第15期 14.1 勾股定理 14.2 勾股定理的应用（参考答案见17期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 １３期２版 １３．４尺规作图 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ． ３．能确定Ｃ城市的具体位置，图略． １３．５逆命题与逆定理 １３．５．１互逆命题与互逆定理 基础训练　１．Ｃ；　２．有两个角相等的三角形是等腰三角形． ３．（１）真； （２）（１）的逆命题“若ＢＦ＝ＡＥ＝ＣＤ，则△ＤＥＦ是等边三 角形”成立．理由如下： 因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ ＝６０°，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ．所以∠ＥＡＦ＝∠ＦＢＤ＝∠ＤＣＥ＝１２０°． 因为ＢＦ＝ＡＥ＝ＣＤ，所以ＡＢ＋ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＤ＝ＣＡ＋ＡＥ，即 ＡＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．所以△ＡＥＦ≌△ＢＦＤ≌△ＣＤＥ．所以ＥＦ＝ＦＤ ＝ＤＥ．所以△ＤＥＦ是等边三角形． １３．５．２线段垂直平分线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．１４．　４．图略． ５．设ＰＡ交ｌ于点Ｃ，连结ＢＣ，图略．因为ｌ是线段ＡＢ的垂 直平分线，所以ＣＡ＝ＣＢ．所以ＰＡ＝ＣＡ＋ＣＰ＝ＣＢ＋ＣＰ＞ＰＢ． ６．连结ＯＡ，ＯＣ，图略．因为ＯＥ，ＯＦ分别是ＡＣ，ＢＤ的垂直平 分线，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＦＯ＝９０°．在 △ＡＢＯ和 △ＣＤＯ中，因为ＡＢ＝ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，所以△ＡＢＯ≌ △ＣＤＯ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ＝７９°．因为∠ＣＤＢ＝ ３８°，所以∠ＯＤＦ＝∠ＣＤＯ－∠ＣＤＢ＝４１°．所以∠ＤＯＦ＝９０° －∠ＯＤＦ＝４９°． １３．５．３角平分线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．３６． ４．因为ＰＥ∥ＡＢ，ＰＦ∥ＡＣ，所以∠ＤＰＥ＝∠ＢＡＤ，∠ＤＰＦ ＝∠ＣＡＤ．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ．所以∠ＤＰＥ＝∠ＤＰＦ．所以点Ｄ到ＰＥ和ＰＦ的距离相等． ５．（１）过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，图略．因为∠Ｂ＝９０°，所 以ＥＢ⊥ＡＢ．因为ＡＥ平分∠ＢＡＤ，所以ＢＥ＝ＦＥ．因为Ｅ是ＢＣ 的中点，所以ＢＥ＝ＣＥ．所以ＣＥ＝ＦＥ．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＥＣ ⊥ＣＤ．所以ＤＥ平分∠ＡＤＣ． （２）因为 ＥＦ⊥ ＡＤ，所以 ∠ＡＦＥ ＝∠ＤＦＥ ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＥ和 Ｒｔ△ＡＦＥ中，因为 ＡＥ ＝ＡＥ，ＢＥ ＝ＦＥ，所以 Ｒｔ△ＡＢＥ≌ Ｒｔ△ＡＦＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以 ＡＢ＝ＡＦ．在 Ｒｔ△ＤＣＥ和 Ｒｔ△ＤＦＥ中，因为 ＤＥ ＝ＤＥ，ＣＥ ＝ＦＥ，所以 Ｒｔ△ＤＣＥ≌ Ｒｔ△ＤＦＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＤＣ＝ＤＦ．所以ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＦ＋ＤＦ＝ ＡＤ． 能力提高　６．点Ｍ． １３期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ 二、９．假；　１０．３ｃｍ；　１１．５２°；　１２．直角． 三、１３．图略． １４．因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°．因为点Ｄ 到ＡＢ，ＡＣ的距离相等，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．在 △ＡＢＤ和 △ＡＣＤ中，因为∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ，ＡＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，所 以△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＢＤ＝ＣＤ． １５．（１）因为ＤＥ垂直平分ＢＣ，所以ＢＥ＝ＣＥ．所以∠ＥＢＣ ＝∠ＥＣＢ．因为ＢＥ＝ＡＣ，所以ＣＥ＝ＡＣ．因为∠ＡＣＥ＝１２°，所 以∠Ａ＝∠ＡＥＣ＝ １２（１８０°－∠ＡＣＥ）＝８４°．因为∠ＡＥＣ＝ ∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ，所以∠ＥＢＣ＝４２°．