第13期 期中复习（参考答案见15期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 在学习了探索三角形全等的条件后，我们可以借助 全等三角形的知识，根据所给的条件，用尺规作图的方 法作三角形．下面举例说明． 一、已知两边及其夹角作三角形 例１　已知一个三角形的两条边分别为 ａ，ｂ，这两 条边的夹角为∠α，如图１，求作这个三角形． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠ＤＢＥ，使其等于 ∠α，然后分别在∠ＤＢＥ的两边截取线段ＢＣ＝ａ，ＢＡ＝ ｂ，连结ＡＣ即可． 作法： （１）先作∠ＤＢＥ＝∠α； （２）然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取 ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ； （３）连结ＡＣ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图２． 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出角，然后根 据条件作出所求作的图形；② 尺规作图时，应注意作图 语言的规范性． 二、已知两角及其夹边作三角形 例２　已知一个三角形的两角分别为 ∠α，∠β，夹 边为ｃ，如图３，求作这个三角形． 分析：作出线段ＡＢ＝ｃ，即可确定三角形的两个顶点， 再在ＡＢ边的同一侧，分别以Ａ，Ｂ两点为顶点作两个角等于 已知角，这两个角的另一边的交点就是第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）再分别以点Ａ，Ｂ两点为顶点，射线ＡＢ，ＢＡ为一 边，在ＡＢ的同一侧作∠ＤＡＢ＝∠α，∠ＥＢＡ＝∠β； （３）ＡＤ，ＢＥ交于点Ｃ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图４． 温馨提示：由于已知条件中有一边，所以三角形的 两个顶点容易确定，关键是确定第三个顶点． 三、已知三边作三角形 例３　已知一个三角形的三条边分别为ａ，ｂ，ｃ，如图 ５，求作这个三角形． 分析：先作出△ＡＢＣ的一条边（如ＡＢ＝ｃ），确定出 两个顶点，然后分别以这两个顶点为圆心，以线段ａ，ｂ的 长为半径画出两条弧即可确定第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）分别以Ｂ，Ａ为圆心，ａ，ｂ为半径画弧交于点Ｃ； （３）连结ＡＣ，ＢＣ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图６． 温馨提示：利用尺规作三角形时，一定要注意分析 条件，确定出基本的图形，画出草图，进而确定作图的方 法和步骤． 如图７，已知线段ａ和∠β，求作：△ＡＢＣ，使ＢＣ＝ａ， 且ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝ １２∠β． 书 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的 距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等 的点在角的平分线上． 一、求点到直线的距离 例１　 如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°．若ＡＣ＝９，ＤＣ＝１３ＡＣ， ＢＤ平分∠ＡＢＣ，则点Ｄ到ＡＢ的距 离等于 （　　） Ａ．４　　　　Ｂ．３　　　　Ｃ．２　　　　Ｄ．１ 解：过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，如图１．因为ＡＣ＝９， ＤＣ＝ １３ＡＣ，所以ＤＣ＝３．因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠Ｃ＝ ９０°，ＤＨ⊥ＡＢ，所以ＣＤ＝ＤＨ＝３，即点Ｄ到ＡＢ的距离 等于３．故选Ｂ． 二、求三角形的面积 例２　如图２，在四边形ＡＢＣＤ 中，ＤＥ⊥ ＢＣ，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ， ＡＢ＝６，ＤＥ＝４，则△ＡＢＤ的面 积是 （　　） Ａ．２４ Ｂ．１８ Ｃ．１２ Ｄ．６ 解：过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ交ＢＡ的延长线于点Ｆ，如图 ２．