第17期 5.3 二次根式的加法和减法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 上期２版 ５．１二次根式 ５．１．１二次根式的有关概念 基础训练　１．Ｂ；　２．－２． ３．（１）ｘ为全体实数； （２）ｘ≥４； （３）－１≤ｘ≤１； （４）ｘ≥１且ｘ≠３． 能力提高　４．根据二次根式有意义的条件，得 ａ－ ２００７≥０．所以ａ≥２００７． 因为｜ａ－２００６｜＋ ａ－槡 ２００７＝ａ， 所以ａ－２００６＋ ａ－槡 ２００７＝ａ． 所以 ａ－槡 ２００７＝２００６． 所以ａ－２００７＝２００６２． 所以ａ－２００６２ ＝２００７． ５．１．２二次根式的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．２ｘ－７． ４．（１）２４；　（２）１－槡２；　（３） １ ４ｘ ２＋１． 能力提高　５．（槡５６） ２ ＝１５０，（槡６５） ２ ＝１８０． 因为１５０＜１８０， 所以 槡５６＜ 槡６５． 所以 － 槡５６＞－ 槡６５． ５．２二次根式的乘法和除法 ５．２．１二次根式的乘法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．ｘ≤４；　４．１２． ５．（１）槡２７；　（２）－ 槡４３；　（３）３ａ ２ ３槡ｂ． ５．２．２二次根式的除法 基础训练　１．Ｂ；　２．槡２． ３．（１） 槡３６４；　（２）－ ２ ３；　（３）槡ａｂ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ 二、９．ｘ≥８；　１０．槡３２２；　１１．＞； １２．（１）槡３２，（２）槡３；　１３．槡 １５ ２ ． 三、１４．（１）槡２３；　（２）２１． １５．这个长方体的体积为：槡３２× 槡２３× 槡２６ ＝ ７２（ｃｍ３）． １６．要使该二次根式有意义，需 ｘ－１３ｘ＋６≥０．由除法 法则，得 ｘ－１≥０， ３ｘ＋６＞{ ０或 ｘ－１≤０， ３ｘ＋６＜０{ ．解得 ｘ≥１或 ｘ＜ －２．综上所述，当ｘ≥１或ｘ＜－２时， ｘ－１３ｘ＋槡 ６有意义． １７． 根 据 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件， 得 ａ＋ｂ－２３≥０， ２３－ａ－ｂ≥０{ ．解得ａ＋ｂ＝２３．所以 ３ｘ－ｙ－槡 ７＋ ｘ－２ｙ－槡 ４ ＝ ０． 所 以 ３ｘ－ｙ－７＝０， ｘ－２ｙ－４＝０{ ．解 得 ｘ＝２， ｙ＝－１{ ．所以７ｘ－ｙ２０２４ ＝７×２－（－１）２０２４ ＝１３． １８．（１）３； （２）根据题意，得｜３－ａ｜＋｜ａ－７｜＝４．当ａ＜３ 时，３－ａ＞０，ａ－７＜０，所以（３－ａ）＋（７－ａ）＝１０－ ２ａ＝４，解得ａ＝３（舍去）；当３≤ａ≤７时，３－ａ≤０， ａ－７≤０，所以（ａ－３）＋（７－ａ）＝４；当ａ＞７时，３－ ａ＜０，ａ－７＞０，所以（ａ－３）＋（ａ－７）＝２ａ－１０＝４， 解得ａ＝７（舍去）．综上所述，ａ的取值范围是３≤ａ≤７． 书 在进行二次根式的运 算时，如果能运用整式运算 中的相关技巧，可使运算简 便．现举例加以分析，供同 学们参考． 技巧一、运用乘法公式 例 １　 计 算：（４－ ２槡３）（槡３＋１） ２． 分析：根据乘法公式进 行运算即可． 解：原式 ＝（４－２槡３）（４ ＋２槡３）＝４． 例 ２　 计 算 （槡３ ＋ １）（槡６ －槡２）的结果是 ． 分析：对槡６－槡２提取 槡２后，用平方差公式计算 即可． 解：原式 ＝（槡３＋１）［槡２×（槡３－１）］＝槡２×［（槡３ ＋１）（槡３－１）］＝２槡２． 