因为ＢＦ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＥＢＦ＝ １２∠ＡＢＣ＝２１°． （２）该命题是假命题．理由如下： 由（１）得∠ＢＥＤ＝∠ＣＥＤ＝ １２（１８０°－∠ＡＥＣ）＝４８°， ∠ＥＦＧ＝∠ＡＥＣ－∠ＥＢＦ＝６３°．所以 ∠ＥＧＦ＝∠ＥＢＧ＋ ∠ＢＥＧ＝６９°．所以△ＥＦＧ不是等腰三角形． １６．（１）连结ＢＤ，ＣＤ，图略．因为Ｄ在ＢＣ的垂直平分线上， 所以ＢＤ＝ＣＤ．因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＥＤ＝∠Ｆ＝９０°，ＤＥ＝ＤＦ．在Ｒｔ△ＢＤＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因 为ＢＤ＝ＣＤ，ＤＥ＝ＤＦ，所以Ｒｔ△ＢＤＥ≌Ｒｔ△ＣＤＦ（Ｈ．Ｌ．）．所 以ＢＥ＝ＣＦ． （２）在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＡＤＦ中，因为ＡＤ＝ＡＤ，ＤＥ＝ＤＦ， 所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌ Ｒｔ△ＡＤＦ（Ｈ．Ｌ．）．所以 ＡＥ＝ＡＦ＝６．因为 △ＡＢＣ的周长为２０，所以ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＥ＋ＢＥ＋ＢＣ＋ＡＣ ＝ＡＥ＋ＣＦ＋ＢＣ＋ＡＣ＝ＡＥ＋ＡＦ＋ＢＣ＝２０．所以ＢＣ＝８． 附加题　１．因为ＤＥ是△ＡＢＤ的高，所以∠ＡＥＤ＝９０°．因 为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，所以ＤＥ＝ＤＣ．在Ｒｔ△ＡＤＥ和 Ｒｔ△ＡＤＣ中，因为 ＡＤ ＝ＡＤ，ＤＥ ＝ＤＣ，所以 Ｒｔ△ＡＤＥ≌ Ｒｔ△ＡＤＣ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＡＥ＝ＡＣ．所以ＡＤ垂直平分ＥＣ． ２．连结ＡＡ′交ＢＣ于点Ｄ，延长Ａ′Ａ交Ｂ′Ｃ′于点Ｅ，图略．因 为点Ａ关于ＢＣ边的对称点是Ａ′，所以ＤＡ′＝ＤＡ，ＡＡ′⊥ＢＣ．根 据题意，得ＢＡ＝Ｂ′Ａ，ＡＣ＝ＡＣ′．在△ＡＢＣ和△ＡＢ′Ｃ′中，因为 ＢＡ＝ Ｂ′Ａ，∠ＢＡＣ ＝ ∠Ｂ′ＡＣ′，ＡＣ ＝ ＡＣ′，所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＢ′Ｃ′（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，∠Ｂ＝∠Ｃ′Ｂ′Ａ．所以ＣＢ∥ Ｂ′Ｃ′．因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以ＡＥ⊥Ｂ′Ｃ′．所以 １２ＢＣ·ＡＤ＝ １ ２Ｂ′Ｃ′ ·ＡＥ．所以ＡＤ＝ＡＥ．所以Ａ′Ｅ＝３ＡＤ．所以Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′＝ １ ２Ｂ′Ｃ′· Ａ′Ｅ＝３×（１２ＡＤ·ＢＣ）＝３Ｓ△ＡＢＣ ＝３． 书 如果一个三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２， 那么这个三角形是直角三角形．根据这个条件，我们可以 判别直角三角形．判别直角三角形的基本思路是：①确定 最长边ｃ；②分别计算ｃ２和ａ２＋ｂ２的值；③若ａ２＋ｂ２＝ ｃ２，则△ＡＢＣ是直角三角形；若ａ２＋ｂ２≠ｃ２，则△ＡＢＣ不 是直角三角形． 方法一、已知具体线段长度判别直角三角形 例１　小华想用老师提供的三条线段首尾相连围 成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２，３，４ Ｂ．３，４，５ Ｃ．４，５，６ Ｄ．５，６，７ 分析：要判断所给的一组线段能否组成直角三角 形，只要看两条较短线段长的平方和是否等于最长线段 的平方即可． 解：Ａ．２２＋３２≠４２，不能构成直角三角形，故不符合 题意；Ｂ．３２＋４２＝５２，能构成直角三角形，故符合题意；Ｃ． ４２＋５２≠６２，不能构成直角三角形，故不符合题意；Ｄ．５２＋ ６２≠７２，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选Ｂ． 方法二、已知三角形的对应比判别直角三角形 例２　满足下列条件的三角形中，不是直角三角形 的是 （　　） Ａ．三内角的度数之比为１∶２∶３ Ｂ．三边长的平方之比为１∶２∶３ Ｃ．三边长之比为９∶４０∶４１ Ｄ．三内角的度数之比为３∶４∶５ 分析：根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理 判别三角形是否为直角三角形． 解：Ａ．根据三角形内角和公式可求得各角分别为 ３０°，６０°，９０°，所以此三角形是直角三角形；Ｂ．设三边长 的平方分别为ｘ，２ｘ，３ｘ（ｘ≠０），因为ｘ＋２ｘ＝３ｘ，符合勾 股定理的逆定理，所以此三角形是直角三角形；Ｃ．设三 边长分别为９ｘ，４０ｘ，４１ｘ（ｘ≠０），因为（９ｘ）２＋（４０ｘ）２＝ （４１ｘ）２，符合勾股定理的逆定理，所以此三角形是直角 三角形；Ｄ．根据三角形内角和公式可求得各角分别为 ４５°，６０°，７５°，所以此三角形不是直角三角形．故选Ｄ． 