第14期 4.4 数据的离散程度 4.5 方差 4.6 用计算器计算平均数和方差（参考答案见16期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 一、极差 例１　（２０２３泰州海陵区一模）某校举行“请党放 心，强国有我”主题演讲比赛，５位评委给选手小明的评 分如下：９，９，８，１０，７，则这组数据的极差是 ． 解析：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的 差．根据极差的定义求解即可． 数据９，９，８，１０，７的极差是：１０－７＝３． 故填３． 点评：极差反映了一组数据变化范围的大小．注意： （１）极差的单位与原数据单位一致；（２）如果数据的平 均数、中位数和极差都完全相同，此时用极差来反映数 据的离散程度就显得不准确． 二、方差 例２　（２０２３淮安淮阴区一模）甲、乙两台机床生产 同一种零件，并且每天的产量相等，在随机抽取的６天 中，每天生产零件中的次品数如下表： 甲 ３ ０ ０ ２ ０ １ 乙 １ ０ ２ １ ０ ２ 则甲、乙两台机床中，性能较稳定的是 机 床（填“甲”或“乙”）． 解析：先计算出甲、乙机床每天生产零件中次品数 的平均数，再根据方差的计算公式分别计算出它们的方 差，然后根据方差的意义得到方差小的性能较稳定． 甲的平均数为： １ ６×（３＋０＋０＋２＋０＋１）＝１， 方差为： １ ６×［（３－１） ２＋３×（０－１）２＋（２－１）２ ＋（１－１）２］＝ ４３； 乙的平均数为： １ ６×（１＋０＋２＋１＋０＋２）＝１， 方差为： １ ６×［２×（１－１） ２＋２×（０－１）２＋２×（２ －１）２］＝ ２３． 因为 ４ ３ ＞ ２ ３，所以乙机床的性能较稳定． 故填乙． 例３　水稻科研人员为了比较甲、乙两种水稻秧苗 谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取６０株，分别量出每 株的高度，发现这两组秧苗的平均高度和中位数均相 同，甲、乙的方差分别是３．６，６．３，则下列说法正确的是 （　　） Ａ．甲秧苗出苗更整齐 Ｂ．乙秧苗出苗更整齐 Ｃ．甲、乙秧苗出苗一样整齐 Ｄ．无法确定甲、乙秧苗出苗谁更整齐 解析：根据方差的意义即可得出结论． 因为甲、乙秧苗的平均高度和中位数均相同，甲、乙 的方差分别是３．６，６．３，而３．６＜６．３， 所以甲秧苗出苗更整齐． 故选Ａ． 点评：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方 差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数 据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集 中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 书 学习了“三数”以及“三差”等统计量，我们可以借助 这些统计量结合统计图综合解决实际问题，这也是近几 年考试的热点内容之一．下面我们选取几例具体说明． 例 １　（２０２３南京玄 武区一模）某校举办“十 佳歌手”演唱比赛，五位评 委进行现场打分，将甲、 乙、丙三位选手的得分情 况整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （１）完成表格： 平均数 中位数 方差 甲 ８．８ ０．５６ 乙 ８．８ ９ 丙 ８ ０．９６ （２）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选 谁更合适？请说明理由． （３）在演唱比赛中，将所有评委给出的分数去掉一 个最高分和一个最低分，请求此时甲的方差． 解：（１）表格从左到右、从上到下依次填入９，０．９６， ８．８． （２）选甲更合适．理由如下： 因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳 定性最好，所以选甲更合适． （３）去掉一个最高分和一个最低分后， 甲的平均数为： １ ３×（８＋９＋９）＝ ２６ ３， 方差为： １ ３×［（８－ ２６ ３） ２＋２×（９－２６３） ２］＝２９． 例２　（２０２３长春绿园区二模）【问题情境】数学活 动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木 进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集甲、乙两种树的树叶 各１０片，通过测量得到这些树叶的长ｙ，宽ｘ（单位：ｃｍ） 的数据后，分别计算每片树叶自身的长宽比，整理数据 如下： 甲种树树叶的长宽比为：３．