故填２槡２． 技巧二、逆用幂的运算法则 例３　计算：（３－槡１０） ２０２３×（３＋槡１０） ２０２４ ＝ ． 分析：通过观察可以发现，两个底数３－槡１０和３＋ 槡１０相乘可以运用平方差公式计算，因此可先将两个 因式的指数转化成相同的指数，再逆用积的乘方法则进 行计算即可． 解：原式＝［（３－槡１０）（３＋槡１０）］ ２０２３×（３＋槡１０） ＝（－１）２０２３×（３＋槡１０） ＝－３－槡１０． 故填 －３－槡１０． 技巧三、运用因式分解 例４　已知ａ＝２＋槡５，ｂ＝２－槡５，求代数式ａ ２ｂ＋ ａｂ２的值． 分析：此题可先运用提公因式法对所求式进行因式 分解，然后代入求值即可． 解：因为ａ＝２＋槡５，ｂ＝２－槡５，所以ａ ２ｂ＋ａｂ２ ＝ ａｂ（ａ＋ｂ）＝（２＋槡５）（２－槡５）（２＋槡５＋２－槡５）＝ （－１）×４＝－４． 例５　若ｘ＝槡２－１，则ｘ ２＋２ｘ＋１＝ ． 分析：此题可以先将ｘ２＋２ｘ＋１进行因式分解，再把 ｘ的值代入计算比较简便． 解：当ｘ＝槡２－１时，原式 ＝（ｘ＋１） ２＝（槡２） ２＝２． 故填２． 书 !"#$%&'()*+,-./0 ， !"'12 345 ， 6789,-:'12 ——— ;<=>2 、 ?1 2 、 @A2 、 BC2 ， DEFGHI ． ! 、 "#$%& ' １　 !" ３槡５J５槡３'()． () ： KLM#$%&%N;O'<&>P%NQ O@!" ， RS1C('"( ． * ： <T ３槡５＝ ３ ２×槡 ５＝槡４５，５槡３＝ ５ ２×槡 ３ ＝槡７５，U７５＞４５，VW３槡５＜５槡３． +,-. ： !"#$%&'() ａ槡ｂ*ｃ槡ｄ+,- ./01234*/0567+,- ， 89:;< ： = > ａ＞０，ｂ＞０， ? ａ＞ｂ @ ，槡ａ＞槡ｂ． / 、 01& ' ２　 !"槡３＋槡１３J槡５＋槡１１'()． () ： X/YRS1C ３＋１３＝５＋１１， Z[\:] ?1^!"'12 ． * ： <T （槡３＋槡１３） ２＝１６＋２槡３９，（槡５＋槡１１） ２ ＝１６＋２槡５５，U１６＋２槡３９＜１６＋２槡５５， VW （槡３＋槡１３） ２ ＜（槡５＋槡１１） ２． <T槡３＋槡１３＞０，槡５＋槡１１＞０， VW槡３＋槡１３＜槡５＋槡１１． +,-. ： A#$%B() ａ槡ｂ*ｃ槡ｄ+,-，C DE%BF'槡ａ±槡ｂ*槡ｃ±槡ｄG，ａ＋ｂ＝ｃ＋ｄ+1 234HI+JK,- ， 89:;< ： ? ａ＞０，ｂ＞０ @ ， )L ａ２ ＞ｂ２， M ａ＞ｂ． 2 、 34& ' ３　 !" ７－槡１０J１２－２槡１０'()． () ： _C& ７－槡１０J１２－２槡１０`TaCbc +Mde#$%& ， UfLMde#$%&'RS1C gE ， Z[hi@A2 ， %jAk'lmnopGqr '()st ． * ： <T （７－槡１０）－（１２－２槡１０）＝－５＋槡１０ ＜０， VW ７－槡１０＜１２－２槡１０． +,-. ： A#$%BN01234GOPQRS T#7UV+1234 ， 89:;< ： W ａ－ｂ＞０， M ａ ＞ｂ； W ａ－ｂ＜０， M ａ＜ｂ； W ａ－ｂ＝０， M ａ＝ｂ． 5 、 67& ' ４　 !"