方法三、已知三角形三边长满足的关系式判别直角 三角形 例３　若三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足｜ｃ２－ａ２－ｂ２｜＋ （ａ－ｂ）２ ＝０，则此三角形的形状是 ． 分析：根据绝对值和平方的非负性以及勾股定理的 逆定理即可解答． 解：因为｜ｃ２－ａ２－ｂ２｜＋（ａ－ｂ）２＝０，所以ｃ２－ａ２ －ｂ２ ＝０，ａ－ｂ＝０．所以ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２，ａ＝ｂ．所以此三 角形是等腰直角三角形．故填等腰直角三角形． 四、已知网格信息判别直角三角形 例４　如图，在４×４的正方 形网格中，每个小正方形的边长 均为１，点Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，则 ∠ＢＡＣ＝ °． 分析：先利用勾股定理分别 求出ＡＣ２，ＡＢ２，ＢＣ２的值，再利用 勾股定理的逆定理即可解答． 解：根据勾股定理，得ＡＣ２＝１２＋２２＝５，ＡＢ２＝２２＋ ４２ ＝２０，ＢＣ２ ＝３２＋４２ ＝２５．所以ＡＣ２＋ＡＢ２ ＝ＢＣ２．所 以△ＡＢＣ是直角三角形，且∠ＢＡＣ＝９０°．故填９０． 书 在实际问题中，有一些题目并不具备可利用勾股定 理的模型，要想顺利地解答题目，首先需根据实际问题 构造直角三角形，现举例分析如下，供同学们参考． 例１　《九章算术》是中国传统 数学的重要著作之一，奠定了中国传 统数学的基本框架．如图１是其中记 载的一道“折竹”问题：“今有竹高一 丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几 何？”题意是：一根竹子原高１丈（１丈 ＝１０尺），中部有 一处折断，竹梢触地面处离竹根３尺，试问折断处离地 面多高？答：折断处离地面 尺高． 分析：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是 根据实际问题抽象出数学图形．竹子折断后刚好构造出 一个直角三角形，利用勾股定理即可求解． 解：设折断处离地面ｘ尺高． 根据题意，得ｘ２＋３２ ＝（１０－ｘ）２． 解得ｘ＝４．５５． 故填４．５５． 例２　如图２是高空秋千 的示意图，小明从起始位置点Ａ 处绕着点Ｏ经过最低点Ｂ，最终 荡到最高点 Ｃ处．若 ∠ＡＯＣ＝ ９０°，点Ａ与点Ｂ的高度差ＡＤ＝ １米，水平距离ＢＤ＝４米，则点Ｃ与点Ｂ的高度差ＣＥ为 米． 分析：如图２，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＯ于点Ｆ，过点Ｃ作 ＣＧ⊥ＢＯ于点Ｇ．根据“Ａ．Ａ．Ｓ．”可证△ＡＯＦ≌△ＯＣＧ， 再根据全等三角形的性质可得 ＯＧ＝４米．在 Ｒｔ△ＡＦＯ 中，根据勾股定理可求 ＡＯ和 ＢＯ，最后根据线段的数量 关系即可求出点Ｃ与点Ｂ的高度差ＣＥ． 解：如图２，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＯ于点Ｆ，过点Ｃ作ＣＧ ⊥ＢＯ于点Ｇ． 所以∠ＡＦＯ＝∠ＯＧＣ＝９０°． 因为 ∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＦ＋∠ＣＯＧ＝９０°，∠ＡＯＦ＋ ∠ＯＡＦ＝９０°， 所以∠ＣＯＧ＝∠ＯＡＦ． 在 △ＡＯＦ和 △ＯＣＧ中，因为 ∠ＡＦＯ ＝∠ＯＧＣ， ∠ＯＡＦ＝∠ＣＯＧ，ＡＯ＝ＯＣ， 所以△ＡＯＦ≌△ＯＣＧ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＯＧ＝ＡＦ＝ＢＤ＝４米． 设ＡＯ＝ｘ米，则ＯＦ＝（ｘ－１）米． 在Ｒｔ△ＡＦＯ中，由勾股定理，得ＡＦ２＋ＯＦ２ ＝ＡＯ２， 即４２＋（ｘ－１）２ ＝ｘ２． 解得ｘ＝８．５． 所以ＣＥ＝ＧＢ＝ＯＢ－ＯＧ＝４．５米． 故填４．５． ! !" #$% ! " # $ % & ' ( ! ! ! " 书 勾股定理的验证方法有数百种，有的方法十分精 彩，有的方法十分简洁，下面就让我们一起领略三种验 证方法的风采吧！ 一、“赵爽弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图 １ 验证了勾股定理，这个图形被称为“弦 图”．在边长为ｃ的正方形中有四个斜边 长为ｃ的全等直角三角形，已知它们的直 角边长分别为ａ，ｂ．请利用这个图形验证 勾股定理． 验证：大正方形中的小正方形的边长为ａ－ｂ． 所以Ｓ大正方形 ＝ １ ２ａｂ×４＋（ａ－ｂ） ２． 同时也有Ｓ大正方形 ＝ｃ ２． 所以 １ ２ａｂ×４＋（ａ－ｂ） ２ ＝ｃ２． 整理，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 二、火柴盒推倒验证法 一个直立的火柴盒在桌面倒 下，启迪人们发现了勾股定理的一 种新的验证方法．如图２，火柴盒的 一个侧面 ＡＢＣＤ倒下到 ＡＢ′Ｃ′Ｄ′的 位置，连结ＡＣ，ＡＣ′，ＣＣ′．设ＡＢ＝ａ， ＢＣ＝ｂ，ＡＣ＝ｃ，请利用四边形ＢＣＣ′Ｄ′的面积验证勾股 定理． 验证：因为四边形ＢＣＣ′Ｄ′为直角梯形， 所以Ｓ梯形ＢＣＣ′Ｄ′＝ １ ２（ＢＣ＋Ｃ′Ｄ′）·ＢＤ′＝ （ａ＋ｂ）２ ２ ． 因为 Ｒｔ△ＡＢＣ≌ Ｒｔ△ＡＢ′Ｃ′，所 以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠Ｂ′ＡＣ′． 所以 ∠ＣＡＣ′＝∠ＣＡＢ′＋∠Ｂ′ＡＣ′＝∠ＣＡＢ′＋ ∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＝９０°． 