第11期 3.1 平方根 3.2 立方根 3.3 实数（参考答案见13期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 实数是初中数学的基础内容，又是考试的一个热 点，许多与实数有关的新颖试题频频亮相于各地的数学 试卷中，现以几例说明如下，与同学们共赏析． 一、程序运算型 例１　按下图所示的程序计算，若开始输入的值为 槡１０，则最后输出的结果是 （　　） Ａ．槡１０＋２ Ｂ．槡１０＋４ Ｃ．槡１０＋６ Ｄ．槡１０＋８ 分析：将开始输入的值槡１０代入计算，直到所得的 计算结果大于９时输出即可． 解：第一次输入槡１０，槡１０＋２＜９，则第二次输入 槡１０＋２，槡１０＋４＜９，则第三次输入槡１０＋４，槡１０＋６ ＞９，所以输出的结果为槡１０＋６． 故选Ｃ． 二、定义运算型 例２　用“”定义新运算：对于任意实数ａ，ｂ，都有 ａｂ＝槡ｂ－ａ，如３４＝槡４－３＝－１，那么１２１９６＝ ． 分析：根据新定义ａｂ＝槡ｂ－ａ，对１２１９６进行列 式，然后利用实数的运算即可得出答案． 解：１２１９６＝槡１９６－１２＝１４－１２＝２． 故填２． 三、规律探究型 例３　观察下列一组算式的特征及运算结果，探索 规律： ① １×５＋槡 ４＝槡９＝３； ② ２×６＋槡 ４＝槡１６＝４； ③ ３×７＋槡 ４＝槡２５＝５； ④ ４×８＋槡 ４＝槡３６＝６． （１）通过上式规律计算： ５×９＋槡 ４＝ ， １９×２３＋槡 ４＝ ； （２）用含正整数 ｎ的式子表示上述算式的规律： ； （３）计算： １×５＋槡 ４－ ２×６＋槡 ４＋ ３×７＋槡 ４ － ４×８＋槡 ４＋… ＋ ２０２１×２０２５＋槡 ４． 分析：根据算式的特征找到规律即可． 解：（１） ５×９＋槡 ４＝槡４９＝７， １９×２３＋槡 ４＝ 槡４４１＝２１． 故填７，２１． （２） ｎ（ｎ＋４）＋槡 ４＝ （ｎ＋２）槡 ２ ＝ｎ＋２． （３）原式 ＝３－４＋５－６＋… ＋２０２３＝（－１）× １０１０＋２０２３＝１０１３． !" !" #$ # $ !% ! !" # $ 书 与平方根和立方根有关的题目，为了考查对概念的 理解和性质的掌握情况，常会设置一些“陷阱”，解题时 稍有不慎便会出错．下面就让我们一起来识破这些“陷 阱”吧！ 一、利用平方运算设置“陷阱” 例１　求（－７）２的平方根． 错解：（－７）２的平方根是－７． 剖析：错解习惯性认为 －７的平方为（－７）２，则 （－７）２的平方根就是 －７，没有进一步想到一个正数的 平方根有两个，且它们互为相反数，错解漏掉了一个正 的平方根． 正解：因为（－７）２ ＝４９，４９的平方根是 ±７，所以 （－７）２的平方根是 ±７． 二、利用根号设置“陷阱” 例２　计算：槡６４． 错解：因为（±８）２ ＝６４，所以槡６４＝±８． 剖析：错解混淆了平方根和算术平方根的概念．因 为槡６４表示的是６４的算术平方根，所以本题实际上是 求６４的算术平方根，而不是求６４的平方根． 正解：槡６４＝８． 例３　填空： （１）槡１６的算术平方根是 ； （２） ３槡２７的立方根是 ． 错解：（１）４；　（２）３． 剖析：由于槡１６表示的是算术平方根， ３ 槡２７表示的 是立方根，从而给审题不仔细者一种错觉：（１）是求１６ 的算术平方根，（２）是求２７的立方根．事实上，槡１６＝ ４，所以（１）小题实际上是求４的算术平方根；同样，３槡２７ ＝３，所以（２）小题实际上是求３的立方根． 正解：（１）因为槡１６＝４，所以槡１６即４的算术平方 根是２．故填２． （２）因为 ３槡２７＝３，所以 ３ 槡２７即３的立方根是 ３ 槡３．故 填 ３ 槡３． 