第11期 3.7 可化为一元一次方程的分式方程（参考答案见13期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 １８．（１）将等号右 边 通 分， 得 Ａ ｘ＋６ ＋ Ｂ ４－３ｘ ＝ Ａ（４－３ｘ）＋Ｂ（ｘ＋６） （ｘ＋６）（４－３ｘ） ＝ （－３Ａ＋Ｂ）ｘ＋（４Ａ＋６Ｂ） －３ｘ２－１４ｘ＋２４ ＝ １１ｘ －３ｘ２－１４ｘ＋２４ ．所 以 －３Ａ＋Ｂ＝１１， ４Ａ＋６Ｂ＝０{ ． 解 得 Ａ＝－３， Ｂ＝２{ ． （２）在已知等式中 取ｘ＝３，有Ｃ＋Ｄ＝６． 取ｘ＝１，有 －Ｃ＋Ｄ＝ ４．解 Ｃ＋Ｄ＝６， －Ｃ＋Ｄ＝４{ ，得 Ｃ＝１， Ｄ＝５{ ． 附加 题 　 因 为 ｂ－ｃ ａ ＋ ｃ－ａ ｂ ＋ ａ－ｂ ｃ ＝ ｂ２ｃ－ｂｃ２＋ａｃ２－ａ２ｃ＋ａ２ｂ－ａｂ２ ａｂｃ ＝０， 所以ｂ２ｃ－ｂｃ２＋ａｃ２ －ａ２ｃ＋ａ２ｂ－ａｂ２ ＝０． 因为ａ＋ｂ＋ｃ＝０， 所 以 ｂｃ＋ｂ－ｃ ｂ２ｃ２ ＋ ｃａ＋ｃ－ａ ｃ２ａ２ ＋ａｂ＋ａ－ｂ ａ２ｂ２ ＝ １ ａ２ｂ２ｃ２ （ａ２ｂｃ＋ａ２ｂ－ ａ２ｃ＋ａｂ２ｃ＋ｂ２ｃ－ａｂ２＋ ａｂｃ２ ＋ａｃ２ －ｂｃ２） ＝ ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ） ａ２ｂ２ｃ２ ＝０． 书 上期２版 ３．４分式的通分 基础训练　１．Ｂ；　２．３ｂ２． ３．（１）ｘ３ｙ＝ ２ｘｙ ６ｙ２ ， ３ｘ ２ｙ２ ＝９ｘ ６ｙ２ ． （２）６ｃ ａ２ｂ ＝１８ｂｃ ３ａ２ｂ２ ， ｃ ３ａｂ２ ＝ ａｃ ３ａ２ｂ２ ． ３．５分式的加法与减法 ３．５．１同分母分式的加减法 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．ｍ４． ４．（１）２；　（２）１ａ． ５．原式 ＝ａ＋ｃａ－ｂ． 当ａ＝３，ｂ＝－２，ｃ＝－１时，原式 ＝ ２５． ３．５．２异分母分式的加减法 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．１；　４．－８． ５．（１） ２ ｘ２＋２ｘ ；　（２）２；　（３） ２－２ａｂ１＋ａ＋ｂ＋ａｂ． ３．５．３分式的混合运算 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ． ３．（１）ａ－ｂａ＋ｂ；　（２）３ｘ＋９． ４．（１）原式 ＝ ａａ＋２．当ａ＝３时，原式 ＝ ３ ５． （２）原式 ＝ １ｘ＋２．当ｘ＝５时，原式 ＝ １ ７． ３．６比和比例 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．５００；　４．１２５． ５．因为ａ∶ｂ∶ｃ＝２∶３∶４， 所以设ａ＝２ｋ，ｂ＝３ｋ，ｃ＝４ｋ（ｋ≠０）． 因为ａ－２ｂ＋３ｃ＝１６， 所以２ｋ－６ｋ＋１２ｋ＝１６． 解得ｋ＝２． 所以ａ＝４，ｂ＝６，ｃ＝８． 所以２ａ＋３ｂ－２ｃ＝８＋１８－１６＝１０． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ 二、９． １ｍ＋５ｎ；　１０．６；　１１．②；　１２．１０；　１３．１５； １４． １ｘ－１． 三、１５．（１）ｃ－ａａｃ；　（２） ４ ｘ－ｙ；　（３） ｘ＋４ ３－ｘ． １６．原式 ＝ｘ＋１ｘ－１．当ｘ＝１０时，原式 ＝ １１ ９． １７．（１）ｂａ， ｂ＋ｍ ａ＋ｍ． （２）Ｂ－Ａ＝ｂ＋ｍａ＋ｍ－ ｂ ａ＝ ａｂ＋ａｍ－（ａｂ＋ｂｍ） ａ（ａ＋ｍ） ＝ ａｍ－ｂｍ ａ（ａ＋ｍ）． 因为ａ＞ｂ＞０，ｍ＞０， 所以ａｍ＞ｂｍ，ａ（ａ＋ｍ）＞０． 所以Ｂ＞Ａ． 所以加入ｍ克糖之后的糖水更甜． 书 列分式方程解决实际问题是中考的常考题，这种考 题形式多种多样，背景千变万化，下面举例说明两种常 见问题． 