第14期 24.1 旋转（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 四、１７．（１）ｋ＝３２． （２）点 Ｍ的坐标为（６， １６ ３）或（２，１６）． １８．证明：（１）在平行四边 形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ．因为 ＢＤ平 分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ， 所 以 ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＢＤ．因为ＡＢ２＝ＢＦ·ＢＤ， 所以 ＡＢ ＢＤ＝ ＢＦ ＡＢ．又因为∠ＡＢＤ ＝ ∠ＦＢＡ，所 以 △ＡＢＦ∽ △ＤＢＡ，所以∠ＦＡＢ＝∠ＡＤＢ， 所以∠ＦＡＢ＝∠ＡＢＤ，所以ＡＦ ＝ＢＦ，即点Ｆ在边ＡＢ的垂直 平分线上． （２）由上题可知∠ＦＡＢ＝ ∠ＣＢＤ，又 因 为 ∠ＢＥＡ ＝ ∠ＦＥＢ，所以△ＢＥＡ∽△ＦＥＢ， 所以 ＢＥ ＡＥ ＝ ＢＦ ＡＢ．因为 ＡＢ ＢＤ ＝ ＢＦ ＡＢ，所以 ＡＢ ＢＤ ＝ ＢＥ ＡＥ．因为 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ，所以 ＡＢ＝ ＡＤ，所以ＡＤＢＤ＝ ＢＥ ＡＥ，即ＡＤ·ＡＥ ＝ＢＥ·ＢＤ． 五、１９．（１）机械臂端点Ｃ 到工作台的距离ＣＤ的长约为 ６６ｍ． （２）ＯＤ的长约为３．８ｍ． ２０．（１）ｋ＝ ２５，ｍ＝－２， ｂ＝１２５． （２）由（１）易得 Ａ（１５， ２），Ｂ（１， ２５），Ｃ（ １ ５，１），因 为ＣＤ垂直平分 ＡＢ，所以点 Ｄ 是 ＡＢ的中点，所以 Ｄ（３５， ６ ５），设直线ＣＤ的表达式为ｙ ＝ ｃｘ＋ ｎ， 把 Ｃ（１５，１）， Ｄ（３５， ６ ５）代入 ｙ＝ｃｘ＋ｎ 中，解得 ｃ＝ １２， ｎ＝ ９１０ { ，所以直线 ＣＤ的表达式为 ｙ＝ １２ｘ＋ ９ １０，因为ＢＥ∥ｘ轴交ＣＤ于点 Ｅ，所以点Ｅ纵坐标为 ２５，令ｙ ＝ ２５，即 ２ ５ ＝ １ ２ｘ＋ ９ １０，解 得ｘ＝－１，所以Ｅ（－１，２５）， 所以ＥＦ＝ １５ －（－１）＝ ６ ５， 因为ＢＥ∥ｘ轴，ｌ⊥ｘ轴，所以 ＥＦ⊥ ＡＣ，所 以 Ｓ△ＡＣＥ ＝ １ ２ＡＣ·ＥＦ＝ １ ２ ×１× ６ ５ ＝ ３ ５． 六、２１．（１）ｙ关于ｘ的函数表 达式为ｙ＝－１９ｘ ２＋２３ｘ＋２． （２）该女生在此项考试中 是得满分，理由略． 七、２２．（１）证明略． （２）连接 ＣＥ，因为 ＡＢ＝ 书 上期１，２版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ 二、１１．１６００００；　１２．ｙ＝１２００ｘ ；　１３．８；　１４． 槡７ ２或 槡５７ ６． 三、１５．原式 ＝ ５４． １６．（１）直线ｙ＝ａｘ＋ｂ的表达式为ｙ＝－３ｘ－３． （２）－２≤ｘ＜０或ｘ≥１． 四、１７．（１）证明：因为ＡＣ⊥ＡＤ，ＥＤ⊥ＡＤ，所以∠Ａ＝∠Ｄ ＝９０°，∠Ｃ＋∠ＡＢＣ＝９０°，因为ＣＢ⊥ＢＥ，所以∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＤ ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠ＥＢＤ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＥＢ． （２）ＢＤ＝３． １８．（１）抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２＋４ｘ－３． （２）Ｐ（－１，－８）或Ｐ（５，－８）． 五、１９．火箭从Ｐ到Ｑ处的平均速度为２９４ｍ／ｓ． ２０．（１）ｋ＝－２３，ｍ＝１２，点Ｃ的坐标为（９，０）． （２）延长ＤＡ交ｘ轴于点Ｆ，将直线ＡＢ沿ｙ轴向上平移３个 单位长度后表达式为ｙ＝－２３ｘ＋９，联立 ｙ＝－２３ｘ＋９， ｙ＝１２ｘ { ， 解得 ｘ１ ＝ ３ ２， ｙ１ ＝８ { ， ｘ２ ＝１２， ｙ２ ＝１ { ， 所以点Ｄ（３２，８）．设直线ＡＤ的表达式为 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１，把Ｄ（ ３ ２，８），Ａ（３，４）代入得 ３ ２ｋ１＋ｂ１ ＝８， ３ｋ１＋ｂ１ ＝４ { ， 解 得 ｋ１ ＝－ ８ ３， ｂ１ ＝１２ { ， 所以直线ＡＤ的表达式为ｙ＝－８３ｘ＋１２．把ｙ＝ ０代入ｙ＝－８３ｘ＋１２，解得ｘ＝ ９ ２，所以点Ｆ的坐标为（ ９ ２，０）， 所以ＣＦ＝９－９２ ＝ ９ ２，所以Ｓ△ＡＣＤ ＝Ｓ△ＣＤＦ－Ｓ△ＣＡＦ ＝９． 六、２１．（１）Ｃ１的最高点坐标为（３，２），ａ＝－ １ ９，ｃ＝１． （２）符合条件的ｎ的整数值为４和５． 七、２２．（１）ＡＢ＝ 槡２６． （２）ＢＣ＝２ＦＧ．证明：连接ＢＦ，因为ＥＦ∥ＢＣ，所以∠ＡＦＥ ＝∠Ｃ．因为 ∠Ｃ＝∠ＡＢＤ，所以 ∠ＡＦＥ＝∠ＡＢＤ．