第16期 24.2.3 圆的确定 24.3 圆周角（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 “直径所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦 是直径”，这是由圆周角定理得出的推论，应用这一推论 可解决与此有关的一些试题．下面让我们一起体验． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、求圆的半径 例１　如图１，⊙Ｏ是 △ＢＣＤ 的外接圆，ＡＢ⊥ ＢＣ．若 ＢＣ＝４， ∠ＢＤＣ＝３０°，则⊙Ｏ的半径为 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．２２ 槡Ｃ．２３ Ｄ．８ 解析：连接 ＡＣ，则 ∠ＣＡＢ＝ ∠ＢＤＣ＝３０°，因为ＡＢ⊥ＢＣ， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，所以ＡＣ为⊙Ｏ的直径． 因为∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＣＡＢ＝３０°，ＢＣ＝４， 所以ＡＣ＝２ＢＣ＝８， 所以⊙Ｏ的半径为 ８２ ＝４． 故选Ａ． 二、求弦的长度 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，点 Ｃ，Ｄ在 ⊙Ｏ上，若 ∠ＣＤＢ＝３０°，ＡＢ＝４，则 ＡＣ的 长为 （　　） 槡Ａ．２２ Ｂ．４ 槡 槡Ｃ．３ Ｄ．２３ 解析：因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°． 因为∠ＢＡＣ和∠ＣＤＢ是同弧 ) ＢＣ所对的圆周角， 所以∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ＝３０°， 因为ＡＢ＝４， 所以ＢＣ＝ １２ＡＢ＝２， 所以ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ ４２－２槡 ２ ＝ 槡２３． 故选Ｄ． 三、求圆周角的度数 例３　如图３，在⊙Ｏ中，直径 ＡＢ与弦 ＣＤ相交于点 Ｐ，连接 ＡＣ， ＡＤ，ＢＤ，若 ∠Ｃ ＝２０°，∠ＢＰＣ ＝ ７０°，则∠ＡＤＣ＝ （　　） Ａ．７０° Ｂ．６０° Ｃ．５０° Ｄ．４０° 解析：因为 ∠Ｃ＝２０°，所以 ∠Ｂ＝２０°， 因为∠ＢＰＣ＝７０°，所以∠ＢＤＰ＝∠ＢＰＣ－∠Ｂ＝ ５０°， 又因为ＡＢ为直径，所以∠ＡＤＢ＝９０°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ－∠ＢＤＰ＝４０°． 故选Ｄ． 【对应练习见《重点集训营》】 书 １６．连接 ＯＡ，ＯＢ， ＯＣ，ＯＤ，ＡＤ．因为 ) ＡＤ为 １２０°， ) ＢＣ为 ５０°，所以 ∠ＡＯＢ ＋ ∠ＣＯＤ ＝ １９０°，因为 ＯＡ＝ＯＢ， ＯＣ＝ＯＤ，所以 ∠ＯＡＢ ＝ ∠ＯＢＡ，∠ＯＣＤ ＝ ∠ＯＤＣ，所以 ∠ＯＡＢ＋ ∠ＯＤＣ ＝ ８５°，因 为 ∠ＯＡＤ＋∠ＯＤＡ＝６０°， 所以∠ＥＡＤ＋∠ＥＤＡ＝ １４５°，所以∠Ｅ＝３５°． １７．（１）因为ＡＢ是 ⊙Ｏ的一条弦，ＯＤ⊥ ＡＢ，所以 ) ) ＡＤ＝ＢＤ，所以 ∠ＡＯＤ ＝ ∠ＢＯＤ ＝ ５０°，所以 ∠ＤＯＢ的度 数是５０°． （２）因 为 ＡＢ ＝ 槡２５，ＯＤ⊥ＡＢ，所以ＡＥ ＝ １２ＡＢ＝槡５，设 ⊙Ｏ 的 半 径 长 为 ｒ， 在 Ｒｔ△ＡＯＥ中，由勾股定 理，得 ＡＯ２ ＝ＯＥ２ ＋ ＡＥ２，即ｒ２ ＝（ｒ－１）２＋ （槡５） ２，解得ｒ＝３，所以 ⊙Ｏ的半径长为３． １８．（１）设桥拱的 半径是ｒ米，因为ＯＣ⊥ ＡＢ，所以ＡＮ＝１２ＡＢ＝ ８（米），因为ＣＮ＝４米， 所以ＯＮ＝（ｒ－４）米， 在Ｒｔ△ＯＡＮ中，有 ＯＡ２ ＝ＯＮ２＋ＡＮ２，即ｒ２＝（ｒ －４）２＋８２，解得ｒ＝１０， 所以 桥 拱 的 半 径 是 １０米． （２）连接ＯＤ，因为 ＣＯ⊥ＤＥ，ＤＥ＝１２米， 所以 ＤＭ ＝ １２ＤＥ ＝ ６（米），所 以 ＯＭ ＝ ＯＤ２－ＤＭ槡 ２ ＝ ８（米），因为ＯＮ＝ＯＣ－ 书 上期２版 ２４．２．１圆的基本概念及垂径定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｃ． ６．无数，１；　７．３６°； ８．答案不惟一，大于等于４，小于５即可，如４．２； ９．１．３． １０．连接ＯＢ．因为ＡＢ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＣ，所以 ＡＢ＝ ＢＯ，所以 ∠ＥＡＤ ＝∠ＢＯＡ，所以 ∠ＥＢＯ ＝∠ＢＯＡ＋ ∠ＥＡＤ＝２∠ＥＡＤ．