一、工程问题 例１　为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定 对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长 ３６００米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划 提高了２０％，按这样的进度可以比原计划提前１０天完 成任务． （１）求实际施工时，每天改造管网的长度； （２）施工进行２０天后，为了减少对交通的影响，施 工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期为４０天， 那么以后每天改造管网还要增加多少米？ 解：（１）设原计划每天改造管网ｘ米． 根据题意，得 ３６００ ｘ － ３６００ （１＋２０％）ｘ＝１０． 解得ｘ＝６０． 经检验，ｘ＝６０是原分式方程的解，且符合题意． 所以（１＋２０％）ｘ＝７２． 答：实际施工时，每天改造管网的长度是７２米． （２）设以后每天改造管网还要增加ｍ米． 根据题意，得（４０－２０）（７２＋ｍ）＝３６００－７２×２０． 解得ｍ＝３６． 答：以后每天改造管网还要增加３６米． 二、销售问题 例２　为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部 分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的 价格 少 ２３元， 且 ８４元 购 买 绳 子 的 数 量 与 ３６０元购买实心球的数量相同． （１）绳子和实心球的单价各是多少元？ （２）如果本次购买的总费用是５１０元，且购买绳子 的数量是实心球数量的３倍，那么购买绳子和实心球的 数量各是多少？ 解：（１）设绳子的单价是ｘ元． 根据题意，得 ８４ ｘ ＝ ３６０ ｘ＋２３．解得ｘ＝７． 经检验，ｘ＝７是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋２３＝３０． 答：绳子的单价是７元，实心球的单价是３０元． （２）设购买实心球的数量是ｍ个． 根据题意，得７×３ｍ＋３０ｍ＝５１０．解得ｍ＝１０． 所以３ｍ＝３０． 答：购买绳子３０条，实心球１０个． 温馨提示：列分式方程解决实际问题的一般步骤： （１）审：审清题意，弄清已知量和未知量之间的关系； （２）找：找出题目中的等量关系； （３）设：根据题意设出未知数； （４）列：列出分式方程； （５）解：解这个分式方程； （６）验：检验，既要检验所得的解是否是原分式方 程的解，又要检验解是否符合题意； （７）答：写出答案． 书 一、新定义型 例１　 定义 ａ ｂ＝ ２ａ＋１ｂ，则方程３ｘ＝４ ２的解为 （　　） Ａ．ｘ＝ １５ Ｂ．ｘ＝ ２５ Ｃ．ｘ＝ ３５ Ｄ．ｘ＝ ４５ 分析：利用题中的新 定义得到关于 ｘ的分式方 程，按照分式方程的解法 求解即可． 解：根据题中的新定 义，得３ｘ＝２×３＋１ｘ， ４２＝２×４＋１２． 因为３ｘ＝４２，所以２×３＋１ｘ＝２×４＋ １ ２． 解得ｘ＝ ２５． 经检验，ｘ＝ ２５是原分式方程的解． 故选Ｂ． 二、纠错型 例２　小明解分式方程 １ｘ＋１＝ ２ｘ ３ｘ＋３－１的过程 如下： 解：去分母，得３＝２ｘ－（３ｘ＋３）． ① 去括号，得３＝２ｘ－３ｘ＋３． ② 移项、合并同类项，得 －ｘ＝６． ③ 化系数为１，得ｘ＝－６． ④ 以上步骤中，开始出错的一步是 （　　） Ａ．①　　　Ｂ．②　　　Ｃ．③　　　Ｄ．④ 分析：按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可 得出答案． 解：去分母，得３＝２ｘ－（３ｘ＋３）． 去括号，得３＝２ｘ－３ｘ－３． 移项、合并同类项，得 －ｘ＝６． 化系数为１，得ｘ＝－６． 所以开始出错的一步是②． 故选Ｂ． 三、程序运算型 例３　按照如下图所示的流程，若输出的Ｍ＝－６， 则输入的ｍ为 （　　） Ａ．３　　　　Ｂ．１　　　　Ｃ．０　　　　Ｄ．－１ 分析：根据题中的程序，利用分类讨论的方法可以 分别求得ｍ的值，注意检验ｍ是否满足条件． 