又因为 ∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＢ，所以△ＡＦＥ∽△ＡＢＤ．所以ＡＦＡＢ＝ ＡＥ ＡＤ，所以 ＡＦ ＡＥ ＝ＡＢＡＤ，所以△ＡＢＦ∽△ＡＤＥ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝９０°，所以 ∠ＢＦＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°，所以∠ＦＢＣ＝∠Ｃ＝４５°，所以ＦＢ＝ ＦＣ．因为ＦＧ⊥ＢＣ，所以ＢＣ＝２ＦＧ． 八、２３．（１）Ｂ（５，５），Ｃ（２，－４）． （２）设直线ＢＣ的表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，将 Ｂ（５，５），Ｃ（２， －４）代入可得 ５ｋ＋ｂ＝５， ２ｋ＋ｂ＝－４{ ，解得 ｋ＝３，ｂ＝－１０{ ，所以直线 ＢＣ的 表达式为ｙ＝３ｘ－１０，当点Ｄ在直线ＯＢ的下方时，过点Ｂ作ＢＦ ⊥ｘ轴，交ｘ轴于点Ｆ，延长ＯＤ，交ＢＦ于点Ｐ，因为Ｂ（５，５），所 以 ＯＦ＝ＢＦ，所以 ∠ＢＯＦ＝∠ＯＢＦ＝４５°，因为 ∠ＤＯＢ＝ ∠ＯＢＣ，所以∠ＰＯＦ＝∠ＨＢＦ，因为∠ＯＦＰ＝∠ＢＦＨ＝９０°，所 以△ＯＦＰ≌△ＢＦＨ，所以ＨＦ＝ＰＦ．对于ｙ＝３ｘ－１０，当ｙ＝０ 时，ｘ＝１０３，所以Ｈ（ １０ ３，０），则ＰＦ＝ＨＦ＝ＯＦ－ＯＨ＝ ５ ３，所 以Ｐ（５，５３），易求得直线 ＯＰ的表达式为 ｙ＝ １ ３ｘ，联立 ｙ＝ １３ｘ， ｙ＝ｘ２－４ｘ { ， 解得 ｘ＝０， ｙ＝{ ０（舍去）或 ｘ＝１３３， ｙ＝１３９ { ，即 Ｄ（１３３， １３ ９）；当点Ｄ在直线ＯＢ的上方时，因为∠ＤＯＢ＝∠ＯＢＣ，所以 ＯＤ∥ＢＣ，因为直线ＢＣ的表达式为ｙ＝３ｘ－１０，所以直线ＯＤ的 表达式为 ｙ＝３ｘ．联立 ｙ＝３ｘ， ｙ＝ｘ２－４ｘ{ ，解得 ｘ＝０，ｙ＝{ ０（舍去）或 ｘ＝７， ｙ＝２１{ ，即Ｄ（７，２１）．综上，当点Ｄ的坐标为（ １３ ３， １３ ９）或（７， ２１）时，∠ＤＯＢ＝∠ＯＢＣ． （３）由（１）易得抛物线的对称轴为直线ｘ＝２，因为点Ｂ（５， ５）与点Ｅ关于抛物线对称轴对称，所以Ｅ（－１，５）．过点Ｅ，Ｆ分 别作ｙ轴的平行线，交直线ＯＢ于点Ｍ，Ｎ，所以Ｍ（－１，－１），所 以ＥＭ＝６，设Ｆ（ｍ，ｍ２－４ｍ），则Ｎ（ｍ，ｍ），所以ＦＮ＝ｍ－（ｍ２ －４ｍ）＝－ｍ２＋５ｍ，因为Ｓ１＝ １ ２ＦＮ（ｘＢ－ｘＧ），Ｓ２＝ １ ２ＥＭ（ｘＢ －ｘＧ），所以 Ｓ１ Ｓ２ ＝ＦＮＥＭ ＝ －ｍ２＋５ｍ ６ ＝－ １ ６（ｍ ２ －５ｍ）＝ －１６（ｍ－ ５ ２） ２＋２５２４，所以当ｍ＝ ５ ２时， Ｓ１ Ｓ２ 有最大值，为 ２５ ２４． 上期３，４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ａ 二、１１．ｈ＝２０ｘ；　１２．１１１；　１３．ｙ＝（ｘ－ ２５ １３） ２； １４． 槡３ １０５ 或 槡９ １０ ５ ． 三、１５．原式 ＝１． １６．（１）二次函数的表达式为ｙ＝－（ｘ－２）３＋３． （２）－１≤ｙ≤３． （３）该二次函数的图象向下平移３个单位长度或向左平移 ４个单位长度，再向下平移３个单位长度恰好经过点（０，－４）， 且与ｘ轴只有一个公共点． 书 １．如图 １，点 Ａ（４，３）， Ｂ（２，４），ＯＡ与格线交于点 Ｃ，在８×８的正方形网格中 建立直角坐标系ｘＯｙ，然后仅 用无刻度直尺按要求完成下 列作图（作图过程用虚线，画 图结果用实线，不写画法，保 留画图痕迹）． （１）画出△ＡＢＯ绕点Ｂ顺时针旋转９０°后得到的 △Ａ１Ｂ１Ｏ１； （２）画出点Ｃ绕点Ｂ顺时针旋转９０°后得到的点 Ｃ１． ２．如图２所示的１０×１０的 正方形网格中，△ＡＢＣ的三个顶 点都在格点上，请在所给的平面 直角坐标系中解答下列问题： （１）画出△ＡＢＣ绕原点Ｏ旋 转１８０°后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）将 △ＡＢＣ绕某点逆时 针旋转９０°后，得到△Ａ２Ｂ２Ｃ２，顶点Ａ，Ｂ，Ｃ的对应点分 别为 Ａ２（２，－２），Ｂ２（４，－３），Ｃ２（３，－５），请画出 △Ａ２Ｂ２Ｃ２，并直接写出旋转中心点Ｍ的坐标． 辅助线周周练 １．如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝ 槡４５，点 Ｄ是边ＡＢ上一动点（点Ｂ除外），ＤＣ绕点Ｄ逆时针旋转 ９０°，得到ＤＥ，则△ＢＤＥ面积的最大值是 ． ２．如图２，ＡＢ＝８，点Ｃ是线段ＡＢ上的动点，将线 段ＢＣ绕点Ｂ顺时针旋转１２０°得到ＢＤ，连接ＣＤ，在ＡＢ 的上方作Ｒｔ△ＤＣＥ，∠ＤＣＥ＝９０°，∠Ｅ＝３０°，点 Ｆ为 ＤＥ的中点，连接ＡＦ，则ＡＦ最小为 ． 书 作出一个图形绕定点旋转某一角度后的图形的关 键是抓住图中的每一个点都绕着旋转中心按相同的方 向旋转了同样大小的角度，而且对应点到旋转中心的距 离相等． 因此，要作出旋转后的图形，必须具备三个要素：旋 转中心、旋转角和旋转方向．根据题目特点，将旋转作图 的两种情形解析如下，供同学们参考． 