第12期 13.4 尺规作图; 13.5 逆命题与逆定理（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 上期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ 二、１３．两个三角形等底等高，这两个三角形的面积 相等；　１４．４，槡１７－４；　１５．１０；　１６．４． 三、１７．（１）ｂ（ａ＋２）（ａ－２）；　（２）４００． １８．（１）原式 ＝ｘ２－２ｙ． 当ｘ＝１，ｙ＝ １２时，原式 ＝０． （２）原式 ＝２－ｍｎ． 由题意，得ｍｎ＝１０．所以原式 ＝－８． １９．因为槡１６＝ｘ， ３ 槡ｙ＝２，ｚ是４９的算术平方根，所 以ｘ＝４，ｙ＝８，ｚ＝７．所以２ｘ＋ｙ－２ｚ＝２．所以２ｘ＋ｙ －２ｚ的平方根是 ±槡２． ２０．因为ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，Ｄ，Ｄ′分别是ＢＣ，Ｂ′Ｃ′的中点， 所以ＢＤ＝Ｂ′Ｄ′．在 △ＡＢＤ和 △Ａ′Ｂ′Ｄ′中，因为 ＡＢ＝ Ａ′Ｂ′，ＢＤ ＝ Ｂ′Ｄ′，ＡＤ ＝ Ａ′Ｄ′， 所 以 △ＡＢＤ ≌ △Ａ′Ｂ′Ｄ′（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以 ∠Ｂ ＝∠Ｂ′．在 △ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′中，因为ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，所 以△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． ２１．（１）由题意知，Ｂ＝（ｘ＋２）（ｘ＋ａ）＝ｘ２＋（ａ＋ ２）ｘ＋２ａ． 因为Ｂ中的常数项为１０，所以２ａ＝１０．解得ａ＝５． （２）设Ａ为ｘ２＋ｔｘ＋１，则Ｂ＝（ｘ＋２）（ｘ２＋ｔｘ＋１） ＝ｘ３＋（ｔ＋２）ｘ２＋（２ｔ＋１）ｘ＋２＝ｘ３＋ｐｘ２＋ｑｘ＋２．所 以ｐ＝ｔ＋２，ｑ＝２ｔ＋１，所以２ｐ－ｑ＝２（ｔ＋２）－（２ｔ＋ １）＝３． ２２．（１）△ＢＰＥ与△ＣＱＰ全等．理由如下： 根据题意，得ＢＰ＝ＣＱ＝５×１＝５（ｃｍ）．所以ＣＰ ＝ＢＣ－ＢＰ＝１０ｃｍ．因为 Ｅ为 ＡＢ的中点，所以 ＢＥ＝ １ ２ＡＢ＝１０ｃｍ．所以ＢＥ＝ＣＰ．在△ＢＰＥ和△ＣＱＰ中，因 为ＢＥ ＝ＣＰ，∠Ｂ ＝∠Ｃ，ＢＰ ＝ＣＱ，所以 △ＢＰＥ≌ △ＣＱＰ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）当点Ｑ的运动速度与点 Ｐ的运动速度不相等 时，ＢＰ≠ＣＱ．因为∠Ｂ＝∠Ｃ，△ＢＰＥ与△ＣＰＱ全等，所 以 ＢＰ＝ＣＰ＝１２ＢＣ＝７．５ｃｍ，ＢＥ＝ＣＱ＝１０ｃｍ．所以 点Ｑ的运动时间为：７．５÷５＝１．５（ｓ）．所以点Ｑ的运动 速度为：１０÷１．５＝２０３（ｃｍ／ｓ）． 上期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ 二、１３．槡３＋１；　１４．４；　１５．５ ２２ ＜４３３ ＜３４４； １６．２． 三、１７．（１）２ａ４；　（２）ｘ２－ｘｙ． １８．（１）原式 ＝（ｘ－３）（ｘ＋２）（ｘ－２）． 当ｘ＝－５时，原式 ＝－１６８． （２）原式 ＝４（ｂ＋３）（ａ＋ｂ）２． 当ａ＝２，ｂ＝－２时，原式 ＝０． １９．（１）因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＣＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＣＥＤ＝ ∠ＢＦＤ＝９０°．由对顶角相等，得 ∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＥ．在 △ＢＤＦ和△ＣＤＥ中，因为 ∠ＢＦＤ＝∠ＣＥＤ，∠ＢＤＦ＝ ∠ＣＤＥ，ＢＤ＝ＣＤ，所以△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ，所以ＤＦ＝ＤＥ．