因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＢＣ，所以ＤＥ＝ＤＦ＝４．因 为ＡＢ＝６，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＦ＝１２．故选Ｃ． 三、说明面积之间的数量关系 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平分线交于 点Ｐ，连结ＰＣ．若△ＰＡＢ，△ＰＢＣ， △ＰＡＣ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３， 则 （　　） Ａ．Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３ Ｂ．Ｓ１ ＝Ｓ２＋Ｓ３ Ｃ．Ｓ１ ＞Ｓ２＋Ｓ３ Ｄ．无法确定Ｓ１与Ｓ２＋Ｓ３的大小 解：过点Ｐ分别作ＰＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ， ＰＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，如图３．因为∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平分线 交于点Ｐ，所以ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ．因为Ｓ２＝ １ ２ＢＣ·ＰＦ，Ｓ３ ＝ １２ＡＣ·ＰＥ，所以Ｓ２＋Ｓ３ ＝ １ ２（ＡＣ＋ＢＣ）·ＰＤ．因为 Ｓ１ ＝ １ ２ＡＢ·ＰＤ，ＡＢ＜ＡＣ＋ＢＣ，所以 Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３．故 选Ａ． 四、求角度 例４　如图４，ＡＣ，ＢＤ是四边形ＡＢＣＤ的对角线，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，２∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ＋ ∠ＢＡＣ，已知 ∠ＣＡＤ ＝４３°，则 ∠ＢＤＣ＝ ． 解：过点Ｄ分别作ＤＥ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＢ 交ＢＡ的延长线于点Ｆ，ＤＧ⊥ＡＣ 于点Ｇ，如图４．因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ ＢＣ，ＤＦ⊥ ＡＢ，所以∠ＤＢＣ＝１２∠ＡＢＣ，ＤＦ＝ＤＥ．因为２∠ＡＣＤ＝ ∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ，∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ，所以∠ＡＣＥ ＝２∠ＡＣＤ，即ＣＤ平分∠ＡＣＥ．又因为ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＧ⊥ ＡＣ，所以ＤＥ＝ＤＧ．所以ＤＦ＝ＤＧ．所以ＡＤ平分∠ＣＡＦ． 因为∠ＣＡＤ＝４３°，所以∠ＣＡＦ＝２∠ＣＡＤ＝８６°．所以 ∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＣＡＦ＝９４°．所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＣＥ－ ∠ＤＢＣ＝１２∠ＡＣＥ－ １ ２∠ＡＢＣ＝ １ ２（∠ＡＣＥ－∠ＡＢＣ） ＝ １２∠ＢＡＣ＝４７°．故填４７°． 书 学习了尺规作线段的垂直平分线和角的平分线后， 我们可以用于解决一些实际问题．下面举例加以说明， 供同学们参考． 一、确定售票中心的位置 例１　如图１，某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三 个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个 娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请确定售票 中心的位置． 分析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离 相等，可知售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐 项目所处位置组成的三角形三边垂直平分线的交点． 