７，３．８，３．５，３．４，３．８， ４．０，３．６，４．０，３．６，４．０； 乙种树树叶的长宽比为：２．０，２．０，２．０，２．４，１．８， １．９，１．８，２．０，１．３，１．９． 【实践探究】分析数据如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲种树树叶的长宽比 ３．７４ ｍ ４．０ ０．０４２４ 乙种树树叶的长宽比 ａ １．９５ ｎ ０．０６６９ 【问题解决】 （１）ａ＝ ，ｍ＝ ，ｎ＝ ； （２）Ａ同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认 为甲种树树叶的形状差别大．”Ｂ同学说：“从树叶的长 宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现乙种树树叶 的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，相对合理 的是哪位同学？请说明理由． （３）现有一片长１１ｃｍ，宽５．６ｃｍ的树叶，请判断这 片树叶更可能来自于甲、乙两种树中的哪种树？请说明 理由． 解：（１）１．９１，３．７５，２．０． （２）相对合理的是Ｂ同学．理由如下： 因为０．０４２４＜０．０６６９，所以甲种树树叶的形状差 别小，故Ａ同学的说法不合理；因为乙种树树叶的长宽 比的平均数是１．９１，中位数是１．９５，众数是２．０，所以乙 种树树叶的长约为宽的两倍，故Ｂ同学的说法合理． （３）这片树叶更可能来自于乙种树．理由如下： 因为一片长１１ｃｍ，宽５．６ｃｍ的树叶，１１÷５．６≈ ２．０，长宽比接近２，所以这片树叶更可能来自乙种树． 书 上期２版 ４．１加权平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１；　４．１０ｍ＋２３ｎ３３ ． ５．（１）甲的平均成绩为：８０＋８７＋８２３ ＝８３（分）； 乙的平均成绩为： ８０＋９６＋７６ ３ ＝８４（分）． 因为８４＞８３，所以应该录取乙． （２）甲的综合成绩为：８０×２０％ ＋８７×２０％ ＋８２× ６０％ ＝８２．６（分）； 乙的综合成绩为：８０×２０％ ＋９６×２０％ ＋７６×６０％ ＝８０．８（分）． 因为８２．６＞８０．８，所以应该录取甲． 能力提高　６．Ｄ． ４．２中位数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｂ；　４．２．１ｓ． ５．（１）被污染处的人数数字为：５０－３－６－１１－１３ －６＝１１． 设被污染处的捐款数字为ｘ． 由题意，得 １ ５０×（１０×３＋１５×６＋３０×１１＋１１ｘ＋ ５０×１３＋６０×６）＝３８． 解得ｘ＝４０． 答：被污染处的捐款数字为４０，被污染处的人数数 字为１１． （２）该班捐款金额的中位数是４０元． ４．３众数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．８１；　４．７；　５．１４． ６．（１）４０．捐赠图书为４册的有：４０×１０％ ＝４（名）； 捐赠图书为８册的有：４０×３５％ ＝１４（名）．补图略． （２）７，８． （３）该校八年级学生本次捐赠图书为７册的学生 有：３２０×３０％ ＝９６（名）． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．２３．５；　１０．４；　１１．５；　１２．２．８；　１３．７．５； １４．１９或２０． 三、１５．（１）１６，１７． （２）这１０位居民一周内使用共享单车的平均次数 是： １ １０×（０＋７＋９＋１２＋１５＋１７×３＋２０＋２６）＝ １４（次）． １６．（１）该员工本年度平时表现的平均成绩为：１４ ×（１０６＋１０２＋１１４＋１１０）＝１０８（分）． （２）该员工本年度的综合考评成绩为：１０８×１０％ ＋ １１０×２０％ ＋１０７×７０％ ＝１０７．７（分）． １７．（１）这１０名工人该月生产零件的平均个数为： １ １０×（６００＋４８０＋２２０×３＋１８０×４＋１２０）＝２５８（个）． （２）因为共有 １０名工人，所以中位数为：（２２０＋ １８０）÷２＝２００（个），众数为１８０个． 从平均数看，当月生产目标定为２５８个时，有２名工 人达标，２名工人获奖，不利于调动工人的积极性； 从中位数看，当月生产目标定为２００个时，有５名工 人达标，５名工人获奖，不利于调动工人的积极性； 从众数看，当月生产目标定为１８０个时，有９名工人 达标，９名工人获奖，有利于调动工人的积极性． 