第15期 24.2.1 垂径分弦 24.2.2 圆心角、弧、弦、弦心距间关系（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 一、用垂径定理 例１　如图１，ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ都是⊙Ｏ 的半径，ＡＣ，ＯＢ交于点Ｄ．若ＡＤ＝ＣＤ＝ ８，ＯＤ＝６，则ＢＤ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ 解析：因为ＡＤ＝ＣＤ＝８， 所以点Ｄ为ＡＣ的中点， 因为ＡＯ＝ＣＯ，所以ＯＤ⊥ＡＣ， 由勾股定理，得ＯＣ＝ ＯＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ ６２＋８槡 ２ ＝ １０，所以ＤＢ＝ＯＢ－ＯＤ＝１０－６＝４．故选Ｂ． 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的一条弦， 直径是ＣＤ，若ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，ＯＥ＝ ３，ＤＥ＝２，则ＡＢ的长度为 （　　） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０ 解析：连接ＯＡ，因为ＣＤ是直径，ＣＤ ⊥ＡＢ，所以ＡＢ＝２ＡＥ，ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＥ＋ＤＥ＝５， 在Ｒｔ△ＡＯＥ中，由勾股定理，得ＡＥ＝ ＯＡ２－ＯＥ槡 ２ ＝４，所以ＡＢ＝２ＡＥ＝８．故选Ｃ． 二、用圆心角、弧、弦之间的关系 例３　 如图３，ＡＢ，ＤＥ是 ⊙Ｏ的直 径，Ｃ是⊙Ｏ上的一点，且 ) ) ＡＤ＝ＣＥ． （１）求证：ＢＥ＝ＣＥ； （２）若 ∠Ｂ＝５０°，求 ∠ＡＯＣ的度 数． 解析：（１）证明：因为∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＥ， 所以 ) ) ＡＤ＝ＢＥ．因为 ) ) ＡＤ＝ＣＥ，所以 ) ) ＢＥ＝ＣＥ， 所以ＢＥ＝ＣＥ． （２）因为∠Ｂ＝５０°，ＯＢ＝ＯＥ，所以∠ＢＯＥ＝１８０° －５０°－５０°＝８０°． 因为由（１）知，ＢＥ＝ＣＥ，所以∠ＣＯＥ＝∠ＢＯＥ＝ ８０°，所以∠ＡＯＣ＝１８０°－８０°－８０°＝２０°． 书 １８．（１）证明：由旋 转得 ＡＣ ＝ＡＥ，∠ＣＡＥ ＝９０°，∠ＡＥＤ ＝∠Ｃ， 所以 ∠Ｃ＝∠ＡＥＣ＝ ４５° ＝ ∠ＡＥＤ，所 以 ∠ＤＥＣ ＝ ∠ＡＥＤ ＋ ∠ＡＥＣ＝９０°，所以 ＤＥ ⊥ＢＣ． （２）因 为 ＡＣ ＝ 槡５２ ２，由旋转可得 ＡＥ＝ ＡＣ ＝ 槡５２２， 所 以 在 Ｒｔ△ＡＥＣ 中，ＥＣ ＝ ＡＣ２＋ＡＥ槡 ２ ＝５，因为 ＢＣ＝６，所以ＢＥ＝ＢＣ －ＥＣ＝１，由旋转可知 ＤＥ＝ＢＣ＝６，所以ＢＤ ＝ ＢＥ２＋ＤＥ槡 ２ ＝ 槡３７． １９．（１）证明：由题 意知△ＡＢＭ≌△ＡＣＭ， △ＡＢＥ≌ △ＤＣＥ，所以 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ＝ＣＤ，所 以ＡＣ＝ＣＤ． （２）∠Ｆ ＝ ∠ＭＣＤ．理由如下： 由（１）可得 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＥ ＝ ∠ＣＤＥ， ∠ＣＭＡ＝∠ＢＭＡ，因为 ∠ＢＡＣ ＝ ２∠ＭＰＣ， ∠ＢＭＡ＝∠ＰＭＦ，所以 设 ∠ＭＰＣ ＝ α， 则 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＥ ＝ ∠ＣＤＥ＝α，设 ∠ＢＭＡ ＝ β， 则 ∠ＰＭＦ ＝ ∠ＣＭＡ＝β，所以 ∠Ｆ ＝∠ＣＰＭ－∠ＰＭＦ＝α －β，∠ＭＣＤ＝∠ＣＤＥ－ ∠ＤＭＣ＝α－β，所以 ∠Ｆ＝∠ＭＣＤ． ２０．（１）ＡＤ′与 ＢＤ′ 的位置关系为 ＡＤ′⊥ ＢＤ′．理由如下： 因为 ＡＣ＝ＢＣ，Ｄ， Ｅ分别为 ＡＣ，ＢＣ的中 点，所以 ＣＤ ＝ＣＥ，即 ＣＤ′＝ＣＥ′，因为∠Ｃ＝ ９０°， 即 ∠ＢＣＡ ＝ ∠Ｄ′ＣＥ′＝９０°，所以 ∠ＡＣＤ′＝∠ＢＣＥ′，所 以 △ＣＤ′Ａ≌ △ＣＥ′Ｂ， 所 以 ∠ＣＥ′Ｂ ＝ ∠ＣＤ′Ａ．因为∠ＢＣＡ＝ ∠Ｄ′ＣＥ′＝９０°，ＣＤ′＝ 书 上期２版 ２４．１旋转（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．