解：当ｍ２－２ｍ≥０时， ６ｍ－１＝－６． 解得ｍ＝０． 检验：当ｍ＝０时，ｍ－１≠０，ｍ２－２ｍ＝０． 当ｍ２－２ｍ＜０时，ｍ－３＝－６． 解得ｍ＝－３． 此时ｍ２－２ｍ＝１５＞０． 综上所述，输入的ｍ为０． 故选Ｃ． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !" ! !# " "# ! !$" "#!$# ! $ %$!"& $ % ! ! " # $ % # &' ()* !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 我们在解分式方程时，经常会遇到含有参数的分式 方程，现针对这类题型归纳总结如下，供同学们参考 学习． 模型一、已知分式方程的解，求参数的值 例１　ｘ＝２是分式方程 ２ｘ＋ ａ ｘ－１＝２的解，则ａ的 值为 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 解：把ｘ＝２代入 ２ｘ＋ ａ ｘ－１＝２，得１＋ａ＝２．解得 ａ＝１． 故选Ａ． 模型二、已知分式方程有增根，求参数的值 例２　若关于ｘ的方程ｍ＋１ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０有增根，则 ｍ的值为 （　　） Ａ．－５ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ 解： ｍ＋１ ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０两边乘（ｘ－２），得ｍ＋１＋２ｘ ＝０．解得ｘ＝－ｍ＋１２ ．因为方程 ｍ＋１ ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０有增 根，所以ｘ＝２．所以 －ｍ＋１２ ＝２．解得ｍ＝－５． 故选Ａ． 模型三、已知分式方程无解，求参数的值 例３　若关于ｘ的方程 ２ｘ＝ ｍ ２ｘ＋１无解，则ｍ的值 为 （　　） Ａ．０ Ｂ．４或６ Ｃ．６ Ｄ．０或４ 解： ２ ｘ ＝ ｍ ２ｘ＋１两边乘ｘ（２ｘ＋１），得４ｘ＋２＝ｍｘ． 整理，得（４－ｍ）ｘ＝－２．因为 ２ｘ＝ ｍ ２ｘ＋１无解，所以４－ ｍ＝０或ｘ＝－１２．解得ｍ＝４或ｍ＝０． 故选Ｄ． 模型四、已知分式方程有解，求参数的值 例４　（２０２３桓台二模）若关于ｘ的分式方程ｘ－２ｘ－１ ＝ ｍｘ１－ｘ有正整数解，则整数ｍ＝ ． 解： ｘ－２ ｘ－１＝ ｍｘ １－ｘ两边乘（ｘ－１），得ｘ－２＝－ｍｘ． 解得ｘ＝ ２ｍ＋１．因为方程有正整数解，所以ｍ＋１＝１， ｍ＋１＝２．解得ｍ＝０或ｍ＝１．因为ｘ≠１，所以 ２ｍ＋１ ≠１．解得ｍ≠１．所以ｍ＝０． 故填０． 书 方法一、分子化相等 如果分式方程的分子 都是常数，也可以选择利用 分式的基本性质把各分子 化为它们的最小公倍数，即 完成分子通分．由于各分式 的分子相同，要使分式左、 右两边相等，其分母也必相 等，从而得出一个一元一次 方程，解方程即可． 例 １　 方 程 １ｘ ＝ ２ ３ｘ－３的解是 （　　） Ａ．ｘ＝－２ Ｂ．ｘ＝－１ Ｃ．ｘ＝１ Ｄ．ｘ＝３ 解：由分式的基本性质，将左边分式的分子变为２， 原方程变形为 ２ ２ｘ＝ ２ ３ｘ－３．所以２ｘ＝３ｘ－３．解得ｘ＝ ３．检验：将ｘ＝３代入原分式方程，左边 ＝ １３ ＝右边． 所以这个分式方程的解是ｘ＝３．故选Ｄ． 方法二、换元 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化，这种方法叫换元法．换元的实质 是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目 的是使复杂问题简单化，变得容易处理．若分式方程中 总是有相同的式子，可把它们用一个字母代替，即应用 换元法求解方程． 例２　解方程： １ｘ－２＋２＝ １－ｘ ２－ｘ． 