所以Ｓ梯形ＢＣＣ′Ｄ′＝Ｓ△ＡＢＣ ＋Ｓ△ＣＡＣ′＋Ｓ△Ｄ′ＡＣ′＝ １ ２ａｂ＋ １ ２ｃ ２＋１２ａｂ＝ ｃ２＋２ａｂ ２ ． 所以 （ａ＋ｂ）２ ２ ＝ ｃ２＋２ａｂ ２ ． 整理，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 三、等面积验证法 如 图 ３， 已 知 Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ Ｓ正方形ＭＮＯＰ，Ｉ表示边长分别为ａ，ｂ，ｃ的 直角三角形．请利用这个图形来验证 勾股定理． 验证：因为Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝Ｓ正方形ＭＮＯＰ， 而Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ｃ ２＋４×１２ａｂ，Ｓ正方形ＭＮＯＰ ＝ａ ２＋ｂ２＋４× １ ２ａｂ，所以ｃ ２＋４×１２ａｂ＝ａ ２＋ｂ２＋４×１２ａｂ． 整理，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． ! &' ( ) ) * ! " + , - " & "! -! &! ! ! + * ) % - " & ! ( . / $ 0 0 0 0 0 0 ) * + 1 ! # 0 书 在学习了勾股定理后，我们经常会遇到求最短路径 的问题，现针对该类问题选取三例分析如下，供同学们 参考． 一、圆柱体中的最短路径 例１　如图１，圆柱体玻璃容器高１２ｃｍ，底面周长 为２４ｃｍ，在容器外侧距下底１ｃｍ的点Ａ处有一只蚂蚁， 在蚂蚁正对面外侧距容器上底２ｃｍ的点Ｂ处有一滴蜂 蜜，则蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ｃｍ． 分析：根据题意画出圆柱体的侧面展开图，确定 Ａ， Ｂ的位置，利用勾股定理即可求解． 解：如图２，将圆柱体玻璃杯的侧面展开，ＥＣ为底面 周长的一半，过点Ａ作ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，此时ＡＢ的长度 即为蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离．由题意，得ＡＦ＝ ＥＣ＝１２ｃｍ，ＣＦ＝ＡＥ＝１ｃｍ，ＢＤ＝２ｃｍ，ＣＤ＝１２ｃｍ． 所以ＢＦ＝ＣＤ－ＢＤ－ＣＦ＝９ｃｍ．在Ｒｔ△ＡＢＦ中，由勾 股定理，得ＡＢ＝ ＡＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝ １２２＋９槡 ２ ＝１５（ｃｍ）． 故填１５． 二、正方体中的最短路径 例２　如图３是一个棱长为１的正方体纸盒．若一只 蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点Ａ爬到顶点Ｂ去 觅食，则需要爬行的最短路程的平方是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．９ 分析：把Ａ，Ｂ置于同一个平面内，用勾股定理即可 解答． 解：如图４，将正方体的侧面展开，线段ＡＢ的长即为 蚂蚁需要爬行的最短路程．由题意，得ＢＣ＝１，ＡＣ＝２． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＢ２＝ＢＣ２＋ＡＣ２＝１２＋ ２２ ＝５．所以需要爬行的最短路程的平方是５． 故选Ｃ． 三、长方体中的最短路径 例３　如图５，已知长方体的 三条棱 ＡＢ，ＢＣ，ＢＤ的长分别为４， ５，２，蚂蚁从点 Ａ出发沿长方体的 表面爬行到点 Ｍ的最短路程的平 方是 ． 分析：要求长方体表面两点之间的最短路径，最直 接的做法就是将长方体展开，然后利用“两点之间，线 段最短”解答，注意将长方体展开后蚂蚁的爬行路线 有３种，分别求出，选取最短的路程即可． 解：①如图６，将长方体展开，前面与上面所在的平 面形成长方形ＡＢＭＮ．由题意，得ＡＢ＝４，ＢＤ＝２，ＤＭ＝ ＢＣ＝５．所以ＢＭ＝ＢＤ＋ＤＭ＝７．在Ｒｔ△ＡＢＭ中，由勾 股定理，得ＡＭ２ ＝ＡＢ２＋ＢＭ２ ＝４２＋７２ ＝６５； ②如图７，将长方体展开，前面与右面所在的平面形 成长方形ＡＣＭＥ．由题意，得ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ＣＭ ＝ＢＤ ＝２．所以ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝９．在Ｒｔ△ＡＣＭ中，由勾股定 理，得ＡＭ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２ ＝９２＋２２ ＝８５； ③如图８，将长方体展开，右面与 下面所在的平面形成长方形 ＡＦＭＤ． 由题意，得ＡＦ＝ＢＣ＝５，ＣＦ＝ＡＢ＝ ４，ＣＭ＝ＢＤ＝２．所以ＭＦ＝ＣＭ＋ＣＦ ＝６．在Ｒｔ△ＡＦＭ中，由勾股定理，得 ＡＭ２ ＝ＡＦ２＋ＭＦ２ ＝５２＋６２ ＝６１． 因为６１＜６５＜８５，所以蚂蚁从点Ａ出发沿长方体 的表面爬行到点Ｍ的最短路程的平方是６１． 