第13期 4.2 角; 4.3 多边形和圆的初步认识（参考答案见15期）-【数理报】2024-2025学年七年级上册数学学案（北师大版2024）

书 （上接４版参考答案） 附加题　１．（１）因 为ＡＣ＝５３ＢＣ，所以ＡＢ ＝ＡＣ－ＢＣ＝ ２３ＢＣ＝ ｘ．所以ＢＣ＝ ３２ｘ． 因为ＢＤ＝ ３５ＤＣ， 所以ＢＣ＝ＤＣ－ＢＤ＝ ２ ５ＤＣ．所以ＤＣ＝ ５ ２ＢＣ ＝１５４ｘ．所以ＡＤ＝ＤＣ－ ＡＢ－ＢＣ＝１５４ｘ－ｘ－ ３ ２ｘ＝ ５ ４ｘ． （２）因为ＡＢ＝１２， 所以ＤＣ＝１５４ＡＢ＝４５． ２．（１）１，８； （２）①当点Ｃ在点 Ａ的左侧时，ＡＣ＝３，所 以ｍ＝－８；当点Ｃ在点 Ｂ的右侧时，ＢＣ＝３，所 以 ｍ＝５．综上所述，ｍ 的值为 －８或５． ②当点Ｃ在点Ａ的 左侧时，ＢＣ＝１２，所以 ｎ＝－１０；当点Ｃ在点Ｂ 的右侧时，ＡＣ＝１２，所 以ｎ＝７．综上所述，ｎ的 值为 －１０或７． （３）当点 Ｆ在点 Ａ 的左侧时，ｘ＜－７，ｔ１ ＝ ＡＥ＝－５－ｘ，ｔ２＝ＢＦ＝ ２－（ｘ＋２）＝－ｘ， 因为ｔ１，ｔ２的和为１３， 所以（－５－ｘ）＋（－ｘ）＝ １３，所以ｘ＝－９； 当点Ｅ在点Ｂ的右 侧时，ｘ＞２，ｔ１ ＝ＥＢ＝ ｘ－２，ｔ２＝ＡＦ＝ｘ＋２－ （－５）＝ｘ＋７， 因为 ｔ１，ｔ２的和为 １３，所以ｘ－２＋ｘ＋７＝ １３，所以ｘ＝４． 综上所述，ｘ的值 为 －９或４． （全文完） 书 一、理解角的定义 １．有公共端点的两条射 线组成的图形叫作角，这个 公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的边．角也可以 看成是由一条射线绕着它的 端点旋转而成的，射线的起 始位置叫作角的始边，终止 位置叫作角的终边． ２．平角是指一条射线绕它的端点旋转，当终边和始 边成一条直线时所成的角，平角的特点是两边成一条直 线．周角是指终边继续旋转，当它又和始边重合时所成 的角，周角的特点是两边重合成一条射线． 温馨提示：角的大小与边的长短无关，只与构成角 的两条射线的张开幅度有关．平角的两边成一条直线， 但不能说平角就是直线．周角的两边重合成一条射线， 但不能说周角就是射线． 二、掌握角的表示方法和度量 １．角的表示方法 （１）用三个大写英文字母表示：用角的两边上的两 个大写字母和顶点的字母表示角，如图 １，可记作 ∠ＡＯＢ，注意顶点的字母要写在中间． （２）用一个大写英文字母表示：在角的顶点处只有 一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图１中的 ∠ＡＯＢ也可记作∠Ｏ．一个顶点处有两个或两个以上的 角时，不能只用顶点的一个字母来表示，如图２中以Ａ为 顶点的角有 ∠ＢＡＣ，∠ＣＡＤ，∠ＢＡＤ，这些角就不能用 ∠Ａ来表示． （３）用一个阿拉伯数字表示：在角的顶点处加上弧 线，标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图１中的 ∠ＡＯＢ可记作∠１． （４）用一个小写希腊字母表示：在角的顶点处加上 弧线，标上小写希腊字母，就可以用这个小写希腊字母 来表示角，如图２中的∠ＣＡＤ可记作∠α． ２．角的度量 （１）角的大小是可以度量的，度量的单位是度、分、 秒，他们之间是６０进制的，换算的关系是：１°＝６０′，１′＝ ６０″，１′＝（１６０）°，１″＝（ １ ６０）′． （２）周角、平角、直角之间的关系： １周角 ＝２平角 ＝４直角 ＝３６０°． 三、角的大小比较 角的大小比较常用的方法有两种： （１）度量法：用量角器量出两个角的度数，按照度 数的大小比较角的大小． （２）叠合法：把两个角的顶点及一条边重合，另一 条边放在重合边的同侧进行比较大小． 