解：原方程变形为 １ ｘ－２＋２＝ ｘ－１ ｘ－２．设ｙ＝ｘ－２，则 ｘ－１＝ｙ＋１．原方程可化为 １ｙ＋２＝ ｙ＋１ ｙ ．化简，得０ ＝－１，显然不成立．所以原分式方程无解． 方法三、特殊套用法 例３　 解分式方程： １ｘ＋１０＋ １ （ｘ＋１）（ｘ＋２）＋ １ （ｘ＋２）（ｘ＋３）＋… ＋ １ （ｘ＋９）（ｘ＋１０）＝１０． 分析：本题可套用公式 １ （ｍ＋１）（ｍ＋２）＝ １ ｍ＋１－ １ ｍ＋２进行求解． 解：原分式方程变形为 １ ｘ＋１０＋（ １ ｘ＋１－ １ ｘ＋２）＋ （ １ ｘ＋２－ １ ｘ＋３）＋… ＋（ １ ｘ＋９－ １ ｘ＋１０）＝１０，即 １ ｘ＋１＝ １０．解得ｘ＝－９１０．经检验，ｘ＝－ ９ １０是原分式方程的解． 书 解分式方程的基本思路就是把分式方程转化为整 式方程． 其一般步骤为： （１）去分母．在分式方程的左、右两边都乘最简公 分母，把分式方程转化为整式方程． （２）解整式方程． （３）检验．把整式方程的解代入最简公分母，使最 简公分母不等于０的解就是原分式方程的解；若最简公 分母等于０，则原分式方程无解． 温馨提示：（１）去分母时，在分式方程两边都乘最 简公分母，注意不要漏乘不含分母的项．（２）解分式方 程不要忘记检验． 例１　分式方程ｘ＋１２ｘ－１＝１的解为 ． 解： ｘ＋１ ２ｘ－１＝１两边乘（２ｘ－１），得ｘ＋１＝２ｘ－１． 解得ｘ＝２． 检验：当ｘ＝２时，２ｘ－１≠０． 所以原分式方程的解为ｘ＝２． 故填ｘ＝２． 例２　解方程：ｘ＋１ｘ－１－ ４ ｘ２－１ ＝１． 解： ｘ＋１ ｘ－１－ ４ ｘ２－１ ＝１两边乘（ｘ＋１）（ｘ－１），得（ｘ ＋１）２－４＝（ｘ＋１）（ｘ－１）．解得ｘ＝１． 检验：当ｘ＝１时，（ｘ＋１）（ｘ－１）＝０，因此ｘ＝１ 不是原分式方程的解． 所以原分式方程无解． 小编献策：最简公分母有两个作用：一是为了去分 母，将分式方程化为整式方程；二是为了检验求出的未 知数的值是否使分母为０． 检验最常用的方法有两种： （１）把解得的值代入最简公分母进行检验，使最简 公分母为０的值不是原分式方程的解；否则，即为原分 式方程的解． （２）将解得的值分别代入原分式方程的左边和右 边，若左边等于右边，此解即为原分式方程的解；否则， 就不是原分式方程的解． # +, -./ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # 0 1 2 3 3 # 45 678 ! " ! " #! !!"# " $"% !! !"#$ !"#$%&' !"#$%&'" ()*+,-'. % ! 9:;<=&>?@AB "" C ()*+ '()DEFGHGIJKLMNJK <OPQ&"*'()*+,-./012)*+ ,* $* 13456789#)*+, :;2* RSTU&'()*+,-2<= >3?@A* VWX +YZ[\]^ V_` "a+Y:b^ Vcde^ +5fgh<ij +5fhklmnopqr +5fhstuvwxyzi{ ;|}~€Y ~‚ƒ„d… †‡ˆG‰ŠY‹Œƒ,-.+%&)&)/0̂ & '( „d… ) & '( Ž ) # * +, ‘’… ) & '( “ ” ) & '( • – -+./0, ‘ — 12./0, ‘˜™ *34/5, š $ *3467( ›œ žŸ (   ¡¢£ ¤ ¥ ¦§¨ Ž©ª ¤«˜ - œ ¬­£ ®¯d (°± ²°³ Žd´ µ–: ¶·  ¸ ¨ ¹º» ¼½ 80-+( ( ¾ 809:( 3 £ ;<-+( Ž ¿ =>-+, À Á ?@AB, ÂÃÄ $Å}ÆÇÆY * $ȲËÌY $€ÍÎσ&'1.%1$).$1! $Å}Ðу+5ÒÓÔÕ¢Ö×ØÙÚ .'$Œ;|}~9:;<€Í $ÛÜ݃&'&&&! $ÕÞÍß}àáƒ&'1.!1$)..$1 &'1.!1$).$')oâ^ $ßãƒäåÅ}ÕÞÍÑæçc†èéÛêë^ $ÛÜìãàáƒ...21 $Díîïìðñßòóß $Å}ôc†èÒVÕ^Akõö÷} $øùuvúDûŒƒ.