一、三个要素都具备 例１　如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，以点Ｂ为旋 转中心，按顺时针方向把△ＡＢＣ旋转９０°，请作出旋转后 的三角形． 解析：如图２，（１）过点Ｂ作ＡＢ的垂线，并在这条垂 线上截取ＢＡ′＝ＢＡ，即得点Ａ的对应点Ａ′； （２）过点Ｂ作ＢＣ的垂线，并在这条垂线上截取ＢＣ′ ＝ＢＣ，即得点Ｃ的对应点Ｃ′； （３）连接Ａ′Ｃ′，△Ａ′ＢＣ′就是所求作的三角形． 二、三个要素不完整 例２　如图３，线段ＡＢ绕点Ｏ顺时针旋转一定的角度 得到线段Ａ１Ｂ１，若Ａ的对应点为Ａ１，Ｂ的对应点为Ｂ１，请用 直尺和圆规作出旋转中心Ｏ（不写作法，保留作图痕迹）． 解析：如图４，（１）连接ＡＡ１，ＢＢ１； （２）分别作ＡＡ１，ＢＢ１的垂直平分线； （３）两条垂直平分线的交点即为旋转中心Ｏ． 【对应练习见《重点集训营》】 书 【提示】 １．过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＡ，交ＢＡ延长线于点Ｇ，过点 Ｃ作ＣＨ⊥ＢＡ，交ＢＡ延长线于Ｈ，作ＡＱ⊥ＣＢ于点Ｑ， 首先证明△ＨＣＤ≌△ＧＤＥ，之后利用等积法求出ＣＨ 的长，设ＢＤ＝ｘ，则ＡＤ＝５－ｘ，表示出△ＢＤＥ的面 积，利用二次函数的性质求解即可． ２．连接ＣＦ，作ＢＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，根据直角三角形 的性质可得ＣＦ＝ＤＦ＝ＥＦ，∠ＥＤＣ＝６０°，从而得到 △ＣＤＦ是等边三角形，∠ＤＣＦ＝６０°，由旋转的性质 可得ＢＣ＝ＢＤ，∠Ｂ＝１２０°，由等腰三角形的性质结 合三角形内角和定理可得∠ＢＣＤ＝∠ＢＤＣ＝３０°， 推出∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＦ＝９０°，设ＢＣ＝ｘ，则ＡＣ＝ＡＢ －ＢＣ＝８－ｘ，求出ＣＤ＝ＣＦ＝槡３ｘ，由勾股定理表示 出ＡＦ＝ＡＣ ２ ＋ＣＦ 槡 ２ ＝２（ｘ－２） ２ ＋ 槡１２，即可得 到答案． ! !" #$% """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""" ! " # $ % & ! ! % $ ' ( # # ( ) %$ ' ! " ! ! # " " $ " # $ # " $ " # $ ! # ! $ ! % $ " & # ! " # % $ # % $ $! %! ! " ! ! 书 中心对称图形是一种优美的图形．在现实生活中， 中心对称图形无处不在，下面我们一起去赏析与中心对 称图形有关的几种题型． 一、识别题 例１　剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之 一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行 创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法 提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既 是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） 解析：Ａ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故 Ａ 选项不合题意； Ｂ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故 Ｂ选项不 合题意； Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故Ｃ选项符 合题意； Ｄ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ｄ选项不 合题意． 故选Ｃ． 二、情境题 例２　四张扑克牌所摆放的顺序与位置如下，小杨 同学选取其中一张扑克牌，把他颠倒后再放回原来的位 置，发现扑克牌的摆放顺序与位置都没改变，那么小杨 同学所选的扑克牌是 （　　） 解析：将扑克牌颠倒，再放回原来的位置后扑克牌 的摆放顺序与位置都没改变，则该扑克牌上的图案为中 心对称图形．分析选项可知只有Ｄ中扑克牌上的图形是 中心对称图形，符合题意． 故选Ｄ． 三、作图题 例３　如图１，在４×４的正方形网格中，每个小正 方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为 顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正 方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且 组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个 格点正方形的作法共有 （　　） Ａ．２种 Ｂ．３种 Ｃ．