第12期 第23章整章复习（锐角三角函数）（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 《锐角三角函数》章节测试卷 ◆ 数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间１２０分钟，满分１５０分）　 题　号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得　分 一、精心选一选（本大题共１０小题，每小题４分，满分４０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．２ｓｉｎ３０°的值为 （　　） Ａ．１２ 槡Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ． ２ ３ ２．如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝２，ＡＣ＝３，则ｔａｎＢ的值是 （　　） Ａ． 槡３ １３１３ Ｂ． ３ ２ Ｃ． 槡２ １３ １３ Ｄ． ２ ３ ３．如图２，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群 众，沿ＡＣ修了一条近路，已知ＡＢ＝８０米，新修小路与ＡＢ的夹角∠ＣＡＢ为 ４０°，则走这条近路ＡＣ的长可以表示为 （　　） Ａ．８０ｓｉｎ４０°米 Ｂ．８０ｃｏｓ４０°米 Ｃ． ８０ｓｉｎ４０°米 Ｄ． ８０ ｃｏｓ４０°米 ４．如图３，在△ＡＢＣ中，已知ＡＤ是ＢＣ边上的高，ＤＣ＝１，ＢＤ＝２，ｔａｎＢ ＝ｃｏｓ∠ＤＡＣ，则ＡＢ的值为 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．３ Ｄ．７ ５．如图４，点Ａ到点Ｃ的距离为２００米，要测量河对岸Ｂ点到河岸ＡＤ的 距离．小明在Ａ点测得Ｂ在北偏东６０°的方向上，在Ｃ点测得Ｂ在北偏东 ３０°的方向上，则Ｂ点到河岸ＡＤ的距离为 （　　） Ａ．１００米 Ｂ．２００米 Ｃ． 槡２００３３ 米 槡Ｄ．１００３米 ６．电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔ＡＢ建在了 一个坡度为１∶０．７５的山坡 ＣＤ的平台 ＢＣ上（如图５），测得 ∠ＡＥＤ＝ ５２５°，ＢＣ＝５米，ＣＤ＝３５米，ＤＥ＝１９米，则铁塔ＡＢ的高度约为（参考数 据：ｓｉｎ５２．５°≈０７９，ｃｏｓ５２．５°≈０６１，ｔａｎ５２５°≈１．３０） （　　） Ａ．３２．５米 Ｂ．２７．５米 Ｃ．３０．５米 Ｄ．５８．５米 ７．某型号飞机的机翼形状如图６所示，根据图中数据计算ＡＢ的长为 （　　） Ａ．（５３槡３＋１．６）ｍ Ｂ．（ ５ ３槡３－１．６）ｍ Ｃ．（５２槡２＋０．９）ｍ Ｄ．（ ５ ２槡２－０．９）ｍ ８．（２０２４梧州二模）如图７所示，某景区以山脚Ａ为起点，沿途修建长度分 别为１２００ｍ，９００ｍ的两段索道ＡＢ和ＣＤ及观景平台ＢＣ（ＢＣ∥ＡＦ），已知索道 ＡＢ与ＡＦ的夹角是２０°，ＣＤ与ＢＣ的延长线的夹角是６０°，则点Ｄ到ＡＦ的距离 是 （　　） Ａ．（ 槡４５０３＋１２００ｓｉｎ２０°）ｍ Ｂ．（ 槡４５０３＋１２００ｃｏｓ２０°）ｍ Ｃ．（４５０＋１２００ｓｉｎ２０°）ｍ Ｄ．（ 槡４５０３＋１２００ｔａｎ２０°）ｍ ９．如图８，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１，ｓｉｎＡ＝１３，以点Ｂ为 圆心，以合适长度为半径作弧，分别交ＢＣ，ＢＡ于Ｎ，Ｍ两点，再分别以点Ｍ， Ｎ为圆心，大于 １２ＭＮ的长为半径作弧，两弧交于点Ｐ，作射线ＢＰ交ＡＣ于 点Ｄ，则ＣＤ的长度为 （　　） Ａ．２３ Ｂ． 槡２ ２ Ｃ． 槡２５ ５ 槡Ｄ．２２ １０．如图９，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，ＡＢ＝槡５，连接 ＡＢ并延长至点 Ｃ，连接ＯＣ，若满足ＯＣ２ ＝ＢＣ·ＡＣ，ｔａｎα＝ １２，则点Ｃ的坐标为 （　　） Ａ．（－２，４） Ｂ．