因为ＢＥ ⊥ ＡＣ，ＣＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＡＥＤ ＝∠ＡＦＤ ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＡＤＦ中，因为ＡＤ＝ＡＤ，ＤＥ＝ＤＦ，所以 Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＤＦ（Ｈ．Ｌ．）．所以∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＦ，即 ＡＤ平分∠ＢＡＣ． ２０．（１）８９２； （２）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＋１＝（ｎ２＋３ｎ＋１）２． 理由如下： 因为ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＋１＝（ｎ２＋ｎ）（ｎ２＋ ５ｎ＋６）＋１＝ｎ４＋６ｎ３＋１１ｎ２＋６ｎ＋１，（ｎ２＋３ｎ＋１）２ ＝（ｎ２＋３ｎ）２＋２（ｎ２＋３ｎ）＋１＝ｎ４＋６ｎ３＋１１ｎ２＋６ｎ ＋１，所以ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＋１＝（ｎ２＋３ｎ＋１）２． （下转２，３版中缝） 书 策略１：三条边都相等 的三角形是等边三角形 例１　 如图１，在等腰 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＦ为 ＢＣ边上的中线，Ｄ为 ＡＦ上 的一点，且ＢＤ＝ＢＣ．求证： △ＢＣＤ是等边三角形． 证明：因为 ＡＢ＝ＡＣ， ＡＦ为ＢＣ边上的中线，所以 ＡＦ⊥ＢＣ，ＢＦ＝ＣＦ． 所以 ∠ＤＦＢ＝∠ＤＦＣ ＝９０°． 在△ＢＦＤ和△ＣＦＤ中，因为ＢＦ＝ＣＦ，∠ＤＦＢ＝ ∠ＤＦＣ，ＤＦ＝ＤＦ，所以△ＢＦＤ≌△ＣＦＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＢＤ＝ＤＣ． 因为ＢＤ＝ＢＣ，所以ＢＤ＝ＤＣ＝ＢＣ． 所以△ＢＣＤ是等边三角形． 策略２：三个角都相等的三角形是等边三角形 例２　如图２，ＡＢ∥ＤＣ，ＤＢ平 分∠ＡＤＣ，∠Ａ＝６０°．求证：△ＡＢＤ 是等边三角形． 证明：因为 ＡＢ∥ ＤＣ，∠Ａ＝ ６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ，∠ＡＤＣ ＝１８０°－∠Ａ＝１２０°． 因为 ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ＝ １ ２∠ＡＤＣ＝６０°＝∠Ａ＝∠ＡＢＤ． 所以△ＡＢＤ是等边三角形． 策略３：有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形 例 ３　 如图 ３，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，过点Ａ沿直线ＡＥ折叠 这个三角形，使点Ｃ落在ＡＢ边上的 点Ｄ处，连结ＤＣ．若ＡＥ＝ＢＥ，求证： △ＡＤＣ是等边三角形． 证明：根据折叠，得ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ． 因为ＡＥ＝ＢＥ，所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ． 因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠Ｂ＋∠ＣＡＢ＝３∠Ｂ＝ ９０°． 解得∠Ｂ＝３０°． 所以∠ＣＡＢ＝６０°． 所以△ＡＤＣ是等边三角形． 书 等腰三角形的性质定理———“等边对等角”及判定 定理———“等角对等边”是一对重要定理，下面列举试 题加以分析说明． 一、等腰三角形的性质定理———“等边对等角” 例１　 如图１，在 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝２４°，延 长ＢＣ到点Ｄ，使ＣＤ＝ＡＣ，连 结ＡＤ，则∠Ｄ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３９° Ｂ．４０° Ｃ．４９° Ｄ．