又因为 ＯＥ＝ＯＢ，所以 ∠ＥＢＯ＝ ∠Ｅ，所以∠Ｅ＝２∠ＥＡＤ，所以∠ＥＯＤ＝∠Ｅ＋∠ＥＡＤ ＝３∠ＥＡＤ＝８１°，所以∠ＥＡＤ＝２７°． １１．设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ所在圆的圆心为Ｏ，因为ＭＮ⊥ＡＢ， 所以 ＭＮ过圆心 Ｏ，连接 ＯＤ，ＯＢ，由题意，得 ＭＮ ＝ ３．５ｃｍ．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＭＮ⊥ＣＤ，所以ＤＭ＝１２ＣＤ ＝２（ｃｍ），ＢＮ＝１２ＡＢ＝１．５（ｃｍ）．设ＯＭ＝ｘｃｍ，所以 ＯＮ＝ＭＮ－ＯＭ＝（３．５－ｘ）ｃｍ，在Ｒｔ△ＯＭＤ中，有ＯＭ２ ＋ＭＤ２ ＝ＯＤ２，在Ｒｔ△ＯＮＢ中，有ＯＮ２＋ＢＮ２＝ＯＢ２，因 为ＯＤ＝ＯＢ，所以ＯＭ２＋ＭＤ２ ＝ＯＮ２＋ＢＮ２，所以ｘ２＋ ２２ ＝（３．５－ｘ）２＋１．５２，解得ｘ＝１．５，即ＯＭ＝１．５ｃｍ， 所以ＯＤ＝ ＯＭ２＋ＭＤ槡 ２ ＝２．５（ｃｍ），所以纸杯的直径 为２．５×２＝５（ｃｍ）． 能力提高　１２．证明：取ＢＣ的中点Ｆ，连接ＤＦ，ＥＦ． 因为ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的高，所以△ＢＣＤ和△ＢＣＥ都是 直角三角形．所以 ＤＦ，ＥＦ分别为 Ｒｔ△ＢＣＤ和 Ｒｔ△ＢＣＥ 斜边上的中线，所以ＤＦ＝ＥＦ＝ＢＦ＝ＣＦ．所以Ｅ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四点在以Ｆ点为圆心，１２ＢＣ为半径的圆上． ２４．２．２圆心角、弧、弦、弦心距间关系 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．Ｄ；　５．７０°； ６．１２０°；　７． 槡２ １３． ８．∠ＡＯＣ＝３６°，∠ＣＯＦ＝１０８°． ９．（１）连接 ＡＣ，ＢＤ，因为 ∠ＡＯＢ＝９０°，Ｃ，Ｄ为 ) ＡＢ 的三等分点，所以∠ＡＯＣ＝１３∠ＡＯＢ＝３０°，因为ＯＡ＝ ＯＢ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝４５°，因为∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ ＝３０°，所以∠ＡＥＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＡＯＣ＝７５°． （２）证明：连接 ＡＣ，ＢＤ，因为 ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＣ＝ ３０°，所以∠ＡＣＥ＝７５°，所以∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ，所以ＡＣ ＝ＡＥ，同理可证ＢＦ＝ＢＤ，因为Ｃ，Ｄ是 ) ＡＢ的三等分点， 所以ＡＣ＝ＣＤ＝ＢＤ，所以ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＤ． 能力提高　１０．因为 ) ) ) ＣＤ＝ＡＣ＋ＢＤ，所以∠ＣＯＤ＝ ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ，因为 ∠ＣＯＤ＋∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ ＝ １８０°，所以 ∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝ １２ ×１８０°＝ ９０°．因为ＯＣ＝ＯＤ，所以∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝４５°．因为 ＰＣ＝ＣＯ，所以∠Ｐ＝∠ＣＯＰ，又因为 ∠Ｐ＋∠ＣＯＰ＝ ∠ＯＣＤ＝４５°，所以∠Ｐ＝∠ＣＯＰ＝２２．５°，所以∠ＤＯＢ ＝∠Ｐ＋∠ＰＤＯ＝６７５°． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ 二、９．４条；　１０．４；　１１．答案不惟一，如４；　１２．４； １３．４；　１４．３． 三、１５．证明：因为ＯＡ＝ＯＢ，ＡＤ＝ＢＥ，所以 ＯＤ＝ ＯＥ，因为ＣＤ＝ＣＥ，ＯＣ＝ＯＣ，所以△ＯＣＤ≌△ＯＣＥ，所 以∠ＣＯＤ＝∠ＣＯＥ，所以 ) ) ＡＣ＝ＢＣ，即Ｃ为 ) ＡＢ的中点． 书 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．如图１，弦ＣＤ所对的圆心角为１２０°，ＡＢ为直径， ＣＤ在半圆上滑动，Ｆ是ＣＤ的中点，过点 Ｄ作 ＡＢ的垂 线，垂足为Ｅ，则∠ＤＥＦ的度数为 ． ２．