－２； ５．（４，２）；　６．４－ 槡２３． 能力提高 　７．（１）因为 ∠ＡＯＢ＝１５０°，∠ＢＯＣ＝ １２０°，所以∠ＡＯＣ＝９０°，由旋转的性质可知，∠ＯＣＤ＝ ６０°，∠ＡＤＣ＝∠ＢＯＣ＝１２０°，所以∠ＤＡＯ＝９０°． （２）线段ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ之间的数量关系是ＯＡ２＋ＯＢ２ ＝ＯＣ２．证明如下： 连接ＯＤ．由旋转的性质，得 ∠ＯＣＤ＝６０°，ＣＤ＝ ＯＣ，∠ＡＤＣ＝∠ＢＯＣ＝１２０°，ＡＤ＝ＯＢ，所以△ＯＣＤ是 等边三角形，所以ＯＣ＝ＯＤ＝ＣＤ，∠ＣＯＤ＝∠ＣＤＯ＝ ６０°，在 Ｒｔ△ＡＤＯ中，∠ＤＡＯ＝９０°，所以 ＯＡ２＋ＡＤ２ ＝ ＯＤ２．所以ＯＡ２＋ＯＢ２ ＝ＯＣ２． ２４．１旋转（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．６；　４．５． ５．证明：因为△ＡＧＢ与 △ＣＧＤ关于点 Ｇ成中心对 称，所以ＢＧ＝ＤＧ，ＡＧ＝ＣＧ，因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＡＧ－ ＡＥ＝ＣＧ－ＣＦ，所以ＥＧ＝ＦＧ，又因为∠ＤＧＥ＝∠ＢＧＦ， 所以△ＤＧＥ≌△ＢＧＦ，所以ＢＦ＝ＤＥ． 能力 提 高 　６． （１）由 题 意 可 知，△ＯＡ１Ｂ１， △Ｂ２Ａ２Ｂ１，△Ｂ２Ａ３Ｂ３都是等边三角形，且边长为２，所以 ＯＢ１＝Ｂ１Ｂ２＝Ｂ２Ｂ３＝２，所以Ｂ１（２，０），Ｂ２（４，０），Ｂ３（６， ０）． （２）过点Ａ１作Ａ１Ｈ⊥ＯＢ１交ｘ轴于点Ｈ，因为Ａ１Ｏ ＝Ａ１Ｂ１，所以ＯＨ＝ＨＢ１＝１，所以Ａ１Ｈ＝ Ａ１Ｏ ２－ＯＨ槡 ２ ＝ ２２－１槡 ２ ＝槡３，因为 Ｂ２（４，０），所以 Ａ１Ｂ２ ＝ Ａ１Ｈ ２＋Ｂ２Ｈ槡 ２ ＝ （槡３） ２＋３槡 ２ ＝ 槡２３． ２４．１旋转（第三课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．菱形；　４．３． ５．略． 能力提高　６．证明：（１）因为ＤＥ∥ＡＣ，ＤＦ∥ＡＢ， 所以四边形ＡＥＤＦ是平行四边形，所以四边形 ＡＥＤＦ是 中心对称图形． （２）因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．又 因为ＤＥ∥ ＡＣ，所以 ∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＥ，所以 ∠ＢＡＤ＝ ∠ＡＤＥ，所以ＡＥ＝ＤＥ．又因为四边形ＡＥＤＦ是平行四边 形，所以四边形ＡＥＤＦ是菱形，所以ＡＤ垂直平分ＥＦ，所 以点Ｅ，Ｆ关于直线ＡＤ对称． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｃ Ａ 二、９．４０°；　１０．３２．５°；　１１．４；　１２．３２； １３．（２，２）；　１４．７５或１． 三、１５．图略． １６．证明：由旋转的性质，得 ＡＥ＝ＡＢ，ＡＦ＝ＡＣ， ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，因为ＡＢ＝ＡＣ＝１，所以ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＥ ＝ＡＦ，∠ＥＡＦ＋∠ＦＡＢ＝∠ＢＡＣ＋∠ＦＡＢ，即∠ＥＡＢ＝ ∠ＦＡＣ．在△ＡＥＢ和△ＡＦＣ中， ＡＥ＝ＡＦ， ∠ＥＡＢ＝∠ＦＡＣ， ＡＢ＝ＡＣ { ， 所以 △ＡＥＢ≌△ＡＦＣ，所以ＢＥ＝ＣＦ． １７．（１）因为点Ｄ与点Ｃ关于点Ｅ成中心对称，所以 Ｅ是线段ＣＤ的中点，即ＤＥ＝ＥＣ．因为ＡＤ∥ＢＣ，所以 ∠Ｄ ＝ ∠ＤＣＦ． 在 △ＡＤＥ 与 △ＦＣＥ 中， ∠Ｄ＝∠ＥＣＦ， ＤＥ＝ＣＥ， ∠ＡＥＤ＝∠ＦＥＣ { ， 所以 △ＡＤＥ≌ △ＦＣＥ，所以 ＡＥ＝ ＦＥ，ＡＤ＝ＣＦ，所以点Ａ与点Ｆ关于点Ｅ成中心对称．故 填中点，Ｅ． （２）证明：因为ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ，ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＦ，ＡＤ＝ ＣＦ，所以ＡＢ＝ＢＦ，所以△ＡＢＦ是等腰三角形． 书 垂径定理是圆的一条重要性质，指的是“垂直于弦 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”．