综上所述，当月生产目标定为１８０个时，有利于调动 大多数工人的积极性． １８．（１）一班 Ｃ等级的学生有：２５－６－１２－５＝ ２（名）．补图略． （２）一班的平均数为：ａ＝ １２５×（６×１００＋１２×８５ ＋２×７５＋５×６０）＝８２．８（分）； 一班的中位数为：ｂ＝８５（分）； 二班的众数为：ｃ＝１００（分）． （３）①从平均数、众数方面来比较，二班的成绩更 好． ②一班Ｂ级以上（包括 Ｂ级）的同学有：６＋１２＝ １８（名）；二班Ｂ级以上（包括Ｂ级）的同学有：２５×（４４％ ＋４％）＝１２（名）． 因为１８＞１２，所以从Ｂ级以上（包括Ｂ级）的人数 方面来比较，一班的成绩更好． 附加题 （１）Ｃ等级的同学有５人，成绩分别为：７７，７３，７２， ７９，７８．所以３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的平均 成绩为： ７７＋７３＋７２＋７９＋７８ ５ ＝７５．８（分）． （２）由表中数据可知，３０名同学中，Ａ等级的有 １０人，Ｂ等级的有１１人，Ｃ等级的有 ５人，Ｄ等级的有 ４人．所以强化训练后该班同学平均成绩所提高的分数 为： １ ３０×（０．９×１０＋５×１１＋１０×５＋１５×４）＝ ５．８（分）． 书 一组数据发生了变化，这组数据的方差将发生什么 变化呢？下面我们就来探究将一组数据进行加、减、乘、 除运算后所得新数据组的方差． 已知一组数据 ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ，设其平均数为 ｘ，方 差为ｓ２．若将这组数据中的每个数据分别“加 ｋ”、“减 ｋ”、“乘ｋ”、“除以ｋ”（ｋ≠０），则所得新数据组及其平均 数如下： １．ｘ１＋ｋ，ｘ２＋ｋ，ｘ３＋ｋ，…，ｘｎ＋ｋ，平均数为ｘ＋ｋ； ２．ｘ１－ｋ，ｘ２－ｋ，ｘ３－ｋ，…，ｘｎ－ｋ，平均数为ｘ－ｋ； ３．ｋｘ１，ｋｘ２，ｋｘ３，…，ｋｘｎ，平均数为ｋｘ； ４． ｘ１ ｋ， ｘ２ ｋ， ｘ３ ｋ，…， ｘｎ ｋ，平均数为 ｘ ｋ． 以上四组数据的方差依次为ｓ２１，ｓ ２ ２，ｓ ２ ３，ｓ ２ ４． 由方差公式可得： ｓ２１ ＝ １ ｎ｛［（ｘ１＋ｋ）－（ｘ＋ｋ）］ ２＋［（ｘ２＋ｋ）－（ｘ＋ ｋ）］２＋… ＋［（ｘｎ＋ｋ）－（ｘ＋ｋ）］ ２｝＝１ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋ （ｘ２－ｘ） ２＋… ＋（ｘｎ－ｘ） ２］＝ｓ２； ｓ２２ ＝ １ ｎ｛［（ｘ１－ｋ）－（ｘ－ｋ）］ ２＋［（ｘ２－ｋ）－（ｘ－ ｋ）］２＋… ＋［（ｘｎ－ｋ）－（ｘ－ｋ）］ ２｝＝１ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋ （ｘ２－ｘ） ２＋… ＋（ｘｎ－ｘ） ２］＝ｓ２； ｓ２３ ＝ １ ｎ［（ｋｘ１－ｋｘ） ２＋（ｋｘ２－ｋｘ） ２＋… ＋（ｋｘｎ－ ｋｘ）２］＝ １ｎ［ｋ ２（ｘ１－ｘ） ２＋ｋ２（ｘ２－ｘ） ２＋… ＋ｋ２（ｘｎ－ ｘ）２］＝ｋ２×１ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ） ２＋… ＋（ｘｎ－ｘ） ２］ ＝ｋ２ｓ２； ｓ２４ ＝ １ ｎ［（ ｘ１ ｋ－ ｘ ｋ） ２＋（ ｘ２ ｋ－ ｘ ｋ） ２＋… ＋（ ｘｎ ｋ－ ｘ ｋ） ２］＝ １ｎ［ １ ｋ２ （ｘ１－ｘ） ２＋１ ｋ２ （ｘ２－ｘ） ２＋… ＋１ ｋ２ （ｘｎ －ｘ）２］＝ １ ｋ２ ×１ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ） ２＋… ＋（ｘｎ－ ｘ）２］＝ｓ ２ ｋ２ ． 由此可知，将一组数据 ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ中的每个数 据都加上或减去ｋ，所得新数据组的方差不变； 每个数据都乘ｋ，所得新数据组的方差变为原方差 的ｋ２倍； 每个数据都除以ｋ，所得新数据组的方差变为原方 差的 １ ｋ２ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 一、会用公式来计算 例１　（２０２３新乡二模）近年来网络诈骗频频发 生，某校为了提高学生的安全意识开展“防电信诈骗” 知识竞赛（满分为１００分），其中成绩优秀的５位学生的 成绩如下：９５，９０，１００，９０，９５，则这５位学生竞赛成绩的 方差是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１５ Ｄ．