书 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的 对角线．与多边形的对角线有关的精彩题目主要涉及以 下两个方面． 一、对角线的条数问题 例１　 从十边形的一个顶点出发可画出 条对角线，它共有 条对角线． 解析：在十边形中，从一个顶点出发，只能画（１０－ ３）条对角线，也就是７条对角线．从每个顶点出发都可 画出７条对角线，１０个顶点共可画１０×７条对角线，去掉 重复的，所以十边形共有 １ ２×１０×７＝３５条对角线． 故填７，３５． 例２　若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以 画出１０条对角线，则它是 边形． 解析：由题意可知与该顶点不相邻的顶点有１０个， 加上该顶点及两个相邻顶点，可知该多边形有１３个顶 点，所以这个多边形是十三边形． 故填十三． 评注：经过ｎ边形的一个顶点可画出（ｎ－３）条对角 线，该多边形共有 ｎ（ｎ－３） ２ 条对角线．所以已知多边形 的边数可求得对角线的条数，已知对角线的条数也可确 定多边形的边数． 二、分割成三角形的个数问题 例３　每一个多边形都可以按如图所示的方法分 割成若干个三角形，那么十五边形可以分割成 个三角形． 解析：观察可知，四边形分割成２个三角形，五边形 分割成３个三角形，六边形分割成４个三角形，依次类 推，过ｎ边形的一个顶点作对角线，可以把ｎ边形分割成 （ｎ－２）个三角形．所以十五边形可以分割成１３个三角 形． 故填１３． 评注：从ｎ边形的一个顶点画对角线，可把ｎ边形分 割成（ｎ－２）个三角形．根据这一结论，已知多边形可得 到分割成的三角形个数，已知分割成的三角形个数也可 得到多边形的边数． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"#! "#$%&$%!"#$%&'()*+," &%-./#$01% '()*&!%-23#$45% "%!"#$678$%&'9:+,% !%#+,-./01234 "#5%&;<=>?@A$%&% 3()*& BCDE?@A$FGHE?$ AI#$JK'E?$LM% " 67 8 9 书 上期２版 ４．１线段、射线、直线 ４．１．１线段、射线、直线的基本概念 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｃ； ４．两点确定一条直线；　５．２；　６．１２． ７．图略． 能力提高　８．（１）１０，ｎ（ｎ－１）２ ； （２）一共要进行的比赛为：２２×２１２ ＝２３１（场）． ４．１．２比较线段的长短 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．Ｄ； ５．３；　６．９． ７．图略． ８．因为ＡＣ＝ １２ＣＤ＝ １ ２ＤＢ，所以 ＣＤ＝ＤＢ＝ ２ＡＣ．所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ＋ＤＢ＝ＡＣ＋２ＡＣ＋２ＡＣ＝ ５ＡＣ＝１０ｃｍ．所以ＡＣ＝２ｃｍ．所以ＣＤ＝ＤＢ＝４ｃｍ． 因为Ｅ是线段ＤＢ的中点，所以ＤＥ＝１２ＤＢ＝２ｃｍ．所 以ＣＥ＝ＣＤ＋ＤＥ＝６ｃｍ． 能力提高　９．Ａ；　１０．Ｄ． １１．（１）是； （２）因为ＡＢ＝２４ｃｍ，点Ｃ是线段ＡＢ的“巧点”， ①若ＢＣ＝２ＡＣ，则 ＡＣ＝ １３ＡＢ＝８ｃｍ；② 若 ＡＢ＝ ２ＡＣ，则ＡＣ＝１２ＡＢ＝１２ｃｍ；③若ＡＣ＝２ＢＣ，则ＡＣ＝ ２ ３ＡＢ＝１６ｃｍ． 综上所述，ＡＣ＝８ｃｍ或１２ｃｍ或１６ｃｍ． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ 二、９．两点之间，线段最短；　１０．１０；　１１．－４； １２．