第14期 4.4 一元一次不等式的应用 4.5 一元一次不等式组（参考答案见16期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 已知不等式组，求这 个不等式组的解集是常见 题型，但有些题目却要求 同学们根据不等式组的解 集，求这个不等式组未知 系数的值或取值范围，现 归纳如下，供同学们参考． 一、已知不等式组的 解集 例 １　 不 等 式 组 ２ｘ－ａ＜１， ｘ－２ｂ＞{ ３的 解 集 是 －１＜ｘ＜１，则（ａ＋２）（ｂ －２）的值等于 ． 分析：先解不等式组， 然后根据不等式组的解集 为 －１＜ｘ＜１可得关于ａ， ｂ的两个一元一次方程，分 别解方程求出ａ，ｂ的值，代入即可得解． 解：解不等式组，得其解集为２ｂ＋３＜ｘ＜ａ＋１２ ． 对照已知解集，得２ｂ＋３＝－１，ａ＋１２ ＝１． 解得ａ＝１，ｂ＝－２．所以（ａ＋２）（ｂ－２）＝（１＋２） ×（－２－２）＝３×（－４）＝－１２．故填 －１２． 二、已知不等式组有解 例２　若关于ｘ的不等式组 ｘ－ｍ＜０， ３ｘ－１＞２（ｘ－１{ ）有 解，则ｍ的取值范围为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｍ≤－１ Ｂ．ｍ＜－１ Ｃ．ｍ≥－１ Ｄ．ｍ＞－１ 分析：先求出每一个不等式的解集，然后根据口诀 “大小小大中间找”即可求出ｍ的取值范围． 解：解不等式ｘ－ｍ＜０，得ｘ＜ｍ． 解不等式３ｘ－１＞２（ｘ－１），得ｘ＞－１． 因为原不等式组有解，所以ｍ＞－１．故选Ｄ． 三、已知不等式组无解 例３　若关于 ｘ的不等式组 １ ２ｘ－ａ＞０， ４－２ｘ≥ { ０ 无解， 则ａ的取值范围为 ． 分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀 “大大小小找不到”即可求出ａ的取值范围． 解：解不等式 １ ２ｘ－ａ＞０，得ｘ＞２ａ． 解不等式４－２ｘ≥０，得ｘ≤２． 因为原不等式组无解，所以２ａ≥２． 解得ａ≥１．故填ａ≥１． 四、已知不等式组整数解的个数 例４　若关于 ｘ的不等式组 ３ｘ－５≥１， ２ｘ－ａ＜{ ８有且只 有３个整数解，则ａ的取值范围是 （　　） Ａ．０≤ａ≤２ Ｂ．０≤ａ＜２ Ｃ．０＜ａ≤２ Ｄ．０＜ａ＜２ 分析：先解不等式组，再结合不等式组有且只有 ３个整数解即可逆推出ａ的取值范围． 解：解不等式３ｘ－５≥１，得ｘ≥２． 解不等式２ｘ－ａ＜８，得ｘ＜８＋ａ２ ． 所以原不等式组的解集为２≤ｘ＜８＋ａ２ ． 因为原不等式组有且只有三个整数解，即为２，３，４， 所以４＜８＋ａ２ ≤５． 解得０＜ａ≤２．故选Ｃ． 书 同学们在学习不等式组时，经常会因为存在一些误 区而出错．下面这些常见的误区你中过招吗？ 误区１：半途而废忘定“共集” 例１　解不等式组： ３（ｘ－２）≥ｘ－４，　 ① ２ｘ＋２ ３ ＞ｘ－１．　 { ② 错解：解不等式①，得ｘ≥１． 解不等式②，得ｘ＜５． 剖析：在解不等式组时，先求出不等式组中每个不 等式的解集，再把它们解集的公共部分找出来，得到不 等式组的解集，至此这个不等式组才算解完．错解中，只 是分别求出各自的解集就“万事大吉”了，并没有找到 不等式组的公共部分，也就是说不等式组没有解完． 正解：解不等式①，得ｘ≥１． 解不等式②，得ｘ＜５． 所以原不等式组的解集为１≤ｘ＜５． 