解：如图２，连结ＡＢ，ＡＣ，分别作线段ＡＢ，ＡＣ的垂直 平分线，两垂直平分线相交于点 Ｐ，则点 Ｐ即为售票中 心的位置． 二、确定中心医院的位置 例２　如图３，现要在三角形地块ＡＢＣ内建一中心 医院，使医院到Ａ，Ｂ两个居民小区的距离相等，并且到 公路ＡＢ和ＡＣ的距离也相等，请确定这个中心医院的位 置． 分析：根据中心医院到Ａ，Ｂ两个居民小区的距离相 等，可知中心医院在线段ＡＢ的垂直平分线上．又由中心 医院到公路 ＡＢ和 ＡＣ的距离也相等，可知中心医院在 ∠ＢＡＣ的平分线上． 解：如图４，作线段ＡＢ的垂直平分线ＥＦ，作∠ＢＡＣ 的平分线ＡＭ，两线交于点Ｐ，则点Ｐ即为这个中心医院 的位置． 三、确定超市的位置 例３　李明准备经营一个超市，他家附近有两个大 的居民区 Ａ，Ｂ，又有相交的两条公路，李明想把超市建 在到两居民区的距离、到两条公路的距离分别相等的位 置上，图５是居民区和公路的位置图，请你用尺规作图 确定超市Ｐ的位置（作图不写作法，但要求保留作图痕 迹）． 分析：根据题意，可知先作 ∠ＭＯＮ的平分线，再作 线段ＡＢ的垂直平分线，两线的交点Ｐ就是超市的位置． 解：如图６，点Ｐ就是超市的位置． 书 “两线”是指角平分线和线段垂直平分线，它们的性 质和判定是初中几何知识的重要内容，是几何推理和计 算的重要理论依据，但在理解和应用中，一些同学总会 出现一些错误，为了帮助大家有效避开思维误区，下面 举例加以说明． 一、错误认识角平分线的性质 例１　如图１，在△ＡＢＣ中，ＢＤ 为∠ＡＢＣ的平分线，ＡＢ＝ＢＣ，点Ｐ 在ＢＤ上，ＰＭ⊥ ＡＤ于点 Ｍ，ＰＮ⊥ ＣＤ于点Ｎ，则ＰＭ和ＰＮ相等吗？ 错解：ＰＭ ＝ＰＮ．理由如下： 因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，点 Ｐ在 ＢＤ上，ＰＭ⊥ＡＤ，ＰＮ⊥ＣＤ， 所以ＰＭ ＝ＰＮ． 剖析：根据角平分线的性质可知，当且仅当ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ时，ＰＭ ＝ＰＮ． 正解： （请你写 出正确的解答过程，下同）． 经验：角平分线上的点到角两边的距离相等． 二、思考不周，漏解 例２　如图２，直线ｌ１，ｌ２，ｌ３表 示三条相互交叉的公路，现要建一 个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可选择的地址有 几处？ 错解：根据角平分线的性质，到三条公路的距离相 等的点在三条公路的交点 Ａ，Ｂ，Ｃ组成的 △ＡＢＣ的三条 角平分线的交点处，而△ＡＢＣ角平分线的交点只有１个， 所以可选择的地址只有一处． 剖析：解题过程只考虑了三角形的内角平分线，事 实上，三角形的外角平分线上的点也具有相同的性质． 正解： ． 经验：不论是三角形的内角平分线，还是外角平分 线上面的点到对应角的两边的距离都相等． 三、错判线段垂直平分线 例３　如图３，ＡＤ是△ＡＢＣ的 角平分线，ＤＥ，ＤＦ分别是△ＡＢＤ和 △ＡＣＤ的高．求证：ＡＤ垂直平分 ＥＦ． 错解：因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， 所以ＤＥ＝ＤＦ． 所以ＡＤ垂直平分ＥＦ． 剖析：我们知道，两点确定一条直线，因此要判定ＡＤ 垂直平分ＥＦ，需要同时证明ＡＥ＝ＡＦ，ＤＥ＝ＤＦ，不能单 凭ＤＥ＝ＤＦ或ＡＥ＝ＡＦ就断定ＡＤ垂直平分ＥＦ． 正解： ． 经验：当我们要证明一条直线是线段垂直平分线 时，可以用线段垂直平分线的判定定理直接证明，也可 以先证明一个三角形是等腰三角形，再证明这条直线是 它底边上的高线或中线所在的直线．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书 （上接４版参考答案） 二、９．３０°； １０．７５°；　１１．１０； １２．９０°或 １２０°或 １５０°． 三、１３．因为 ＡＥ∥ ＢＣ， 所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＤＡＥ，∠Ｃ＝∠ＣＡＥ． 因为ＡＥ平分∠ＤＡＣ，所 以∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥ．所 以 ∠Ｂ ＝∠Ｃ．所以 △ＡＢＣ是等腰三角形． １４．因为ＡＢ＝ＡＣ， 所以 ∠ＡＢＣ＝∠Ｃ．所 以∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＣ －∠Ｃ＝１８０°－２∠Ｃ． 因为 ＢＤ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＢＤＣ ＝ ９０°．