+&&&&+&&&..& $øùÍüσ&'1.!13).$11 $Å}ý01,JopþÿwxyzV!"Õ#$×%&'()mn* .. Œ+,þa-wþ./012aäåÅ}ÕÞÍÑæ34 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列关于ｘ的方程中，不是分式方程的是（　　） Ａ．１ｘ ＝２ Ｂ． ２ｘ ３ ＝ ３ π Ｃ． １ｘ－１＝ ４ ｘ Ｄ． ｘ２－１ ｘ＋１＝２ ２．分式方程 １ｘ＋１＝１的解为 （　　） Ａ．ｘ＝－１ Ｂ．ｘ＝０ Ｃ．ｘ＝１ Ｄ．ｘ＝２ ３．如图１，在框中解分式方程的４个步骤中，根据等 式的基本性质的是 （　　） 解分式方程： ｘ ｘ－２－ ３－ｘ ｘ－２＝１． 解：ｘ－（３－ｘ）＝ｘ－２． ① ｘ－３＋ｘ＝ｘ－２． ② ｘ＋ｘ－ｘ＝－２＋３． ③ ｘ＝１． ④ 经检验，ｘ＝１是原分式方程的解． 图１ Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．③④ ４．使分式 ３ｘ－３和分式 １ ｘ－１相等的ｘ的值是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．３ Ｄ．－１ ５．关于ｘ的分式方程 ｍｘ＋６＝１，下列说法正确的是 （　　） Ａ．方程的解是ｘ＝ｍ－６ Ｂ．当ｍ＜６时，方程的解是负数 Ｃ．当ｍ＞６时，方程的解是正数 Ｄ．以上说法均不正确 ６．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做３５０个零件 的时间是乙做２４０个零件所用时间的 ５４倍，两人每天共 做１３０个零件．八（１）班同学根据条件提出了不同的问 题，设出相应的未知数 ｘ，并列出如下方程，数学老师批 阅后，发现一个不正确，这个不正确的方程一定是 （　　） Ａ．３５０ｘ ＝ ５ ４× ２４０ １３０－ｘ Ｂ．５× ３５０ １３０－ｘ＝４× ２４０ ｘ Ｃ．３５０５ ４ｘ ＋２４０ｘ ＝１３０　　 　　　Ｄ． ３５０ ５ｘ＋ ２４０ ４ｘ＝１３０ ７．（２０２３广西模拟）对于实数ａ，ｂ，定义一种新运算 “※”：ａ※ｂ＝ １ ａ－ｂ２ ，这里等式右边是实数运算．例如： １※３＝ １ １－３２ ＝－１８，则方程ｘ※（－２）＝ ２ ｘ－４－１的 解是 （　　） Ａ．ｘ＝７ Ｂ．ｘ＝６ Ｃ．ｘ＝５ Ｄ．ｘ＝４ ８．商家常将单价不同的 Ａ，Ｂ两种糖混合成“什锦 糖”出售，记“什锦糖”的单价为：Ａ，Ｂ两种糖的总价与 Ａ，Ｂ两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是 由相同千克数的Ａ种糖和Ｂ种糖混合而成的“什锦糖” 甲，另一种是由相同金额数的Ａ种糖和Ｂ种糖混合而成 的“什锦糖”乙．若Ｂ种糖比Ａ种糖的单价贵４０元 ／千 克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵５元 ／千克，则 Ａ种糖的单价为 （　　） Ａ．５０元 ／千克 Ｂ．６０元 ／千克 Ｃ．７０元 ／千克 Ｄ．８０元 ／千克 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．解分式方程 ２ｘ－ １ ｘ＋１＝０去分母时，方程两边同 乘的最简公分母是 ． １０．关于ｘ的分式方程 ２ｘ－ａ＝ ３ ｘ的解是ｘ＝３，则ａ 的值为 ． １１．若方程 ２１－ｘ＝ ｘ ｘ－１－３的解为ｘ＝ ５ ２，则方程 ２ １－２ｙ＝ ２ｙ ２ｙ－１－３的解为ｙ＝ ． １２．点Ａ，Ｂ在数轴上的位置 如图２所示，它们对应的数分别 为 －２， ｘｘ＋１．若点 Ａ，Ｂ到原点的距离相等，则 ｘ＝ ． １３．某校有２１０名学生参加课后延时服务，原计划平 均分成若干组，实际分组时每组人数是原计划的１．５倍， 最终组数比原计划少７组，则实际分组时每组的同学有 名． １４．