５１° 分析：利用“等边对等角”求得 ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ ７８°，∠Ｄ＝∠ＣＡＤ，然后利用三角形外角的性质求出答 案即可． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝２４°， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １２（１８０°－∠ＢＡＣ）＝７８°． 因为ＣＤ＝ＡＣ，所以∠Ｄ＝∠ＣＡＤ． 因为∠ＡＣＢ＝∠Ｄ＋∠ＣＡＤ， 所以∠Ｄ＝∠ＣＡＤ＝ １２∠ＡＣＢ＝３９°． 故选Ａ． 二、等腰三角形的判定定理———“等角对等边” 例２　如图２，已知在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°，ＣＤ是△ＡＢＣ的 角平分线．求证：ＡＤ＝ＢＣ． 分析：利用“等边对等角”求得 ∠Ｂ和∠ＡＣＢ的度数，根据三角形的 角平分线的定义可得∠ＡＣＤ的度数， 再由等腰三角形的判定定理即可得出结论． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １２（１８０°－∠Ａ）＝７２°． 因为ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 所以∠ＡＣＤ＝ １２∠ＡＣＢ＝３６°＝∠Ａ． 所以ＡＤ＝ＣＤ． 因为∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝７２°， 所以∠Ｂ＝∠ＢＤＣ． 所以ＢＣ＝ＣＤ． 所以ＡＤ＝ＢＣ． 书 等腰三角形的性质和 判定分别为：等边对等角、 等角对等边．在求解或说明 边长或角度的问题时，如果 能够巧妙地构造出等腰三 角形，就可以利用等腰三角 形的性质或判定来简便地 解决问题．下面介绍两种构 造等腰三角形的方法，供同 学们参考． 一、用“三角形全等的 判定”构造等腰三角形 例 １　 如 图 １， 在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ ＝２２．５°，Ｍ是 ＡＢ的中点， ＤＭ⊥ＡＢ交ＢＣ于点Ｄ，ＣＤ ＝８，求ＡＣ的长． 分析：由“Ｓ．Ａ．Ｓ．”联 想到连结 ＡＤ，可构造出一 个等腰三角形△ＡＢＤ，所以 ∠Ｂ＝∠ＢＡＤ＝２２．５°，再 结合等腰三角形的判定即可求解． 解：连结ＡＤ，如图１． 因为ＤＭ⊥ＡＢ，所以∠ＤＭＡ＝∠ＤＭＢ＝９０°． 因为Ｍ是ＡＢ的中点，所以ＡＭ ＝ＢＭ． 在△ＡＭＤ和△ＢＭＤ中，因为ＡＭ＝ＢＭ，∠ＤＭＡ＝ ∠ＤＭＢ，ＤＭ ＝ＤＭ，所以△ＡＭＤ≌△ＢＭＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 因为∠Ｂ＝２２．５°，所以∠Ｂ＝∠ＢＡＤ＝２２．５°． 所以∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝４５°． 所以∠ＤＡＣ＝９０°－∠ＡＤＣ＝４５°＝∠ＡＤＣ． 所以ＡＣ＝ＣＤ＝８． 二、用“三角形中２倍角的关系”构造等腰三角形 例 ２　 如 图 ２， 在 △ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ， ∠Ｂ＝２∠Ｃ．求证：ＡＢ＋ＢＤ ＝ＣＤ． 分析：由已知 ＡＤ⊥ ＢＣ，∠Ｂ＝２∠Ｃ，我们可以在ＣＤ上截取ＤＥ＝ＤＢ，连结 ＡＥ，就可以构造出两个等腰三角形△ＡＢＥ和△ＡＥＣ． 证明：在线段ＣＤ上截取ＤＥ＝ＤＢ，连结ＡＥ，如图２． 因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＢ＝９０°． 在△ＡＤＥ和△ＡＤＢ中，因为 ＤＥ＝ＤＢ，∠ＡＤＥ＝ ∠ＡＤＢ，ＡＤ＝ＡＤ，所以△ＡＤＥ≌△ＡＤＢ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以∠ＡＥＢ＝∠Ｂ＝２∠Ｃ，ＡＥ＝ＡＢ． 又因为∠ＡＥＢ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＥ， 所以∠ＣＡＥ＝∠Ｃ． 所以ＡＥ＝ＥＣ． 所以ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＥ＋ＤＥ＝ＥＣ＋ＤＥ＝ＣＤ． ! ! " # $ % !