槡１５－槡１４J槡１４－槡１３'()． () ： X/YRS1C １５－１４＝１４－１３， Z[\: ]uBC^!"'12 ． * ： <T １ 槡１５－槡１４ ＝ 槡１５＋槡１４ （槡１５－槡１４）（槡１５＋槡１４） ＝ 槡１５＋槡１４， １ 槡１４－槡１３ ＝ 槡１４＋槡１３ （槡１４－槡１３）（槡１４＋槡１３） ＝ 槡１４＋槡１３，U槡１５＋槡１４＞槡１４＋槡１３， VW １ 槡１５－槡１４ ＞ １ 槡１４－槡１３ ． <T槡１５－槡１４＞０，槡１４－槡１３＞０， VW槡１５－槡１４＜槡１４－槡１３． +,-. ： A#$%BF'槡ａ－槡ｂ*槡ｃ－槡ｄG，ａ －ｂ＝ｃ－ｄ +1234HI+JK,- ， 89:;< ： ? ａ＞０，ｂ＞０ @ ， W １ ａ ＞ １ ｂ，Mａ＜ｂ． ! !" # $ ! % & ' ( 书 估算在日常生活与数学学习中都有着十分广泛的 应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学 生拥有良好的数感，具有重要的价值．学生掌握了科学、 合理的估算方法，对提高学生的分析、判断能力，培养学 生的思维灵活性将起到积极的促进作用． 一、估算代数式的取值范围 例１　估计（２槡５＋５槡２）× １ 槡５的值应在 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４和５之间 Ｂ．５和６之间 Ｃ．６和７之间 Ｄ．７和８之间 分析：先运用二次根式的混合运算法则进行运算， 再根据估算得出答案． 解：原式 ＝２＋槡１０． 因为３＜槡１０＜４，所以５＜２＋槡１０＜６． 故选Ｂ． 二、表示点的位置 例２　如下图，数轴上的点可近似表示（４槡６－ 槡３０）÷槡６的值是 （　　） Ａ．点Ａ　　　　　　　　Ｂ．点Ｂ Ｃ．点Ｃ Ｄ．点Ｄ 分析：根据二次根式的运算法则以及不等式的性质 即可求出答案． 解：原式 ＝４－槡５． 因为２＜槡５＜３，所以１＜４－槡５＜２． 故选Ａ． 三、确定二次根式的整数部分和小数部分 例３　若３－槡２的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，则 代数式（２＋槡２ａ）·ｂ的值是 ． 分析：先根据不等式的性质确定二次根式的整数部 分和小数部分，再代入代数式求解即可． 解：因为１＜槡２＜２，所以１＜３－槡２＜２． 因为３－槡２的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，所以ａ ＝１，ｂ＝３－槡２－１＝２－槡２． 所以（２＋槡２ａ）·ｂ＝（２＋槡２）（２－槡２）＝２． 故填２． ! )* +,- 书 二次根式的混合运算综合性强、灵活性大，要想学 好这部分内容，必须强化如下四种意识． 一、化简意识 例１　 计算（槡２７－槡１８）（槡３＋槡２）的结果是 ． 分析：此题中有些二次根式不是最简二次根式，应 先化简再计算． 解：原式 ＝（槡３３－ 槡３２）（槡３＋槡２）＝３×［（槡３－ 槡２）（槡３＋槡２）］＝３． 故填３． 点评：在二次根式的混合运算中，一般要先将题中 的二次根式化成最简二次根式，被开方数相同的二次根 式要及时合并，这样可简化运算过程． 二、顺序意识 例２　 计算：槡１２－ 槡１８×槡 １ ６ ＋槡 １ ３ ＝ ． 分析：此题应先进行二次根式的乘法运算，再进行 二次根式的加减运算． 解：原式 ＝ 槡２３－槡３＋槡 ３ ３ ＝ 槡４３ ３． 故填 槡 ４３ ３． 点评：二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一 样，都是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要 先算括号里面的．一定要有顺序意识，切不可盲目进行． 三、运算律意识 例３　计算（槡２７－槡１２）×槡 １ ３的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．