它的应用非 常广泛，下面举例进行说明，供同学们学习时参考． 一、求直径 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 《九章算术》标志着 中国古代数学形成了完整的体 系．第九卷《勾股》中记载了一 个“圆材埋壁”的问题：“今有圆 材埋在壁中，不知大小．以锯锯 之，深一寸，锯道长一尺，问径几 何？”用现在的数学语言可表述为：“如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＡＥ＝１寸，ＣＤ＝１０寸，求直径 ＡＢ的长．”可求出直径ＡＢ的长为 寸． 解析：连接ＯＣ，则ＯＡ＝ＯＣ，设ＯＡ＝ＯＣ＝ｘ寸，则 ＯＥ＝（ｘ－１）寸，ＡＢ＝２ｘ寸，因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦 ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＣＤ＝１０寸，所以ＣＥ＝１２ＣＤ＝５（寸）， 在 Ｒｔ△ＣＯＥ中，ＯＥ２＋ＣＥ２＝ＯＣ２，即（ｘ－１）２＋５２＝ｘ２， 解得ｘ＝１３，则ＡＢ＝２６寸．故填２６． 二、求弦长 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直 径，ＯＤ垂直于弦ＡＣ于点Ｄ，ＤＯ的延 长线交⊙Ｏ于点Ｅ．若ＡＣ＝ 槡４２，ＤＥ ＝４，则ＢＣ的长是 （　　） 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．４ 解析：因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠Ｃ＝９０°，因为 ＯＤ⊥ＡＣ，所以点Ｄ是ＡＣ的中点，所以ＯＤ是△ＡＢＣ的 中位线，所以ＯＤ∥ＢＣ，且ＯＤ＝１２ＢＣ．设ＯＤ＝ｘ，则ＢＣ ＝２ｘ，因为ＤＥ＝４，所以ＯＥ＝４－ｘ，所以ＡＢ＝２ＯＥ＝ ８－２ｘ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理可得，ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ ＢＣ２，即（８－２ｘ）２＝（槡４２） ２＋（２ｘ）２，解得ｘ＝１．所以ＢＣ ＝２ｘ＝２．故选Ｃ． 三、实际应用 例３　 赵州桥是当今世界 上建造最早，保存最完整的中国 古代单孔敞肩石拱桥．如图 ３， 主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ３７ｍ，拱高约为７ｍ，则赵州桥主 桥拱半径Ｒ约为 （　　） Ａ．２０ｍ 　　Ｂ．２８ｍ Ｃ．３５ｍ 　　Ｄ．４０ｍ 解析：由题意可知，ＡＢ＝３７ｍ，ＣＤ＝７ｍ，主桥拱半 径为Ｒｍ，所以ＯＤ＝ＯＣ－ＣＤ＝（Ｒ－７）ｍ，因为ＯＣ是 半径，且ＯＣ⊥ＡＢ，所以 ＡＤ＝ＢＤ＝ １２ＡＢ＝ ３７ ２ｍ，在 Ｒｔ△ＡＤＯ中，ＡＤ２＋ＯＤ２ ＝ＯＡ２，即（３７２） ２＋（Ｒ－７）２ ＝ Ｒ２，解得Ｒ＝１５６５５６ ≈２８（ｍ）．故选Ｂ． 书 重点集训营 １．如图１，⊙Ｏ的弦 ＡＢ＝８，半径 ＯＣ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，且ＣＤ＝２，则⊙Ｏ 的半径等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．８ ２．如图 ２，点 Ａ，Ｂ，Ｃ三点在 ⊙Ｏ 上，点Ｄ为弦ＡＢ的中点，ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，则ＯＤ 的长为 ｃｍ． ３．数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三 角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点Ｃ放在⊙Ｏ上 的任意一点，转动三角板，使其一条直角边 ＡＣ经过圆 心Ｏ，此时小明发现三角板的斜边ＡＢ在⊙Ｏ上截得的 线段（ＤＥ）长为２厘米（如图３），已知三角板的直角边 长为７厘米，则⊙Ｏ的半径为 厘米． ４．如图４，ＯＡ＝ＯＢ，ＡＢ交⊙Ｏ于点Ｃ，Ｄ，ＯＥ是半 径，且ＯＥ⊥ＡＢ于点Ｆ． （１）求证：ＡＣ＝ＢＤ； （２）若ＣＤ＝８，ＥＦ＝２，求⊙Ｏ的半径． 辅助线周周练 １．