精品解析：重庆实验外国语学校2024－2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

重庆实验外国语学校 初二数学 定时作业 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C D. 4. 下列命题正确是（ ） A. 内错角相等 B. 垂直于同一直线的两直线平行 C. 三角形的一个外角大于任意一个内角 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 5. 若，，是的三边长，则的结果（ ） A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不确定 6. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 15 B. 30 C. D. 7. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，第图⑧的棋子颗数为（ ） A. 55 B. 68 C. 72 D. 85 9. 如图，在中，，，为等边三角形，过点作延长线于点，若，则的长为（ ） A. 6.5 B. 6.8 C. 7 D. 7.2 10. 定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 分解因式：______ 12. 一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数为____． 13. 若，则代数式值为______． 14. 如图，在中，平分交于点，且，若，则的度数为______． 15. 若的结果中不含的一次项，则的值为______． 16. 计算______． 17. 已知直角三角形两直角边的长度分别为，若，，则该三角形的面积是______． 18. 如图，在中，已知为的中线，过点作分别交于点，连接，若，，，则______． 19. 若关于的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的个数为______． 20. 如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①； ②若垂直平分，则； ③若垂直平分，则； ④若，则； 其中正确的结论有______．（填写正确结论的序号） 三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 21. （1）计算：； （2）解不等式组：． 22. 先化简，再求值：，其中，满足． 23. 如图，点是的边的延长线上一点，过点作且，点是线段上一点，连接，此时． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 24. 巴黎奥运会举办期间，全球范围内掀起了一股体育健身的热潮．小颖随机抽取部分学生，对“周末的体育锻炼时长”进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下几幅不完整的图表． 选项 时长t（单位：小时） 人数 10 30 请根据图中信息，解答下列问题： （1）请你补全条形统计图； （2）______，选项B对应扇形的圆心角的度数为______； （3）若该校有3200名学生，请你估计周末的体育锻炼时长至少三小时的学生共有多少名？ 25. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）请在下图中画出与关于轴对称的； （2）求的面积； （3）连接，在轴是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． （1）求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； （2）随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求的最小值． 27. 如图，点为所在平面内一点，连接，． （1）如图，点为外一点，点在边的延长线上，连接．若，，，求的度数： （2）如图，点为内一点，若，，求证：； （3）如图，在（）的条件下，延长交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆实验外国语学校 初二数学 定时作业 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．整数，属于有理数，故A不符合题意； B．是有限小数，属于有理数，故B不符合题意； C．是无限循环小数，属于有理数，故C不符合题意； D．是无理数，故D符合题意． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A．，符合因式分解的定义，符合题意； B．，为多项式乘法，不符合题意； C．，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不符合题意； D．，等式右边存在不是整式的代数式，不符合题意． 故选A． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 内错角相等 B. 垂直于同一直线的两直线平行 C. 三角形的一个外角大于任意一个内角 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，根据平行线的性质、平行线的判定、三角形外角的性质、垂线段最短逐项判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，故原选项说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故原选项说法错误，不符合题意； C、三角形的一个外角大于与之不相邻的任意一个内角，故原选项说法错误，不符合题意； D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故原选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 若，，是的三边长，则的结果（ ） A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，由三角形三边关系可得，，原式再因式分解化为，即可得解． 【详解】解：∵，，是的三边长， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 15 B. 30 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式计算即可得解，熟练掌握是解此题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故选：D． 7. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的混合运算，掌握幂的混合运算法则是解题关键．根据幂的混合运算法则可推出，再整体代入求值即可． 【详解】解：． 故选C． 8. 如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，第图⑧的棋子颗数为（ ） A. 55 B. 68 C. 72 D. 85 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 根据题意得出第n个图形中棋子数为，据此求解． 【详解】解：图①中棋子的数量是， 图②中棋子的数量是， 图③中棋子的数量是， 图④中棋子的数量是， ， 图中棋子的数量是， 当时，， 故选：B. 9. 如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 6.5 B. 6.8 C. 7 D. 7.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，作于，则，证明，得出，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 分解因式：______ 【答案】 【解析】 【分析】首先确定公因式为2x，然后提取公因式2x，进行分解． 【详解】解：． 故答案为∶． 【点睛】本题考查的是因式分解-提公因式法，解答此题的关键是先确定公因式2x． 12. 一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数为____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于，且一个正多边形的每一个外角都是即可求解． 【详解】解： 一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数为5， 故答案为：5． 13. 若，则代数式值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，由题意得出，然后将原式变形为，整体代入计算即可得解，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 14. 如图，在中，平分交于点，且，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，在上截取一点，使得，连接，证明得出，从而求出，再证明，得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：在上截取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若的结果中不含的一次项，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：6． 16. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，先根据平方差公式进行计算，再求出答案即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 已知直角三角形两直角边的长度分别为，若，，则该三角形的面积是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式与图形面积问题，利用即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是4， 故答案为：4． 18. 如图，在中，已知为中线，过点作分别交于点，连接，若，，，则______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键．由中线的性质可得出，．再根据，可得出，．设，则，再分别用x表示求出和，最后列等式求解即可． 【详解】解：∵为的中线，， ∴，． ∵， ∴，． 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：21． 19. 若关于的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的个数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组与一元一次方程方程综合，先解关于x的不等式组，根据该不等式组的解的情况得到关于a的不等式组，求出解集，再根据关于y的方程的解为整数，得出为偶数，由此列出所有满足条件的整数a，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组有解且最多有3个奇数解， 3个奇数解为， ， 解得； 解y的方程，得， 该方程的解为整数， 为整数， 为偶数， 满足条件的整数a为：、、0、2或4， 所有满足条件的整数a的个数为：， 故答案为：5． 20. 如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①； ②若垂直平分，则； ③若垂直平分，则； ④若，则； 其中正确的结论有______．（填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，由于点位置不确定，无法说明，故①错误；对于② ，过点作于点，由，知，显然，由得到，故，显然，故，故②正确；对于③，先证明，则，故，即，故③正确；对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接，先证明，则，再证明，则，继而，故④正确． 【详解】解：对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误； 对于② ，过点作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵等腰，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵等腰， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； 对于③，如图： ∵等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大． 三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 21. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）12；（2）． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先解出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为． 22. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，非负数的性质，括号内先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法即可化简，由非负数的性质得出，，代入计算即可得解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 23. 如图，点是的边的延长线上一点，过点作且，点是线段上一点，连接，此时． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明，再由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴，， ∴． 24. 巴黎奥运会举办期间，全球范围内掀起了一股体育健身的热潮．小颖随机抽取部分学生，对“周末的体育锻炼时长”进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下几幅不完整的图表． 选项 时长t（单位：小时） 人数 10 30 请根据图中信息，解答下列问题： （1）请你补全条形统计图； （2）______，选项B对应扇形的圆心角的度数为______； （3）若该校有3200名学生，请你估计周末的体育锻炼时长至少三小时的学生共有多少名？ 【答案】（1）见解析 （2）70，； （3）1920名 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图表．熟练掌握统计表，条形统计图扇形统计图数据的互补性质 ，求条形统计图中数据，补全条形图，扇形图圆心角度数，以统计数据估计单体，是解决问题的关键． （1）根据C项人数为90人，占45%，求出总人数为200人，即可求出B项70人，即可补上条形图；　 （2）由（1）知，，即可求出B项扇形圆心角度数； （3）用3200乘时间不少于3小时总人数占比即得． 【小问1详解】 ∵（人）， ∴调查总人数：（人） ∴（人）， 补全条形图： 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴选项B对应扇形的圆心角为， 故答案为：70，； 【小问3详解】 （名）． 估计周末的体育锻炼时长至少三小时的学生共有1920名． 25. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）请在下图中画出与关于轴对称的； （2）求的面积； （3）连接，在轴是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）求出，设，再分两种情况，分别利用割补法计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴， 设， 如图：当点在下方时， ， ， 解得：，此时； 如图：当点在上方时， ， ， 解得：，此时； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26. 某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． （1）求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； （2）随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求的最小值． 【答案】（1）该水果商八月份苹果每箱的售价为元，梨子每箱的售价为元； （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设该水果商八月份梨子每箱的售价为元，则苹果每箱的售价为元，根据这两种水果八月份的销售额共为7740元列出方程求解即可； （2）根据题意可知，九月份苹果的销售额为元，梨子的销售额为元，再根据这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该水果商八月份梨子每箱的售价为元，则苹果每箱的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该水果商八月份苹果每箱的售价为元，梨子每箱的售价为元； 【小问2详解】 解；由题意得， ∴， ∴ 解得， ∴的最小值为50． 27. 如图，点为所在平面内的一点，连接，． （1）如图，点为外一点，点在边的延长线上，连接．若，，，求的度数： （2）如图，点为内一点，若，，求证：； （3）如图，在（）的条件下，延长交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，角度和差，线段和差，等腰三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，，然后证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （）延长交于点，过作于点，交延长线于点，设，通过角度和差求出，，然后证明，由全等三角形的性质可得，，再证明即可； （）延长交于点，过作于点，交延长线于点，过作于点，则，根据等腰三角形的性质得，从而可求，然后由勾股定理和直角三角形的性质，线段和差即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长交于点，过作于点，交延长线于点， ∴， ∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点，过作于点，交延长线于点，过作于点，则， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∵， 同（）理得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， 由（）得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$