误区２：错用不等式的传递性 例２　解不等式组：７ｘ－５＞４ｘ＋７，　　　　① ４ｘ＋７＞２ｘ－１．{ ② 错解：由①②，得７ｘ－５＞２ｘ－１． 解得ｘ＞ ４５． 所以原不等式组的解集为ｘ＞ ４５． 剖析：错解误用了不等式的传递性，应先求出各个 不等式的解集，再根据口诀判断不等式组的解集． 正解：解不等式①，得ｘ＞４． 解不等式②，得ｘ＞－４． 所以原不等式组的解集为ｘ＞４． 误区３：混淆不等式组与方程组的解法 例３　解不等式组：ｘ＋２＞１，　　　　 　　① ２ｘ－３＞５．{ ② 错解：由② －①，得ｘ－５＞４． 解得ｘ＞９． 剖析：错解把解一元一次不等式组与解二元一次方 程组的方法混淆了． 正解：解不等式①，得ｘ＞－１． 解不等式②，得ｘ＞４． 所以原不等式组的解集为ｘ＞４． 误区４：确定范围时忽视“等号” 例４　若不等式组 ２ｘ－１＞５，　① ｘ－ａ＞０{ ②的解集是ｘ＞ ３，求ａ的取值范围． 错解：解不等式①，得ｘ＞３． 解不等式②，得ｘ＞ａ． 因为不等式组的解集是ｘ＞３， 所以ａ＜３． 剖析：错解漏掉了ａ＝３的情况．事实上，当 ａ＝３ 时，原不等式组的两个不等式的解集都是ｘ＞３，此时不 等式组的解集仍是ｘ＞３． 正解：解不等式①，得ｘ＞３． 解不等式②，得ｘ＞ａ． 因为原不等式组的解集是ｘ＞３， 所以ａ≤３． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% " & ' ( ) * 书 !"#$%&'()*+, ， -./0123+4 5#$-6 ， 789:;<()*+=5#$-6> ？ ! 、 "#$%&' ， ()*+$, !"#$%&' ， ()*+,-./01#$%& 2%3456 ， 7 “ 8* ”、“ 9* ”、“ #:* ”、“ #; ”、 “ <: ”、“ => ” $ ， ?@AB%34562CDEF# $G ， HIJK#$%& ． - １　 ?@AB5CDEFG １００ H ， AIJCD KL ５０％ MND ， EOPQR ， STUVQW ， XYZ [\]^#_` ２０％， abcdeU V ． ./ ： LMNO.P/2%356QRS2#$% &TO.2%3 ． ?@ “ UVW#9* ２０％” "X#$ %& ， JK#$YOZ[\ ． 0 ： fdeU ｘ V ． gh+4 ， i １００（１＋５０％）× １１０ｘ≥ １００（１＋ ２０％）． &i ｘ≥８，jbcdeU８V． kl ８． 1 、 "#2345 ， 67*+$, ]B^_-./`]aKRS#$%&2%34 56 ， #$%&bcde ， Afghij?@-.2k lmno^_CD ， pqrsdtu/2#$%& ． - ２　 ?mnopqr@st ２９６ uv ， wx\yz @st{|}@st （ ;v> ） ~3€ Ａ，Ｂ @€B‚ ５０ G ． ƒ„€}G Ａ €B…Yr@st １５ uv ， €}G Ｂ €B…Yr@st ２．５ uv ， †‡mnopq5stˆZ [€ ， ab‰…€ Ｂ €Bc‰G ？ ./ ： w “ xyz{|]2}~€‚ƒ ”， „ “ …†‡}~;v> ” ˆ ， ‰.dt2#$%&T ： ‚ƒ Ａ，Ｂ Š‡ƒ‹QŒ2‡}~#Ž ２９６ ‘ ， @’\ JK#$Y ， O#$Y ， “uO”2=•–—˜[\ ． 