三、利用被开方数为带分数设置“陷阱” 例４　求 １９槡１６的值． 错解： １９槡１６＝１＋ ３ ４ ＝１ ３ ４． 剖析：若被开方数为带分数，开方时应先将带分数 转化为假分数后再开方． 正解： １９槡１６＝ ２５ 槡１６＝ ５ ４． 四、利用隐含条件设置“陷阱” 例５　（π－３．１４２）２的算术平方根是 ． 错解：π－３．１４２． 剖析：错解忽视了π－３．１４２＜０的隐含条件，事实 上，一个非负数的算术平方根仍然是一个非负数． 正解：３．１４２－π． ! %" &'( """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 书 一、分类法 例１　在实数 －槡２，－１，０，１中，最小的是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．－槡２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．１ 解析：－槡２，－１是负实数；１是正实数．根据“正实 数大于０，０大于负实数，正实数大于负实数”可得较小 的实数是 －槡２和 －１．再根据“两个负实数，绝对值大的 反而小”可得 －槡２＜－１． 最小的实数是 －槡２． 故选Ａ． 二、数轴法 例２　实数ａ，ｂ，ｃ在数轴上的对应点的位置如图所 示，若ａ与ｃ互为相反数，则ａ，ｂ，ｃ中绝对值最大的数是 （　　） Ａ．ａ Ｂ．ｂ Ｃ．ｃ Ｄ．无法确定 解析：观察 ａ，ｂ，ｃ在数轴上对应的点的位置，根据 “在数轴上表示的实数，右边的总比左边的大”，再结合 实数的性质进行比较即可． 根据ａ，ｂ，ｃ在数轴上对应的点的位置及ａ，ｃ互为相 反数，得ｃ＜ａ＜ｂ，且｜ｃ｜＝｜ａ｜＜｜ｂ｜，所以绝对值最 大的数是ｂ． 故选Ｂ． 三、近似值法 例３　比较大小：３－槡５２ ３ ８（填“＞”“＜” 或“＝”）． 解析：取槡５的近似值，结合近似值可计算出 ３－槡５ ２ 的值，然后进行比较即可． 因为槡５≈２．２３６，所以 ３－槡５ ２ ≈ ３－２．２３６ ２ ＝０．３８２， 而 ３ ８ ＝０．３７５．因为０．３８２＞０．３７５，所以 ３－槡５ ２ ＞ ３ ８． 故填 ＞． 四、夹值法 例４　比较大小：槡３３ ６（填“＞”“＜”或 “＝”）． 解析：通过比较３３与６的平方的大小，从而可确定 槡３３的大致范围，然后进行比较即可． 因为２５＜３３＜３６，所以槡２５＜槡３３＜槡３６，即 ５＜槡３３＜６． 故填 ＜． 编者语：比较两个实数大小的方法还有作差法、作 商法、平方法等，在具体解题时，同学们需要选择最合理 的方法，从而使问题能够快捷解决． ! )* + , 书 立方根是方根家族中 的重要成员，今天立方根 “个人专辑”正式发行，下 面让我们先睹为快吧！ 曲目一、求立方根 例１　 求下列各数的 立方根： （１）－８； （２）１２５２７； （３）０．００１． 解析：求一个数的立方 根可借助立方来求，同时要 注意正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数，０的 立方根是０． （１）因为（－２）３ ＝ －８，所以 －８的立方根是 －２，即 ３－槡 ８＝－２； （２）因为（５３） ３ ＝１２５２７，所以 １２５ ２７的立方根是 ５ ３，即 ３１２５ 槡２７ ＝ ５ ３； （３）因为 ０．１３ ＝０．００１，所以 ０．００１的立方根是 ０．１，即 ３０．槡 ００１＝０．１． 曲目二、化简求值 例２　计算： ３ （－５）槡 ３ － ３ １－７槡 ８． 解析：先求立方根，然后再作加减运算即可． ３ （－５）槡 ３ － ３ １－７槡 ８ ＝－５－ １ ２ ＝－ １１ ２． 