１６ 解：这５位学生竞赛成绩的平均数是：１５ ×（９５＋ ９０＋１００＋９０＋９５）＝９４（分）， 方差是： １ ５×［２×（９５－９４） ２＋２×（９０－９４）２＋ （１００－９４）２］＝１４． 故选Ｂ． 二、会用性质做选择 例２　（２０２３营口二模）Ａ，Ｂ两名射击运动员进行 了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数ｘ 和方差ｓ２的描述中，能说明Ａ成绩较好且更稳定的是 （　　） Ａ．ｘＡ ＞ｘＢ且ｓ ２ Ａ ＞ｓ ２ Ｂ Ｂ．ｘＡ ＜ｘＢ且ｓ ２ Ａ ＞ｓ ２ Ｂ Ｃ．ｘＡ ＞ｘＢ且ｓ ２ Ａ ＜ｓ ２ Ｂ Ｄ．ｘＡ ＜ｘＢ且ｓ ２ Ａ ＜ｓ ２ Ｂ 解：Ａ，Ｂ两名射击运动员进行了相同次数的射击， 当Ａ的平均数大于Ｂ的平均数，且Ａ的方差比Ｂ的方差 小时，能说明Ａ成绩较好且更稳定． 故选Ｃ． 三、会解决实际问题 例３　某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训． 现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩（单 位：分）中随机抽取８次，记录如下： 甲 ９５ ８２ ８８ ８１ ９３ ７９ ８４ ７８ 乙 ８３ ９２ ８０ ９５ ９０ ８０ ８５ ７５ （１）请你计算这两组数据的平均数、方差； （２）现要从中选派一人参加操作技能比赛，你认 为选派哪名工人参赛合适？并说明理由． 解：（１）ｘ甲 ＝ １ ８×（９５＋８２＋８８＋８１＋９３＋７９＋ ８４＋７８）＝８５（分）， ｓ２甲 ＝ １ ８×［（９５－８５） ２＋（８２－８５）２＋（８８－８５）２ ＋（８１－８５）２＋（９３－８５）２＋（７９－８５）２＋（８４－８５）２ ＋（７８－８５）２］＝３５．５； ｘ乙 ＝ １ ８×（８３＋９２＋８０＋９５＋９０＋８０＋８５＋７５） ＝８５（分）， ｓ２乙 ＝ １ ８×［（８３－８５） ２＋（９２－８５）２＋（８０－８５）２ ＋（９５－８５）２＋（９０－８５）２＋（８０－８５）２＋（８５－８５）２ ＋（７５－８５）２］＝４１． （２）选派甲参赛合适．理由如下： 因为ｘ甲 ＝ｘ乙，ｓ ２ 甲 ＜ｓ ２ 乙， 所以甲的成绩较稳定． 故选派甲参赛合适． " !" #$% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " &' ()* !"!+,-./01 23456!"#$%&'()%*+" !"#78 23456,-./%01234./-56 789" !"$9:;<:;=>+?@8 2345634:;<=>?#@%AB#C ./" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " AB C D " EF GHI ! " ! " #! !!"# " $"% !" !"#$ !"#$%&' !"#$%&'" ()*+,-'. % ! 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Ａ．甲组 Ｂ．乙组 Ｃ．丙组 Ｄ．丁组 ３．（２０２３大连甘井子区期末）已知一组数据 －２， －１，０，１，２，则这组数据的方差是 ． ４．（２０２３济南莱芜区模拟）某学习小组在“世界读 书日”这天统计了本组５名同学在上学期阅读课外书 籍的册数，数据是１８，ｘ，１５，１６，１３．若这组数据的平均 数为１６，则这组数据的方差是 ． ５．（２０２３杭州上城区期末）在５０米跑的１０次训练 中，小明成绩的平均数为８．２秒，方差为２．２，第１１次小 明的成绩为８．２秒，则小明这１１次５０米跑的成绩与前 １０次的成绩相比较，其平均数 ，方差 （填“变大”“变小”或“不变”）． ６．（２０２３嘉鱼期末）我市某中学举行“中国梦·校 园好声音”歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩（单位： 分），各选出５名选手组成初中代表队和高中代表队参 加学校决赛，两个队各选出的５名选手的决赛成绩如下 图所示． （１）完成下列表格： 平均数 中位数 众数 初中代表队 ８５ 高中代表队 ８５ １００ （２）结合两队选手决赛成绩的平均数和中位数进 行分析，哪个队的决赛成绩较好？ （３）计算两队选手决赛成绩的方差，并判断哪个队 选手的成绩较为稳定． ４．６用计算器计算平均数和方差 １．