第16期 5.1 二次根式 5.2 二次根式的乘法和除法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 数学思想是数学的灵魂，是研究和解决数学问题的 “金钥匙”，解题时若能灵活应用，则可使同学们的思维 更敏捷、思路更清晰，二次根式化简、求值中的数学思想 主要有以下几种． 一、数形结合思想助力二次根式的化简 例１　实数ａ，ｂ在数轴上的位置如下图所示，化简 ｜ａ＋１｜－ （ｂ－１）槡 ２ ＋ （ａ－ｂ）槡 ２ ＝ ． 分析：根据数轴得到ａ，ｂ的取值范围，判断出ａ＋１， ｂ－１，ａ－ｂ的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 解：根据数轴，得 －１＜ａ＜０，１＜ｂ＜２． 所以ａ＋１＞０，ｂ－１＞０，ａ－ｂ＜０． 所以｜ａ＋１｜－ （ｂ－１）槡 ２＋ （ａ－ｂ）槡 ２ ＝ａ＋１ －（ｂ－１）＋（ｂ－ａ）＝ａ＋１－ｂ＋１＋ｂ－ａ＝２． 故填２． 二、整体思想巧妙解决二次根式求值问题 例２　已知ｘ２－３ｘ＋１＝０，求 ｘ２＋１ ｘ２ －槡 ２的值． 分析：把已知等式两边除以ｘ，得到ｘ＋１ｘ＝３，再利 用 完 全 平 方 公 式 的 变 形 得 到 所 求 式 ＝ （ｘ＋１ｘ） ２－槡 ４，然后利用整体代入的方法计算． 解：因为ｘ２－３ｘ＋１＝０，所以ｘ－３＋１ｘ ＝０，即ｘ ＋１ｘ ＝３． 所以 ｘ２＋１ ｘ２ －槡 ２＝ （ｘ＋ １ ｘ） ２－槡 ４＝槡５． 三、分类讨论思想在二次根式计算中的应用 例３　已知ｙ＝ ｘ２－４ｘ＋槡 ４－ｘ＋３，当ｘ分别取 １，２，３，…，２０２４时，所对应的ｙ值的总和是 ． 分析：根据二次根式的性质和绝对值的性质化简， 即可得到对应的ｙ值的总和． 解：ｙ＝ ｘ２－４ｘ＋槡 ４－ｘ＋３＝ （ｘ－２）槡 ２－ｘ＋ ３＝｜ｘ－２｜－ｘ＋３． 当ｘ＝１时，ｙ＝３； 当ｘ≥２时，ｙ＝ｘ－２－ｘ＋３＝１，即当ｘ分别取２， ３，…，２０２４时，ｙ的值均为１． 综上所述，当ｘ分别取１，２，３，…，２０２４时，所对应的 ｙ值的总和是：３＋２０２３×１＝２０２６． 故填２０２６． 书 最简二次根式是二次根式运算的基础，当二次根式 化成最简二次根式后，便于进行二次根式的加减运算． 在化简时，很多同学不仔细审题，往往一拿到题目就开 方，造成无法化简或化简错误．现介绍几种类型的二次 根式的化简方法，供同学们参考． 一、先化成因数的乘积，再开方 当被开方数是整数时，应先化成几个因数的乘积， 再开方． 例１　化简槡１２的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２槡３ Ｂ．３ Ｃ．２槡２ Ｄ．２ 分析：将被开方数１２写成平方数４与３的乘积，再 将平方数４开方即可． 解：槡１２＝ ４×槡 ３＝２槡３． 故选Ａ． 二、先化成分数形式，再开方 当被开方数是小数或带分数时，应先将其化成分数 或假分数的形式，再开方． 例２　化简：（１） ０．槡 ０３；　（２） ２ １ 槡４． 分析：（１）０．０３是小数，在化简时应先将其化为分 数，然后再根据二次根式的性质进行化简； （２）２１４是带分数，不能直接进行开方运算，应先将 带分数化为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简． 解：（１） ０．槡 ０３＝ ３ 槡１００＝ 槡３ 槡１００ ＝槡３１０； （２） ２１槡４ ＝ ９ 槡４ ＝ 槡９ 槡４ ＝ ３２． 三、先化成平方形式，再开方 当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成含有 平方的形式，再开方． 