曲目三、解方程 例３　已知（２ｘ－１）３－８＝０，求ｘ的值． 解析：由已知，得（２ｘ－１）３＝８．根据立方根的意义 可知，２ｘ－１是８的立方根．又知８的立方根是２，所以２ｘ －１＝２．解得ｘ＝ ３２． 曲目四、实际应用 例４　一块长方体红砖，体积为１７２８立方厘米， 长、宽、高的比是４∶２∶１，求它的长、宽、高各是多少． 解析：设这个长方体红砖的长是４ｘ厘米，宽是２ｘ厘 米，高是ｘ厘米． 根据题意，得４ｘ·２ｘ·ｘ＝１７２８，即８ｘ３ ＝１７２８． 解得ｘ＝６． 所以４ｘ＝２４，２ｘ＝１２． 答：这个长方体红砖的长是２４厘米，宽是１２厘米， 高是６厘米． 书 平方根、算术平方根和立方根是初中数学的重要知 识，因为它们的概念相近，表示形式相似，所以初学者很 容易混淆．为了帮助同学们正确理解和区分，解读如下： 一、概念对比 １．平方根：如果一个数的平方等于ａ，那么这个数叫 作ａ的平方根或二次方根． ２．算术平方根：正数ａ的正的平方根叫作ａ的算术 平方根． ３．立方根：如果一个数的立方等于ａ，那么这个数叫 作ａ的立方根或三次方根． 温馨提示：算术平方根从属于平方根，是平方根的 一部分，知道了一个正数的平方根也就知道了这个正数 的算术平方根，同样，知道了一个正数的算术平方根，也 就知道了这个正数的平方根． ４．开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开 平方． ５．开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方． 温馨提示：开平方与平方互为逆运算，开立方与立 方互为逆运算，因此可根据这种关系求一个数的平方根 和立方根． 二、符号对比 １．一个非负数ａ的平方根记作 ±槡ａ，如２的平方根 记作±槡２；一个非负数ａ的算术平方根记作槡ａ，如２的算 术平方根记作槡２． 温馨提示：±槡ａ是槡ａ与 －槡ａ（ａ＞０）的合写，槡ａ ≠－槡ａ，所以我们要分清 ±槡ａ，槡ａ，－槡ａ（ａ＞０）这三种 形式的区别． ２．一个数ａ的立方根记作３槡ａ，如２的立方根记作 ３ 槡２． 温馨提示：对于符号“ ｎ 槡ａ”，ｎ表示根指数，ａ表示被 开方数，在符号“±槡ａ”中，根指数ｎ＝２，可以省略不写， 而在符号“ ３ 槡ａ”中，根指数ｎ＝３，不能省略． 三、性质对比 １．平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们 互为相反数，０的平方根是０，负数没有平方根，如４９有 两个平方根，为７和 －７，它们互为相反数． ２．算术平方根的性质：一个正数ａ的算术平方根有 一个，是ａ的正的平方根，０的算术平方根是０，负数没有 算术平方根，如４９的算术平方根只有一个，是７． ３．立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立 方根是负数，０的立方根是０，如 ３槡２１６＝６， ３－槡 ２１６＝ －６，３槡０＝０． """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! -" . / ! 0 1 2 3 ( " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 书 （上接４版参考答案） 二、１１．５ｙ ６ ｘ２ ； １２．１４５°；　１３．３； １４．６５；　１５．１０； １６．２１；　１７．２０°； １８．５． 三、１９．（１）无解； （２）ｘ＝２． ２０．（１）原式 ＝ａ－２． 