槡３３ 槡Ｂ．１ Ｃ．５ Ｄ．３ 分析：根据乘法分配律可以简便运算． 解：原式 ＝ ２７×槡 １ ３ － １２×槡 １ ３ ＝槡９－槡４＝ ３－２＝１． 故选Ｂ． 点评：整式运算中的运算律和运算性质在二次根式 的运算中仍然适用． 四、分母有理化意识 例４　计算： １ 槡２＋１ ＋槡３２＝ ． 分析：先将第一个数进行分母有理化，然后运用二 次根式的加法法则计算即可． 解：原式 ＝ 槡２－１ （槡２＋１）（槡２－１） ＋ 槡４２＝槡２－１＋ 槡４２＝ 槡５２－１． 故填 槡５２－１． 点评：当分母含有二次根式时，可运用平方法或平 方差公式进行分母有理化． 书 二次根式的加减运算是本节学习的重点，其关键在 于掌握二次根式的加减运算的三个基本步骤． １．化：将算式中的各项都化成最简二次根式．这是 二次根式的加减运算的关键步骤． ２．找：在各项都化为最简二次根式后，找出被开方 数相同的二次根式． ３．合：将被开方数相同的二次根式合并．合并时，同 整式加减中合并同类项类似，只合并二次根式前面的 “系数”，二次根号及被开方数不变． 实战演练 例１　计算 槡４５－ 槡３５的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 槡Ａ．５ Ｂ．槡２５ Ｃ．槡３５ Ｄ．槡４５ 分析：此题中的两个二次根式都是最简二次根式， 直接运用二次根式的减法法则运算即可． 解：原式 ＝槡５． 故选Ａ． 例２　计算槡３＋３槡 １ ３的结果是 ． 分析：此题先将３槡 １ ３化成最简二次根式，再根据 二次根式的加法法则计算即可． 解：原式 ＝槡３＋槡３＝ 槡２３． 故填 槡２３． 例３　计算：（槡５４＋槡５）－（槡２０＋槡２４）． 分析：本题可先去括号，再按二次根式的加减运算 的三个步骤进行计算． 解：原式＝槡５４＋槡５－槡２０－槡２４ ＝ 槡３６＋槡５－ 槡２５－ 槡２６ ＝（槡３６－ 槡２６）＋（槡５－ 槡２５） ＝槡６－槡５． 注意事项 １．在二次根式的加减运算中，如果有括号，可以先 化简，再去括号；也可以先去括号，再化简．注意符号不 要出错． ２．化简要彻底，化简后，被开方数不同的二次根式 不能合并，对于没有合并的二次根式不能漏掉，它们是 结果的一部分． ３．在运算的过程中，二次根式中根号外的数字因数 是分数的，不要写成带分数的形式，而要写成假分数的 形式． """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! " # $ %&" ! " # $ ! ./ 0 * ! 1/ 2 3 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""" ! " #! !!"# " $"% !" #!#% & "! ' #$ ( !"#$ !"#$%&' % ! ()*+ !"#$%&'" ()*+,-'. 456789:;<=> !" ? '($ @ABCDEFGHF 7IJKL!"#$%&'()*+,-./ 0#1%&2()*+34 ) MNOPL56/0#7%&2(8)898:; <*+.=>?