例３　化简： ４ａ３ｂ槡 ２ ＝ ． 分析：先将４ａ３ｂ２写成２２·ａ２·ｂ２·ａ的形式，再进行 开方运算． 解：由二次根式的定义可知 ａ≥ ０，ｂ≥ ０．所以 ４ａ３ｂ槡 ２ ＝ ２２·ａ２·ｂ２·槡 ａ＝２ａｂ槡ａ． 故填２ａｂ槡ａ． 四、先计算出结果，再开方 当被开方数是数的和（或差）的形式时，应先计算 出其和（或差），再开方． 例４　与 ７２－６２－２槡 ２结果相同的是 （　　） Ａ．７－６＋２ Ｂ．７＋６－２ Ｃ．７＋６＋２ Ｄ．７－６－２ 分析：被开方数是三个数的平方差的形式，不能直 接开方得７－６－２，而应该是先计算，再开方． 解： ７２－６２－２槡 ２ ＝ ４９－３６－槡 ４＝槡９＝３．结合 选项可知Ａ为正确答案． 故选Ａ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% " &' ()* 书 （槡ａ） ２与 ａ槡 ２是二次根 式这个“大家庭”中一对形影 不离的“双胞胎”，两者在外 表上的确十分相似，但实质上 却大相径庭，现就这对“双胞 胎”的区分作如下点拨，同学 们可要记清哟！ １．就ａ的取值范围区分 （槡ａ） ２中的被开方数是 ａ，因为负数没有平方根，故 ａ ≥０，而 ａ槡 ２中的被开方数是 ａ２，在实数范围内恒有 ａ２≥ ０，故对任意实数 ａ槡 ２都有意 义． ２．从所表示的意义及结 果上区分 （槡ａ） ２表示非负数 ａ的 算术平方根的平方，结果是非负数 ａ本身，而 ａ槡 ２表示 实数ａ２的算术平方根，其结果是│ａ│，即 ａ槡 ２的结果 是等于ａ本身还是等于ａ的相反数，必须由数ａ的符号 来决定． ３．从运算顺序上区分 （槡ａ） ２表示非负数ａ先开方再平方，而 ａ槡 ２表示对 实数ａ先平方再作开方运算． ４．从读法上区分 （槡ａ） ２读作ａ的算术平方根的平方， ａ槡 ２读作ａ的 平方的算术平方根． ５．两者共同点 两者都是非负数，即（槡ａ） ２≥０， ａ槡 ２≥０，并且当ａ ≥０时，（槡ａ） ２ ＝ ａ槡 ２． 例１　计算 （－２）槡 ２的结果是 ． 分析：利用二次根式的性质计算即可． 解： （－２）槡 ２ ＝｜－２｜＝２． 故填２． 例２　计算（－槡６） ２的结果是 （　　） Ａ．－６　　　Ｂ．６　　　Ｃ．±６　　　Ｄ．３６ 分析：利用二次根式的性质计算即可． 解：（－槡６） ２ ＝６． 故选Ｂ． 书 在利用二次根式的乘、除法法则进行计算时，需要 根据题目类型灵活选用法则或其逆变形进行计算．下面 举例说明． 一、槡ａ·槡ｂ型式子的计算方法 当ａ，ｂ都不是平方数或者ａ，ｂ相乘可以约分时，使 用法则槡ａ·槡 槡ｂ＝ ａｂ计算；当ａ，ｂ中有平方因数时，则 要先利用 ａ槡 ２ ＝｜ａ｜化简，然后再求积． 例１　计算：槡２×槡３＝ ． 分析：根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 解：原式 ＝ ２×槡 ３＝槡６． 故填槡６． 例２　计算：｜２－槡５｜＋槡 １ ５ ×槡２０． 分析：此题的二次根式的乘法中，有一个被开方数 是分数，另一个被开方数有平方因数，先化简再计算比 较繁琐，通过观察可知这两个被开方数相乘的结果是平方 数，直接利用二次根式的乘法法则进行运算即可得解． 解：原式 ＝槡５－２＋ １ ５×槡 ２０＝槡５－２＋２＝槡５． 二、槡 槡 ａ ｂ 型式子的计算方法 当 ｂ是ａ的约数时，可用槡 槡 ａ ｂ ＝ ａ槡ｂ进行计算；当ｂ 不是ａ的约数且ａ，ｂ都不是平方数时，可以先类比分数 的基本性质用槡 槡 ａ ｂ ＝槡ａ·槡ｂ 槡ｂ·槡ｂ 变形，然后用（槡ａ） ２ ＝ａ进 行化简． 例３　计算：槡６３÷槡７－｜－４｜＝ ． 分析：因为７是６３的约数，所以可直接利用二次根 式的除法法则运算． 