当ａ＝０时，原式 ＝－２． （２）原式 ＝６＋２ｘ． 当 ｘ＝（－ １２） －１ ＝ －２时，原式 ＝２． ２１．图略． ２２．设一台乙型空气 净化器的进价为ｘ元，则一 台甲型空气净化器的进价 为（ｘ＋３００）元． 根据题意，得 ６０００ ｘ ＝ ７５００ ｘ＋３００．解得ｘ＝１２００．经 检验，ｘ＝１２００是原分式 方程的解，且符合题意．所 以ｘ＋３００＝１５００． 答：一台甲型空气净 化器和一台乙型空气净化 器的进价分别为１５００元、 １２００元． ２３．（１）因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＣＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＡＥＢ ＝∠ＡＦＣ＝９０°．在△ＡＢＥ 和 △ＡＣＦ 中， ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＣ， ＡＥ＝ＡＦ， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ { ， 所 以 △ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（ＡＳＡ）． （２）因为 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ， ＡＢ＝ＡＣ．所以ＡＢ－ＡＦ＝ ＡＣ－ＡＥ，即 ＢＦ＝ＣＥ．在 △ＢＤＦ 和 △ＣＤＥ 中， ∠Ｂ＝∠Ｃ， ＢＦ＝ＣＥ， ∠ＤＦＢ＝∠ＤＥＣ { ， 所 以 △ＢＤＦ≌ △ＣＤＥ（ＡＳＡ）． 所以ＢＤ＝ＣＤ． ２４．（１） ３ｘ＋２与 ３ ｘ＋５ 是“互联分式”．理由如下： 因为 ３ ｘ＋２－ ３ ｘ＋５＝ ３（ｘ＋５）－３（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋５） ＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５）， ３ ｘ＋２× ３ ｘ＋５＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５）， 456 " 7 % 89:; 书 上期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ｄ 二、１１．２；　１２．８０°；　１３．∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＤ或∠ＡＤＣ＝∠ＥＤＣ； １４．ｙ１ ＝２，ｙ２＝－２；　１５．３５°；　１６．５；　１７．５．５；　１８．２． 三、１９．（１）９ｎｍ；　（２）－ ｍ＋１ ２ｍ ． ２０．（１）无解；　（２）ｘ＝ １３． ２１．因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＢＡＤ ＝６５°，所以∠Ｂ＝∠ＡＤＣ－∠ＢＡＤ＝２５°．因为ＣＥ是△ＡＢＣ的 角平分线，∠ＡＣＢ＝５０°，所以∠ＥＣＢ＝ １２∠ＡＣＢ＝２５°．所以 ∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＥＣＢ＝５０°． ２２． ２ｘ－２＋ ｘ＋ｍ ２－ｘ＝２两边同乘（ｘ－２），得２－ｘ－ｍ＝２ｘ －４．解得ｘ＝６－ｍ３ ．因为该分式方程有增根，所以ｘ－２＝０．解 得ｘ＝２．所以６－ｍ３ ＝２．解得ｍ＝０． ２３．（１）因为ＡＥ∥ＢＣ，所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ，∠Ｃ＝∠ＣＡＥ． 