４种 Ｄ．５种 解析：根据轴对称图形和中心对称图形的意义，可 以作图２．显然，这四个阴影正方形都可以使这两个格 点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又 是中心对称图形． 故选Ｃ． 书 旋转的性质是本节的重点知识，也是历年中考的命 题热点，现选取典例分析如下，供同学们参考． 一、求角度 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图 １，点 Ｅ是正方形 ＡＢＣＤ内的一点，将 △ＡＢＥ绕点 Ｂ按 顺时针方向旋转９０°得到 △ＣＢＦ．若 ∠ＡＢＥ＝５５°，则∠ＥＧＣ＝ ． 解析：因为四边形 ＡＢＣＤ是正方 形，所以∠ＡＢＣ＝９０°，因为∠ＡＢＥ＝ ５５°，所以 ∠ＣＢＥ＝３５°，由旋转的性 质，得∠ＥＢＦ＝９０°，ＢＥ＝ＢＦ，所以∠ＢＥＦ＝４５°，所以 ∠ＥＧＣ＝∠ＣＢＥ＋∠ＢＥＦ＝８０°．故填８０°． 二、求长度 例 ２　 如图 ２，在矩形 ＡＢＣＤ中，点Ｐ在ＢＣ边上，连接 ＰＡ，将 ＰＡ绕点 Ｐ顺时针旋转 ９０°得到 ＰＡ′，连接 ＣＡ′．若 ＡＤ ＝９，ＡＢ＝５，ＣＡ′＝ 槡２２，则ＢＰ 的长为 ． 解析：过点Ａ′作Ａ′Ｆ⊥ＢＣ于点Ｆ，则∠ＰＢＡ＝∠Ａ′ＦＰ， 由旋转的性质，得∠Ａ′ＰＡ＝９０°，所以∠ＢＰＡ＋∠ＦＰＡ′ ＝９０°，因为 ∠ＦＰＡ′＋∠ＦＡ′Ｐ＝９０°，所以 ∠ＢＰＡ＝ ∠ＦＡ′Ｐ．又因为ＰＡ＝Ａ′Ｐ，所以△ＢＰＡ≌△ＦＡ′Ｐ，所以 ＢＡ＝ＦＰ，ＢＰ＝ＦＡ′．在矩形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ＡＤ＝９，ＡＢ ＝５，所以ＣＦ＝４－ＢＰ，在Ｒｔ△ＦＣＡ′中，（４－ＢＰ）２＋ＢＰ２ ＝（槡２２） ２，解得ＢＰ＝２．故填２． 三、求坐标 例３　如图３，在平面直角坐标系中，点Ａ在ｙ轴上， 点Ｂ的坐标为（６，０），将△ＡＢＯ绕 着点 Ｂ顺时针旋转 ６０°，得到 △ＤＢＣ，则点Ｃ的坐标是 （　　） Ａ．（槡３３，３） Ｂ．（３，槡３３） Ｃ．（６，３） Ｄ．（３，６） 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ＯＢ，则 ∠ＣＥＢ＝９０°．由旋转的性质，得 ∠ＯＢＣ＝６０°，ＯＢ＝ＢＣ＝６，所以 ∠ＢＣＥ＝３０°，所以 ＢＥ＝３，所以ＣＥ＝ 槡３３，ＯＥ＝３，所以点Ｃ的坐标为（３， 槡３３）．故选Ｂ． 四、求面积 例 ４　 如图 ４，在 △ＡＢＣ 中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ ＝２，点Ｄ在ＢＣ上，且ＢＤ∶ＣＤ ＝１∶３，连接ＡＤ，将线段ＡＤ绕 点Ａ顺时针旋转９０°得到线段 ＡＥ，连接 ＢＥ，ＤＥ，则 △ＢＤＥ的 面积是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． ３ ８ Ｃ． ３ ４ Ｄ． ３ ２ 解析：因为∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠ＡＢＣ＝ ∠Ｃ＝４５°，∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝９０°．由旋转的性质，得ＡＤ ＝ＡＥ，∠ＢＡＤ＋∠ＢＡＥ＝９０°，所以∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＥ，所 以△ＡＤＣ≌ △ＡＥＢ，所以 ＢＥ＝ＣＤ，∠ＡＢＥ＝∠Ｃ＝ ４５°，所以∠ＥＢＤ＝９０°．因为ＢＣ＝２，ＢＤ∶ＣＤ＝１∶３， 所以ＢＤ＝１２，ＢＥ＝ＣＤ＝ ３ ２，所以Ｓ△ＢＤＥ ＝ １ ２ＢＤ·ＢＥ ＝ ３８．故选Ｂ． 书 一、进行计算 例１　如图１，矩形ＡＢＣＤ的 对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，过 点Ｏ的直线分别交 ＡＤ和 ＢＣ于 点Ｅ，Ｆ，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，则图中 阴影部分的面积为 ． 分析：由于矩形是中心对称图形，所以根据题意可 知△ＢＯＦ与△ＤＯＥ关于点Ｏ成中心对称，由此图中阴影 部分的三个三角形就可以转化到Ｒｔ△ＡＤＣ中，于是阴影 部分的面积即可容易求得． 解：因为矩形ＡＢＣＤ是中心对称图形，且对称中心为 对角线ＡＣ和ＢＤ的交点Ｏ，而ＥＦ是过点Ｏ的直线，所以 △ＢＯＦ与△ＤＯＥ关于点Ｏ成中心对称，所以图中阴影部 分的三个三角形就可以转化到 Ｒｔ△ＡＤＣ中．又因为 ＡＢ ＝２，ＢＣ＝３，所以Ｒｔ△ＡＤＣ的面积 ＝１２×３×２＝３，即 图中阴影部分的面积为３． 故填３． 二、分割图形 例２　如图２，四边形ＡＢＣＤ为 矩形，四边形ＢＥＦＧ也是矩形，请你 画一条直线把整个图形分成面积相 等的两部分． 分析：矩形是中心对称图形， 对称中心是对角线的交点．因此 只要经过矩形对角线交点的任意直线都能把矩形分成 面积相等的两部分．本图形可以看成是由两个矩形的和 或差拼凑构成的，经过两个矩形对角线的交点就可以把 整个图形分成面积相等的两部分． 