如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ ３ ４，ＡＤ＝３，ＣＤ＝４，则ＢＤ的取值范围为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，点Ｄ在三角形内部， 连接 ＡＤ，ＢＤ，ＣＤ，∠ＣＢＤ ＝∠ＡＣＢ ＝３０°，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＤ，ＣＤ＝７，则线段ＡＤ的长度为 ． ! ! ! " # $ % ! & # $ % ! " ! # ! & # % ' ( $ #$ % & ! ! ! " $ # % & 书 【提示】 １．过点Ａ在四边形ＡＤＣＢ内部作线段ＡＥ，使 ∠ＥＡＤ＝∠ＢＡＣ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＤ交ＡＥ于点Ｅ，连 接ＢＥ，证明△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ，△ＤＡＣ∽△ＥＡＢ，利用 ＢＥ－ＤＥ≤ＢＤ≤ＢＥ＋ＤＥ，即可求解． ２．延长ＢＤ交ＡＣ于点Ｅ，在ＣＤ上取点Ｆ使ＣＦ＝ ＡＢ，连接ＡＦ交ＤＥ于点Ｏ，连接ＥＦ，证明△ＡＢＥ≌ △ＥＣＦ，则可得等腰三角形ＡＥＦ，根据三线合一证明 ＥＤ垂直平分ＡＦ，得ＡＤ＝ＤＦ即可求解． #" $ ! $ ! % &# % ( ! % 书 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上或 点在圆外．学习点与圆的位置关系时，同学们不但要能 判断点与圆的位置关系，还要能利用其关系解决一些 问题．下面举例说明． 一、判断点与圆的位置关系 例１　已知⊙Ｏ的半径为５ｃｍ，若ＯＰ＝３ｃｍ，那 么点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．点Ｐ在圆内 Ｂ．点Ｐ在圆上 Ｃ．点Ｐ在圆外 Ｄ．都有可能 分析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判 断． 解：因为ＯＰ＝３＜５，所以点Ｐ在⊙Ｏ内．故选Ａ． 二、求线段的最值 例２　 如图 １，抛物线 ｙ＝ １ ４ｘ ２－４与ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点，Ｐ 是以点Ｃ（０，３）为圆心，槡３为半径 的圆上的动点，Ｑ是线段 ＰＡ的中 点，连接ＯＱ，则线段ＯＱ的最大值 是 ． 分析：连接ＢＰ，先解方程得Ａ，Ｂ的坐标，再判断ＯＱ 为△ＡＢＰ的中位线得到ＯＱ＝ １２ＢＰ，利用点与圆的位 置关系，ＢＰ过圆心Ｃ时，ＰＢ最大，然后计算出ＢＰ的最 大值即可得到线段ＯＱ的最大值． 解：当ｙ＝０时，１４ｘ ２－４＝０，解得 ｘ１ ＝４，ｘ２ ＝ －４，则Ａ（－４，０），Ｂ（４，０）． 因为Ｑ是线段ＰＡ的中点，所以ＯＱ为△ＡＢＰ的中 位线，所以ＯＱ＝ １２ＢＰ． 当ＢＰ最大时，ＯＱ最大，而ＢＰ过圆心Ｃ时最大． 如图１，连接ＢＰ．因为ＢＣ＝５，所以ＢＰ的最大值 ＝ ５＋槡３，所以线段ＯＱ的最大值是 ５＋槡３ ２ ．故填 ５＋槡３ ２ ． 三、求半径的取值范围 例３　如图２，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝８，ＡＤ＝６，以Ａ为圆心，ｒ为半径作 ⊙Ａ，使得点Ｄ在圆内，点Ｃ在圆外， 则半径ｒ的取值范围是 ． 分析：首先利用勾股定理得出 ＡＣ的长，利用以 Ａ为圆心，ｒ为半径 作⊙Ａ，使得点 Ｄ在圆内，点 Ｃ在圆 外，得出ｒ的取值范围即可． 解：连接ＡＣ，因为矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＡＤ＝６， 所以ＡＣ＝１０， 因为以Ａ为圆心，ｒ为半径作 ⊙Ａ，使得点 Ｄ在圆 内，点Ｃ在圆外，所以半径ｒ的取值范围是６＜ｒ＜１０． 故填６＜ｒ＜１０． ( ! & # $ % ! " 书 同学们在解答圆的问题时，经常会遇到多解的问 题，这时就需要分类讨论．下面就此类问题举例说明． 一、根据半径与弦的夹角大小进行分类 例１　ＡＢ是 ⊙Ｏ的弦，ＯＭ⊥ ＡＢ，垂足为 Ｍ，连接 ＯＡ．若△ＡＯＭ中有一个角是３０°，ＯＭ＝３，则弦ＡＢ的长 为 ． 分析：分∠ＯＡＭ＝３０°和∠ＡＯＭ＝３０°两种情况进 行讨论，然后利用勾股定理求解即可． 解：因为 ＯＭ⊥ ＡＢ，所以 ＡＭ ＝ＢＭ．