解：原式 ＝ ６３÷槡 ７－４＝３－４＝－１． 故填 －１． 三、二次根式的乘除混合运算 在进行二次根式的乘除混合运算时，有括号的，先 算括号里的，然后按照从左到右的顺序进行． 例４　计算槡４５÷ 槡３３×槡 ３ ５ 的结果正确的是 ． 分析：根据二次根式的性质化简二次根式后，再根 据二次根式的乘、除法法则计算即可，注意同级运算要 按照从左到右的顺序进行． 解：原式 ＝ 槡３５÷ 槡３３×槡 １５ ５ ＝１． 故填１． 书 求解二次根式的问题时，灵活运用不等式、方程组， 可找到很好的解题途径．下面举例说明，供同学们参考． 一、不等式来助阵 例１　要使二次根式 ３ｘ－槡 ６有意义，则 ｘ的取值 范围是 （　　） Ａ．ｘ＞２ Ｂ．ｘ＜２ Ｃ．ｘ≤２ Ｄ．ｘ≥２ 分析：根据二次根式有意义的条件即可得解． 解：因为二次根式 ３ｘ－槡 ６有意义，所以３ｘ－６≥０． 解得ｘ≥２． 故选Ｄ． 例 ２　 已知 ２，６，ｍ是某三角形三边的长，则 （ｍ－４）槡 ２ － （ｍ－８）槡 ２等于 （　　） Ａ．２ｍ－１２ Ｂ．１２－２ｍ Ｃ．１２ Ｄ．－４ 分析：利用三角形的三边关系得出 ｍ的取值范围， 进而化简二次根式得出答案． 解：因为２，６，ｍ是某三角形三边的长，所以４＜ｍ＜ ８． 所以ｍ－４＞０，ｍ－８＜０． 所以 （ｍ－４）槡 ２－ （ｍ－８）槡 ２ ＝ｍ－４－（８－ｍ） ＝ｍ－４－８＋ｍ＝２ｍ－１２． 故选Ａ． 二、二元一次方程组来助阵 例３　若（ｘ－ｙ＋３）２＋ ２槡ｘ＋ｙ＝０，则ｘ＋ｙ的值 为 ． 分析：根据非负数的性质列出方程组，求出 ｘ，ｙ的 值，代入所求代数式计算即可． 解：因为（ｘ－ｙ＋３）２＋ ２槡ｘ＋ｙ＝０， 所以 ｘ－ｙ＋３＝０， ２ｘ＋ｙ＝０{ ． 解得 ｘ＝－１， ｙ＝２{ ．所以ｘ＋ｙ＝１． 故填１． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " +" ,-- " . / 0 1 ! " 23 456 书 上期检测卷 一、１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｄ； ４．Ａ；　５．Ｄ；　６．Ａ； ７．Ａ；　８．Ｃ；　９．Ｂ； １０．Ｄ． 二、１１．２ｘ－１＜３； １２．ｘ＜－２； １３．ａ＞２； １４．－２＜ａ＜３； １５．７；　１６．ｘ＜－２； １７．ａ≤－１２； １８．ａ＜１． 三、１９．（１）ｘ≥－５； （２）ｘ≤－２． ２０．数轴表示略．（１）ｘ ＜２； （２）ｘ≤１． ２１．任务一：① 乘法分 配律； ②五，不等式两边都 除以 －５，不等号的方向没 有改变． 任务二：ｘ＜２． ２２．设平均每年行驶的 公里数为ｘ公里．根据题意， 得 １７４８００＋１０ｘ１００×３１≤ １５９８００＋１０ｘ１００×４６．解得ｘ≥ １００００． 答：平均每年行驶的 公里数为１００００公里． ２３． 解 不 等 式 组 ｘ－２ ４ ＜ ｘ－１ ３ ， ４ｘ－ｍ≤４－ｘ { ， 得 －２ ＜ｘ≤ ｍ＋４５ ．因为不等式 组恰有 ２个整数解，即为 －１，０，所以 ０≤ ｍ＋４５ ＜ １．解得 －４≤ｍ＜１．所以 整数ｍ的值为 －４，－３， －２，－１，０．解 方 程 组 ｍｘ＋ｙ＝４， ３ｘ－ｙ＝０{ ， 得 ｘ＝ ４ｍ＋３， ｙ＝ １２ｍ＋３ { ．因为方程组 的解也为整数，所以符合 条件的整数ｍ的值为 －４， 789 ! : " ;<=> ! " #! !!"# " $"% !" !#!$ & %# ' %& ( !"#$ !"#$%&' % ! ()*+ !"#$%&'" ()*+,-'. ?<@ABCDEFGH !" I 书 １４期２版 ４．