若关于ｘ的分式方程 １ｘ ＝ ｘ＋２ｋ ｘ（ｘ－１）－ ６ ｘ－１有 解，则ｋ的取值范围为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１２分）解方程： （１）８ｘ ＝ １２ ｘ＋２； （２） ｘ２ｘ－３＋ ５ ３－２ｘ＝４； （３） ３ｘ＋１＋ ５ ｘ－１＝ １０ ｘ２－１ ． １６．（８分）某区有甲、乙两组志愿者分装蔬菜各 ２１０吨，乙组分装的速度是甲组分装速度的２倍，甲组所 需的时间比规定时间多１小时，乙组所需的时间比规定 时间少２小时，求规定的时间． １７．（１０分）若分式方程３＋２－ｋｘｘ－３＝ １ ３－ｘ无解，求 ｋ的值． １８．（１４分）某负责生产钥匙扣的公司收到了一笔 订单． （１）若这笔订单总量为４８万个，按原计划生产的日 产量计算，则完成这笔订单的生产时间将超过一年，扩 大生产规模后，日产量可提高到原来的３０倍，生产时间 能减少４６４天，那么扩大生产规模后每天生产多少个钥 匙扣？ （２）该公司又陆续接收到生产钥匙扣的订单，公司 决定关停旧设备，并购买甲、乙两种节省能源的新设备 共１０台进行生产，甲、乙两种设备每台的日产量分别为 ４０００个、２０００个，甲种设备每台２０００元，乙种设备每台 １５００元，要求总日产量为３６０００个，请你求出此时该公 司购买设备所需要的资金                                                                                                                                                                 ． 书 ３．７可化为一元一次方程的分式方程 ３．７．１分式方程的概念及解法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知方程：①１－９ｘ ２ ｘ２ ＝０；② ｘｘ＋ ｘ２ ２ ＝１；③ｘ＋ ２ ｘ＋２＝２＋ ２ ｘ－２；④（ｘ＋ ４ ５）（ｘ－６）＝－１，其中分式 方程有 （　　） Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个 ２．把分式方程 ３ｘ－２＝１－ １ ２－ｘ去分母后化为整式 方程为 （　　） Ａ．－３＝ｘ－２－１ Ｂ．－３＝ｘ－２＋１ Ｃ．３＝ｘ－２＋１ Ｄ．３＝ｘ－２－１ ３．若关于ｘ的方程 ａｘ－１＝２的解是ｘ＝３，则ａ的 值为 ． ４．用换元法解方程 ２ｘｘ＋２＋ ｘ＋２ ｘ ＝３时，如果设 ｘ ｘ＋２＝ｙ，那么原方程可化为关于 ｙ的整式方程是 ． ５．解方程： （１） １ｘ－３＝ ３ ２－ｘ； （２） ２ｘｘ＋２－ ｘ ｘ－１＝１； （３） ４ ｘ２＋ｘ － ３ ｘ２－ｘ ＝０； （４）（２０２３扬州邗江区月考）５ｘ－４ｘ－２＝ ４ｘ＋１０ ３ｘ－６－１． ６．若关于ｘ的方程 ２ｍｘ＋１－ ｍ＋１ ｘ２＋ｘ ＝ １ｘ有增根，求 实数ｍ的值． ３．７．２分式方程的应用 １．某农户承包的３６亩水田和３０亩旱地需要耕作． 每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多４亩．该 农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的 一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水 田ｘ亩，则可以得到的方程为 （　　） Ａ．３６ｘ－４＝２× ３０ ｘ Ｂ． ３６ ｘ＋４＝２× ３０ ｘ Ｃ．３６ｘ ＝２× ３０ ｘ－４ Ｄ． ３６ ｘ ＝２× ３０ ｘ＋４ ２．某地为了响应习总书记提出的“绿水青山就是 金山银山”的发展理念，计划在山坡上种植树木６０００ 棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划 增加了２５％，结果提前３天完成任务，列出方程６０００ｘ － ６０００ １．