如图２，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均为圆周上十二等分点，若用 直尺测量弦ＣＤ长时，发现Ｃ点、Ｄ点分别与刻度１和４ 对齐，则Ａ，Ｂ两点的距离是 ． ３．如图３，已知ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ 的两条弦，且ＡＢ＝４，ＣＤ＝槡３，分 别连接ＡＣ，ＢＤ并延长，两线相交 于点Ｐ，若∠Ｐ＝３０°，∠ＢＡＣ＝ ９０°，则⊙Ｏ的半径为 ． ４．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ， 以ＣＤ为直径的⊙Ｏ与ＢＣ边交于点Ｅ，与对角线ＢＤ交 于点Ｆ，连接ＤＥ，ＣＦ． （１）请判断四边形ＡＢＥＤ的形状，并说明理由； （２）若ＡＤ＝３，２ＤＦ＝ＢＦ，∠ＡＢＤ＝３０°，求⊙Ｏ的 半径． １．如图 １，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，Ｃ为圆上一点，且 ∠ＡＯＣ＝１２０°，⊙Ｏ的半径为４，Ｐ为圆上一动点，Ｑ为 ＡＰ的中点，则ＣＱ长度的最大值是 ． ２．如图２，在平面直角坐标系中，四边形 ＡＢＣＯ为 矩形，Ａ（０，４），Ｂ（１０，４），点Ｍ为边ＯＣ上一点，以点 Ｍ 为圆心，ＣＭ为半径作 ⊙Ｍ，交 ｘ轴于点 Ｄ，连接 ＢＤ交 ⊙Ｍ于点Ｅ，连接ＡＥ，点Ｆ为ＡＥ的中点，则ＯＦ的最小 值为 ． 书 例１　如图１，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，连接ＡＯ，若 ∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ＝９０°． （１）求证：ＡＢ＝ＢＣ； （２）如图２，作ＣＤ⊥ＡＢ交于Ｄ，ＡＯ的延长线交ＣＤ 于Ｅ，若ＡＯ＝３，ＡＥ＝４，求线段ＡＣ的长． 解析：（１）证明：连接 ＢＯ并延长，交 ＡＣ于 Ｔ．因为 ＡＯ＝ＢＯ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ，又因为∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ ＝９０°，所以∠ＢＡＣ＋∠ＯＢＡ＝９０°，所以∠ＢＴＡ＝９０°， 所以ＢＴ垂直平分ＡＣ，所以ＡＢ＝ＢＣ． （２）延长ＡＯ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＣＦ．因为ＣＤ⊥ＡＢ， 所以∠ＣＤＡ＝９０°，所以 ∠ＯＡＢ＋∠ＡＥＤ＝９０°，因为 ∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ＝９０°，所以∠ＡＥＤ＝∠ＢＡＣ＝∠ＦＥＣ． 因为ＡＦ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＦ＝９０°，因为∠ＦＣＥ ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＤ＝９０°，所以∠ＦＣＥ＝ ∠ＢＡＣ，所以∠ＦＥＣ＝∠ＦＣＥ，所以ＦＥ＝ＦＣ，因为ＡＯ＝ ３，ＡＥ＝４，所以ＯＥ＝１，ＦＥ＝ＦＣ＝ＯＦ－ＯＥ＝ＡＯ－ＯＥ ＝２．所以在Ｒｔ△ＦＣＡ中，ＡＣ＝ ＡＦ２－ＣＦ槡 ２ ＝ 槡４２． 例２　 如图 ３，点 Ｃ为 △ＡＢＤ的外接圆上的一动点 （点Ｃ不在 ) ＢＡＤ上，且不与点 Ｂ，Ｄ重合），∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ ＝４５°． （１）求证：ＢＤ是该外接 圆的直径； （２）连接ＣＤ，则ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ三条线段满足什么等量 关系？请证明． 解析：（１）证明：因为 ) ) ＡＢ＝ＡＢ，所以 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＣＢ，又因为∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ＝４５°，所以 ∠ＡＢＤ＝ ∠ＡＤＢ＝４５°，所以∠ＢＡＤ＝９０°，所以ＢＤ是该外接圆 的直径． （２）槡２ＡＣ＝ＢＣ＋ＣＤ．证明：如图３，把△ＡＣＤ绕点 Ａ顺时针旋转９０°得到△ＡＥＢ，连接ＣＥ，所以ＡＣ＝ＡＥ， ＢＥ＝ＣＤ，∠ＣＡＥ＝９０°，∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＣ，所以△ＡＣＥ为 等腰直角三角形，所以ＣＥ＝槡２ＡＣ，因为∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ ＝１８０°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＢＥ＝１８０°，所以点Ｅ在ＣＢ的 延长线上，所以ＣＥ＝ＢＣ＋ＢＥ＝ＢＣ＋ＣＤ，所以槡２ＡＣ＝ ＢＣ＋ＣＤ． 