（－４３， ２ ３） Ｃ．（－ ２ ３， ４ ３） Ｄ．（－１，２） 二、细心填一填（本大题共４小题，每小题５分，满分２０分） １１．已知∠α为锐角，且ｃｏｓα＝ １２，则ｔａｎα＝ ． １２．如图１０，一架落地座钟的钟摆长２ｍ，钟摆摆动时，偏离铅垂线的 最大夹角为α，那么，钟摆摆至最高位置与摆至最低位置的高度之差为 ｍ（用含α的式子表示）． １３．某指示牌的平面示意图如图１１所示，若ＡＢ∥ＣＤ，∠ＥＣＤ＝∠ＢＡＥ ＝５０°，ＡＥ＝ＣＥ＝２米，则点 Ａ到地面的距离为 米（参考数据： ｓｉｎ５０°≈０．７７，ｃｏｓ５０°≈０．６４，ｔａｎ５０°≈１．１９）． １４．如图１２，已知正方形ＡＢＣＤ边长为１，Ｅ为ＡＢ边上一点，以点Ｄ为中 心，将△ＤＡＥ按逆时针方向旋转得到△ＤＣＦ，连接ＥＦ，分别交ＢＤ，ＣＤ于点 Ｍ，Ｎ，若ＡＥＤＮ＝ ２ ５，则ｓｉｎ∠ＥＤＭ ＝ ． 三、耐心解一解（本大题共２小题，每小题８分，满分１６分） １５．计算： ２ｔａｎ３０°－２ｓｉｎ６０°ｃｏｓ４５°＋３ｔａｎ３０°ｓｉｎ４５°． １６．无动力帆船是借助风力前行的．图１３是帆 船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向 与风向所在直线的夹角 ∠ＰＤＡ为７０°，帆与航行方 向的夹角∠ＰＤＱ为３０°，风对帆的作用力Ｆ为４００Ｎ． 根据物理知识，Ｆ可以分解为两个力 Ｆ１与 Ｆ２，其中 与帆平行的力Ｆ１不起作用，与帆垂直的力Ｆ２可以分 解为两个力ｆ１与ｆ２，ｆ１与航行方向垂直，被舵的阻力 抵消；ｆ２与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线 段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：Ｆ＝ＡＤ＝４００，求ＣＤ（即ｆ２） 的长（单位：Ｎ，参考数据：ｓｉｎ４０°≈０．６４，ｃｏｓ４０°≈０．７７）． ! " # $ !"#$%&'( ! " #! !!"#" $"% !" !"!#&$'%$( ) * + & & & & & & & & & , - + & & & & & & & & & . / + & & & & & & & & & % ' 0 1 2 3 4 5 , - 5 . 6 ! ' 0 7 8 9 : ; < = > ? 9 ( ' 0 @ 1 A B C D E 8 F G ( H B I ) * + , 名 师 名 卷 J K L !"#$ !"#$%& ! " # ! % ! $ " ! ! " % & $ ! ( ' % " $ & ! ) ! %% %" ( ' # & ! %" ( " ) % * $ ' ! ! %! !"# #)# $ ! ('# * " ) * % ! + ! % + * $ " ) ! , ,! - $ . " ! ! $ ( ' " % $ & ! - & ( % ( ! / % / ! " % 0 + ! "# $%&# $ ! %( ( !MNOPQRSTUV! !MWXPQRSTVYZ[\]^_` RSTVabcdefgh !ijXPQklmn !noQpqr !stuvwxiyz{Q./%#0"-"-1|2} % " & $ ! # 书 四、耐心解一解（本大题共２小题，每小题８分，满分１６分） １７．如图１４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１３，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，ｓｉｎＡ＝１２１３． （１）求ＢＤ的长； （２）求ｔａｎＣ的值． １８．如图１５，某渔船向正东方向以１４海里／时的速度航行，在Ａ处测得 小岛Ｃ在北偏东７０°方向，２小时后渔船到达Ｂ处，测得小岛Ｃ在北偏东４５° 方向，已知该岛周围２０海里范围内有暗礁（结果精确到０１海里，参考数 据：ｓｉｎ７０°≈０９４，ｃｏｓ７０°≈０３４，ｔａｎ７０°≈２．７５，槡２≈１４１）． （１）求Ｂ处距离小岛Ｃ的距离； （２）为安全起见，渔船在Ｂ处向东偏南转了２５°继续航行，通过计算说 明船是否安全？ 