因为ＡＥ平分∠ＤＡＣ，所以∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥ．所以∠Ｂ＝∠Ｃ．所 以△ＡＢＣ是等腰三角形． （２）因为Ｆ是ＡＣ的中点，所以ＡＦ＝ＣＦ．由对顶角相等，得 ∠ＧＦＣ＝∠ＥＦＡ．在△ＣＦＧ和△ＡＦＥ中， ∠Ｃ＝∠ＦＡＥ， ＣＦ＝ＡＦ， ∠ＧＦＣ＝∠ＥＦＡ { ， 所 以△ＣＦＧ≌△ＡＦＥ（ＡＳＡ）．所以ＧＣ＝ＡＥ＝８．因为ＧＣ＝２ＢＧ， 所以ＢＧ＝４．所以ＢＣ＝ＢＧ＋ＧＣ＝１２． ２４．（１）１１５°，１１５°． （２）∠ＡＯＣ＝∠ＡＤＯ．理由如下： 因为△ＡＢＣ中，三个内角的平分线交于点 Ｏ，所以 ∠ＯＡＣ ＝ １２∠ＢＡＣ，∠ＯＣＡ＝ １ ２∠ＡＣＢ，∠ＡＢＯ ＝ １ ２∠ＡＢＣ．所以 ∠ＡＯＣ＝１８０°－（∠ＯＡＣ＋∠ＯＣＡ）＝１８０°－ １２（∠ＢＡＣ＋ ∠ＡＣＢ）＝１８０°－１２（１８０°－∠ＡＢＣ）＝９０°＋ １ ２∠ＡＢＣ．因为 ＯＤ⊥ＯＢ，所以∠ＢＯＤ＝９０°．所以∠ＡＤＯ＝∠ＢＯＤ＋∠ＤＢＯ ＝９０°＋１２∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＣ． ２５．（１）设甲厂每天能加工ｘ个新产品，则乙厂每天能加工 ２ ３ｘ个新产品． 根据题意，得 １９２０ ２ ３ｘ －１９２０ｘ ＝２０．解得ｘ＝４８．经检验，ｘ＝ ４８是原分式方程的解，且符合题意．所以 ２３ｘ＝３２． 答：甲、乙两个工厂每天各能加工４８个、３２个新产品． （２）既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作完成．理由如下： 甲单独加工完成需：１９２０÷４８＝４０（天），费用为：４０× （１２０＋２０）＝５６００（元）；乙单独加工完成需：１９２０÷３２＝ ６０（天），费用为：６０×（８０＋２０）＝６０００（元）；甲、乙合作完成需： １９２０÷（４８＋３２）＝２４（天），费用为：２４×（１２０＋８０＋２０）＝ ５２８０（元）．所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作完成． ２６．（１）∠ＤＡＧ＝∠ＤＨＫ（或∠ＤＭＯ＝∠ＤＨＫ）．证明如下： 因为ＡＫ⊥ＥＦ，所以∠ＤＫＨ＝９０°．所以∠ＨＤＫ＋∠ＤＨＫ ＝９０°．因为ＨＧ⊥ＡＢ，所以∠ＤＧＡ＝９０°．所以∠ＡＤＧ＋∠ＤＡＧ ＝９０°．由对顶角相等，得 ∠ＡＤＧ＝∠ＨＤＫ．所以 ∠ＤＨＫ＝ ∠ＤＡＧ．（∠ＤＭＯ＝∠ＤＨＫ证明略．） （２）ＭＤ＝ＥＨ＋ＦＮ．证明如下： 连接ＧＮ，图略．因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＥＣＦ＝１８０°－ ∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＣＡＤ＋∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＡＫＥ＝９０°，所以 ∠ＥＡＫ＋∠Ｅ＝９０°．所以∠ＡＤＣ＝∠Ｅ．在△ＡＣＤ和△ＦＣＥ中， ∠ＡＣＤ＝∠ＦＣＥ， ＣＤ＝ＣＥ， ∠ＡＤＣ＝∠Ｅ { ， 所以△ＡＣＤ≌ △ＦＣＥ（ＡＳＡ）．所以 ＡＤ＝ ＦＥ．因为ＭＮ∥ＡＢ，ＤＧ⊥ＡＢ，所以ＤＧ⊥ＭＮ．因为ＭＯ＝ＮＯ， 所以ＤＧ垂直平分ＭＮ．所以ＭＧ＝ＮＧ．因为∠ＡＧＤ＝９０°，ＧＭ 平分 ∠ＡＧＤ，所以 ∠ＡＧＭ ＝∠ＭＧＯ＝４５°．所以 ∠ＮＧＯ ＝ ∠ＭＧＯ ＝ ４５° ＝ ∠ＡＧＭ． 