书 如图１，四边形ＡＢＣＤ的四个顶 点都在 ⊙Ｏ上，则四边形 ＡＢＣＤ内 接于⊙Ｏ，⊙Ｏ是四边形ＡＢＣＤ的外 接圆． 因为∠Ａ所对的弧为 ) ＢＣＤ，∠Ｃ 所对的弧为 ) ＢＡＤ，且 ) ＢＣＤ与 ) ＢＡＤ所 对圆心角的和为周角， 所以由圆周角定理，得 ∠Ａ＋∠Ｃ＝ １２ ×３６０°＝ １８０°． 同理，∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°． 由此可得：圆内接四边形的对角互补． 利用这一性质解决与圆的内接四边形有关的边、角 问题，往往能够起到事半功倍的效果． 一、求角用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图２，四边形 ＡＢＣＤ 内接于 ⊙Ｏ，Ｅ为 ＢＣ延长线上一 点．若∠ＤＣＥ＝６５°，则∠ＢＯＤ的 度数是 （　　） Ａ．６５° Ｂ．１１５° Ｃ．１３０° Ｄ．１４０° 分析：根据邻补角互补求出 ∠ＤＣＢ的度数，再根据 圆内接四边形对角互补求出∠ＢＡＤ的度数，最后根据圆 周角定理即可求出∠ＢＯＤ的度数． 解：因为∠ＤＣＥ＝６５°，所以∠ＤＣＢ＝１８０°－∠ＤＣＥ ＝１１５°． 因为四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，所以 ∠ＢＡＤ＋ ∠ＤＣＢ＝１８０°，所以 ∠ＢＡＤ ＝６５°，所以 ∠ＢＯＤ ＝ ２∠ＢＡＤ＝１３０°． 故选Ｃ． 二、说理用 例２　 如图３，四边形 ＡＢＣＤ 为⊙Ｏ的内接四边形，已知∠Ｃ＝ ∠Ｄ，判断 ＡＢ与 ＣＤ的位置关系， 并说明理由． 分析：四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的 内接四边形，则 ∠Ａ与 ∠Ｃ互补， 再由∠Ｃ＝∠Ｄ，可得∠Ａ与∠Ｄ也互补，即可判断 ＡＢ 与ＣＤ的位置关系． 解：ＡＢ∥ＣＤ．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形， 所以∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠Ｃ＝∠Ｄ，所以∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°． 所以ＡＢ∥ＣＤ． 温馨提示：从以上几例可以看出，圆内接四边形的 性质虽简短，但在解决与圆的内接四边形有关的问题时 很有效，同学们在解题时要注意灵活选择运用． 书 弧是圆中的无名英雄，与圆有关的许多计算和证 明问题，表面上与弧没有直接关系，实际上却沟通着圆 周角、圆心角、弦等元素，起到了牵线搭桥的作用．下面 举例说明． 一、为弦牵线搭桥 　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，若ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝４ｃｍ， 则⊙Ｏ的直径ＡＢ为 （　　） Ａ．５ｃｍ 　　Ｂ．４ｃｍ Ｃ．６ｃｍ 　　Ｄ．８ｃｍ 解析：连接ＯＤ，ＯＣ．因为ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝４ｃｍ， 所以 ) ＡＤ＝ ) ＣＤ＝ ) ＢＣ，所以∠ＡＯＤ＝∠ＤＯＣ＝∠ＢＯＣ ＝６０°． 又因为ＯＡ＝ＯＤ，所以△ＡＯＤ是等边三角形，所以 ＯＡ＝ＡＤ＝４ｃｍ，所以ＡＢ＝８ｃｍ．故选Ｄ． 二、为圆周角牵线搭桥 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点，若 ∠ＣＡＢ＝６５°，则∠ＡＤＣ的度数 为 （　　） Ａ．２５° 　　Ｂ．３５° Ｃ．４５° 　　Ｄ．６５° 解析：因为ＡＢ是直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°， 因为∠ＣＡＢ＝６５°， 所以∠ＡＢＣ＝９０°－∠ＣＡＢ＝２５°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝２５°．故选Ａ． 三、为圆周角和圆心角牵线搭桥 例３　如图３，Ａ，Ｂ，Ｃ是⊙Ｏ 上的三点，若 ∠ＡＯＣ ＝９０°， ∠ＡＣＢ＝２５°，则 ∠ＢＯＣ的度数 是 （　　） Ａ．２０° 　　Ｂ．２５° Ｃ．４０° 　　Ｄ．