４一元一次不等式的应用 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．５；　４．６． ５．设第ｘ个月李明的存款超过王刚的存款．根据题 意，得６００＋５００ｘ＞２０００＋２００ｘ．解得ｘ＞１４３．因为ｘ 为整数，所以ｘ＝５． 答：第５个月李明的存款超过王刚的存款． ６．设需要ｘ个月才能赚回这台机器的贷款．根据题 意，得（８－８×１０％ －５）×８０００ｘ≥８８０００．解得ｘ≥ ５．因为ｘ是正整数，所以ｘ的最小整数值是５． 答：至少５个月才能赚回这台机器的贷款． ７．（１）设在广场内种植Ａ种花木的数量是 ｘ棵，Ｂ 种花木的数量是ｙ棵． 根据题意，得 ｘ＝２ｙ＋１０， ｘ＋ｙ＝３４０{ ．解得 ｘ＝２３０， ｙ＝１１０{ ． 答：在广场内种植 Ａ种花木的数量是２３０棵，Ｂ种 花木的数量是１１０棵． （２）设种植Ａ种花木ｍ棵，则种植Ｂ种花木（３４０－ ｍ）棵．根据题意，得３０ｍ＋２０（３４０－ｍ）≤９０００． 解得ｍ≤２２０． 答：种植Ａ种花木最多２２０棵． 能力提高　８．Ｄ． ４．５一元一次不等式组 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．ｘ＜１；　４．ｍ＞１． ５．数轴表示略．（１）－１≤ｘ＜２； （２）ｘ＞－１３；　（３）－ １ ２ ＜ｘ≤３． 能力提高　６．Ａ；　７．Ｂ． ８．（１）答案不惟一，如 ｘ－２＝０； （２）解方程３－ｘ＝２ｘ，得ｘ＝１．解方程３＋ｘ＝２（ｘ ＋１２），得ｘ＝２．解不等式组 ｘ＜２ｘ－ｍ， ｘ－２≤ｍ{ ，得ｍ＜ｘ≤ ｍ ＋２．因为 １，２都是该不等式组的解，所以 ｍ＜１， ｍ＋２≥２{ ．解得０≤ｍ＜１． １４期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ 二、９． ２ｘ＞４， １ ３ｘ＋１≤２ { ；　１０．ａ≥２；　１１．１； １２．３２；　１３．２７． 三、１４．数轴表示略．（１）－１≤ｘ＜２； （２）－１２＜ｘ≤４． １５．设购买甲种树苗ｘ棵，则购买乙种树苗（４００－ ｘ）棵．根据题意，得２００ｘ≥３００（４００－ｘ）．解得 ｘ≥ ２４０． 答：至少应购买甲种树苗２４０棵． １６．由题意知 ９－４ｘ＋４＜４， ３ｘ－２４＋４≥７{ ．解得ｘ≥９． １７．（１）４； （２）ｘ＞１３； （３）根据题意，得 ２ｘ－３≤２３， ２（２ｘ－３）－３＞２３{ ． 解得８＜ｘ≤１３． １８．（１）设第一次购买龙眼 ｘ吨，则第二次购买龙 眼（２１－ｘ）吨．根据题意，得０．４ｘ＋０．３（２１－ｘ）＝７． 解得ｘ＝７．所以２１－ｘ＝１４． 答：第一次购买龙眼７吨，第二次购买龙眼１４吨． （２）设把ｙ吨龙眼加工成桂圆肉，则把（２１－ｙ）吨 龙眼加工成龙眼干．根据题意，得 １０×０．２ｙ＋３× ０．５（２１－ｙ）≥３９．解得ｙ≥１５． 答：至少需要把１５吨龙眼加工成桂圆肉． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! '(% JKLM ANOPQ!"#$%&'()*+,-./ 0#$%&1() ( RS.TQ %( 234#$%&156789:; 1<=>?@2A#$%&B/0#$%& ( !( CD#$%&1+,@!"E:;1#$% &1A0 ( '(! JKLMUVWXYW ANOPQFG#H%&1IJJK*LJJK ( RS.TQMNOPQRS#H%&'IT LUV ( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # % ! 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