某商店５天的营业额（单位：元）如下：１４８４５， ２５７０６，１８９５７，１１６７２，１６３３０，利用计算器求得这５天 的平均营业额是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１８１１６元 Ｂ．１７８０５元 Ｃ．１７５０２元 Ｄ．１６６７８元 ２．用计算器求２７１，３１５，２８９，３００，２７７，２８６，２９５，２９７， ２８０的平均数为 ，方差为 （结果精确 到０．１）． ３．某外贸公司要出口一批规格为７５ｇ／袋的葡萄 干，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品 质也相近．检查人员从两厂的产品中各随机抽取１０袋 进行检测，记录它们的质量（单位：ｇ）如下表所示： 甲 ７６ ７４ ７５ ７４ ７６ ７４ ７７ ７３ ７６ ７５ 乙 ７５ ７３ ７９ ７２ ７６ ７５ ７３ ７５ ７８ ７４ 根据表中的数据，请通过计算器计算甲、乙两个厂 家产品质量的方差，并判断外贸公司应该选购哪个厂 家的产品？ （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） 为选派一名学 生参加全市实践活 动技能竞赛，Ａ，Ｂ两 位同学在学校实习 基地现场进行加工 直径为２０ｍｍ的零件 测试，他俩各加工的１０个零件的相关数据如图所示．根 据测试得到的有关数据，解答下列问题： 平均数 方差 完全符合要求的个数 Ａ ２０ ０．０２６ ２ Ｂ ２０ ｓ２Ｂ ５ （１）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为 的成绩好些； （２）计算出ｓ２Ｂ的大小，考虑平均数与方差，说明谁 的成绩好些？ （３）考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远 远超过１０个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？请 说明你的理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３东台开学）一组数据６，２，－１，５的极差为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．（２０２３茶陵期末）甲、乙、丙、丁四名同学进行立定 跳远测试，每人 １０次立定跳远成绩的平均数都是 ２．２５米，方差分别是ｓ２甲 ＝１，ｓ ２ 乙 ＝０．８９，ｓ ２ 丙 ＝０．６５，ｓ ２ 丁 ＝ ０．６１，则这四名同学立定跳远成绩最稳定的是 （　　） Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 ３．一般具有统计功能的计算器可以直接求出 （　　） Ａ．平均数和众数 Ｂ．方差和中位数 Ｃ．众数和方差 Ｄ．平均数和方差 ４．某同学使用计算机求３０个数据的平均数时，错将 其中的一个数据４０６输入为４６，那么由此求出的平均数 与实际平均数的差是 （　　） Ａ．－９ Ｂ．９ Ｃ．－１２ Ｄ．１２ ５．已知一组数据：６，７，７，７，８，则这组数据的方差是 （　　） Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．０．４ Ｄ．０．６ ６．（２０２３平湖期中）某班级采用小组学习制，在一 次数学单元测试中，第一组成员的测试成绩（单位：分） 分别为９６，９０，１００，８０，９６，其中得分８０的同学有一道题 目被老师误判，其实际得分应该为９０分，那么该小组的 实际成绩与之前成绩相比，下列说法正确的是 （　　） Ａ．数据的平均数不变 Ｂ．数据的众数不变 Ｃ．数据的中位数不变 Ｄ．数据的方差不变 ７．甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生竞赛成 绩（单位：分）的统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 ４５ ８３ ８６ ８２ 乙 ４５ ８３ ８４ １３５ 某同学分析上表后得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均成绩相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分 ≥８５分为优秀）； ③甲班成绩的波动性比乙班小． 其中正确的是 （　　） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③ ８．（２０２３濮阳一模）节约用水是全社会的共识，小 明统计了学校５日的用水量，并绘制了如图１所示的统 计图，对于统计图中的数据，下列说法正确的是 （　　） Ａ．