故填６１． ! *+ ,-. - , ! " - , " ! $ , - ! # ! % - , . ! & / ! $ & / ! & , $ - " ! & ! ' - , ! " & ( ! ! / " ! & ( , $ & - ! ( ! & - , ! & " ( . / , - " ! /0 123 书 上期检测卷 一、１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ａ； ４．Ａ；　５．Ｄ；　６．Ａ； ７．Ｄ；　８．Ｄ；　９．Ｃ； １０．Ｄ；　１１．Ｂ；　１２．Ａ． 二、１３．４；　１４．６０°； １５．３０海里； １６．３０． 三、１７．因为 ＡＢ＝ＡＣ ＝ＢＤ＝ＣＤ，所以 ∠ＡＢＣ ＝∠Ｃ，ＡＤ⊥ ＢＣ．因为 ∠ＡＢＤ ＝ １３０°， 所 以 ∠ＡＢＣ ＝ １２∠ＡＢＤ ＝ ６５°．所以∠Ｃ＝６５°． １８．根 据 题 意，得 ∠ＯＡＢ＝∠Ｃ ＝９０°．在 △ＡＯＢ和 △ＣＯＤ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ，∠ＯＡＢ＝∠Ｃ， ＡＯ＝ＣＯ，所以 △ＡＯＢ≌ △ＣＯＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所 以 ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ．所以 Ｄ， Ｏ，Ｂ三点共线，即钻头正好 从点Ｂ处打出． １９．因为 ＡＤ⊥ ＢＣ，所 以 ∠ＡＤＣ ＝９０°．所以 ∠ＤＡＣ＋∠Ｃ＝９０°．因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＡＥＦ＝ ∠ＢＥＣ＝９０°．所以∠ＥＢＣ ＋∠Ｃ＝９０°．所以 ∠ＤＡＣ ＝∠ＥＢＣ．在 △ＡＥＦ和 △ＢＥＣ中，因为 ∠ＥＡＦ＝ ∠ＥＢＣ，ＡＥ ＝ ＢＥ，∠ＡＥＦ ＝∠ＢＥＣ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＢＥＣ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以 ＥＦ ＝ＥＣ． ２０．（１）过点Ｐ分别作 ＰＣ⊥ＯＡ于点Ｃ，ＰＤ⊥ＭＮ 于点 Ｄ，ＰＥ⊥ ＯＢ于点 Ｅ， 图 略． 因 为 ＭＰ 平 分 ∠ＡＭＮ，所以ＰＣ＝ＰＤ．因 为 ＮＰ平分 ∠ＭＮＢ，所以 ＰＤ＝ＰＥ．所以 ＰＣ＝ＰＥ． 所以ＯＰ平分∠ＡＯＢ． （２）因为△ＰＭＮ的面 积是 １６，ＭＮ ＝８，所以 １ ２ＭＮ·ＰＤ＝ １ ２×８·ＰＤ ＝１６．所以 ＰＤ＝４．所以 ＰＣ＝ＰＥ＝４．因为△ＯＭＮ （下转２，３版中缝） !"# !)!$$")%*& !"#$ !"#$%&'() ' " !" (' !!"#) % ! *+,- 456789":;<=>? !" @ !"#$%&'" ()*+,-'. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "$+" ABCD 7EFGH"+!"#$%&'()*+,-. /#0%&1234'56+ !+-./70%&'8%&9%:;<;=+ #+>1?@A,-/?@A@B34'56+ IJKLMCD7$%&EF8%&'GH+ "$+! ABCDNOP 7EFGM I./7$%&EF8%&12 JKLM56+ IJKLMN*OPQ=RSTUVIWXY ZIW+ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! * +, QR% - * +, STU - ( . /, #V% - * +, W X - * +, Y Z ./012, # [ 34015, #\] .6718, ^ _ .679:, `ab Tcd e f ghi j k lmn Sop jq\ ( a rsi tuR e2v w2x SRy zZ5 {|f } n ~€ T‚ ;5./, T ƒ ;5<=, ( „ >?./, S…† @A./, S‡‡ BCDE, ˆ'‰ Š0:‹;7Œ Š0:;Ž‘’“”• Š0:;–—˜™š›œŒž 6DŸ ¡¢£¤  ¥MQR% $¦§¨©ª£¤«¬M,-"$.)')'/­0® ¯°±¬M!".!)% "²Ÿ³´³¤ + "µw¸£¤ "¡¢¹º»M)#&".&!'"!&% "²Ÿ¼½MŠ0¾¿ÀÁhÂÃÄÅÆ "#! ¬6DŸ 4567¡¢¹ "¯Ç¡ÈM)#)))% "ÁɹʟËÌM)#&"!&!'""!& )#&"!&!'"!#'­’Í® "ÊÎMÏвŸÁɹ½ÑÒÓ$ÔÕ¯Ö­×® "¯ÇÊÎËÌM"""(& "ØÙÚÛÊÜÝÊÞßÊ "²ŸàÓ$Ô¾­Á®>Žáâ㟠"!䘙åØæ¬M"$))))$)))"") "!乺»M)#&"!&!'"!&& "²Ÿçè+"钓ê뚛œ­ìíÁîïÃðñòóô‘õ "" ¬®öê÷øšêùúûüý÷ÏвŸÁɹ½Ñþÿ 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，直角三角形的三边上分别有一个正方形， 其中两个正方形的面积分别是２５和１６９，则字母Ｂ所代 表的正方形的面积是 （　　） Ａ．１４４ Ｂ．１９４ Ｃ．１２ Ｄ．１３ ２．在一个直角三角形中，如果斜边长是２６，一条直 角边长是１０，那么另一条直角边长是 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．２０ Ｄ．２４ ３．如图２，Ｏ为原点，点Ａ在数轴上表示的数为５，过 点Ａ作直线ｌ⊥ＯＡ，点Ｂ在直线ｌ上，ＡＢ＝２，以点Ｏ为 圆心，ＯＢ长为半径画弧，与ＯＡ的延长线交于点Ｃ，则点 Ｃ表示的数的平方是 （　　） Ａ．