１６；　１３．ｎ－６；　１４．２４或４． 三、１５．图略． １６．（１）ＡＤ，ＢＣ； （２）因为Ｄ是线段ＡＣ的中点，ＡＣ＝１６，所以ＡＤ ＝ １２ＡＣ＝８．因为ＢＤ＝ １ ４ＡＤ＝２，所以ＢＣ＝ＡＣ－ ＡＤ－ＢＤ＝６． １７．（１）根据题意，得ＣＤ＝ＥＦ－７＝４７ｃｍ．所以 ＡＢ＝ＣＤ－３＝４４ｃｍ．所以 ＡＦ＝ＥＦ＋ＣＤ＋ＡＢ＝ １４５ｃｍ． （２）因为ＡＦ＝１１６ｃｍ，所以 ＡＥ＝ＡＦ－ＥＦ＝ ６２ｃｍ．因为点Ｃ为ＡＥ的中点，所以ＡＣ＝ＣＥ＝１２ＡＥ ＝３１ｃｍ．所以ＢＣ＝ＡＢ－ＡＣ＝１３ｃｍ，ＤＥ＝ＣＤ－ＣＥ ＝１６ｃｍ． １８．（１）因为点Ｃ，Ｄ分别是线段 ＯＡ，ＯＢ的中点， 所以ＯＣ＝１２ＯＡ，ＯＤ＝ １ ２ＯＢ．所以ＣＤ＝ＯＣ＋ＯＤ＝ １ ２ＯＡ＋ １ ２ＯＢ＝ １ ２ＡＢ．又因为ＣＤ＝６，所以ＡＢ＝１２． （２）图略．因为点Ｃ，Ｄ分别是线段ＯＡ，ＯＢ的中点， 所以ＯＣ＝１２ＯＡ，ＯＤ＝ １ ２ＯＢ．所以ＣＤ＝ＯＤ－ＯＣ＝ １ ２ＯＢ－ １ ２ＯＡ＝ １ ２ＡＢ．又因为ＡＢ＝８，所以ＣＤ＝４． （下转１，４版中缝） 书 一、学角的平分线 １．定义：从一个角的顶点 引出的一条射线，把这个角分 成两个相等的角，这条射线叫 作这个角的平分线．如图１，射 线ＯＰ将∠ＡＯＢ分成两个相等 的角（∠ＡＯＰ和 ∠ＢＯＰ），则 ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线． 温馨提示：①角的平分线 是一条射线；②这条射线的端 点是角的顶点；③角的平分线 在角的内部；④角的平分线将 角分成两个相等的角． ２．表示：如图１，因为射线ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线， 所以∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ＝１２∠ＡＯＢ或∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＰ ＝２∠ＢＯＰ． 二、用角的平分线 １．求角度 例１　如图２，ＯＣ是∠ＡＯＢ的 平分线，ＯＤ平分∠ＡＯＣ，且∠ＣＯＤ ＝３０°，则∠ＡＯＢ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６０° Ｂ．９０° Ｃ．１２０° Ｄ．１５０° 分析：利用角平分线的定义计算即可． 解：因为ＯＤ平分∠ＡＯＣ，∠ＣＯＤ＝３０°， 所以∠ＡＯＣ＝２∠ＣＯＤ＝６０°． 因为ＯＣ是∠ＡＯＢ的平分线， 所以∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＣ＝１２０°． 故选Ｃ． 温馨提示：一般地，已知角的平分线求角度时，应 选择“用已知角表示所求角”的关系式． ２．说理 例２　如图３，ＯＢ是∠ＡＯＣ 内部的一条射线，小明把三角 尺的６０°角的顶点放在点Ｏ处， 转动三角尺，当 ＯＤ边平分 ∠ＡＯＢ时，三角尺的另一边 ＯＥ 也正好平分 ∠ＢＯＣ，于是小明 就断定∠ＡＯＣ为１２０°，这是为什么？ 分析：因为∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ，但由于射线 ＯＢ的位置不确定，所以 ∠ＡＯＢ与 ∠ＢＯＣ的大小不确 定，无法求出其具体度数．注意到 ∠ＢＯＤ＋∠ＢＯＥ＝ ∠ＤＯＥ＝６０°，因此只要利用角平分线的定义找到 ∠ＡＯＢ与∠ＢＯＤ，∠ＢＯＣ与∠ＢＯＥ的联系即可． 解：因为ＯＤ，ＯＥ分别平分∠ＡＯＢ，∠ＢＯＣ， 所以∠ＡＯＢ＝２∠ＢＯＤ，∠ＢＯＣ＝２∠ＢＯＥ． 所以 ∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＝２（∠ＢＯＤ＋ ∠ＢＯＥ）＝２∠ＤＯＥ＝１２０°． 