所 以 ∠ＣＢＤ＝９０°－∠Ｃ．所 以∠Ａ＝２∠ＣＢＤ． １５．连结 ＡＮ，并延 长交ＢＣ于点 Ｄ，图略． 因为 ＭＮ＝ＣＮ，∠ＡＣＮ ＝２０°，所以 ∠ＣＭＮ＝ ２０°．因为ＡＭ ＝ＭＮ，所 以∠ＭＡＮ＝∠ＭＮＡ＝ １ ２∠ＣＭＮ＝１０°．因为 ＭＮ∥ ＡＢ，所以 ∠ＢＡＮ ＝∠ＭＮＡ．所以 ∠ＢＡＮ ＝∠ＭＡＮ．又因为 ＡＢ ＝ＡＣ，所以 ＡＤ⊥ ＢＣ． 所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．所 以 ∠ＮＣＢ ＝ １８０°－ ∠ＡＤＣ － ∠ＣＡＤ － ∠ＡＣＮ＝６０°．又因为 ＮＢ＝ＮＣ，所以 △ＮＢＣ 是等边三角形． １６．小虎说的正确． 理由如下： 因 为 ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所以 ∠Ａ＋∠Ｂ＝ ９０°．因为 ＢＤ＝ＢＣ，所 以 ∠ＢＣＤ＝∠ＢＤＣ＝ １ ２（１８０°－∠Ｂ）＝９０° － １２∠Ｂ．因为 ＡＥ ＝ ＡＣ， 所 以 ∠ＡＣＥ ＝ !"# ")"$$*%"&& !"#$ !"#$%&'() ' " !" (' !!"#) % ! *+,- EFG3HIJKLMNOP !" Q !"#$%&'" ()*+,-'. 书 上期２版 １３．３等腰三角形 １３．３．１等腰三角形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ． ３．因为ＡＣ＝ＢＣ，∠Ｃ＝５０°，所以∠ＡＢＣ＝∠Ａ＝ １ ２（１８０°－∠Ｃ）＝６５°．因为∠Ｅ＝２５°，所以∠ＢＦＥ＝ ∠ＡＢＣ－∠Ｅ＝４０°． ４．因为∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，所以∠ＣＡＢ＝∠Ｂ ＝ １２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝４５°．因为ＡＣ＝ＡＤ，ＡＥ⊥ＣＤ， 所以∠ＥＡＤ＝１２∠ＣＡＢ＝２２．５°．因为ＡＥ⊥ＣＤ，ＦＭ⊥ ＣＤ，所以ＡＥ∥ＦＭ．所以∠ＭＦＤ＝∠ＥＡＤ＝２２．５°． １３．３．２等边三角形的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１０°． ４．因为 △ＣＡＰ和 △ＣＢＱ都是等边三角形，所以 ∠ＡＣＰ＝∠Ｂ＝６０°．因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＢＣＨ＝ ∠ＡＣＢ－∠ＡＣＰ＝３０°．在 △ＢＣＨ中，∠ＢＨＣ＝１８０°－ ∠ＢＣＨ－∠Ｂ＝９０°．所以ＢＱ⊥ＣＰ． 能力提高　５．（１）∠ＢＤＰ＝∠ＥＰＣ．理由如下： 因为△ＡＢＣ为等边三角形，所以 ∠Ｂ＝６０°．因为 ∠ＤＰＣ＝∠ＤＰＥ＋∠ＥＰＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＤＰ，∠ＤＰＥ＝ ６０°，所以∠ＥＰＣ＝∠ＢＤＰ． （２）因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以∠Ｃ＝６０°．因 为△ＰＤＥ为等边三角形，所以 ＰＤ＝ＰＥ．在 △ＢＤＰ和 △ＣＰＥ中，因为∠Ｂ＝∠Ｃ，∠ＢＤＰ＝∠ＣＰＥ，ＰＤ＝ＥＰ， 所以△ＢＤＰ≌△ＣＰＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＢＤ＝ＣＰ，ＢＰ＝ ＣＥ．所以ＢＤ＋ＣＥ＝ＣＰ＋ＢＰ＝ＢＣ＝８． １３．３．３等腰三角形的判定 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．２． ４．因为ＢＣ＝ＤＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ．因为∠ＥＢＣ ＝∠ＥＤＣ，所以∠ＥＢＣ－∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＣ－∠ＣＤＢ，即 ∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以△ＥＢＤ是等腰三角形． ５．△ＯＢＥ是等腰三角形．理由如下： 因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ．在Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＡＥＤ中，因为ＡＢ＝ＡＥ，ＡＣ＝ＡＤ，所以Ｒｔ△ＡＢＣ≌ Ｒｔ△ＡＥＤ（Ｈ．Ｌ．）．所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ．所以 ∠ＡＢＥ－ ∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＢ－∠ＡＥＤ，即 ∠ＯＢＥ＝∠ＯＥＢ．所以 △ＯＢＥ是等腰三角形． １３．３．４等边三角形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．１８． ３．△ＢＣＥ为等边三角形．证明如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ ＝４５°．因为 ∠ＤＢＣ＝３０°，所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＡＢＣ－ ∠ＤＢＣ＝１５°．因为△ＡＢＤ和△ＡＢＥ关于ＡＢ对称，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＤ＝１５°，ＢＥ＝ＢＤ．所以∠ＥＢＣ＝∠ＡＢＥ ＋∠ＡＢＣ＝６０°．因为 ＢＤ＝ＢＣ，所以 ＢＥ＝ＢＣ．所以 △ＢＣＥ为等边三角形． 能力提高　４．延长ＤＥ交ＢＣ于点Ｍ，延长ＡＥ交ＢＣ 于点Ｎ，过点Ｅ作ＥＰ∥ＢＤ交ＢＣ于点Ｐ，图略．因为ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＥ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ＡＮ⊥ ＢＣ，ＢＮ＝ＣＮ．因为 ∠ＤＢＣ＝∠Ｄ＝６０°，所以 ∠ＰＥＭ ＝∠ＥＰＭ ＝６０°， ∠ＢＭＤ＝１８０°－∠ＤＢＣ－∠Ｄ＝６０°．所以 △ＢＤＭ， △ＥＰＭ都为等边三角形．所以ＤＭ＝ＢＭ＝ＢＤ＝９ｃｍ． 因为ＤＥ＝２ｃｍ，所以ＰＭ＝ＥＭ＝ＤＭ－ＤＥ＝７ｃｍ．因 为ＥＮ⊥ＰＭ，所以ＮＭ＝１２ＰＭ＝ ７ ２ｃｍ．所以ＢＮ＝ＢＭ －ＮＭ ＝１１２ｃｍ．所以ＢＣ＝２ＢＮ＝１１ｃｍ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ （下转１，４版中缝）" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" RST "U#VFWX * +, YZ[ - * +, \]^ - ( . /, C_[ - * +, ` a - * +, b c ./012, C d 34015, Cef .6718, g h .679:, ijk ]lm ( n opq r - stu \vw rxe $ j yzq {|Z (}~ }€ \Z ‚cF ƒ„n … u †‡ˆ ]‰Š ;5./, ] ‹ ;5<=, $ Œ >?./, \Ž @A./, \ BCDE, ‘’ “”K•L3–— “”KL˜™š›œžŸ “”KL ¡¢£¤¥¦§–¨ G@©ª«¬­V ª®7YZ[ ¯°±²³´­Vµ¶7+,!$-.(.(/R0X ·¸¹¶7"!-".% #º©*»*V 7 ' #¼¿­V #«¬ÀÁÂ7.#&!-&"(!"&% #º©ÃÄ7“”ÅÆÇÈpÉÊËÌÍ !#" ¶G@©ªEFG3«¬À #·Î«Ï7.#...% #ÈÐÀÑ©ÒÓ7.#&!!&"(!!"& .#&!!&"(!"#(RœÔX #ÑÕ7Ö>º©ÈÐÀÄ×ØÙ¯ÚÛ·ÜRÝX #·ÎÑÕÒÓ7!!!1& #ÞßàáÑâãÑäåÑ #º©æÙ¯ÚÅRÈXO˜çèé© #ê뢣ìÞí¶7!$....$...!!. #êëÀÁÂ7.#&!!&"(!"&& #º©îïBJðœñò¤¥¦§RóôÈõöÊ÷øùúûš›ü !! ¶XýñUþ¤ñÿ!"#=UÖ>º©ÈÐÀÄ×$% 书 １３．４尺规作图 　　　　　 　　　　　 　　　　　１．已知下列条件不能作出惟一三角形的是（　　） Ａ．已知三边 Ｂ．已知两边及其夹角 Ｃ．已知两角及其夹边 Ｄ．已知两边及其中一边的对角 ２．如图１，已知线段ａ，∠１，求作△ＡＢＣ，使ＢＣ＝ａ， ∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＡ＝∠１，张蕾的作法如图２所示，则下列 说法中不一定正确的是 （　　） Ａ．作△ＡＢＣ的依据为Ａ．Ｓ．Ａ． Ｂ．弧ＥＦ是以ＯＲ长为半径画的 Ｃ．弧ＭＮ是以点Ｂ为圆心，ａ为半径画的 Ｄ．弧ＧＨ是以ＯＴ长为半径画的 ３．小安的一张地图上有 Ａ，Ｂ，Ｃ三个城市，地图上 的Ｃ城市被墨水污染了（如图 ３），但知道 ∠ＢＡＣ＝ ∠α，∠ＡＢＣ＝∠β，你能用尺规作图帮他在下图中确定 Ｃ城市的具体位置吗（不写作法，保留作图痕迹）？ １３．５逆命题与逆定理 １３．５．１互逆命题与互逆定理 １．