解：图３中几条直线都可以把原图形分成面积相等 的两部分． ! ! " #! !!"#" $"% !" !%!$&"%'#( &'( !)"*+,- .+/0123+45 !" 6 ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()* + , - . 78#9:;<= >?4@AB'6- C"DEF0GH C"DFIJ3KLMNO C"DFPQRSTUVWGX /Y:Z[\]* Z^_`ab cdefgh]*ij_&'"$(%)%)*>+- ) *+ `ab , ) *+ klm , # - .+ nob , ) *+ p q , ) *+ r s -./01+ n % 23/01+ ntu -4506+ v w -4578+ xyz l{| } ~ € ‚ ƒ „…† k‡ˆ ‚‰t Š y ‹Œ Ža } ‘’ ka“ ”s+ •–~ — † ˜™š l›œ 91-.+ kž 91:;+ ŸŒ  <=-.+ k ¡ >?-.+ ¢ £ @ABC+ ¤¥¦ #9:§¨§* , #©‘§]* #[\­®¯_%#-"(-!)"!-. #9:°±_C"²³´µ€¶·¸¹º "#! j/Y:».+/0[\­ #¼½[¾_%#%%%. #µ¿­À:ÁÂ_%#-"#-!)""!- %#-"#-!)"!#)&LÃÄ #ÀÅ_ÆÇ9:µ¿­±ÈÉÊcË̼Í&ÎÄ #¼½ÀÅÁÂ_"""/- #ÏÐÑÒÀÓÔÀÕÖÀ #9:×ÊcËØ>µ-ÙIÚÛÜ: #ÝÞRSßÏàj_"$%%%%$%%%""% #ÝÞ­®¯_%#-"#-!)"!-- #9:áâãäåLMæçTUVW&èéµêë·ìíîïð3Kñ "" jÄòæóôTæõö÷ø<óÆÇ9:µ¿­±Èùú % ( * ' ) # $ ! " % $! ( + # $ ! ! ! # ( % " $ & ! # % $ ( # ' ! $ ! " ! ! ! Cä ûüý """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! ! ! ! " " #$ #$ 0 1 & 2 " # $ % & " ' ( ) $ % * ' ( ) $ % ! # * " ' ( ) $ % ! ! * " ' ( " ' * % + ) ! " ( 0 1 & 2 ! þz ÿ!" ! #" $ % >'( "ó$ *+,Ä >&' "ó$ *?4@AÄ 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列现象属于旋转的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．摩托车在急刹车时向前滑动 Ｂ．飞机起飞后冲向空中的时候 Ｃ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 Ｄ．幸运大转盘转动的过程 ２．校标是一个学校的标志，也是一个学校的门面， 包含着自豪与归属感，下列是镇海区其中四所学校的校 标，属于中心对称图形的是 （　　） ３．如图１，将线段ＡＢ先绕原点Ｏ按逆时针方向旋转 ９０°，再向下平移４个单位，得到线段Ａ′Ｂ′，则点Ａ的对应 点的坐标为 （　　） Ａ．（－２，－１） Ｂ．（－１，－２） Ｃ．（－１，６） Ｄ．（１，－２） ４．两个完全相同的三角形纸片，在平面直角坐标系 中的摆放位置如图２所示，点Ｐ与点Ｐ′是一对对应点， 若点Ｐ的坐标为（ａ，ｂ），则点Ｐ′的坐标为 （　　） Ａ．（３－ａ，－ｂ） Ｂ．（ｂ，３－ａ） Ｃ．（ａ－３，－ｂ） Ｄ．（ｂ＋３，ａ） ５．如图３，将 △ＡＢＣ绕点 Ｃ逆时针旋转，旋转角为 α（０°＜α＜１８０°），得到△ＣＤＥ，这时点Ａ旋转后的对应 点Ｄ恰好在直线ＡＢ上，则下列结论不一定正确的是 （　　） Ａ．∠ＣＢＤ＝∠ＥＣＤ Ｂ．∠ＣＡＢ＝∠ＣＤＢ Ｃ．∠ＥＣＢ＝α Ｄ．∠ＥＤＢ＝１８０°－α ６．如图４，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，ＡＣ ＝２，ＢＤ ＝８，将 △ＢＯＣ绕着点 Ｃ旋转 １８０°得到 △Ｂ′Ｏ′Ｃ，连接ＡＢ′，则ＡＢ′的长是 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．７ ７．如图５，将矩形ＡＢＣＤ绕点Ｃ顺时针旋转９０°得到 矩形ＦＧＣＥ，点Ｍ，Ｎ分别是ＢＤ，ＧＥ的中点，若ＢＣ＝３．５， ＣＥ＝０．５，则ＭＮ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．２．５ Ｄ．３．５ ８．如图６，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡２ １０，Ｏ是ＢＣ的 中点，ＯＥ＝２，连接ＤＥ，将线段ＤＥ逆时针旋转９０°得到 ＤＦ，连接ＡＥ，ＣＦ，ＯＦ，则线段ＯＦ长的最小值为 （　　） 槡Ａ．８ Ｂ．２ １０－２ 槡Ｃ．