如图 １，若 ∠ＯＡＭ＝３０°，在Ｒｔ△ＡＯＭ中，根据勾股定理可得ＡＭ＝ 槡３３，所以ＡＢ＝２ＡＭ ＝ 槡６３； 如图２，若∠ＡＯＭ ＝３０°，在Ｒｔ△ＡＭＯ中，根据勾股 定理可得ＡＭ ＝槡３，所以ＡＢ＝２ＡＭ ＝ 槡２３． 故填 槡６３或 槡２３． 二、根据平行弦与圆心的位置进行分类 例２　在半径为５ｃｍ的圆内有两条弦平行，一条弦 长为６ｃｍ，另一条弦长为８ｃｍ，则这两条弦之间的距离 为 ． 分析：题目没有给出具体的图形，两条弦可能在圆 心的同侧，也可能在圆心的两侧，故应分两种情况讨论． 解：如图３，当两弦位于圆心的两侧时，过点Ｏ作ＯＥ ⊥ＡＢ于点Ｅ，则ＡＥ＝１２ＡＢ＝ １ ２×６＝３（ｃｍ）．延长ＥＯ 交 ＣＤ于点Ｆ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＯＦ⊥ＣＤ，所以ＣＦ＝ １ ２ＣＤ＝ １ ２×８＝４（ｃｍ）． 如图 ３，连 接 ＯＡ，ＯＣ．在 Ｒｔ△ＯＡＥ中，ＯＥ ＝ ＯＡ２－ＡＥ槡 ２ ＝ ５２－３槡 ２ ＝４（ｃｍ），在Ｒｔ△ＯＣＦ中，ＯＦ ＝ ＯＣ２－ＣＦ槡 ２ ＝ ５２－４槡 ２ ＝３（ｃｍ），所以ＥＦ＝ＯＥ＋ ＯＦ＝４＋３＝７（ｃｍ）； 如图４，当两弦位于圆心的同侧时，同理可求得两平 行弦之间的距离为１ｃｍ． 综上可知，两平行弦之间的距离为７ｃｍ或１ｃｍ． 故填７ｃｍ或１ｃｍ． % ' ! # ( $ & % ' ! # ( $ & ! % ! # ! !" #$% # ) ! & ! ! # & ) ! ! " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! &' ( ) & # $ % ! " * ! ! ! " + , - $ . ! !* +,- ! & + $ % ( ! % ! ! ! & + $ % ! ! " #! !!"#" $"% !" "$"#&!$'!$( ./0 "1#2345 63789:;3<= !" > ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()* + , - . ?@#ABCDE FG<HIJ/>5 !"KLM8NO !"KMPQ;RSTUV !"KMWXYZ[\]^N_ 7`Babcd2 aefghi jklmnod2pqf&'!#($)$)*r+5 ) *+ ghi , ) *+ #st , # - .+ uvi , ) *+ w x , ) *+ y z -./01+ u { 23/01+ u|} -4506+ ~  -4578+ €( s‚ƒ „ … †‡ˆ ‰ Š ‹Œ #Ž ‰| ‘  ’“ˆ ”•h „–— ˜–™ #hš ›z3 œ… ž  Ÿ ¡ s¢£ 91-.+ #¤¥ 91:;+ ¦“§ <=-.+ # ¨ >?-.+ © ª @ABC+ «¬, #­®¯°¯± , #²˜¯d± #bc¶·¸f$%-!(-")!"-. #A®¹ºf!"»¼½¾‡¿ÀÁÂà !%" q7`®a6378bc¶ #ÄÅbÆf$%$$$. #¾Ç¶È®ÉÊf$%-!$-")!!"- $%-!$-")!"%).SË5 #ÈÌfÍέ®¾ÇϺÐÑÒjÓÔÄÕ.Ö5 #ÄÅÈÌÉÊf!!!/- #×ØÙÚÈÛÜÈÝÞÈ #­®ßÒjÓ».¾5àPáâã® #äåYZæ×çqf!#$$$$#$$$!!$ #äåÏ·¸f$%-!$-")!"-- #­®èéê*ëSTìí[\] .̂îï¾ðñÀòóôõö;R÷ !! q5øìùú[ìûüýþDùÍέ®¾ÇϺÐÿ! """""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! "ê ’i# $ + % ! ( & ! " ! + ( $ % & ! ! %) 0 ) 0 / ! / ! % + % $ & r$% !ù# ±&<H'5 r/0 !ù# ±345 ()*+,J-./U0Z12 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．已知ＡＢ是半径为２的圆的一条弦，则ＡＢ的长不 可能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２．点Ｐ到圆Ｏ的距离为６，若点Ｐ在圆Ｏ外，则圆Ｏ 的半径ｒ满足 （　　） Ａ．０＜ｒ＜６ Ｂ．０＜ｒ≤６ Ｃ．ｒ＞６ Ｄ．ｒ≥６ ３．