下列各命题的逆命题不成立的是 （　　） Ａ．等角的补角相等 Ｂ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 Ｃ．同位角相等 Ｄ．如果ａ２ ＝ｂ２，那么ａ＝ｂ ２．“等腰三角形的两底角相等”的逆定理是 ． ３．如图，△ＡＢＣ是等边三角形，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ的延长线上． （１）命题“若△ＤＥＦ是等边三角形，则ＢＦ＝ＡＥ＝ ＣＤ”是 命题（填“真”或“假”）； （２）问（１）的逆命题成立吗？若成立，请说明理由； 若不成立，请举反例说明． １３．５．２线段垂直平分线 １．如图１，直线ＣＤ是线段ＡＢ的垂直平分线，Ｐ为直 线ＣＤ上的一点，已知线段ＰＡ＝６，则线段ＰＢ的长度为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．７ ２．如图２，地面上有三个洞口 Ａ，Ｂ，Ｃ，老鼠可从任 意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞 口，尽快抓住老鼠，应该蹲在 （　　） Ａ．△ＡＢＣ三条角平分线的交点 Ｂ．△ＡＢＣ三条中线的交点 Ｃ．△ＡＢＣ三条高的交点 Ｄ．△ＡＢＣ三条边的垂直平分线的交点 ３．如图 ３，ＤＥ，ＦＧ分别是 △ＡＢＣ的ＡＢ，ＡＣ边的垂直平分 线，连结ＡＧ，ＡＥ，已知ＢＣ＝１０， ＧＥ＝２，则 △ＡＧＥ的周长是 ． ４．如图４，在△ＡＢＣ内找一 点Ｐ，使点Ｐ到Ａ，Ｂ两点的距离相等，并且点Ｐ到点Ｃ的 距离等于线段ＡＣ的长（尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹）． ５．如图５，直线ｌ是线段ＡＢ的垂直平分线，点Ｐ在 直线ｌ的右侧，连结ＰＡ，ＰＢ．求证：ＰＡ＞ＰＢ． ６．如图６，ＯＥ，ＯＦ分别是ＡＣ，ＢＤ的垂直平分线，垂 足分别为 Ｅ，Ｆ，且 ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＯ＝７９°，∠ＣＤＢ＝ ３８°，求∠ＤＯＦ的度数． １３．５．３角平分线 １．如图１，ＯＣ平分 ∠ＡＯＢ，Ｐ是 ＯＣ上一点，ＰＨ⊥ ＯＢ于点Ｈ，Ｑ是射线ＯＡ上的一个动点．若 ＰＨ＝３，则 ＰＱ长的最小值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．两把完全相同的长方形直尺按如图２方式摆放， 记两把尺的接触点为点Ｐ，其中一把直尺边缘恰好和射 线ＯＡ重合，而另一把直尺的下边缘与射线ＯＢ重合．若 ∠ＢＯＰ＝２８°，则∠ＡＯＢ的大小为 （　　） Ａ．６２° Ｂ．５６° Ｃ．５２° Ｄ．４６° ３．如图３，已知ＡＩ，ＢＩ，ＣＩ分 别平分 ∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ， ＩＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，△ＡＢＣ的周长 为１８，ＩＤ＝４，则△ＡＢＣ的面积 为 ． ４．如图４，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ 是它的角平分线，Ｐ是ＡＤ的延长线上一点，ＰＥ∥ＡＢ交 ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ．求证：点Ｄ到ＰＥ和 ＰＦ的距离相等． ５．如图５，四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，点Ｅ 为ＢＣ的中点，且ＡＥ平分∠ＢＡＤ． （１）求证：ＤＥ平分∠ＡＤＣ； （２）求证：ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＤ． ６．在正方形网格中，Ｍ，Ｎ， Ｐ，Ｑ均是格点，∠ＡＯＢ的位置如 图６所示，则到∠ＡＯＢ的两边距 离相等的格点是 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! " ! " ! ! # " $ # % & ' ( ) " ! ! ! ! # * + , - . # " ! ( ) 书 ∠ＡＥＣ ＝ １２（１８０°－ ∠Ａ）＝９０°－ １２∠Ａ． 所以 ∠ＤＣＥ＝１８０°－ ∠ＤＥＣ－∠ＣＤＥ＝１８０° －（９０°－ １２∠Ａ） － （９０° － １２∠Ｂ） ＝ １ ２（∠Ａ＋∠Ｂ）＝４５°． 所以 ∠ＤＣＥ的度数是 一个定值，与 ∠Ｂ的度 数无关，即小虎说的正 确． 附加题　１．