２ １０＋ 槡２ Ｄ． １０＋２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图７，在△ＡＢＣ中，点Ｏ是ＡＣ的中点，△ＣＤＡ与 △ＡＢＣ关于点Ｏ成中心对称，若∠ＢＡＣ＝４０°，则∠ＡＣＤ 的度数为 ． １０．如图８，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝５５°，将△ＡＢＣ绕 点Ａ逆时针旋转７５°得到△ＡＢ′Ｃ′，连接ＢＢ′，ＢＣ′，若ＡＣ′ ＝ＢＣ′，则∠Ｂ′ＢＣ′的度数为 ． １１．如图９，三个边长相同的正方形重叠在一起，Ｏ１， Ｏ２是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是８， 则正方形的边长为 ． １２．如图１０，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１， ∠Ａ＝３０°，将 △ＡＢＣ绕点 Ｃ顺时针旋转 ６０°得到 △Ａ′Ｂ′Ｃ，点Ｂ′与点Ｂ是对应点，若点Ｂ′恰好落在ＡＢ边 上，则点Ａ到直线Ａ′Ｃ的距离为 ． １３．如图１１，在平面直角坐标 系中，点Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为（１， １），（３，０），（２，－１），点Ｍ从坐标 原点Ｏ出发，第一次跳跃到点Ｍ１， 使得点Ｍ１与点Ｏ关于点Ａ成中心 对称；第二次跳跃到点Ｍ２，使得点 Ｍ２与点Ｍ１关于点Ｂ成中心对称； 第三次跳跃到点Ｍ３，使得点Ｍ３与点Ｍ２关于点Ｃ成中心 对称；第四次跳跃到点Ｍ４，使得点Ｍ４与点Ｍ３关于点Ａ 成中心对称；…，以此方式跳跃，点 Ｍ２０２的坐标是 ． １４．在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，将 △ＡＢＣ绕点 Ｃ顺时针旋转 α度（０＜α＜１８０）得到 △ＤＣＥ，点Ａ与点Ｄ对应，点Ｂ与点Ｅ对应，当点Ｄ落在 △ＡＢＣ的边上时，则ＢＤ的长为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１２，正方形网格中，△ＡＢＣ的顶点 及点Ｏ都在格点上． （１）画出 △ＡＢＣ关于点 Ｏ成中心对称的对称图形 △Ａ′Ｂ′Ｃ′； （２）画出△ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转９０°后的图形 △Ａ″Ｂ″Ｃ″． １６．（１０分）如图１３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１， ∠ＢＡＣ＝４５°，将 △ＡＢＣ绕点 Ａ顺时针旋转 α得到 △ＡＥＦ，连接ＢＥ，ＣＦ，它们交于Ｄ点，求证：ＢＥ＝ＣＦ． １７．（１０分）如图１４，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ 是ＣＤ上一点，点Ｄ与点Ｃ关于点Ｅ成中心对称，连接ＡＥ 并延长，与ＢＣ的延长线交于点Ｆ． （１）Ｅ是线段 ＣＤ的 ，点 Ａ与点 Ｆ关于点 成中心对称； （２）若ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ，求证：△ＡＢＦ是等腰三角形． １８．（１０分）如图１５，将△ＡＢＣ绕点Ａ按顺时针方向 旋转９０°，得到△ＡＤＥ，点Ｂ的对应点为点Ｄ，点Ｃ的对应 点Ｅ落在ＢＣ边上，连接ＢＤ． （１）求证：ＤＥ⊥ＢＣ； （２）若ＡＣ＝ 槡５２２，ＢＣ＝６，求线段ＢＤ的长． １９．（１２分）如图１６，已知△ＡＢＭ与△ＡＣＭ关于直 线ＡＦ成轴对称，△ＡＢＥ与△ＤＣＥ关于点Ｅ成中心对称， 点Ｅ，Ｄ，Ｍ都在线段ＡＦ上，ＢＭ的延长线交ＣＦ于点Ｐ． （１）求证：ＡＣ＝ＣＤ； （２）若∠ＢＡＣ＝２∠ＭＰＣ，请你判断∠Ｆ与∠ＭＣＤ 的数量关系，并说明理由． ２０．（１２分）如图 １７－①，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝２，Ｄ，Ｅ分别为ＡＣ，ＢＣ的中点，将△ＣＤＥ 绕点Ｃ逆时针旋转得到△ＣＤ′Ｅ′（如图１７－②），使直线 Ｄ′Ｅ′恰好过点Ｂ，连接ＡＤ′． （１）判断ＡＤ′与ＢＤ′的位置关系，并说明理由； （２）求ＢＥ′的长； （３）若将△ＣＤＥ绕点 Ｃ逆时针旋转一周，当直线 Ｄ′Ｅ′过Ｒｔ△ＡＢＣ的一个顶点时，请直接写出ＢＥ′长的所 有值                                                                                                                                                                 ． 书 ２４．１旋转（第一课时） １．如图１，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝８０°，将△ＡＢＣ绕点Ｃ 顺时针旋转得△ＥＤＣ，当点Ｂ的对应点Ｄ恰好落在ＡＣ 上时，∠ＣＡＥ的度数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ２．