在 △ＡＭＧ 和 △ＨＮＧ 中， ∠ＭＡＧ＝∠ＮＨＧ， ∠ＡＧＭ＝∠ＨＧＮ， ＭＧ＝ＮＧ { ， 所以△ＡＭＧ≌△ＨＮＧ（ＡＡＳ）．所以ＡＭ＝ ＨＮ．所以ＡＤ－ＡＭ＝ＦＥ－ＨＮ，即ＭＤ＝ＥＨ＋ＦＮ． 上期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ （下转１，４版中缝） " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! 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ｂ＝｜ａ －ｂ｜＋１，比如，数字２和５在该新运算下的结果为４，计算 过程如下：２ ! ５＝｜２－５｜＋１＝４，则槡３!２的值为 （　　） 槡 槡Ａ．３＋３ Ｂ．２＋３ 槡Ｃ．３－１ Ｄ．３－槡３ ７．（２０２３亳州谯城区月考）若（５ｘ－３）３＝槡６４，则ｘ 的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．１ Ｃ．±１ Ｄ．－４ ８．（２０２３启东期中）已知ｋ＋１和２ｋ－２是ｍ的平方 根，则ｍ的值是 （　　） Ａ．１６ Ｂ．３或１３ Ｃ．１３ Ｄ．１６或 １６ ９ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．计算：（槡１３） ２ ＝ ． １０．实数１－槡３的绝对值是 ． １１．已知整数 ｘ满足槡１３＜ｘ＜ 槡２５，则 ｘ的值为 ． １２．（２０２３宁波镇海区模拟）已 知ｘ，ｙ为实数，且（ｘ－３）２＋２｜ｙ＋１｜＝ ０，则ｘ－ｙ的平方根为 ． １３．嘉淇做一个数学游戏，给９， ５，２添加运算符号使结果等于４，如 图１为嘉淇所给方法，如果给一种正 确的方法得２５分，则嘉淇的得分为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（２０２３汕尾城区期中，８分）把下列各数填入相 应的集合内： －７，２２７，－２２ １ ３，２．６ · ，３．０１，４．０２００２０００２…（相邻 两个２之间０的个数逐次加１），＋１０％，π２， ３ 槡１５． 无理数集合：｛ …｝； 负有理数集合：｛ …｝； 正实数集合：｛ …｝； 负实数集合：｛ …｝． １５．（８分）求下列各式的值： （１）槡１４４； （２） ３ －７槡 ３； （３）± ４９槡４； （４）－ ３ －６４槡１２５． １６．（１０分）实数ａ，ｂ在数轴上的对应点Ａ，Ｂ的位置 如图２所示，且｜ａ｜＝２，ｂ是１６的一个平方根．求式子 ｜ａ＋ｂ｜－ ａ槡 ２ － ３ （ａ－ｂ）槡 ３的值． １７．（２０２３晋江期中，１０分）已知一个正数ｍ的两个 平方根分别是２ａ－５和ａ－１，ｍ的立方根是ｂ，ｃ是无理 数槡１５的小数部分． （１）求ａ，ｂ，ｃ的值； （２）求ａ－ｂ＋（ｃ＋３）２的算术平方根． １８．（１２分）规定（ａ，ｂ）表示一对数对，给出如下定 义：ｍ＝１ 槡ａ ， 槡ｎ＝ ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）．将（ｍ，ｎ）与（ｎ，ｍ）称 为数对（ａ，ｂ）的一对“对称数对”．例如：当ａ＝４，ｂ＝１ 时，ｍ＝ １ 槡４ ＝ １２，ｎ＝槡１＝１，所以数对（４，１）的一对 “对称数对”为（ １ ２，１）与（１， １ ２）． （１）数对（９，５）的一对“对称数对”是 与 ； （２）若数对（１６，ｙ）的一对“对称数对”相同，则ｙ的 值是多少？ （３）若数对（ｘ，３）的一个“对称数对”是（槡３，１），则 ｘ的值是多少                                                                                                                                                                 ？ 书 ３．１平方根 ３．１．１平方根 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．２５的算术平方根是 （　　） 槡Ａ．±５ Ｂ．５ Ｃ．－５ Ｄ．５ ２．下列说法正确的有 （　　） ① －２是－４的一个平方根；②ａ２的平方根是ａ；③２ 是４的平方根；④４的平方根是 －２． Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ３．一个数的平方根等于它本身，则这个数是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．０和１ Ｄ．±１ ４．已知４９的算术平方根为ｘ，４是ｙ＋１的一个平方 根，则ｘ－ｙ＝ ． ５．已知（ｘ＋１）２－３＝３３，则ｘ的值为 ． ６．求下列各式的值： （１）±槡１６９；　 （２）－ ０．槡 ３６； （３） ４９槡１４４； （４） （－４）槡 ２． ７．（２０２３夏邑月考）海啸是由海底地震、火山爆发、 海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波 速高达每小时７００～８００千米，在几小时内就能横过大 洋；波长可达数百千米，可以传播几千米而能量损失很 小．海啸的行进速度可按 槡ｖ＝ ｇｄ计算，其中 ｖ（ｍ／ｓ） 表示海啸的速度，ｄ（ｍ）表示海水的深度，ｇ表示重力加 速度９．８ｍ／ｓ２．若在海洋深度２０ｍ处发生海啸，求其行 进的速度． ８．（２０２３鹤壁淇滨区月考）已知一个正数的两个平 方根是３ａ－２和５ａ＋６，求ａ的值和这个正数． ３．１．２无理数 １．下列各数：１．４１４，π４，－ ３ ５，７，其中是无理数的 是 （　　） Ａ．１．４１４ Ｂ．π４ Ｃ．－ ３ ５ Ｄ．７ ２．下列说法错误的是 （　　） Ａ．无限小数是无理数 Ｂ．无限不循环小数是无理数 槡Ｃ．３是无理数 Ｄ．圆周率π是无理数 ３．请写一个小于０的无理数： （写出一个 即可）． ４．利用计算器求下列各式的值（结果精确到 ０．０１）： （１） ０．槡 ４６２５４； （２）±槡２４０２． ３．２立方根 １．２７的立方根为 （　　） Ａ．±３ Ｂ．±９ Ｃ．３ Ｄ．－９ ２．下列结论正确的是 （　　） Ａ．－１的立方根是 ±１ Ｂ．－１９没有立方根 Ｃ．若槡ａ＝ ３ 槡ａ，则ａ＝１ Ｄ．３－槡 ８＝－ ３ 槡８ ３．计算： ３ １－２６槡 ２７＝ ． ４．某病毒的形状可看成一个球体，体积大约 ２８８０００π立方纳米，则它的直径约是 纳米（球 的体积公式Ｖ＝ ４３πＲ ３）． ５．利用计算器计算：槡４－ ３ 槡３≈ （结果精 确到０．００１）． ６．求下列各式的值： （１） ３ ８ 槡３４３； （２） ３－０．槡 １２５； （３） ３ －１０槡 ６； （４）－ ３ １８２６槡２７． ７．求下列各式中ｘ的值： （１）２ｘ３ ＝１６； （２）１５（２ｘ＋３） ３ ＝２５． ８．某金属冶炼厂将２７个大小相同的正方体钢锭在 炉火中熔化，铸成一个长方体钢锭，此长方体钢锭的 长、宽、高分别为１６０ｃｍ，８０ｃｍ和４０ｃｍ，求原来每个正 方体钢锭的棱长． ３．３实数 １．－槡１１的绝对值是 （　　） 槡 槡Ａ．－ １１ Ｂ． １１ Ｃ．１１ Ｄ．－１１ ２．下列选项中，可以表示点Ｐ是槡３的是 （　　） ３．