５０° 解析：根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角等于圆心角的一半，可得∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝５０°， 因为∠ＡＯＣ＝９０°，所以∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ－∠ＡＯＢ＝ ４０°．故选Ｃ． 四、为特殊角牵线搭桥 例４　如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，Ｃ，Ｄ，Ｅ是 ⊙Ｏ上的点，则 ∠１＋∠２等于 ． 解析：连接 ＡＣ，ＢＣ，根据同 弧所对的圆周角相等可知，∠１ ＝∠ＡＢＣ，∠２＝∠ＣＡＢ， 所以∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＋ ∠ＣＡＢ． 因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＋∠ＣＡＢ＝９０°．故填９０°．! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # ! " $ % & ! # " !" #$% ! % # & $ ! ! ! % &# $ ! " ! % & $ ! $ ! ! " #! !!"#" $"% !" !%!#&"%'"&( &'( !)" *+,- .+/0123+45 !" 6 ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()* + , - . 78#9:;<= >?4@AB'6- CDEFG0HI CDEGJK3LMNOP CDEGQRSTUVWXHY /Z:[\]^* [_`abc defghi^*jk`'("#)%&%&*>+- ) *+ abc , ) *+ lmn , # - .+ opc , ) *+ q r , ) *+ s t -./01+ o u 23/01+ ovw -4506+ x y -4578+ z{| m}~  € $‚ ƒ „ …†‡ lˆ‰ ƒŠv ‹ { Œ‚ Žb ‘ ’“ lb” •t+ –—€ ˜ ‡ ™š› mœ 91-.+ lžŸ 91:;+  ¡ <=-.+ l ¢ >?-.+ £ ¤ @ABC+ ¥¦§ #9:¨©¨* , #ª’¨^* #\]®¯°`%$-")-!&"!-. #9:±²`CD³´µ¶$·¸¹º» "$! k/Z:[.+/0\]® #¼½\¾`%$%%%. #¶¿®À:ÁÂ`%$-"#-!&""!- %$-"#-!&"!$& MÃÄ #ÀÅ`ÆÇ9:¶¿®²ÈÉÊdË̼Í&ÎÄ #¼½ÀÅÁÂ`"""/- #ÏÐÑÒÀÓÔÀÕÖÀ #9:×Êd˳>¶-ØJÙÚÛ: #ÜÝSTÞÏßk`"#%%%%#%%%""% #ÜÝ®¯°`%$-"#-!&"!-- #9:àáâãäMNåæUVWX&çè¶éê¸ëìíîï3Lð "" kÄñåòóUåôõö÷<òÆÇ9:¶¿®²Èøù " ÜD úûü $ % & # ! ! " $ % & # ! ! $ ! " & # $ % ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " áý Œ%þ ! & $ % ! " ! & $ % " # ! ! # & $ % ! $ " " Cã oÿ! ! % & # $ ! " ! % & $ ! ! # ! # $ ' % & ! $ ( # ! "$ % ! $ & ! % # & $ ! ! " ! $ # - . % ! & " % ( # $ ! # ! & % ) ' $ ! $ # * &+ % " ( $ ! , ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 【提示】 １．连接ＯＱ，作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，先证明点Ｑ的运 动轨迹为以ＡＯ为直径的⊙Ｋ，连接ＣＫ，当点Ｑ在ＣＫ 的延长线上时，ＣＱ最大，利用勾股定理求出ＣＫ即可． ２．连接ＣＥ，取ＢＣ中点Ｈ，连接ＡＨ，ＥＨ，取ＡＨ中 点Ｇ，连接ＦＧ，ＯＧ，由矩形的性质得Ｃ（１０，０），ＢＣ＝ ４，Ｈ（１０，２），Ｇ（５，３），易证得∠ＣＥＤ＝∠ＣＥＢ＝９０°， 则得ＥＨ的长为２，因为ＦＧ为△ＡＥＨ的中位线，所以 ＦＧ＝１，则点Ｆ在以点Ｇ为圆心，半径为１的圆上运 动，故当Ｏ，Ｆ，Ｇ三点共线时，ＯＦ有最小值，利用勾股 定理得到ＯＧ的长，即可求出ＯＦ的最小值． >'( "ò# *+,Ä >"# # *?4@AÄ ! " ! " # $ % ! 