五、耐心解一解（本大题共２小题，每小题１０分，满分２０分） １９．如图１６，在平行四边形ＡＢＣＤ中，以Ａ为圆心，ＡＢ长为半径画弧交 ＡＤ于点Ｆ；再分别以Ｂ，Ｆ为圆心，大于 １２ＢＦ的长为半径画弧，两弧交于点 Ｐ；连接ＡＰ并延长交ＢＣ于点Ｅ，连接ＥＦ． （１）求证：四边形ＡＢＥＦ是菱形； （２）若菱形 ＡＢＥＦ的周长为 ４，ＡＥ ＝槡３，请直接写出 ｃｏｓＣ ＝ ． ２０．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔ＡＢ 的高度（如图１７－①）．某学习小组设计了一个方案：如图１７－②，点Ｃ，Ｄ， Ｅ依次在同一条水平直线上，ＤＥ＝３６ｍ，ＥＣ⊥ＡＢ，垂足为Ｃ．在Ｄ处测得桥 塔顶部Ｂ的仰角（∠ＣＤＢ）为４５°，测得桥塔底部Ａ的俯角（∠ＣＤＡ）为６°， 又在Ｅ处测得桥塔顶部Ｂ的仰角（∠ＣＥＢ）为３１°． （１）求线段ＣＤ的长（结果取整数）； （２）求桥塔ＡＢ的高度（结果取整数，参考数据：ｔａｎ３１°≈０．６，ｔａｎ６° ≈０．１）． 六、耐心解一解（本题满分１２分） ２１．如图１８，已知Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线， 过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ，ＡＥ分别与ＣＤ，ＣＢ相交于点Ｈ，Ｅ，ＡＨ＝２ＣＨ． （１）求ｓｉｎＢ的值； （２）如果ＣＤ＝槡５，求ＢＥ的值． 七、耐心解一解（本题满分１２分） ２２．图１９－①是某种可调节支撑架，ＢＣ为水平固定杆，竖直固定杆ＡＢ ⊥ＢＣ，活动杆 ＡＤ可绕点 Ａ旋转，ＣＤ为液压可伸缩支撑杆，已知 ＡＢ＝ １０ｃｍ，ＢＣ＝２０ｃｍ，ＡＤ＝５０ｃｍ． （１）如图１９－②，当活动杆ＡＤ处于水平状态时，求可伸缩支撑杆ＣＤ 的长度（结果保留根号）； （２）如图１９－③，当活动杆ＡＤ绕点Ａ由水平状态按逆时针方向旋转 角度α，且ｔａｎα＝３４（α为锐角）时，求此时可伸缩支撑杆ＣＤ的长度（结果 保留根号）． 八、耐心解一解（本题满分１４分） ２３．白沙岛是众多海钓人的梦想之地．月月的爸爸周末去白沙岛钓鱼， 将鱼竿ＡＢ摆成如图２０－① 所示．已知 ＡＢ＝４．８ｍ，鱼竿尾端 Ａ离岸边 ０．４ｍ，即ＡＤ＝０．４ｍ．海面与地面ＡＤ平行且相距１．２ｍ，即ＤＨ＝１．２ｍ． （１）如图２０－①，在无鱼上钩时，鱼竿ＡＢ与地面ＡＤ的夹角∠ＢＡＤ＝ ２２°，海面上方的鱼线ＢＣ与海面ＨＣ成一定角度，求点Ｂ到海面ＨＣ的距离； （２）如图２０－②，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠ＢＡＤ＝５３°，此 时鱼线被拉直，鱼线ＢＯ＝５．４６ｍ，点Ｏ恰好位于海面，求点Ｏ到岸边ＤＨ的 距离（参考数据：ｓｉｎ３７°＝ｃｏｓ５３°≈ ３５，ｃｏｓ３７°＝ｓｉｎ５３°≈ ４ ５，ｔａｎ３７°≈ ３ ４，ｓｉｎ２２°≈ ３ ８，ｃｏｓ２２°≈ １５ １６，ｔａｎ２２°≈ ２ ５）． !!'()* !+,-./%$%#!&#'(!'#) !0123%456789:;<=>? !%' @AB1CDEAF+,- !GH+I%$%$$$) !9J-K1LM%$%#!!#'(!'%* +%#!!#'(!'%(NOPQ !RSTUV019J-3WXYZ[\G]N̂ Q !GHRSLMT!!!,# !_`abRcdRefR !01gYZh6N9Qijklm1 !nopqr_s@T!-++++-+++!!+ !no-./T+%#!!#'(!'## !tuvwxyzO{|}~€N‚ƒ9„…<†‡ˆ‰Š‹Œ !! ŽQ|‘~|’“”•–UVtu9J-3W—˜ M ™ š N›œžŸ "Q ! " # $ ! !- " ! % & ' # ( ! !) '#" -#" (+" % " ! ( # ! !# ( " % ) ! # ! !, * ! ( " ) + !" #$ * ( " ) # !" % & ! " ! '+ % " # ! ( ! " ! !( ! " ( # ! " # ( "! ! " ( # # ! " $ ! !*