平均数是６ Ｂ．众数是７ Ｃ．中位数是１１ Ｄ．方差是８ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．已知数据９．９，１０．３，９．８，１０．１，１０．４，１０，９．８，９．７， 利用计算器求得这组数据的平均数是 ． １０．某射击俱乐部的两名学员小林和小明在练习射 击，第一轮１０枪打完后，两人打靶的环数如图２所示．根 据图中的信息，小林和小明两人中成绩发挥比较稳定的 是 ． １１．（２０２３莆田秀屿区期末）帆帆计算一组数据的 方差时，使用公式ｓ２ ＝ １５［（１－ｘ） ２＋（２－ｘ）２＋（５－ ｘ）２＋（７－ｘ）２＋（９－ｘ）２］，则公式中ｘ＝ ． １２．（２０２３甘孜州期末）小明的五位同学的年龄（单 位：岁）分别为１４，１４，１５，１３，１４，经计算得出这组数据的 方差是０．５，则２０年后小明这五位同学年龄的方差为 ． １３．一组数据 －１，０，３，５，ｘ的极差为７，那么 ｘ的值 可能是 ． １４．已知一组数据共有５个整数，它们的方差是１．６， 众数、中位数和平均数都是７，最大的数是９，则最小的数 是 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（２０２３伊犁州期末，１０分）甲、乙两位选手在５次 打靶测试中命中的环数如下： 甲：８，８，７，８，９　　 乙：５，９，７，１０，９ （１）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 ８ ８ ０．４ 乙 ９ ３．２ （２）教练根据这５次成绩，选择甲参加射击比赛，教 练的理由是什么？ （３）如果乙再射击１次，命中８环，那么乙的射击成 绩的方差 （填“变大”“变小”或“不变”）． １６．（２０２３确山期末，１０分）２０２２年９月起，劳动课正 式成为中小学的一门独立课程．某班为选拔一名学生参 加学校组织的以“热爱劳动励心智，品味生活促成长” 为主题的展示活动，在班里组织了６项活动，分别是煮 饭烧菜、收纳物品、种植植物、修理家电、打扫卫生、和面 蒸馍，其中甲、乙两名学生的表现较为突出，他们在６项 活动中的成绩（单位：分）如下表所示： 甲 １２．１ １２．１ １２．０ １１．９ １１．８ １２．１ 乙 １２．２ １２．０ １１．８ １２．０ １２．３ １１．７ 根据甲、乙两名学生的成绩，该班应该选择哪位同 学参加学校的展示活动？请说明理由． １７．（１２分）某中学开展爱国主义教育竞赛活动，八 年级（１），（２）班各选出５名选手参加竞赛，两个班选出 的５名选手的竞赛成绩（满分为１００分）如图３所示． （１）请你计算出两个班的平均成绩； （２）写出两个班竞赛成绩的中位数，结合两班竞赛 成绩的平均数和中位数，你认为哪个班的竞赛成绩较 好？ （３）已知八（２）班竞赛成绩的方差是１１４，请计算八 （１）班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为稳 定． １８．（２０２３大庆龙凤区期末，１２分）设ｘ是ｘ１，ｘ２，…， ｘｎ的平均数，即ｘ＝ １ ｎ（ｘ１＋ｘ２＋… ＋ｘｎ），则方差ｓ ２ ＝ １ ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ） ２＋… ＋（ｘｎ－ｘ） ２］，它反映了 这组数据的波动性． （１）试说明：对任意实数ａ，ｘ１－ａ，ｘ２－ａ，…，ｘｎ－ａ 的方差与ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的方差相同； （２）试说明：ｓ２ ＝ １ｎ（ｘ ２ １＋ｘ ２ ２＋… ＋ｘ ２ ｎ）－ｘ ２； （３）以下是我校八年级（１）班１０位同学的身高（单 位：厘米）： １６９，１７２，１６３，１７３，１７５，１６８，１７０，１６７，１７０，１７１ 请计算这组数据的方差                                                                                                                                                                 ． !" !" ! ! !" ! #$%"& '()*+, !"-. !" #$ %& ! /01234#$%&%$"5 "#$%&'()*+, '()*+),-*,". 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