0 ： f‡mno€ Ｂ €B ｘ G ， a€ Ａ €B （５０ －ｘ） G ． gh+4 ， i １５（５０－ｘ）＋２．５ｘ≤２９６． &i ｘ≥３６８２５． ŠE ｘ E‹Œ ， e ｘ 5Ž‹ŒE ３７． ‘ ： b‰…€ Ｂ €B ３７ G ． ! " #! !!"# " $"% !" !"!# & $% ' ! ( !"#$ !"#$%&' % ! ()*+ !"#$%&'" ()*+,-'. +,-./012345 !" 6 书 上期２版 ４．１不等式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　 ３．答案不惟一，如ｘ＋２＜０； ４．Ｔ＞３７．３． ５．２，６，５．１是不等式２ｘ－１＞１的解；－９，－５是不 等式ｘ＋１３＜１２的解． ６．（１）ｘ－６＞１２；　（２）２ｙ－５＜０； （３）３ｍ＋４≥０；　（４）２ａ＋３７ｂ≤４； （５）５ｎ－９≥－１；　（６）２（４＋ａ－３）＞２０． ７．０．４８×２００＋０．５３×２００＝２０２（元）． 因为２０２＞２００，李叔叔家七月份的电费支出不超过 ２００元， 所以李叔叔家七月份的用电量不超过４００度． 根据题意，得０．４８×２００＋０．５３（ｘ－２００）≤２００． ４．２不等式的基本性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．ｍ＜０；　４．＞． ５．（１）ｘ＜６；　（２）ｘ＞１；　 （３）ｘ＜－６；　（４）ｘ＞ ５２． ６．设每块Ａ型钢板的面积为 ｘ，每块 Ｂ型钢板的面 积为ｙ． 方案一：用４块Ａ型钢板，８块Ｂ型钢板，用式子表示 为：Ｓ１ ＝４ｘ＋８ｙ； 方案二：用３块Ａ型钢板，９块Ｂ型钢板，用式子表示 为：Ｓ２ ＝３ｘ＋９ｙ． 因为Ｓ１－Ｓ２＝４ｘ＋８ｙ－３ｘ－９ｙ＝ｘ－ｙ，且ｘ＜ｙ， 所以ｘ－ｙ＜０． 所以Ｓ１ ＜Ｓ２． ４．３一元一次不等式的解法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．１；　４．ｍ≥１． ５．数轴表示略．（１）ｘ＜２；　（２）ｘ≥－３； （３）ｘ＜３；　（４）ｘ≤－２． ６．因为关于ｘ的不等式（ａ－２）ｘａ＋２－１＜５是一元 一次不等式，所以ａ＋２＝１．解得ａ＝－１．当ａ＝－１时， 不等式９ａｘ＋３ａ－４ｂ＜０可化为 －９ｘ－３－４ｂ＜０．解 得ｘ＞－３－４ｂ９ ．又因为该不等式的解集为ｘ＞ ４ ９，所以 －３－４ｂ ９ ＝ ４ ９．解得ｂ＝－ ７ ４． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ 二、９．ｘ≤２；　１０．＜；　１１．≥－１５；　１２．３．５； １３．０，１，２，３． 三、１４．（１）９ａ＋１５ｂ＞０；　（２）－（ ２ ３ｍ－２）≥－５． １５．数轴表示略．（１）ｘ≥ －２．５；　（２）ｘ≥２． １６．根据题意，得３ａ＋５＝０，ａ－２ｂ＋５２ ＝０．解得 ａ＝－５３，ｂ＝ ５ １２．代入不等式，得 －５ｘ－ １ ２（ｘ＋１）＜ －５３（ｘ－２）．解得ｘ＞－１．所以最小非负整数解为ｘ＝０． １７．解２ｘ－１＞５，得ｘ＞３；解５ｘ＋１≤－４，得ｘ≤ －１．因为实数ａ是不等式２ｘ－１＞５的一个最小整数解， 实数ｂ是不等式５ｘ＋１≤－４的一个最大负整数解，所以 ａ＝４，ｂ＝－１．解４ｘ－９＜－１，得ｘ＜２． １８．