下列说法错误的是 （　　） 槡Ａ．２是无理数 槡Ｂ．３的相反数是 －槡３ Ｃ．｜槡３－π｜＝槡３－π Ｄ．１２的倒数是２ ４．若实数ａ的相反数是－４，则 ａ的倒数的算术平 方根是 ． ５．将下列各数对应的序号填入相应的集合内： ① －槡４９，② 槡１８，③ ５ ７，④ π ５，⑤ －３．１４１，⑥１， ⑦７，⑧８０％，⑨ －｜－５｜，⑩０．１０１００１…（相邻两个１之 间０的个数逐次加１）． 整数集合：｛ …｝； 分数集合：｛ …｝； 负有理数集合：｛ …｝； 无理数集合：｛ …｝． ６．计算： （１）３槡９＋６ ３ 槡９－１０ ３ 槡９； （２） ３－槡 ５１２＋｜槡３－３｜－（－槡３） 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 所以 ３ ｘ＋２与 ３ ｘ＋５是“互联 分式”． （２）设ｘ＋２ｘ＋５的“互联 分式”是Ｎ．则ｘ＋２ｘ＋５－Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５·Ｎ，所以（ ｘ＋２ ｘ＋５＋ １）Ｎ＝ｘ＋２ｘ＋５．所以 Ｎ ＝ ｘ＋２ ２ｘ＋７，即 ｘ＋２ ｘ＋５的“互联分 式”为 ｘ＋２ ２ｘ＋７． ２５．因为 ＡＢ＝ＡＣ，所 以∠ＡＢＣ＝∠Ｃ．因为∠Ａ ＝２∠ＡＢＤ，所以∠ＢＤＣ＝ ∠Ａ＋∠ＡＢＤ＝３∠ＡＢＤ． ①当ＢＤ＝ＣＤ时，点 Ｄ与点 Ａ重合，不符合题 意； ②当ＢＤ＝ＢＣ时，∠Ｃ ＝∠ＢＤＣ＝３∠ＡＢＤ．所以 ∠Ａ＋∠ＡＢＣ ＋∠Ｃ ＝ ８∠ＡＢＤ ＝ １８０°． 解 得 ∠ＡＢＤ ＝ ２２．５°． 所 以 ∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＤ ＝２∠ＡＢＤ＝４５°； ③ 当 ＣＢ ＝ＣＤ时， ∠ＤＢＣ ＝ ∠ＢＤＣ ＝ ３∠ＡＢＤ．所以 ∠ＡＢＣ ＝ ∠Ｃ＝∠ＡＢＤ＋∠ＤＢＣ＝ ４∠ＡＢＤ．所以∠Ａ＋∠ＡＢＣ ＋∠Ｃ＝１０∠ＡＢＤ＝１８０°． 解得 ∠ＡＢＤ ＝１８°．所以 ∠ＤＢＣ＝５４°． 综上所述，∠ＤＢＣ的 度数为４５°或５４°． ２６．（１）图略． （２）因为 △ＡＢＣ是等 边三角形，所以∠Ａ＝∠Ｂ ＝６０°．因为射线ＤＡ绕点Ｄ 顺时针转动 α，得到射线 ＤＱ，所以∠ＡＤＦ＝α．因为 ∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＦ＋∠ＥＤＦ ＝∠Ｂ ＋∠ＤＥＢ，所 以 ∠ＥＤＦ＝∠Ｂ＝６０°． （３）ＦＥ＝ＦＣ．证明如 下： 在 ＡＣ上截取 ＡＧ，使 ＡＧ＝ＢＥ，连接 ＥＧ，ＤＧ，图 略．因为点Ｄ是ＡＢ的中点， 所以 ＡＤ＝ＢＤ．在 △ＡＤＧ 和 △ＢＤＥ 中， ＡＤ＝ＢＤ， ∠Ａ＝∠Ｂ， ＡＧ＝ＢＥ { ， 所以 △ＡＤＧ ≌△ＢＤＥ（ＳＡＳ）．所以 ＤＧ ＝ＤＥ．因为△ＡＢＣ是等边 三角形，所以 ∠ＡＣＢ ＝ ６０°，ＡＣ＝ＢＣ．所以 ＡＣ－ ＡＧ＝ＢＣ－ＢＥ，即 ＣＧ＝ ＣＥ．所以 △ＣＥＧ是等边三 角形．所以 ∠ＧＥＣ＝６０°， ＥＧ＝ＥＣ．因为 ∠ＥＤＦ＝ ６０°，ＤＥ＝ＤＦ，所以△ＤＥＦ 是等 边 三 角 形． 所 以 ∠ＤＥＦ＝６０°，ＤＥ＝ＦＥ．所 以 ∠ＤＥＦ ＋ ∠ＦＥＧ ＝ ∠ＧＥＣ＋∠ＦＥＧ，即∠ＤＥＧ ＝∠ＦＥＣ．在 △ＤＥＧ和 △ＦＥＣ 中， ＤＥ＝ＦＥ， ∠ＤＥＧ＝∠ＦＥＣ， ＥＧ＝ＥＣ { ， 所 以 △ＤＥＧ≌ △ＦＥＣ（ＳＡＳ）． 所以ＤＧ＝ＦＣ．所以ＦＥ＝ ＦＣ． （全文完） !"# ! 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