温馨提示：有关图形中角度的计算问题，解题时 应从整体入手，找出图形中已知条件与未知条件之间 的关系． 书 ! 、 "# $ １　 !"#$%&'() １ * +,-./0 ， 1∠ＡＯＢ,234 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．７５° Ｄ．８０° %& ： !"#$%&'( ， )* ∠ＡＯＣ＝３０°，∠ＢＯＣ＝４５°，+,-) ./∠ＡＯＢ&'(． ' ： 54∠ＡＯＣ＝３０°，∠ＢＯＣ＝４５°，*6 ∠ＡＯＢ ＝∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝７５°．78Ｃ． ( 、 )# $ ２　 9:"#$%&;<=">?@% ， ( ：３０°， ４５°，６０°，９０°． AB9:"#$%&<= ７５° C １５° ,% D ？ EF"F ． %& ： 01#$%2345$ ， 6704#$%8 234$9 ４５° &5$#$: ， ;04#$%8< ３０° $&5$#$: ， => ３０° ? ４５° @34$AB&? 、 C DE-)F/ ７５° ? １５° &$ ． ' ： G/-.() ２ H ， IJK,%4 ：４５°＋３０°＝ ７５°； G/-.() ３ H ， IJK,%4 ：４５°－３０°＝１５°． * 、 +# $ ３　 L"#$%&'() ４ *+MN"O ， : “＜” ! ∠Ａ， ∠Ｂ，∠ＢＣＤ，∠Ｄ，∠ＡＥＤPQOR． %& ： GHI: ， JK01# $%7L04$&'( ， MNO P$&QR-)S/T4$&' ( ， UVWXY ． ' ： ST)U;V ，∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝９０°，∠ＢＣＤ＝ ６０°＋９０°＝１５０°，∠Ｄ＝４５°，∠ＡＥＤ＝１８０°－４５°＝ １３５°． *6∠Ａ＜∠Ｄ＜∠Ｂ＜∠ＡＥＤ＜∠ＢＣＤ． , 、 -# $ ４　 () ５， !"#$ %&,WXYZ ． （１） [=)\*]6X Ｏ 4WX^_`a%,% ； （２）∠ＡＯＢb∠ＤＯＣc de]fg,3hij ？ Eklmn ． %& ：（１） P$&'(8 １８０°， Z[\ Ｏ 9]\^ Y_ １８０° &$S/`-) ；（２） NOI:a$'&? 、 CDE ， )./∠ＡＯＢ?∠ＤＯＣ&DE． ' ：（１） )\*]6X Ｏ 4WX^_`a%,% ] ：∠ＡＯＤ，∠ＡＯＣ，∠ＡＯＢ，∠ＤＯＣ，∠ＤＯＢ，∠ＣＯＢ． （２）∠ＡＯＢ＝１８０°－∠ＤＯＣ．mn(o： 54∠ＡＯＣ＝９０°，*6∠ＡＯＤ＝９０°－∠ＤＯＣ． 54∠ＤＯＢ＝９０°，*6∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＢ ＝９０°－∠ＤＯＣ＋９０°＝１８０°－∠ＤＯＣ． 书 !"#$%& ， '()*#+",-./$012 345#,- ． 6780) ， 9:6;<=)*>?@ )A;BA#CDEFGH ： １． )*>?IJKLMCNO" ， @?' １２ NP Q ，６０ NRQ ， SNPQT9#UV"W ：３６０°÷１２＝ ３０°， SNRQT9#UV"W ：３６０°÷６０＝６°． ２． )ASR)XY １ NPQ ， ZXY ３０°， SB*X Y １ ６０NPQ[ １ １２NRQ，ZXY０．５°；BASR)XY １２ NPQ ， ZXY ３６０°， SB*XY １ ５NPQ[１NR Q ， ZXY ６°． ! 、 "#$%#&'()* + １　 \] １， ] ２，̂ *>_ ３ ) ３０ B`a ３ ) ５５ B) ， )A 、 BAbXY:cde ？ ,- ： >A_ ３ ) ３０ B`a ３ ) ５５ B ， f) ２５ B* ． gW)ASB*XY ０．５°， BASB*XY ６°， hK_ ３ ) ３０ B`a ３ ) ５５ B) ， )AXY#eiW ：０．５°× ２５＝１２．５°， BAXY#eiW ：６°×２５＝１５０°． . 、 /0"1"#$%#(2) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 + ２　 \] ３， *>@ １０ )j ， )AkBAlM#" . （　　） Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．９０° Ｄ．１２０° ,- ： gW*>@ １０ )j ， BA mnio １２， )Amnio １０， )Ak BA&pqr ２ NPQ ， SPQsp #t"W ３０°， hK １０ )j ， )AkB AlM#". ：２×３０°＝６０°． uv Ｂ． 3 、 45"1"#$%#(2) + ３　 \] ４， ] ５， Bwxyz{ |N)*>?@)A;BAlM"#ei ． ,- ： }Bwxy|N)*>?@#)A~T9# j)€ ， bXY:NPQ ． !‚CN)*>?@ ， ~ ８ )j€ ，̀ a ８ ) ２５ B) ， )AXY: １ ６０×２５＝ ５ １２NPQ．hK!８) ２５ B) ， )A;BAqr （３＋５１２）NPQ，hM#" ＝ （３＋５１２）×３０°＝１０２．５°． !‚ƒN)*>?@ ， ~ ２ )j€ ，̀ a ２ ) ４０ B) ， )AXY: １ ６０×４０＝ ２ ３NPQ．hK!２) ４０ B) ， )A;BAqr （６－２３）NPQ，lM#" ＝ （６－２３）×３０°＝１６０°． ! ! !"#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " :; <=> ! ?@ A B ! " # $ % ! ! ! " # $ & ! ' $& $ & ( ! ' ) * + , $- $$ NOPQR ! ( $& $ & ( ! ' ) * + , $- $$ ! ' $& $ & ( ! ' ) * + , $- $$ ! ! $& $ & ( ! ' ) * + , $- $$ ! & $& $ & ( ! ' ) * + , $- $$ ! $ ! (! & ! " & ! $ # ! CD EFG $ ! & # ! " ! ! " # ! $ $ " H ; I J K ! ' " & ! $ ! ( ! $ " & % # ! " # & ! & $ ! " #! !!"#" $"% !" &-&!&,'&!( !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()*+, 1LM"NOPQRSTU !" V ) *+ WXY , ) *+ ZE[ , # - .+ I\Y , ) *+ ] ^ , ) *+ _ ` -./01+ I a 23/01+ Ibc -4506+ d e -4578+ fgh Eij k l mno p q rst Zuv pwb x g yzo {|X k}~ }€ ZX ‚`L ƒ„l A t …†‡ Eˆ‰ 91-.+ k€ 91:;+ IŠŠ <=-.+ Z‹Œ >?-.+ Ž @ABC+ 7‘ H;P’Q"“” H;PQ•–—˜™š›œ H;PQžŸ ¡¢£¤“¥ M¦§¨©ª«¬ ¨­®WXY ¯°±²³´«¬µ¶&./$!0-+-+1·2̧ ¹º»¶&&$0!