７ Ｂ．２１ Ｃ．２９ Ｄ．３１ ４．如图３，长为８．５ｍ的竹竿靠在墙上，竹竿的底端 离墙脚线的距离为４ｍ，则竹竿顶端的高度ｈ是（　　） Ａ．４．５ｍ Ｂ．７．５ｍ Ｃ．５．５ｍ Ｄ．６．５ｍ ５．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） Ａ．２，３，５ Ｂ．５，８，１０ Ｃ．２，６，９ Ｄ．３２，２， ５ ２ ６．若直角三角形的两边长分别为 ａ，ｂ，且满足（ａ－ ７）２＋｜ｂ－５｜＝０，则该直角三角形的第三边长的平方为 （　　） Ａ．７４ Ｂ．２４ Ｃ．７４或２５ Ｄ．７４或２４ ７．如图４是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图， 它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ＡＣ＝１２，ＢＣ ＝７，将四个直角三角形中边长为１２的直角边分别向外 延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的 外围周长是 （　　） Ａ．１４８ Ｂ．１００ Ｃ．１９６ Ｄ．１４４ ８．如图 ５，正方形 ＡＢＣＤ的边长为２，面积标 记为Ｓ１；以 ＣＤ为斜边作 等腰直角三角形，以该等 腰直角三角形的一条直 角边为边向外作正方形， 其面积标记为 Ｓ２；…，按 照此规律继续下去，则Ｓ２３的值为 （　　） Ａ．１ ２２０ Ｂ．１ ２２１ Ｃ．１ ２２２ Ｄ．１ ２２３ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”． 用反证法证明：“已知在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，求证：∠Ｂ ＜９０°．”时，第一步应假设 ． １０．写一组勾股数： ． １１．如图６，在高为３ｍ，斜坡长为５ｍ的楼梯台阶上 铺地毯，则地毯的长度至少要 ｍ． １２．如图７，一个无盖的圆柱体盒子的高为８ｃｍ，底 面圆的周长为２４ｃｍ，点Ａ距离下底面３ｃｍ．一只位于圆 柱体盒子外表面点 Ａ处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧 中点Ｂ处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为 ｃｍ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）计算图８中四边形ＡＢＣＤ的面积． １４．（１２分）如图９，甲、乙两船同时从 Ａ港出发，甲 船沿北偏东３５°的方向航行，航速是１２海里／时，乙船沿 南偏东５５°的方向航行，２小时后，两船同时到达目的地 Ｂ，Ｃ岛．若Ｂ，Ｃ两岛的距离为３０海里，问乙船的航速是 多少？ １５．（１４分）如图１０，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ ＝６，点Ｍ为ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点Ｎ． （１）求△ＡＢＣ的面积； （２）求ＭＮ的长． １６．（１６分）如图１１，在△ＡＢＣ中，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ 于点Ｄ，点Ｅ在线段ＢＤ上，且ＡＥ＝ＢＥ．已知ＢＤ＝１６， ＡＤ＝１２，ＡＣ＝１５． （１）求线段ＤＥ的长； （２）试说明：∠ＢＡＣ＝９０°． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（１０分）如图１是放在地面上的一个长方体盒子， 其中ＡＢ＝１８ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，ＢＦ＝１０ｃｍ，点Ｍ在棱ＡＢ 上，且ＡＭ＝６ｃｍ，点Ｎ是ＦＧ的中点，一只蚂蚁要沿着长 方体盒子的表面（不考虑底面）从点Ｍ爬行到点Ｎ，它需 要爬行的最短路程是多少？ ２．（１０分）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多 样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵 感，给出了如图２所示的拼图，两个全等的直角三角板 ＡＢＣ和直角三角板ＤＥＦ，顶点Ｆ在ＢＣ边上，顶点Ｃ，Ｄ重 合，连结ＡＥ，ＢＥ．设ＡＢ，ＤＥ交于点Ｇ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ＝ ９０°，ＢＣ＝ＥＦ＝ａ，ＡＣ＝ＤＦ＝ｂ（ａ＞ｂ），ＡＢ＝ＤＥ＝ｃ． （１）填空：∠ＡＧＥ＝ °； （２）请用两种方法计算四边形 ＡＣＢＥ的面积，并以 此为基础验证勾股定理                                                                                                                                                                 ． 书 １４．１勾股定理 １４．１．１直角三角形三边的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知直角三角形的两条直角边长分别是６，８，则 该直角三角形的斜边长是 （　　） Ａ．