如图１，在半径为５的 ⊙Ｏ中，∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ， ＯＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，ＡＢ＝８，则ＯＤ＝ （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ４．如图２，以ＣＤ为直径的⊙Ｏ中，弦ＡＢ⊥ＣＤ于点 Ｍ，若ＡＢ＝２４，ＣＤ＝２６，则ＭＤ的长为 （　　） Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．１０ ５．如图３，ＥＦ，ＣＤ是 ⊙Ｏ的两条直径，Ａ是劣弧 ) ＤＦ 的中点，若∠ＥＯＤ＝３２°，则∠ＣＤＡ的度数是 （　　） Ａ．３７° Ｂ．５３° Ｃ．６３° Ｄ．７４° ６．已知⊙Ｏ的半径ｒ＝２，不经过圆心的直线与圆交 于Ａ，Ｂ两点，且∠ＡＯＢ＝１２０°，则线段ＡＢ的长度为 （　　） Ａ．槡３ Ｂ．２ Ｃ． 槡４ Ｄ．２３ ７．数学活动课上，同学们想测出一个破损轮子的半径， 小宇的解决方案如下：如图４，在轮子圆弧上任取两点Ａ，Ｂ， 连接ＡＢ，再作出ＡＢ的垂直平分线，交ＡＢ于点Ｃ，交 ) ＡＢ于点 Ｄ，测出ＡＢ，ＣＤ的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出 ＡＢ＝１６ｃｍ，ＣＤ＝４ｃｍ，则轮子的半径为 （　　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１０ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ ８．将半径为５的⊙Ｏ按如图５方式 折叠，折痕ＡＢ长为８，Ｃ为折叠后 ) ＡＢ的 中点，则ＯＣ的长为 （　　） 槡Ａ．２ 　　　　　Ｂ．３ 槡Ｃ．１ 　　　　　Ｄ．２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图６，在⊙Ｏ中，弦的条数是 ． １０．如图７，在⊙Ｏ中， ) ) ＡＢ＝ＣＤ，Ａ，Ｃ之间的距离为 ４，则Ｂ，Ｄ之间的距离为 ． １１．如图８，在⊙Ｏ中，点Ａ在圆内，点Ｂ在圆上，点Ｃ 在圆外，若 ＯＡ＝３，ＯＣ ＝５，则 ＯＢ的长度可能为 （写出一个即可）． １２．如图 ９，ＡＢ是 ⊙Ｏ的弦，ＯＣ⊥ ＡＢ于点 Ｈ，若 ∠ＡＯＣ＝４５°，ＡＯ＝ 槡２２，则弦ＡＢ的长为 ． １３．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，点 Ｐ坐标为（２，３）， 点Ｑ为图形Ｍ上一点，则我们将线段ＰＱ长度的最大值 与最小值之间的差定义为点Ｐ视角下图形Ｍ的“宽度”． 现有⊙Ｏ，Ｏ为原点，半径为２，则点Ｐ视角下⊙Ｏ的“宽 度”为 ． １４．如图１０，已知圆 Ｏ的面积为 ３π，ＡＢ为直径，弧 ＡＣ的度数为８０°， 弧ＢＤ的度数为２０°，点 Ｐ为直径 ＡＢ 上任一点，则 ＰＣ＋ＰＤ的最小值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１１，在⊙Ｏ中，Ｄ，Ｅ分别为半径ＯＡ， ＯＢ上的点，且ＡＤ＝ＢＥ．Ｃ为弧ＡＢ上一点，连接ＣＤ，ＣＥ， ＣＯ，且ＣＤ＝ＣＥ．求证：Ｃ为 ) ＡＢ的中点． １６．（１０分）如图１２，⊙Ｏ的弦ＡＢ，ＤＣ的延长线相交 于点Ｅ．若 ) ＡＤ为１２０°， ) ＢＣ为５０°，求∠Ｅ的度数． １７．（１０分）如图１３所示，ＡＢ是 ⊙Ｏ的一条弦，ＯＤ ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，交⊙Ｏ于点Ｃ，Ｄ． （１）若∠ＡＯＤ＝５０°，求∠ＤＯＢ的度数； （２）若ＡＢ＝ 槡２５，ＥＤ＝１，求⊙Ｏ的半径长． １８．（１０分）如图１４，有一座圆弧形拱桥，桥下水面 宽ＡＢ为１６米，拱高ＣＮ为４米． （１）求桥拱的半径； （２）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度ＤＥ为１２米 时，求水面涨高了多少？ １９．（１２分）如图１５，在⊙Ｏ中，Ｃ，Ｄ是直径ＡＢ上的 两点，且ＡＣ＝ＢＤ，ＥＧ⊥ＡＢ，ＦＨ⊥ＡＢ，交ＡＢ于点Ｃ，Ｄ， 点Ｅ，Ｇ，Ｆ，Ｈ在⊙Ｏ上． （１）若ＥＧ＝８，ＡＣ＝２，求⊙Ｏ的半径； （２）求证： ) ) ＡＥ＝ＢＦ． ２０．