如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１，ＢＣ＝２．６，∠Ｂ＝ ６０°，将△ＡＢＣ绕点Ａ顺时针旋转得到△ＡＤＥ，当点Ｂ的 对应点Ｄ恰好落在ＢＣ边上时，则ＣＤ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．１．６ Ｃ．２ Ｄ．２．６ ３．如图３，在△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝６５°，将△ＡＢＣ在 平面内绕点Ａ旋转到△ＡＢ′Ｃ′的位置，使ＣＣ′∥ＡＢ，则 旋转角的度数是 （　　） Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．５５° ４．如图４，Ａ（４，０），Ｂ（０，２），将线段ＡＢ绕原点Ｏ顺 时针旋转９０°得到线段Ａ′Ｂ′，线段Ａ′Ｂ′的中点Ｃ恰好落 在抛物线ｙ＝ａｘ２上，则ａ＝ ． ５．如图５，已知点 Ａ（０，４），Ｂ（２，０），Ｃ（６，６），Ｄ（２， ４），连接ＡＢ，ＣＤ，将线段ＡＢ绕着某一点旋转一定角度， 使其与线段ＣＤ重合（点Ａ与点Ｃ重合，点Ｂ与点Ｄ重 合），则这个旋转中心的坐标为 ． ６．如图６，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ 槡２３，把边ＢＣ绕 点Ｂ逆时针旋转３０°得到线段ＢＰ，连接ＡＰ并延长交ＣＤ 于点Ｅ，则线段ＰＥ的长为 ． ７．如图７所示，点Ｏ是等边△ＡＢＣ内的任一点，连 接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，∠ＡＯＢ ＝ １５０°，∠ＢＯＣ ＝ １２０°，将 △ＢＯＣ绕点Ｃ按顺时针方向旋转６０°得△ＡＤＣ． （１）求∠ＤＡＯ的度数； （２）用等式表示线段ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ之间的数量关系， 并证明． ２４．１旋转（第二课时） １．如图１，△ＡＢＣ与 △Ａ′Ｂ′Ｃ′关于点 Ｏ成中心对 称，则下列结论不成立的是 （　　） Ａ．点Ａ与点Ａ′是对称点 Ｂ．ＢＯ＝Ｂ′Ｏ Ｃ．ＡＢ＝Ａ′Ｂ′ Ｄ．∠ＡＣＢ＝∠Ｃ′Ａ′Ｂ′ ２．如图２，△ＡＢＥ与△ＤＣＦ成中心对称，则对称中 心是 （　　） Ａ．Ｍ点 Ｂ．Ｐ点 Ｃ．Ｑ点 Ｄ．Ｎ点 ３．如图３，已知阴影部分图形关于点 Ｏ成中心对 称，且ＯＡ＝３，△ＡＢＣ的高ＯＢ＝２，则△ＡＢＣ的面积为 ． ４．如图４，△ＤＥＣ与△ＡＢＣ关于点Ｃ成中心对称， ＡＢ＝３，ＡＣ＝２，∠ＣＡＢ＝９０°，则ＡＥ的长是 ． ５．如图５，△ＡＧＢ与△ＣＧＤ关于点Ｇ成中心对称， 若点Ｅ，Ｆ分别在 ＧＡ，ＧＣ上，且 ＡＥ＝ＣＦ，求证：ＢＦ＝ ＤＥ． ６．如图６，在平面直角坐标系中，△ＯＡ１Ｂ１是边长为 ２的等边三角形，△Ｂ２Ａ２Ｂ１与△ＯＡ１Ｂ１关于点Ｂ１成中心 对称，△Ｂ２Ａ３Ｂ３与△Ｂ２Ａ２Ｂ１关于点Ｂ２成中心对称． （１）直接写出点Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３的坐标； （２）连接Ａ１Ｂ２，求Ａ１Ｂ２的长． ２４．１旋转（第三课时） １．搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 Ｆ遥十七 运载火箭于２０２３年１０月２６日成功发射升空，展现了中 国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上边的图案 是中心对称图形的是 （　　） ２．围棋起源于中国，古代称之 为“弈”．如图１是棋盘上由１个白 子和３个黑子组成的图形，若再放 入一个白子，使它与原来的４个棋 子组成的图形为中心对称图形，则 放入白子的位置可以是 （　　） Ａ．点Ｍ处 　　Ｂ．点Ｎ处 Ｃ．点Ｐ处 　　Ｄ．点Ｑ处 ３．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对 称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三 角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符 合条件的是 ． ４．如图２，四边形 ＡＢＣＤ是轴 对称图形，对角线 ＢＤ所在的直线 是它的对称轴，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°， ＡＢ≠ＡＤ．若把这个轴对称图形沿 对角线 ＢＤ剪开得到两个三角形 后，再把这两个三角形的一边完全 重合在一起，重新拼成一个中心对 称图形，则共有 种拼法． ５．如图３，是３个相同大小的６×６的方格，图３－① 中放置一副七巧板组成的正方形图案，其顶点均在格 点上，称之为格点图形．利用七巧板中的３种图形，按下 列要求作出符合条件的格点图形． （１）在图３－②中，拼成一个是轴对称但不是中心 对称的图形； （２）在图３－③中，拼成一个是中心对称但不是轴 对称的图形． ６．