过点Ｅ 作ＥＮ∥ＡＢ，交ＢＣ的延 长线于点Ｎ，图略．所以 ∠Ｎ＝∠Ｂ．因为△ＡＢＣ 是等边三角形，所以 ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝６０°．由 对顶角相等，得 ∠ＢＭＤ ＝ ∠ＮＭＥ，∠ＮＣＥ ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ６０°． 所 以 ∠ＮＣＥ＝∠Ｎ．所以ＣＥ ＝ＮＥ．因为 ＢＤ＝ＣＥ， 所以 ＢＤ ＝ ＮＥ． 在 △ＢＤＭ和△ＮＥＭ中，因 为 ∠ＢＭＤ ＝∠ＮＭＥ， ∠Ｂ＝∠Ｎ，ＢＤ＝ＮＥ， 所 以 △ＢＤＭ ≌ △ＮＥＭ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＭＤ＝ＭＥ． ２．（１）因为∠Ｃ＝ ９０°，ＣＡ＝ＣＢ，所以∠Ａ ＝∠ＡＢＣ＝４５°．因为 ＭＮ∥ＡＣ，所以 ∠ＢＮＭ ＝∠Ｃ ＝９０°，∠ＢＭＮ ＝∠Ａ ＝４５°．所以 △ＢＭＮ是等腰直角三 角形． （２）延长 ＢＧ，ＭＮ 交于点 Ｑ，图略，则 ∠ＢＮＱ ＝ １８０° － ∠ＭＮＨ＝９０°．因为ＢＧ ⊥ ＭＧ，所以 ∠ＢＧＨ＝ ∠ＱＧＭ ＝９０°．因 为 ∠ＢＨＧ＝∠ＭＨＮ，所以 ∠ＱＢＮ ＝∠ＨＭＮ．由 （１）可知，ＭＮ＝ＢＮ．在 △ＭＮＨ和△ＢＮＱ中，因 为 ∠ＭＮＨ ＝∠ＢＮＱ， ＭＮ ＝ ＢＮ，∠ＨＭＮ ＝ ∠ＱＢＮ，所以△ＭＮＨ≌ △ＢＮＱ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以 ＭＨ＝ＢＱ＝８ｃｍ．因为 ＭＧ平分 ∠ＮＭＢ，所以 ∠ＢＭＧ ＝∠ＱＭＧ．在 △ＭＢＧ和△ＭＱＧ中，因 为 ∠ＢＧＭ ＝∠ＱＧＭ， ＭＧ ＝ ＭＧ，∠ＢＭＧ ＝ ∠ＱＭＧ，所以△ＭＢＧ≌ △ＭＱＧ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以 ＢＧ ＝ＱＧ ＝ １２ＢＱ ＝ ４ｃｍ． （全文完） !"# !$"%&'( )*+,-."!$%&'!$(/ !"#$%&'()*+ )!("*(+,-+./ !",-%&'()*+ )!(-*(+,--+( . ! ! !"#$ ! " %&'( 0&123456789:; !" < 0&123456789:; !" < => / ?@A>B CDEFGH -(<I => / ?@A>B CDEFJH -(<I ! . " 0 # ! - ! + # " ! # ( )' ! . " ! ! # " ! ! % . - ( ! # ) " ! . ! " 0 1 ! ( ) - + ! % ( ) - + ! % ( - ! 0 " ! + # ) 0 .( " ! ! % # ) ! " . ! ( ! - " 2 0 $ % ! . " 2 0 # ! & - ! - # . 3 " ! ! ! 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列属于尺规作图的工具的是 （　　） Ａ．三角板 Ｂ．量角器 Ｃ．圆规 Ｄ．有刻度的直尺 ２．如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＢＥ是△ＡＢＣ的 角平分线，ＥＤ⊥ ＢＣ于点 Ｄ，ＣＤ＝４，△ＣＤＥ的周长为 １２，则ＡＣ的长是 （　　） Ａ．１４ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．６ ３．如图２，以△ＡＢＣ的顶点Ａ为圆心，ＢＣ长为半径 作弧；再以顶点Ｃ为圆心，ＡＢ长为半径作弧，两弧交于点 Ｄ；连结ＡＤ，ＣＤ．若∠Ｂ＝５５°，则∠ＡＤＣ的度数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．５５° Ｄ．６０° ４．如图３，直线ｌ１∥ｌ２，点Ａ在直线ｌ１上，以点Ａ为圆 心，适当长度为半径画弧，分别交直线ｌ１，ｌ２于Ｂ，Ｃ两点， 连结ＡＣ，ＢＣ．若∠ＡＢＣ＝７０°，则∠１的大小为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° ５．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为点Ｄ，ＥＦ垂 直平分ＡＣ，交ＢＣ于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ，连结ＡＥ．若ＢＤ＝ ＤＥ，△ＡＢＣ的周长为１６，ＡＦ＝３，则ＤＣ的长为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ６．