（１２分）如图１６，已知⊙Ｏ的直径ＡＢ⊥弦ＣＤ于 点Ｅ，连接ＣＯ并延长交ＡＤ于点Ｆ，且ＣＦ⊥ＡＤ． （１）求证：点Ｅ是ＯＢ的中点； （２）若ＡＢ＝１２，求ＣＤ的长                                                                                                                                                                 ． ! " # $ % & ! ! $ ' " % & ! "# ! 书 ２４．２．１圆的基本概念及垂径定理 １．如图１所示的线段，是圆Ｏ的弦的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＢ Ｂ．线段ＡＣ Ｃ．线段ＡＥ Ｄ．线段ＤＥ ２．已知⊙Ｏ中，最长的弦长为１６ｃｍ，则⊙Ｏ的半径 是 （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１６ｃｍ Ｄ．３２ｃｍ ３．平面内，已知 ⊙Ｏ的半径是 ８ｃｍ，线段 ＯＰ＝ ７ｃｍ，则点Ｐ （　　） Ａ．在⊙Ｏ外 Ｂ．在⊙Ｏ上 Ｃ．在⊙Ｏ内 Ｄ．不能确定 ４．下列说法错误的是 （　　） Ａ．圆有无数条直径 Ｂ．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 Ｃ．过圆心的线段是直径 Ｄ．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 ５．如图２，ＣＤ是⊙Ｏ的弦，直径ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为 Ｍ，连接ＡＤ．若ＣＤ＝８，ＢＭ ＝２，则ＡＤ的长为 （　　） 槡Ａ．１０ Ｂ．５３ 槡 槡Ｃ．４５ Ｄ．３ １０ ６．过圆内一点（非圆心）有 条弦，有 条直径． ７．如图３，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，ＣＤ是 ⊙Ｏ的弦，ＡＢ， ＣＤ的延长线交于点Ｅ．若ＡＢ＝２ＤＥ，∠Ｅ＝１８°，则∠Ｃ 的度数为 ． ８．如图４，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ＝６，Ｐ是弦ＡＢ上 的一个动点（不与Ａ，Ｂ重合），写出一个符合条件的ＯＰ 的值： ． ９．圆在中式建筑中有着 广泛的应用．如图５，某园林 中圆弧形门洞的顶端到地面 的高度为２．８ｍ，地面入口的 宽度为 １ｍ，门枕的高度为 ０．３ｍ，则该圆弧所在圆的半 径为 ｍ． １０．如图６，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，Ｏ是圆心，Ｅ是圆上 一点，且∠ＥＯＤ＝８１°，Ａ是ＤＣ延长线上一点，ＡＥ与圆 交于另一点Ｂ，且ＡＢ＝ＯＣ，求∠ＥＡＤ的度数． １１．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和 刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明同学所 在的学习小组想到了如下方法：如图７，将纸条拉直紧 贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 ３．５ｃｍ，ＡＢ＝ ３ｃｍ，ＣＤ＝４ｃｍ．请你帮忙计算纸杯的直径． １２．如图８所示，ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的高，求证：Ｅ，Ｂ， Ｃ，Ｄ四点在同一个圆上． ２４．２．２圆心角、弧、弦、弦心距间关系 １．如图１，在 ⊙Ｏ中， ) ) ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＯＢ＝４５°，则 ∠ＣＯＤ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６０° Ｂ．４５° Ｃ．３０° Ｄ．４０° ２．如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｅ在⊙Ｏ上，点Ｄ， Ｃ是 ) ＥＢ的三等分点，∠ＣＯＤ＝３４°，则∠ＡＯＥ的度数是 （　　） Ａ．７８° Ｂ．６８° Ｃ．５８° Ｄ．５６° ３．如图３，半径ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ将一个圆分成三个大小 相同的扇形，其中ＯＤ是∠ＡＯＢ的角平分线，∠ＡＯＥ＝ １ ３∠ＡＯＣ，则∠ＤＯＥ等于 （　　） Ａ．