２５ｘ＝３，则 ６０００ ｘ 表示 （　　） Ａ．原计划每天种植树木的数量 Ｂ．志愿者加入后实际每天种植树木的数量 Ｃ．原计划完成树木种植的天数 Ｄ．志愿者加入后实际完成树木种植的天数 ３．在“脱贫攻坚”检查验收期间，甲、乙两个检查组 到某县开展检查验收工作，已知乙组单独完成比甲组 单独完成多用６天；若两个组同时进行工作４天后，再 由乙组单独完成，那么乙组一共所用的时间刚好和甲 组单独完成所用的时间相同，则乙组单独完成该县检 查验收工作所需的时间是 （　　） Ａ．１２天 Ｂ．１８天 Ｃ．２４天 Ｄ．３０天 ４．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销， 就用３２０００元购进了一批这种运动服，上市后很快脱 销，商场又用６８０００元购进第二批这种运动服，所购数 量是第一批购进数量的２倍，但每套进价多了１０元．若 这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润 率为２０％，那么每套的售价是 元（利润率 ＝ 利润 成本 ×１００％）． ５．王鹏家住成都，今年暑假，他们全家计划到贵州 旅游，第一站到遵义参观遵义会议遗址．王鹏在做旅游 攻略时发现成都火车东站距离遵义火车站５３０ｋｍ，乘 坐高铁列车从成都火车东站到遵义火车站比乘坐特快 列车少用３ｈ，高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 ２．８倍．请你帮王鹏计算一下从成都火车东站到遵义火 车站乘坐高铁列车所需的时间． ６．随着中、高考的到来，某服装店老板预测有关 “势在必得”“逢考必过”之类的短恤能畅销，委托某服 装车间加工２８０件此类服装，现分配给甲、乙两人加 工，已知乙加工的件数比甲加工件数的２倍少８０件． （１）甲加工服装 件，乙加工服装 件； （２）若乙每天比甲多加工５件，且两人所用时间相 同，求乙每天加工服装的件数． ７．某中学为让学生们扔下繁重的作业负担，置身 于丰富多彩的阅读中，计划开展以“我阅读，我快乐”为 主题的阅读分享活动，学校图书室计划选购甲、乙两种 图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 ２．５倍，用８００元单独购买甲图书比用８００元单独购买 乙图书要少２４本． （１）甲、乙两种图书每本的价格分别为多少元？ （２）如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购 买甲图书本数的２倍多８本，且用于购买甲、乙两种图 书的总经费是１０６０元，那么该图书室可以购买多少本 乙图书？ （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） 阅读下列材料： 方程 １ ｘ＋１－ １ ｘ ＝ １ ｘ－２－ １ ｘ－３的解为ｘ＝１； 方程 １ ｘ－ １ ｘ－１＝ １ ｘ－３－ １ ｘ－４的解为ｘ＝２； 方程 １ ｘ－１－ １ ｘ－２＝ １ ｘ－４－ １ ｘ－５的解为ｘ＝３； …… （１）请直接写出方程 １ｘ－４－ １ ｘ－５＝ １ ｘ－７－ １ ｘ－８ 的解为 ； （２）观察上述方程与解的特征，写出一个解为ｘ＝ －５的分式方程： ； （３）观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方 程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !" !" ! ! !" ! #$%"& '()*+, !"-. !" #$ %& /01234"#$5 !"#$%&'()*+ %"&!'&($!()* !",-%&'()*+ %"&!'&($!!(& ! ! !"#$ 6789:;<=>?@ !! - %&'( ! 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