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．三角形外接圆的圆心为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．三条高的交点 Ｂ．三条边的垂直平分线的交点 Ｃ．三条角平分线的交点 Ｄ．三条中线的交点 ２．如图１所示，在⊙Ｏ中，ＡＤ是直径，弦ＢＣ交ＡＤ于 点Ｅ，连接ＡＢ，ＡＣ，若∠ＢＡＤ＝３２°，则∠ＡＣＢ的度数是 （　　） Ａ．６８° Ｂ．５８° Ｃ．６４° Ｄ．５４° ３．如图２，在⊙Ｏ中，弦 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｐ，若 ∠Ａ ＝４８°，∠ＡＰＤ＝８０°则∠Ｂ的度数为 （　　） Ａ．３２° Ｂ．４２° Ｃ．４８° Ｄ．５２° ４．如图３，将△ＡＢＣ放在每个小正方形边长为１的 网格中，点 Ａ，Ｂ，Ｃ均落在格点上，用一个圆面去覆盖 △ＡＢＣ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．２ Ｄ． ５ ２ ５．如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点， 连接ＡＣ，ＡＤ，ＣＤ，若∠ＡＤＣ＝７０°，则∠ＣＡＢ的度数是 （　　） Ａ．２０° Ｂ．３０° Ｃ．７０° Ｄ．９０° ６．如图５，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ和ＤＣ的延长线上，且ＥＦ∥ＢＣ，若∠Ｅ＝８０°，则下列 结论正确的是 （　　） Ａ．∠Ｆ＝１１０° Ｂ．∠Ｄ＝１００° Ｃ．∠ＢＣＤ＝１１０° Ｄ．∠Ａ＝８０° ７．如图６，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形，ＢＥ是 ⊙Ｏ的直径，连接ＡＥ．若∠ＢＣＤ＝２∠ＢＡＤ，连接ＯＤ，则 ∠ＤＯＥ的度数是 （　　） Ａ．３５° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．３０° ８．如图７，ＡＢ是 ⊙Ｏ的一条 弦，将劣弧沿弦ＡＢ翻折，连接 ＡＯ 并延长交翻折后的弧于点Ｃ，连接 ＢＣ，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝１，则ＡＣ的长 为 （　　） Ａ．槡２５３ Ｂ． 槡３５ ４ Ｃ． 槡３５ ５ Ｄ． 槡５ ７ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图 ８，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，ＡＤ ＝ＤＣ， ∠ＤＡＣ＝２５°，则∠ＡＢＣ＝ ． １０．如图９，在直角三角形ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ ＝１，ＢＣ＝２，以点Ｃ为圆心，ＣＡ长为半径的圆与ＡＢ交于 点Ｄ，则ＡＤ的长为 ． １１．如图１０，以原点Ｏ为圆心 的圆交ｘ轴于Ａ，Ｂ两点，交ｙ轴的 正半轴于点 Ｃ，且点 Ａ的坐标为 （－２，０），Ｄ为第一象限内 ⊙Ｏ上 的一点，若∠ＯＣＤ＝７５°，则ＡＤ＝ ． １２．在平面直角坐标系中，已知 Ａ（－１，－１），Ｂ（０， ２），Ｃ（３，３）都在⊙Ｍ上，则圆心Ｍ的坐标为 ． １３．如图１１，四边形 ＡＢＣＤ是 ⊙Ｏ的内接四边形， ∠ＢＣＤ ＝ １１０°， 连 接 ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＢＤ，∠ＢＯＣ ＝ ３∠ＣＯＤ，则∠ＢＤＣ的度数是 ． １４．如图１２，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ ＝４，点Ｅ是ＡＣ边上的动点，以ＣＥ为直径作⊙Ｆ，连接 ＢＥ交⊙Ｆ于点Ｄ，则ＡＤ的最小值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１３，已知线段ＡＢ是⊙Ｏ的一条弦． （１）实践与操作：用尺规作图法作出圆心Ｏ（保留作 图痕迹，不要求写作法）； （２）应用与计算：若弦ＡＢ＝１０，圆心Ｏ到ＡＢ的距离 为４，求⊙Ｏ的半径． １６．（１０分）如图１４，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四 边形，ＢＣ是⊙Ｏ的直径，∠ＡＣＢ＝３０°，ＡＢ＝２，点Ｄ为 ) ＡＣ的中点． （１）求⊙Ｏ的半径； （２）求∠ＤＡＣ的度数． １７．