１００° Ｂ．１１０° Ｃ．１２０° Ｄ．１３０° ４．如图４，在⊙Ｏ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＯＥ⊥ＡＢ，ＯＦ⊥ＣＤ， 则下列结果中错误的是 （　　） Ａ． ) ) ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＯＥ＝ＯＦ Ｃ．∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ Ｄ． ) ) ＢＣ＝ＡＤ ５．如图５，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的点，如果ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＡＯＢ＝７０°，那么∠ＣＯＤ＝ ． ６．如图６，在⊙Ｏ中，ＡＣ＝ＢＤ，若∠ＡＣＯ＝３０°，则 ∠ＢＯＤ＝ ． ７．如图７，点Ｃ是直径ＡＢ的三 等分点（ＡＣ＜ＣＢ），点Ｄ是弧ＡＤＢ 的三等分点（ ) ) ＢＤ＜ＡＤ），若直径ＡＢ ＝１２，则ＤＣ的长为 ． ８．如图 ８，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径， ＡＣ，ＣＤ，ＤＥ，ＥＦ，ＦＢ都是⊙Ｏ的弦，且ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ ＥＦ＝ＦＢ，求∠ＡＯＣ与∠ＣＯＦ的度数． ９．如图９，∠ＡＯＢ＝９０°，Ｃ，Ｄ是 ) ＡＢ的三等分点，连 接ＡＢ，分别交ＯＣ，ＯＤ于点Ｅ，Ｆ． （１）求∠ＡＥＣ的度数； （２）求证：ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＤ． １０．如图１０，已知⊙Ｏ的直径ＢＡ与弦ＤＣ的延长线 交于点Ｐ，且 ＰＣ＝ＣＯ， ) ) ) ＣＤ＝ＡＣ＋ＤＢ，求 ∠ＯＤＣ与 ∠ＤＯＢ的度数 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ＣＥ′，ＡＣ ＝ ＢＣ，所 以 ∠ＣＤ′Ｅ′＝∠ＣＥ′Ｄ′＝ ∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝４５°， 所以∠ＣＥ′Ｂ＝∠ＣＤ′Ａ ＝１３５°，所以∠ＡＤ′Ｂ＝ １３５°－４５°＝９０°，所以 ＡＤ′⊥ＢＤ′． （２） 在 Ｒｔ△ＡＣＢ 中，因为ＡＣ＝ＢＣ＝２， 所 以 ＢＡ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２２，同 理可得Ｄ′Ｅ′＝槡２，由旋 转的性质，得 ＡＤ′＝ ＢＥ′，设ＡＤ′＝ＢＥ′＝ｘ， 在Ｒｔ△ＡＤ′Ｂ中，由勾股 定理，得ｘ２＋（槡２＋ｘ） ２ ＝（ 槡２２） ２，解得 ｘ＝ 槡１４－槡２ ２ （负值舍去）， 所以ＢＥ′＝槡１４－槡２２ ． （３）① 经 过 点 Ｂ 时，题（２）已求得 ＢＥ′ ＝槡１４－槡２２ ； ②经过点 Ａ时，设 ＡＣ与ＢＥ′交于点 Ｆ，同 （１）可证得 △ＣＤ′Ａ≌ △ＣＥ′Ｂ，所以 ∠Ｄ′ＡＣ ＝∠Ｅ′ＢＣ，ＢＥ′＝ＡＤ′， 因为∠ＡＦＥ′＝∠ＣＦＢ， 所以 ∠ＡＥ′Ｂ＝∠ＢＣＡ ＝９０°．设ＢＥ′＝ＡＤ′＝ ｘ，在Ｒｔ△ＡＥ′Ｂ中，由勾 股定理，得 ｘ２ ＋（ｘ－ 槡２） ２ ＝（槡２２） ２，解得ｘ ＝槡２＋槡１４２ （负值舍 去 ）， 即 ＢＥ′ ＝ 槡２＋槡１４ ２ ； ③ 再次经过点 Ｂ 时，同理可证△ＣＤ′Ａ≌ △ＣＥ′Ｂ，ＡＤ′⊥ ＢＥ′，设 ＢＥ′＝ ＡＤ′＝ ｘ，在 Ｒｔ△ＡＤ′Ｂ中，由勾股定 理，得ｘ２＋（ｘ－槡２） ２＝ （ 槡２ ２） ２， 解 得 ｘ ＝ 槡２＋槡１４ ２ （负值舍去）， 即ＢＥ′＝槡２＋槡１４２ ； ④ 再次经过点 Ａ 时，同理可证△ＣＤ′Ａ≌ △ＣＥ′Ｂ，ＡＤ′⊥ ＢＥ′，设 ＢＥ′＝ ＡＤ′＝ ｘ，在 Ｒｔ△ＡＥ′Ｂ中，由勾股定 理，得ｘ２＋（ｘ＋槡２） ２＝ （ 槡２ ２） ２， 解 得 ｘ ＝ 槡１４－槡２ ２ （负值舍去）， 即ＢＥ′＝槡１４－槡２２ ． 综上所述，ＢＥ′长 的所有值为槡 ２＋槡１４ ２ 或槡 １４－槡２ ２ ． 上期４版 重点集训营 １．略． ２．（１）作图略． （２）作图略．旋转中 心点Ｍ的坐标为（１，０）．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