解关于ｘ，ｙ的二元一次方程组 ｘ－ｙ＝３， ２ｘ＋ｙ＝６ａ{ ，得 ｘ＝２ａ＋１， ｙ＝２ａ－２{ ．因为ｘ＋ｙ＜３，所以２ａ＋１＋２ａ－２＜３． 解得ａ＜１．解不等式３ｂ－４＞２ｂ－３，得ｂ＞１．所以ａ ＜ｂ． #&# 7879:;<=>? .@ABC !"#$#%&'()*+,- ./01 & #&' 787D:;<E .@ABC 2)3456$6%&'789 -&'78:;<"=>?@)A:<B"&'7 8)*+,-./01 & FGHIC C6DE)6$6%&'(8F G)A-HI:JKBL-MNOPQRO & 书 ! 、 "#$# !"#$%&'()*$+ ｘ＞ａ， ｘ＞ｂ{ ，,"#$-. /0123 “ 4/ ”， ! ａ＜ｂ， 56"#$%7892+ /0:/7; ， < ｘ＞ｂ， '= “ 4/>/ ”． % １　 !"#$% ： ｘ＋１ ２ ≥１，　　　 　　　① ３（ｘ－２）＞２－ｘ． { ② & ： !"#$①，&ｘ≥１． !"#$②，&ｘ＞２． '( ２＞１， )*+,-. “ /010 ”， &2"#$ %3!4( ｘ＞２． ' 、 "($( !"#$%&'()*$+ ｘ＜ａ， ｘ＜ｂ{ ，,"#$-. ?0123 “ 4? ”， ! ａ＜ｂ， 56"#$%7892+ ?0:?7; ， < ｘ＜ａ， '= “ 4?>? ”． % ２　 !"#$% ： ３ｘ－２＜ｘ， ① １ ３ｘ＜－２． { ② & ： !"#$①，&ｘ＜１． !"#$②，&ｘ＜－６． '( －６＜１， )*+,-. “ /515 ”， &2"# $%3!4( ｘ＜－６． ) 、 #((#*+, *@ ｘ＞ａ，{ｘ＜ｂ7"#$%，!ａ＜ｂ，ｘ/0:?7; ａ 23 “ /? ”，ｘ ?0:/7; ｂ 23 “ ?/ ”， 5"#$ %789+/0 ａ A?0 ｂ BC7; ， < ａ＜ｘ＜ｂ， '= “ /??/DCE ”． % ３　 !"#$% ： ５－ｘ≥３（ｘ－１）， ① ２ｘ－１ ３ － ５ｘ＋１ ２ ＜１． { ② & ： !"#$①，&ｘ≤２． !"#$②，&ｘ＞－１． '( －１＜２， )*+,-. “ 0550678 ”， & 2"#$%3!4( －１＜ｘ≤２． - 、 ##((,./ *@ ｘ＜ａ，{ｘ＞ｂ7"#$%，!ａ＜ｂ，ｘ/0:/7; ｂ 23 “ // ”，ｘ ?0:?7; ａ 23 “ ?? ”， 6FGH "#$%I8 ， '= “ //??E"J ”． % ４　 !"#$% ： －２ｘ＋１≥ｘ＋４，　　　 ① ｘ ２－ ｘ－２ ３ ≥１． { ② & ： !"#$①，&ｘ≤－１． !"#$②，&ｘ≥２． '( －１＜２， )*+,-. “ 00558"9 ”， & 2"#$%:! ． 书 !"#$%"#$&' ()* ， +,-./012 3"#$'4567 ． 48 , ， 9:;<7=> ， (-? @AB “ CD ”． !"# 、 $%&'( ) １　 "#$& －３＜２ －５ｘ≤７'45E ． *+ ： !"#$%&' ()* ， +,-'(.$/ 01+2-'(.$304 '56789 ｘ， :;%&' ()$<=$>? ， @AB '()$CD ， E/0 、 *F 130:GH*$IJKL MN$OP ． , ： 23"#$'FG HIJ ２， K －３－２＜（２－５ｘ）－２≤７－２． 