( #¼§½¾½¿ #ÀÆ«¬ #©ªÇÈÉÄ-('$0'&+$&') #¼§ÊËÄH;ÌÍÎÏnÐÑÒÓÔ $(&¶M¦§¨1LM"©ªÇ #¹Õ©ÖÄ-(---) #Ï×ÇاÙÚÄ-('$$'&+$$&' -('$$'&+$&(+·™Û¸ #ØÜÄÝÞ¼§Ï×ÇËßàá¯âã¹ä·å¸ #¹ÕØÜÙÚÄ$$$*' #æçèéØêëØ.ìØ #¼§íá¯â̷ϸT•îïð§ #ñòŸ óæô¶Ä$!----!---$$- #ñòÇÈÉÄ-('$$'&+$&'' #¼§õ?ö÷ø™šùú¡¢£¤·ûüÏÆýÑþÿ!"#—˜$ $$ ¶¸%ù&'¡ù()*+,&ÝÞ¼§Ï×ÇËß-. 书 ４．２角 ４．２．１角的概念 １．如图１，∠１表示 （　　） 　　 　 　　　　　 　 　　 　　 　　Ａ．∠Ａ Ｂ．∠ＣＡＤ Ｃ．∠ＢＡＣ Ｄ．∠ＢＡＤ ２．下列说法中，正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．直线是一个平角 Ｂ．周角是一条射线 Ｃ．角的两边是射线 Ｄ．角的两边是直线 ３．如图２，Ａ，Ｂ，Ｃ三人在同一直线上，ＡＢ＝５米，ＢＣ ＝１０米，下列说法正确的是 （　　） Ａ．Ｃ在Ａ的北偏东６０°方向的１５米处 Ｂ．Ａ在Ｃ的北偏东６０°方向的１５米处 Ｃ．Ｂ在Ｃ的北偏东６０°方向的１０米处 Ｄ．Ｂ在Ａ的北偏东３０°方向的５米处 ４．１０点３０分时，钟表上的时针与分针构成的角的 度数为 ． ５．解答下列问题： （１）１．０５°等于多少分？等于多少秒？ （２）将７０．２３°用度、分、秒表示． ６．如图３． （１）写出能用一个字母表示的角； （２）写出以Ａ为顶点的角； （３）写出以Ｃ为顶点，ＣＡ为一边的所有角． 能力提高 ７．如图４，在综合实践课上，老师让同学们动手操 作．在∠ＭＯＮ内画一条射线时，观察发现图中共有３个 角；在 ∠ＭＯＮ内画两条射线时，图中共有 ６个角；在 ∠ＭＯＮ内画三条射线时，图中共有１０个角，…． （１）在∠ＭＯＮ内画１５条射线时，图中角的个数是 ； （２）在∠ＭＯＮ内画ｎ条射线时，求图中角的个数． ４．２．２角的比较 １．如图１，用同样大小的三角板比较∠Ａ和∠Ｂ的 大小，下列判断正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．∠Ａ＞∠Ｂ Ｂ．∠Ａ＜∠Ｂ Ｃ．∠Ａ＝∠Ｂ Ｄ．没有量角器，无法确定 ２．如图２，在下面的四个等 式中，不能表示 ＯＣ是 ∠ＡＯＢ的 平分线的是 （　　） Ａ．∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ Ｂ．∠ＡＯＣ＝ １２∠ＡＯＢ Ｃ．∠ＡＯＢ＝２∠ＢＯＣ Ｄ．∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＢ ３．比萨斜塔从建成之日起就一直倾斜．目前，它与 地面所成的较小的角约是８６°，则它与地面所成的较大 的角约是 ． ４．如图３，已知∠ＢＡＤ，点Ｃ在边ＡＤ上，请用尺规在 ∠ＢＡＤ内部作∠ＤＣＰ，使得∠ＤＣＰ＝∠ＢＡＤ（保留作图 痕迹，不写作法）． ５．如图 ４，已知 ∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＥ平分 ∠ＡＯＢ， ∠ＥＯＦ＝６０°，ＯＦ平分∠ＢＯＣ，求∠ＢＯＣ和∠ＡＯＣ的度 数． ６．如图５，Ｏ是直线ＡＢ上的一点，∠ＣＯＤ＝９０°，ＯＥ 平分∠ＢＯＣ． （１）若∠ＡＯＣ＝３０°，求∠ＣＯＥ的度数； （２）若∠ＡＯＣ＝α，求∠ＤＯＥ的度数（用含α的代 数式表示）． ４．３多边形和圆的初步认识 １．如图１，将一根木棒的一端固定在 Ｏ点，另一端 绑一重物．