． ４．（１）四边形 ＡＢＥＤ 是矩形，理由如下： 因为 ＣＤ是 ⊙Ｏ的直 径，所以 ∠ＣＥＤ＝９０°，所 以∠ＢＥＤ＝９０°，因为 ＡＤ ∥ＢＣ，所以 ∠ＡＢＣ＋∠Ａ ＝１８０°，因为 ∠Ａ＝９０°， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，所以四 边形ＡＢＥＤ是矩形． （２）因为 ∠Ａ＝９０°， ∠ＡＢＤ＝３０°，所以 ＢＤ＝ ２ＡＤ＝６，因为２ＤＦ＝ＢＦ， 所以ＢＦ＝４，ＤＦ＝２，因为 四边形ＡＢＥＤ是矩形，所以 ∠ＦＤＥ＝∠ＡＢＤ＝３０°，所 以∠ＦＣＥ＝∠ＦＤＥ＝３０°， 因为ＣＤ是⊙Ｏ的直径，所 以 ∠ＣＦＤ ＝９０°，所以 ∠ＢＦＣ＝９０°，所以 ＢＣ＝ ８，ＣＦ＝ 槡４３，所以 ＣＤ＝ ＣＦ２＋ＤＦ槡 ２ ＝ 槡２ １３，所 以⊙Ｏ的半径是槡１３． ! !" #$ %& !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 !# / %&'( ! 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