如图 ５，在 △ＡＢＣ中， ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，延 长ＡＤ至点Ｅ，使ＡＤ＝ＤＥ，连 结ＢＥ，若ＡＢ＝３ＡＣ，△ＢＤＥ的 面积为９，则△ＡＢＣ的面积是 （　　） Ａ．６ Ｂ．９ Ｃ．１２ Ｄ．１５ ７．在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｂ＝６０°，用无刻度 的直尺和圆规在ＢＣ边上找一点Ｄ，使 △ＡＢＤ为等边三 角形，下列作法不正确的是 （　　） ８．老师在微信群发了这样 一个图（如图６），以线段ＡＢ为边 作正五边形ＡＢＣＤＥ和正三角形 ＡＢＧ，连结ＡＣ，ＤＧ交于点Ｆ，下列 四位同学的说法不正确的是 （　　） 甲：ＡＣ⊥ＡＧ；　乙：ＤＧ是ＡＢ的垂直平分线； 丙：△ＤＣＦ是等腰三角形；　丁：ＡＣ与ＤＥ平行． Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题 （填“真”或“假”）． １０．如图７，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，Ｓ△ＡＢＣ ＝７ｃｍ ２，ＤＥ＝２ｃｍ，ＡＢ＝４ｃｍ，则ＡＣ的长是 ． １１．如图８，已知∠ＡＯＢ，以点Ｏ为圆心，任意长度为 半径画弧①，分别交ＯＡ，ＯＢ于点Ｅ，Ｆ，再以点Ｅ为圆心， ＥＦ的长为半径画弧，交弧 ① 于点 Ｄ，画射线 ＯＤ．若 ∠ＡＯＢ＝２６°，则∠ＢＯＤ的度数为 ． １２．若一个三角形有两边的垂直平分线的交点恰好 在第三边上，则这个三角形是 三角形（填“锐 角”“直角”或“钝角”）． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）如图９，已知∠α，∠β，线段ａ． 求作：△ＡＢＣ，使得∠Ａ＝１２∠α，∠Ｂ＝∠β，ＡＢ＝ ａ（尺规作图，不要求写作法，只保留作图痕迹）． １４．（１２分）如图１０，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ， 点Ｄ到ＡＢ，ＡＣ的距离相等．求证：ＢＤ＝ＣＤ． １５．（１４分）如图１１，在△ＡＢＣ中，ＤＥ垂直平分ＢＣ， 分别交ＢＣ，ＡＢ于点Ｄ，Ｅ，连结ＣＥ，ＢＦ平分∠ＡＢＣ，交ＣＥ 于点Ｆ，交ＤＥ于点Ｇ．若ＢＥ＝ＡＣ，∠ＡＣＥ＝１２°． （１）求∠ＥＢＦ的度数； （２）请判断命题“△ＥＦＧ是等腰三角形”的真假，并 说明理由． １６．（１６分）如图１２，∠ＢＡＣ的平分线与ＢＣ的垂直 平分线ＤＧ交于点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分别为Ｅ， Ｆ． （１）求证：ＢＥ＝ＣＦ； （２）若ＡＦ＝６，△ＡＢＣ的周长为２０，求ＢＣ的长． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＤ＝９０°，ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ是△ＡＢＤ的高．求证：ＡＤ垂直平 分ＥＣ． ２．（１２分）如图２，在△ＡＢＣ中，点Ａ关于ＢＣ边的对 称点为Ａ′，以点Ａ为圆心，ＡＢ长为半径作弧，交ＢＡ的延 长线于点Ｂ′，以点Ａ为圆心，ＡＣ长为半径作弧，交ＣＡ的 延长线于点 Ｃ′，连结 Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′．若 Ｓ△ＡＢＣ ＝１，求 Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′                                                                                                                                                                 ． ! - # . ) " ! # . " ! ! + ! , # . " ) ! ! / !( ) - " . # * ! " ! 0 ! -# ( # " ' . ! ) # ! " ! ! 1 - 1 # - " ! . # " ! . # " ! . # " ! . # 1 2 3 4 ! % ! . ) # ( " ! - ! . # " ) ! ) . # " ! ( ' " ) ( ! # . ! . # . ! " ! -5 # . ( " ) ! ! "" ' #! ! "! # " !! ! +