将此重物拉到Ａ点后放开，让此重物由 Ａ点 摆动到Ｂ点，则此重物移动路径的形状为 （　　） 　 　　 　　　　 　　 　　　 　　 　Ａ．线段 Ｂ．直线 Ｃ．圆 Ｄ．圆弧 ２．若一个多边形从一个顶点最多能引出５条对角 线，则这个多边形是 （　　） Ａ．六边形 Ｂ．八边形 Ｃ．九边形 Ｄ．十边形 ３．如图２，在扇形ＡＯＢ中，∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＡＯＣ＝ ∠ＢＯＣ，若扇形ＡＯＢ所在圆的半径为２ｃｍ，则扇形ＡＯＣ 的面积为 （　　） Ａ．２πｃｍ２ Ｂ．３２πｃｍ ２ Ｃ．πｃｍ２ Ｄ．１２πｃｍ ２ ４．同一平面内，点Ｐ到一个圆上的点的距离最长为 １０ｃｍ，最短为４ｃｍ，则该圆的半径为 ｃｍ． ５．将围成一个正五边形的一条细铁丝截去 ５ｃｍ 后，恰好可以围成一个正四边形．若这两个正多边形的 边长相等，求原来铁丝的长度． ６．如图３，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝４，以点Ｂ为圆 心，ＢＣ长为半径画弧，求阴影部分的面积（结果保留 π）． 能力提高 ７．如图４－①，是第１９届杭州亚运会会徽，名为“潮 涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发 展．如图４－②，是由两个扇形组成的会徽的几何图形， ＯＢ＝１０，ＯＡ＝２０，∠ＢＯＣ＝１２０°，则图４－②中的阴 影部分的面积为 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列图中的∠１也可以用∠Ｏ表示的是 （　　） ２．从九边形的一个顶点出发作的对角线有 （　　） Ａ．３条 Ｂ．４条 Ｃ．５条 Ｄ．６条 ３．如图１，∠ＡＯＣ＝９０°，点 Ｂ，Ｏ，Ｄ在同一直线上， 若∠１＝２３°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．１１３° Ｂ．１０７° Ｃ．８７° Ｄ．１５７° ４．下列说法正确的是 （　　） Ａ．各边相等的多边形是正多边形 Ｂ．若ＡＣ＝ＢＣ，则点Ｃ是线段ＡＢ的中点 Ｃ．顶点在圆上的角叫作圆心角 Ｄ．钟表显示９点，此时时针与分针的夹角是９０° ５．如图２，点Ｏ在直线ＡＢ上，∠ＡＯＣ＝１２∠ＢＯＣ＋ ３０°，ＯＥ平分∠ＢＯＣ，则∠ＢＯＥ的度数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ６．自行车的示意图如图３，∠ＡＤＣ＝６５°，∠ＢＣＤ＝ ５５°，两车轮的直径均为６０ｃｍ，现要在自行车两轮的阴 影部分（分别以Ｃ，Ｄ为圆心的两个扇形）装上挡水的铁 皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是 （　　） Ａ．３００πｃｍ２ Ｂ．５００πｃｍ２ Ｃ．９００πｃｍ２ Ｄ．１２００πｃｍ２ ７．如图４，点 Ｏ在直线 ＡＢ上，ＯＣ平分 ∠ＡＯＭ，且 ∠ＡＯＭ ＝９０°，射线ＯＮ在∠ＢＯＭ的内部．若∠ＢＯＣ＝ ５∠ＮＯＢ，则∠ＭＯＮ的度数为 （　　） Ａ．４３° Ｂ．５３° Ｃ．６３° Ｄ．７３° ８．如图５，从点Ｏ引出６条射线 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，∠ＡＯＢ ＝ １００°，ＯＦ平分 ∠ＢＯＣ，∠ＡＯＥ ＝ ∠ＤＯＥ，∠ＥＯＦ＝１４０°，则∠ＣＯＤ 的度数为 （　　） Ａ．１２° Ｂ．１５° Ｃ．１８° Ｄ．２０° 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图６，∠ＡＯＢ＝９０°，以 Ｏ为顶点的锐角共有 个． １０．计算：９°５７′＋１８°４８′＝ （结果用度表 示）． １１．