如图４，△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ上一点，ＤＥ∥ ＡＣ交 ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｆ． （１）求证：四边形ＡＥＤＦ是中心对称图形； （２）若ＡＤ平分∠ＢＡＣ，求证：点Ｅ，Ｆ关于直线ＡＤ 对称 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! " # $ % & ' ! ! 书 ４，ＡＣ＝３，∠ＢＡＣ＝９０°，所以 ＢＣ＝５．因为∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ ＝９０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ，所以 △ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以ＡＢＡＣ ＝ ＡＤ ＡＥ ＝ ４ ３．因为 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＤＡＥ＝９０°，所以 ∠ＢＡＤ＝ ∠ＣＡＥ，所以△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＥ，ＡＢＡＣ＝ ＢＤ ＣＥ ＝ ４３，所以设ＢＤ＝４ｘ，ＣＥ＝ ３ｘ，所以ＣＤ＝５－４ｘ．因为∠Ｂ ＋∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＡＣＥ＋ ∠ＡＣＢ＝９０°，所以 ∠ＤＣＥ＝ ９０°．因为 ｔａｎ∠ＥＤＣ＝ＥＣＤＣ＝ １ ２，所以 ３ｘ ５－４ｘ＝ １ ２，所以 ｘ ＝ １２，所以 ＥＣ＝ ３ ２，ＣＤ＝ ３，所以ＤＥ＝ 槡３５２． （３）过点Ａ作ＡＢ的垂线， 过点Ｄ作ＡＤ的垂线，两垂线交 于点Ｍ，连接ＢＭ，所以∠ＢＡＭ ＝∠ＡＤＭ＝∠ＢＤＣ＝９０°．因 为 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＤＢＣ，所以 ∠ＤＡＭ ＝ ∠ＢＣＤ．又 因 为 ∠ＡＤＭ ＝∠ＢＤＣ＝９０°，所以 △ＢＤＣ∽ △ＭＤＡ，所以ＢＤＭＤ＝ ＤＣ ＤＡ．又因为∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＭ， 所以 ∠ＢＤＣ ＋ ∠ＣＤＭ ＝ ∠ＡＤＭ＋∠ＣＤＭ，即 ∠ＢＤＭ ＝∠ＣＤＡ，所以 △ＢＤＭ ∽ △ＣＤＡ，所以ＢＭＡＣ＝ ＤＭ ＡＤ＝ ＢＤ ＤＣ． 因为ｔａｎ∠ＢＡＤ＝ＣＤＢＤ ＝ １ ２， ＡＣ＝ 槡２３，所以ＢＤ＝２ＣＤ，所 以ＢＭ ＝２ＡＣ＝ 槡４３，ＤＭ ＝ ２ＡＤ，因为ＡＢ＝４，所以ＡＭ＝ 槡４２．因为ＡＤ２＋ＤＭ２＝ＡＭ２， 所以ＡＤ＝ 槡４ １０５ ． 八、２３．（１）①Ｐ（－１，４）． Ａ（－３，０）． ②过点Ｍ作ＭＥ⊥ｘ轴于 点Ｅ，与直线 ＡＣ相交于点 Ｆ． 因为点Ａ（－３，０），点Ｃ（０，３）， 所以ＯＡ＝ＯＣ，所以∠ＯＡＣ＝ ４５°，ＥＦ ＝ ＡＥ．设点 Ｍ（ｍ， －ｍ２－２ｍ＋３）（－３＜ｍ ＜ －１），点Ｅ（ｍ，０），则ＥＦ＝ＡＥ ＝ｍ－（－３）＝ｍ＋３．即点 Ｆ（ｍ，ｍ ＋３），所以 ＦＭ ＝ （－ｍ２－２ｍ＋３）－（ｍ＋３） ＝－ｍ２－３ｍ．Ｒｔ△ＦＭＮ中，易 得∠ＭＦＮ＝４５°，所以 ＦＭ ＝ 槡２ＭＮ．因为 ＭＮ ＝槡２，所以 ＦＭ ＝２，即 －ｍ２－３ｍ＝２．解 得ｍ１＝－２，ｍ２＝－１（舍去）， 点Ｍ的坐标为（－２，３）． （２）因为点 Ａ（－ｃ，０）在 抛物线上，其中 ｃ＞１，所以 －ｃ２－ｂｃ＋ｃ＝０，所以ｂ＝１－ ｃ，所以抛物线的表达式为 ｙ ＝－ｘ２＋（１－ｃ）ｘ＋ｃ，则点 Ｍ（ｍ，－ｍ２＋（１－ｃ）ｍ＋ｃ）， 其中 －ｃ＜ｍ＜１－ｃ２ ．因为 ｙ ＝－ｘ２＋（１－ｃ）ｘ＋ｃ＝－（ｘ－ １－ｃ ２ ） ２＋（１＋ｃ） ２ ４ ，所以顶点 Ｐ（１－ｃ２ ， （１＋ｃ）２ ４ ），对称轴为 直线ｘ＝１－ｃ２ ．过点Ｍ作ＭＱ ⊥对称轴于点Ｑ，则∠ＭＱＰ＝ ９０°，点Ｑ（１－ｃ２ ，－ｍ ２＋（１－ ｃ）ｍ＋ｃ）．由 ＭＰ∥ ＡＣ，得 ∠ＰＭＱ＝４５°，所以ＭＱ＝ＱＰ， 所以 １－ｃ ２ －ｍ ＝ （１＋ｃ）２ ４ － ［－ｍ２＋（１－ｃ）ｍ＋ｃ］，即（ｃ＋ ２ｍ）２＝１，解得ｃ１＝－２ｍ－１， ｃ２＝－２ｍ＋１（舍去）． 同（１），过点Ｍ作ＭＥ⊥ｘ 轴于点Ｅ，与直线ＡＣ相交于点 Ｆ，则点Ｅ（ｍ，０），点Ｆ（ｍ，－ｍ －１），点 Ｍ（ｍ，ｍ２－１）．因为 ＡＮ＋３ＭＮ＝ＡＦ＋ＦＮ＋３ＭＮ ＝槡２ＥＦ＋槡２２ＦＭ＝ 槡９２，所以 槡２（－ｍ－１）＋ 槡２２（ｍ２－１＋ ｍ＋１）＝ 槡９２，即２ｍ２＋ｍ－１０ ＝０，解得 ｍ１＝－ ５ ２，ｍ２＝ ２（舍去）．所以点 Ｍ的坐标为 （－ ５２， ２１ ４）．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