（１０分）如图１５，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，ＡＣ 为⊙Ｏ的直径，∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ． （１）试判断△ＡＢＣ的形状，并给出证明； （２）若ＡＢ＝ 槡２２，ＡＤ＝２，求ＣＤ的长度． １８．（１０分）如图１６，点 Ｅ是 △ＡＢＣ角平分线的交 点，ＡＥ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ． （１）ＢＤ与ＤＥ相等吗？为什么？ （２）若∠ＢＡＣ＝９０°，ＤＥ＝２，求△ＡＢＣ外接圆的半 径． １９．（１２分）如图１７，ＡＢ，ＡＣ是⊙Ｏ的两条弦，且ＡＢ ＝ＡＣ，点Ｄ是 ) ＢＣ的中点，连接并延长 ＢＤ，ＣＤ，分别交 ＡＣ，ＡＢ的延长线于点Ｅ，Ｆ． （１）求证：ＤＦ＝ＤＥ； （２）若ＢＤ＝６，ＣＥ＝８，求⊙Ｏ的半径． ２０．（１２分）如图１８，圆内接四边形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ． （１）求证：ＤＢ平分∠ＡＤＣ； （２）求∠ＢＡＤ的大小； （３）过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＤ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ，若 ＡＣ＝ＡＤ，ＢＦ＝２，求此圆半径的长                                                                                                                                                                 ． 书 ２４．２．３圆的确定 １．在同一平面内，过 Ａ，Ｂ，Ｃ三点可以作的圆的个 数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．０或１ ２．如图１，⊙Ｏ是等边△ＡＢＣ的外接圆，若ＡＢ＝３， 则⊙Ｏ的半径是 （　　） Ａ．３２ Ｂ． 槡３ ２ 槡Ｃ．３ Ｄ． ５ ２ ３．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块 碎片如图２所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样 大小的圆形镜子的碎片是 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．均不可能 ４．用反证法证明命题：“一组对边平行但不相等的 四边 形 不 是 平 行 四 边 形”时，第 一 步 应 假 设 ． ５．如图３，点 Ｏ是 △ＡＢＣ的外心，连接 ＯＡ，ＯＢ，若 ∠ＯＢＡ＝２０°，则∠ＡＯＢ的度数为 ． ６．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，Ａ（５，６），Ｂ（５，２）， Ｃ（３，０），则△ＡＢＣ的外接圆的圆心坐标为 ． ７．如图４，⊙Ｏ是 △ＡＤＢ，△ＢＤＣ的外接圆，∠ＤＢＣ ＝２∠ＡＤＢ，若 ＡＢ＝ 槡２５，ＣＤ＝８，则 ⊙Ｏ的半径为 ． ８．如图５，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的 外接圆，∠ＡＢＣ＝３０°，ＢＣ＝４， 且ＢＣ为直径，点Ｄ在边ＢＣ上， 点Ｍ是点Ｄ关于边ＡＢ的对称 点，过点 Ｄ的直线平行于边 ＡＢ，且与 ＭＡ的延长线交于点 Ｎ，则线段 ＭＮ的最小值为 ． ９．如图６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． （１）请用无刻度直尺和圆规画出 Ｒｔ△ＡＢＣ的外接 圆（不写作法，保留作图）； （２）若ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，求Ｒｔ△ＡＢＣ的外接圆的面 积． １０．如图７，方格纸上每个小正方形的边长均为１个 单位长度，点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ在格点（两条网格线的交点叫格 点）上，以点Ｏ为原点建立直角坐标系． （１）过 Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆的圆心 Ｍ 的坐标为 ； （２）请通过计算判断点Ｄ（－３，－２）与⊙Ｍ的位置 关系． ２４．３圆周角 １．如图１，点Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，∠ＢＡＣ＝５２°，连接 ＯＢ，ＯＣ，则∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．