如图７，货轮Ｏ在航行过程中，发现灯塔 Ａ在它 的北偏西３０°方向上，同时，海岛Ｂ在它的东南方向上， 则∠ＡＯＢ＝ ． １２．一个扇形的半径为２４ｃｍ，面积是２４０πｃｍ２，则 该扇形的圆心角为 ． １３．如图８，已知 ∠ＡＯＢ＝１００°，∠ＣＯＤ＝４０°，ＯＰ 平分 ∠ＡＯＣ，ＯＱ平分 ∠ＢＯＤ，则 ∠ＰＯＱ的度数为 ． １４．将一副直角三角板 ＡＢＣ，ＡＤＥ按如图９叠加放 置，其中Ｂ与Ｅ重合，∠ＢＡＣ＝４５°，∠ＢＡＤ＝３０°．将三角 板 ＡＤＥ从图中位置开始绕点 Ａ逆时针旋转一周，当 ∠ＤＡＣ＝９０°时，∠ＢＡＥ的度数为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（８分）作图题： （１）如图１０，已知∠１和∠２，请用尺规作∠ＡＯＢ，使 得∠ＡＯＢ＝∠１－∠２； （２）已知ＡＢ＝２ｃｍ，作到点Ａ和点Ｂ的距离都等于 １５ｃｍ的所有点组成的图形． １６．（１０分）如图１１，把一个圆分成甲、乙、丙、丁四 个扇形． （１）求甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数； （２）若圆的半径为１ｃｍ，求扇形丁的面积． １７．（１２分）已知∠ＡＯＢ，∠ＣＯＤ共顶点Ｏ，ＯＭ平分 ∠ＡＯＤ，ＯＮ平分∠ＢＯＣ． （１）如图１２－①，当ＯＢ与ＯＤ重合时，若∠ＡＯＢ＝ １３０°，∠ＭＯＮ＝２５°，求∠ＢＯＣ的度数； （２）将∠ＣＯＤ绕点Ｏ逆时针旋转至图１２－②所示 位置，若∠ＢＯＤ＝６０°，∠ＡＯＣ＝１０°，求∠ＭＯＮ的度数． １８．（１４分）已知∠ＡＯＢ＝１００°，射线ＯＥ，ＯＦ分别 是∠ＡＯＣ和∠ＣＯＢ的平分线． （１）如图１３－①，若射线 ＯＣ在 ∠ＡＯＢ的内部，且 ∠ＡＯＣ＝３０°，求∠ＥＯＦ的度数； （２）如图１３－②，若射线ＯＣ在∠ＡＯＢ的内部绕点 Ｏ旋转，求∠ＥＯＦ的度数； （３）若射线ＯＣ在∠ＡＯＢ的外部绕点Ｏ旋转（旋转 中∠ＡＯＣ，∠ＢＯＣ均指小于１８０°的角），其余条件不变， 请借助图１３－③探究∠ＥＯＦ的大小． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）若同一平面内的三条射线 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ有 公共端点，且满足∠ＡＯＣ＝ １２∠ＢＯＣ时，我们称ＯＣ是 （ＯＡ，ＯＢ）的“新风尚线”，但ＯＣ不是（ＯＢ，ＯＡ）的“新风 尚线”． （１）如图 １－①，已知 ∠ＢＯＮ＝１２０°，∠ＭＯＮ＝ ６０°，ＯＥ，ＯＦ是∠ＭＯＮ的三等分线，则射线 是 （ＯＭ，ＯＮ）的“新风尚线”； （２）如图１－②，若∠ＡＯＢ＝３０°，ＯＣ是（ＯＡ，ＯＢ） 的“新风尚线”，求∠ＢＯＣ的度数． ２．（１２分）如图２，点Ａ，Ｏ，Ｂ在同一条直线上，从点 Ｏ引一条射线ＯＣ，且∠ＡＯＣ＝１２０°． （１）求∠ＢＯＣ的度数； （２）将∠ＢＯＣ绕点Ｏ顺时针旋转α（０°＜α＜１８０°， 且α不是６０°的整数倍）得到∠Ｂ′ＯＣ′，在∠ＡＯＣ′内引 射线 ＯＰ，在 ∠ＣＯＢ′内引射线 ＯＱ，且 ∠ＡＯＰ ＝ １ ２∠ＰＯＣ′，∠ＣＯＱ＝ １ ２∠ＱＯＢ′． ①若α＝４５°，求∠ＰＯＱ的度数； ②若∠ＰＯＱ＝２∠ＣＯＣ′，求α的大小                                                                                                                                       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