23"#$'FGJLM 、 NOPQR ， K －５＜－５ｘ≤５． 23"#$'FGHST －５， K －５ －５＞ －５ｘ －５≥ ５ －５，U －１≤ｘ＜１． VW －１≤ｘ＜１． !-# 、 *./0( ) ２　 "#$& １－ｘ＋１２ ≤ｘ＋２＜４'45E ． *+ ： !"#$%&'()* ， +,-'(.$/ 056789 ｘ， :;%&'()$<=$>?Q# ， @ABRS$TU ， EV8%&'()WXYZ+, -'(.[\$'()1Z+2-'(.[\$'( )]\$'()[ ． , ： 23"# $ X Y Z [ A B ' " # $ & １－ｘ＋１２ ≤ｘ＋２， ① ｘ＋２＜４．　 { ② 4"#$①，Kｘ≥－１． 4"#$②，Kｘ＜２． \T]"#$&'45[ －１≤ｘ＜２． VW －１≤ｘ＜２． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " JK L M !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " N O P Q O " RS T U V7WXY :Z[\] S65TUVW &XB:YZ[\]^ _:`abc-def gh^ijk-lmn o]pq65rs&t -uv:gwxiyz {|}:~€‚ƒ „…-j†‡ ˆX‰Š ‹ŒF:Žig 6‘O†n ’]“” g•–@—˜&™:š ›œ[ž&Ÿ ¡‡ ¢i£¤g¥¦-§ ¨“‰©*ª«g¬­ ®®¯°±‡ q²³jk-´ µ¶“g-¦·;¸ @­¹º-»–“¼½ ¾i¿ÀÁÂÃÁÄÅ ÆǓÈɛœ[Ê& ˇ ÌÍ®®ÁÎÎ& ÏÐ{Ñg“ ÒÓg“ ÔgÕÖ6×^ØÙ Ú-Ûܓ¯VÝ& Þßàá⇠qãg®®¯& ä-ÐåS6‘æçp çèéêëìp6Tí îpïïðñp4òó ô9õp ö÷øøpù úûü‡ 6½pgýþ ÿ!Ð"­ç#$Dp %‘çšg"&;& 'jpæ(g)*+ ç,Äèp-.p/0 1'p´Ö¹œ-2 3p ¹œ-þ4þ5 67 ~­89„…:; -<¹&=pg>&Þ ?@A¨‡ BCD EpèFGHpæçI @JæKLMpJN4 O-÷PQR—ip SS6TjUpg-¦ ·–@VJÙW‡ gS ~­pXY-æçÊ2 :Z­[„…\]- ^_‡ _̂` ! a " b,cd ) *+ efg , ) *+ hij , # - .+ klg , ) *+ m n , ) *+ o p -./01+ k q 23/01+ krs -4506+ t u -4578+ vwx iyz L { |\} ~  €‚ hƒ„ ~…r † w ‡ˆ} ‰Šf L‹Œ ‹Ž hf p, ‘’{ “ ‚ ”•– i—˜ 91-.+ ‹Ž 91:;+ L ™ <=-.+ hš› >?-.+ hœœ @ABC+ žŸ N" ¡¢.£¤ N" ¢1¥¦§¨©ª« N" ¢¬­®¯°±²³£´ -µ¶·¸¹ºb ·»Cefg ¼½¾7¿ÀºbÁÂC ()$#*%+%+, ^ - d # öÄÅÄb & # ƍÊËb # ¸¹ÌÍÎC %.'/*'!+/!'0 # öÏÐCN"ÑÒÓÔ\ÕÖ×ØÙ /.! 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