２６° Ｂ．７０° Ｃ．１０４° Ｄ．１２８° ２．如图２，已知四边形ＡＢＤＣ内接于⊙Ｏ，∠ＢＤＣ＝ １１５°，则∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．１３０° Ｂ．１２０° Ｃ．１１０° Ｄ．１００° ３．如图３，在⊙Ｏ中，半径ＯＡ，ＯＢ互相垂直，点Ｃ在 劣弧ＡＢ上．若∠ＡＢＣ＝１９°，则∠ＢＡＣ＝ （　　） Ａ．２３° Ｂ．２４° Ｃ．２５° Ｄ．２６° ４．如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在 ⊙Ｏ上．若 ∠ＤＡＢ＝６６°，则∠ＡＣＤ＝ 度． ５．如图５，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，∠Ａ＝１２６°，则∠ＢＤＣ的度数为 ． ６．如图６，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＢＣ＝ＢＤ，点 Ａ 是弧ＢＤ的中点，若∠ＣＢＤ＝２０°，则 ∠ＡＢＤ的度数为 ． ７．如图７，点Ａ是⊙Ｏ中优弧ＢＡＤ 的中点，∠ＡＢＤ＝７０°，Ｃ为劣弧ＢＤ上 一点，则∠ＢＣＤ的度数为 ． ８．如图８，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，ＣＤ 是⊙Ｏ的一条弦，且ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ， 连接ＡＣ，ＯＣ，ＢＣ． （１）求证：∠１＝∠２； （２）若ＢＥ＝２，ＣＤ＝６，求⊙Ｏ的半径长． ９．如图９，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，以ＢＣ为直径的圆 分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，连接ＢＥ，ＣＤ交于点Ｆ．若ＢＤ ＝６，ＢＣ＝１０． （１）求证：ＡＤ＝ＢＤ； （２）求ＡＥ的长． １０．如图１０，⊙Ｏ的直径ＡＢ为１０ｃｍ，弦ＡＣ为６ｃｍ， ∠ＡＣＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，求ＢＣ，ＡＤ，ＢＤ的长及四 边形ＡＣＢＤ的面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ＣＮ＝６（米），所以 ＭＮ ＝８－６＝２（米），所以 水面涨高了２米． １９．（１）连接 ＥＯ， 设⊙Ｏ半径为 ｒ，因为 ＥＧ⊥ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＧ ＝ １２ＥＧ＝４，因为 ＡＣ ＝２，所以 ＯＣ＝ｒ－２， 在Ｒｔ△ＣＥＯ中，由勾股 定理，得 ＯＥ２ ＝ＣＥ２＋ ＯＣ２，即 ｒ２ ＝４２＋（ｒ－ ２）２，解得 ｒ＝５，所以 ⊙Ｏ的半径为５． （２）证 明：连 接 ＯＥ，ＯＦ，因为ＡＣ＝ＢＤ， ＯＡ＝ＯＢ，所以 ＯＣ＝ ＯＤ，因为 ＥＧ⊥ ＡＢ，ＦＨ ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＯＣＥ＝ ∠ＯＤＦ＝９０°，因为 ＯＥ ＝ＯＦ，所以Ｒｔ△ＣＯＥ≌ Ｒｔ△ＤＯＦ，所以 ∠ＡＯＥ ＝∠ＢＯＦ，所以 ) ＡＥ ＝ ) ＢＦ． ２０．（１）证明：连接 ＡＣ．因为ＡＢ⊥ＣＤ于点 Ｅ，所以ＣＥ＝ＤＥ．又因 为∠ＡＥＣ＝∠ＡＥＤ，ＡＥ ＝ＡＥ，所以 △ＡＣＥ≌ △ＡＤＥ，所以ＡＣ＝ＡＤ． 同理 ＣＡ＝ＣＤ，所以 △ＡＣＤ是等边三角形， 所以 ∠ＯＣＥ＝３０°，所 以 ＯＥ＝ １２ＯＣ．而 ＯＢ ＝ ＯＣ， 所 以 ＯＥ ＝ １ ２ＯＢ，故 Ｅ是 ＯＢ的中 点． （２）因为ＡＢ＝１２， 所以 ＯＣ＝６，所以 ＯＥ ＝ １２ＯＣ ＝ ３． 在 Ｒｔ△ＯＣＥ 中，ＣＥ ＝ ＯＣ２－ＯＥ槡 ２ ＝ 槡３ ３， 所以ＣＤ＝２ＣＥ＝ 槡６３． 上期４版 重点集训营 １．Ｂ；　２．５３； ３．３． ４．（１）证明：因为 ＯＥ⊥ ＡＢ，所以 ＣＦ＝ ＤＦ，因为 ＯＡ＝ＯＢ，所 以ＡＦ＝ＢＦ，所以ＡＦ－ ＣＦ＝ＢＦ－ＤＦ，所以ＡＣ ＝ＢＤ． （２）连接 ＯＣ，设 ⊙Ｏ的半径是 ｒ，因为 ＣＯ２ ＝ＣＦ２ ＋ＯＦ２，ＣＦ ＝１２ＣＤ＝４，所以ｒ ２＝ ４２＋（ｒ－２）２，所以ｒ＝ ５，所以⊙Ｏ的半径是５． ! !" #$ %& !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 !# / %&'( ! 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