１０ Ｂ．９ Ｃ．８ Ｄ．７ ２．如图１，∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ＝１，ＯＡ ＝２，则ＯＣ２ ＝ （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ３．如图２，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｄ是ＢＣ上的 点．若ＢＤ＝２，ＤＣ＝３，则ＡＢ２－ＡＤ２的值为 ． ４．如图３是一株美丽的勾股树， 其中所有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形．若正 方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的边长分别是４，５，２， ４，则最大正方形 Ｅ的面积是 ． ５．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１３，ＡＣ＝１５，ＢＣ边上 的高ＡＤ＝１２，求ＢＣ的长． ６．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定 理，是我国古代数学的骄傲．如图５所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一 个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ａ，较短直 角边长为ｂ．若ａｂ＝８，大正方形的面积为２５，求小正方 形的边长． ７．如图 ６，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，点 Ｄ，Ｅ分别是 ＢＣ，ＡＣ的中点，连结 ＡＤ，ＢＥ． 若ＢＥ＝４，ＡＤ＝７，则ＡＢ２的值 是 （　　） Ａ．１００ Ｂ．７５ Ｃ．５２ Ｄ．６０ １４．１．２直角三角形的判定 １．下面四组数，其中是勾股数的是 （　　） Ａ．７，２４，２５ Ｂ．０．３，０．４，０．５ Ｃ．３２，４２，５２ Ｄ．６，７，８ ２．有五根小木棒，其长度（单位：ｃｍ）分别为８，９， １２，１５，１７，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的 是 （　　） ３．一个三角形的三边长分别为１５，２０，２５，则这个 三角形最长边上的高线为 ． ４．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，如果ａ，ｂ 满足（ａ＋５）（ａ－５）－ｂ２ ＝０，那么 △ＡＢＣ的形状是 ． ５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝１５，Ｄ是ＡＣ上 一点，且ＣＤ＝９，ＢＤ＝１２． （１）试说明：△ＢＣＤ是直角三角形； （２）求ＡＢ的长． １４．１．３反证法 １．用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列 假设正确的是 （　　） Ａ．假设三角形中至少有两个钝角 Ｂ．假设三角形中最多有两个钝角 Ｃ．假设三角形中最少有一个钝角 Ｄ．假设三角形中没有钝角 ２．完成下面的证明： 如图１，已知∠１和∠２是直线ｌ１ 和直线ｌ２被直线 ｌ３截得的内错角．若 ｌ１和ｌ２不平行．求证：∠１≠∠２． 证明：假设 ，那么 ｌ１ ｌ２，这与 相矛盾，所 以 不成立，即 ． ３．如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是ＡＣ，ＡＢ边上的 中点，ＢＤ≠ＣＥ．求证：ＡＢ≠ＡＣ． １４．２勾股定理的应用 １．如图１，圆柱的底面直径为ＡＢ，高 为ＡＣ，一只蚂蚁在 Ｃ处，沿圆柱的侧面 爬到Ｂ处，现将圆柱侧面沿 ＡＣ“剪开”， 在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近 路线，正确的是 （　　） ２．如图２，Ａ，Ｃ之间隔有一湖，在与 ＡＣ方向成９０° 角的ＣＢ方向上的点Ｂ处测得ＡＢ＝５０ｍ，ＢＣ＝４０ｍ， 则Ａ，Ｃ之间的距离为 （　　） Ａ．３０ｍ Ｂ．４０ｍ Ｃ．５０ｍ Ｄ．６０ｍ ３．如图３，学校有一块长方形花圃，有极少数人为 了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们 仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，则他们少走的路长 为 ． ４．如图４，从电线杆离地面３ｍ的Ａ点向地面拉一 条长为３．４ｍ的钢索，ＡＣ⊥ＢＣ，这条钢索在地面的固定 点Ｂ到电线杆底部Ｃ点的距离是 ｍ． ５．如图５是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为４， ２，９，用一根细线绕侧面绑在点 Ａ，Ｂ处，不计线头，则细 线的最短长度为 ． ６．如图６，某渡船从点Ｂ处沿着与河岸垂直的路线 ＡＢ横渡，由于受水流的影响，实际沿着ＢＣ航行，上岸地 点Ｃ与欲到达地点Ａ相距７０米，结果发现ＢＣ比河宽ＡＢ 多１０米． （１）求该河的宽度ＡＢ（两岸可近似看作平行）； （２）设实际航行时，速度为每秒５米，从 Ｃ回到 Ａ 时，速度为每秒４米，求航行总时间． ７．