@ABCD&EBCFD&GH# $%&2*+ ) QRDST IJKLMNOP QRS2TUV WXY Z[\]^_M`a bc defOghij 'klc mbnopq rV sMtc WuPv 2wQxyzJ{|_ }~€c ‚ƒ_„ …tc †‡ˆ‰Š‹Œ |‡VfŽcW‘ W’“2ab”•–— ˜™š›_c œžŸ  ¡¢£‚¤›c ¥Ž ¦§2i¨n©ª«c ¬­®Ž¯s°›± ²c M³´µ¶·¸M ¹c º»»\¼L½« 2›¾¿À_ÁÂw ÃV Ą›Å©Æ±² 2ŠÇc TUÈJÉ_ M%Êbc ËÌGMÍ ÎÏ2ÃbJXÐ\Ñ ÒLV ÓÔ2´OR WÕÑÒÖÕÃJ2× ØÙÚc `O vÛ\ ÕM¹ÜÝLW2Þ ßV n_…àc TUÅ ©áâ\ãLäåæ҇ _ç æ҇_ç 蝴é éê¡Mëìíc Œ ‘TUÈJîL2ŽM Íïðc %ñ”Ž–— òó2ÙÚV µôTU áâ\°wÊõGïð ö÷øwù2úûcü ýþÿ\!äåµ"s# ùïðc æËfO$] ^M%&'()*2 V è +,-./0­1 ”23c ¶4҇þ5 26’¶7c 8­** 9c :+,$7êW; ÈV UVWX d¡c sM%´ã <©=V W>!sM% ?@AB2´CD_ MµEc#µFG©H YZ[ ! \ " ]5 _̂ ) *+ `ab , ) *+ cde , # - .+ fgb , ) *+ h $ , ) *+ i j -./01+ k l 23/01+ fmn -4506+ o p -4578+ qrs dtu + v wxy z { |}~ c€ zm ‚ r ƒ„… (†a +‡ˆ ‰‡Š ca‹ Œj5 Žv  ~ ‘’ d“” 91-.+ ‰‡Š 91:;+ + • <=-.+ c–— >?-.+ c˜˜ @ABC+ ™š› %&œž7Ÿ  %&œž¡¢£¤¥¦§¨ %&œž©ª«¬­®¯°Ÿ± 6²³´µ¶·] ´¸¹`ab º»¼½¾¿·]ÀÁ¹ *+"%,!-!-. 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( ! - # - & ! - $ & ' # & 0 # , 'NO - P , Q1R; 2345 6*789:;< =>?@ABCDEFG H-IJK@LMBC NOPQRS *-TU LVWXYZA[\D ]NMBC^_`IJ ?5 ^abcdD E] BCefg@hbDi jklmnoB5 Ep qrst`BuD vw `Lxyz{|D ]B C}~`Bu5 € Ep~?)‚ƒ„D …†‡ˆQ‰bŠƒ‹ B5 EŒBu]BC _ŽCD )?‘ ’BCA“”5 ‡ˆQ ‰Kk•Q–D —n˜ ™š•G›QBS jœY VS ž`LŸ ¡D? ¢£¤LM)/¥Œ u¦œ§ž¨D 6*7 ©ª]BC«¬D F­ BC®¯/¥5 °-B CY±*²D Q³´µ ¶/¥L·5 6*7¸ ¹º»D¬n)¼BCG ›½¾YUA¿ºSÀÁ “”K´¤D Â-Xà ÄALÅÆf`5 Ç¤ LjDLM/¥§ž¨5 EÇ«¬BCD È(¨ É/¥D BCp³´µ ¶/¥L·5 6*7Ê »Ë`D EUÌCÍv ÎD ]BCvÏÐÐÑ Ò5v`LÓcdD]y z{|Ô^ÕÖ×ØD ]BCŒBu_`Ù ÚD ijMÛÎ܃ Ý5BCAÞßàá`D ÎâÏãäå»D ij k‚(Læçè5 6*7Aˆ‰éê Cëì•`¾íîDT ïðE•G›ñÒòóA ôõö£÷øYùD° -UÎbúûCpùü ýþCÿ! ¤"#$% A&'ö£()YùD UÎb*+pùüýL ,-A.ÿ/ ¤0%A BCö£12YùDU ÎÉ/¥pùüý3 ÿ5½4Á¾Á56RS 7ÀÁüU3¨É/ ¥D È(BC¨834 ÿS 6*7ì`ˆ‰é êCëA–D 9X`: ;<¤=-> <¤=? A@ADfBCD5* -ETEFéêCëA –¨G`5 ´žPHD 3]? A/¥IüPkÉJ `/BC8KAL>M> NO34DPKPüQ5 RSTU-89V HA5 M¤]U“U~ W-AšXU“h_Q AYZ5