我国古代有这样一道数学 问题：“枯木一根直立地上，高三 丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而 上，五周而达其顶，问葛藤之长几 何？”题意是：如图７，把枯木看作 一个圆柱体，因一丈是十尺，则该 圆柱的高为３丈，底面周长为８尺，有葛藤自点Ａ处缠绕 而上，绕五周后其末端恰好到达点Ｂ处，则问题中葛藤 的最短长度是 丈 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （上接１，４版中缝） 的 面 积 是 ２４， 所 以 Ｓ四边形ＭＯＮＰ ＝ Ｓ△ＰＭＮ ＋ Ｓ△ＯＭＮ ＝ ４０． 所 以 Ｓ四边形ＭＯＮＰ ＝ Ｓ△ＰＯＭ ＋ Ｓ△ＰＯＮ ＝ １ ２ＯＭ·ＰＣ＋ １ ２ＯＮ·ＰＥ＝ １ ２ＯＭ·４＋ １ ２ＯＮ·４＝４０．所以ＯＭ＋ ＯＮ＝２０． ２１．延长ＢＥ至点Ｇ，使 ＥＧ＝ＢＥ，连结ＣＧ，如图． 因为Ｅ是ＣＤ的中点， 所以 ＤＥ＝ＣＥ．在 △ＢＥＤ 和 △ＧＥＣ中，因为 ＢＥ＝ ＧＥ，∠ＢＥＤ ＝ ∠ＧＥＣ，ＤＥ ＝ＣＥ，所 以 △ＢＥＤ ≌ △ＧＥＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＢＤ ＝ＧＣ，∠ＤＢＥ＝∠Ｇ．因为 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＢＥ，所 以 ∠ＢＡＣ＝∠Ｇ．因为∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＦ，所以 ∠ＡＢＥ－ ∠ＥＢＦ＝∠ＣＢＦ－∠ＥＢＦ， 即 ∠ＡＢＦ＝∠ＧＢＣ．因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＣＢ．因 为 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＣＢＦ， 所 以 ∠ＡＢＦ ＋ ∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＦ＋∠ＣＢＦ， 即 ∠ＢＦＣ＝∠ＡＢＣ．所以 ∠ＢＦＣ＝∠ＡＣＢ．所以 ＢＦ ＝ＢＣ．在△ＡＢＦ和△ＧＢＣ 中，因为 ∠ＢＡＦ ＝∠Ｇ， ∠ＡＢＦ ＝ ∠ＧＢＣ，ＢＦ ＝ ＢＣ， 所 以 △ＡＢＦ ≌ △ＧＢＣ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＦ ＝ＧＣ．所以ＡＦ＝ＢＤ．所以 ＢＤ＋ＣＦ＝ＡＦ＋ＣＦ＝ＡＣ ＝ＡＢ． ２２．（１）因为∠ＡＢＣ＝ ９０°，所以∠ＤＢＥ＝１８０°－ ∠ＡＢＣ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＣＢ 和Ｒｔ△ＤＥＢ中，因为ＡＣ＝ ＤＥ，ＢＣ ＝ ＢＥ， 所 以 Ｒｔ△ＡＣＢ≌Ｒｔ△ＤＥＢ（Ｈ．Ｌ．）． 所以ＡＢ＝ＤＢ． （２） 作 ＢＭ 平 分 ∠ＡＢＤ交ＡＫ于点Ｍ，图略． 所以 ∠ＡＢＭ ＝∠ＭＢＫ＝ １ ２∠ＡＢＤ＝４５°．因为 ＢＦ 平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＣＢＦ ＝ １２∠ＡＢＣ＝４５°．由对 顶角相等，得 ∠ＧＢＫ ＝ ∠ＣＢＦ＝４５°＝∠ＭＢＫ＝ ∠ＡＢＭ．因 为 ＫＢ平 分 ∠ＡＫＧ，所以 ∠ＭＫＢ ＝ ∠ＧＫＢ． 在 △ＢＭＫ 和 △ＢＧＫ中，因为 ∠ＭＢＫ＝ ∠ＧＢＫ，ＢＫ ＝ ＢＫ，∠ＭＫＢ ＝∠ＧＫＢ，所以 △ＢＭＫ≌ △ＢＧＫ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． 所 以 ＢＭ ＝ＢＧ，ＫＭ ＝ＫＧ．在 △ＡＢＭ和△ＤＢＧ中，ＡＢ＝ ＤＢ，∠ＡＢＭ ＝∠ＤＢＧ，ＢＭ ＝ ＢＧ，所 以 △ＡＢＭ ≌ △ＤＢＧ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＭ ＝ＤＧ．所以ＡＫ＝ＡＭ＋ＫＭ ＝ＤＧ＋ＫＧ． （全文完） !"#$%&!"#!$!"#%' !"#$%&'()*+ &'(!)(%*!%+, !",-%&'()*+ &'(!)(%*!!%( ./ ! ! !"#$ ! " %&'( ()*+,-./01234 !" 5 ()*+,-./01234 !" 5 67 ! 89:7; <=>?@A !*5B 67 ! 89:7; <=>?CA !*5B " # $ % & ' ( ! ! " % ' ) ! % % ' & " ! + % ' " & # ! " % ' " & ! ' % ' " & # ! ( % ' " & - . / 0 , !( !% !* 1 , !( !% !* 1 , !( !% !* 1 , !( !% !* 1 * % * ! % ! * ' ! ! - . / 0 ' " % ! ! " ' , 2 % + 2 !"# ! ' "' % ! % % " ' ! + ' % " % 1 ! ( ! * % ' %( !+1 ' ! ! ! ' " ,#( + ! " %' " % ' " & , % , ! , ' , " ! ( $ ! % % ' " & ! % ' " ( * %)& ! + % " ' ' 2 ( 2 % ' ! * % ' " & " !' !% ! , ! 1 % ' " '(! ((! ' ( ! !& % ' " - . ! !! % ' " &# ! " ! " " ( / # & $ - . ( " ! # $"%&& ! % ! " ' " % " ' & # % ! %