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 一、忽视分类讨论 例１　已知等腰三角形的一个外角为１３０°，则它的 顶角的度数为 ． 错解：等腰三角形的一个外角等于１３０°，则这个等 腰三角形的顶角为：１８０°－１３０°＝５０°． 故填５０°． 剖析：已知没有指明此外角的邻补角是顶角还是底 角，所以应分两种情况进行分类讨论． 正解：等腰三角形的一个外角等于１３０°，则这个等 腰三角形的一个内角为：１８０°－１３０°＝５０°． （１）当５０°为顶角时，其他两角为６５°，６５°； （２）当５０°为底角时，其他两角为５０°，８０°． 综上所述，等腰三角形的顶角为５０°或８０°． 故填５０°或８０°． 例２　在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ边上的垂线与ＡＣ 所在直线相交所得的锐角为５０°，则∠Ｂ＝ ． 错解：如图 １，因为 ∠ＡＤＥ ＝ ５０°，∠ＡＥＤ＝９０°，所以∠Ａ＝９０°－ ∠ＡＤＥ＝４０°． 因为ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ ＝ １２×（１８０°－∠Ａ）＝７０°． 故填７０°． 剖析：本题没有图，△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可 能是钝角三角形，故应分情况讨论． 正解：（１）当△ＡＢＣ是锐角三角形时，同错解； （２）如图２，当 △ＡＢＣ为钝 角三角形时，因为∠ＡＤＥ＝５０°， ∠ＡＥＤ＝９０°，所以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ＝１４０°． 所以∠Ｂ＝∠Ｃ＝ １２×（１８０°－∠ＢＡＣ）＝２０°． 故填７０°或２０°． 二、错用等腰三角形的性质 例３　如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， Ｏ是△ＡＢＣ内一点，且ＯＢ＝ＯＣ．求证：ＡＯ ⊥ＢＣ． 错证：如图３，延长ＡＯ交ＢＣ于点Ｄ． 由ＯＢ＝ＯＣ，ＯＤ平分∠ＢＯＣ，根据等 腰三角形“三线合一”的性质可得 ＡＯ⊥ ＢＣ． 剖析：在遇到等腰三角形问题时，一些同学往往会 把非特殊线段看成特殊线段，如本例中的ＯＤ，已知中没 有说明它是角平分线，仅仅根据图形便断定它是角平分 线，导致错误． 证明：在△ＡＯＢ和△ＡＯＣ中，因为ＡＢ＝ＡＣ，ＯＢ＝ ＯＣ，ＡＯ＝ＡＯ，所以△ＡＯＢ≌△ＡＯＣ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． 所以∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＯ． 所以ＡＯ⊥ＢＣ． ! ! ! " # $ % " &' ()* ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! $ & " # ! ! " ! # $ & " # ! ! " $ ' # ! " # " & ! $ ! $ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +,-. !"#$ %&'( )*+,-./+01 23456*789: ;+<0= >9? :()< @0A *7B9BCD= ;EFGHI$ %E& JK7L9MDN6+ 01 ;+<0O(P< QRSTUVW$(PX Y7Z61 [\]&J K7+<01^_`ab ]7+<0_cJd e$ fghijEkl mnU ()oMpqbr stuvwxDyKU z{>1 (P|a o9D1;oMpq1} +DE~€0‚ƒ„ ]&JK7p6= JK 7…„N††‡ˆ<‰ 0}‡ŠT0E‹ŒY Ž1 ‘’“”” •–= —˜™()p qbš›()œ,= 7žŸ b F( )œ¡¢z{_…bo 9r£¤0+H‡¥¦ D§¨ ()©ª@JK7 «6¬¬9„N6­+ 0œˆb ®¯_/°± ²³´µ¶7U ·­¸ }¹„º6b »»¼ ½‰0<ˆ¾1 ¿€À <EÁEÂ1 "ÃÄ D1 +Å<‰0a} ÆÇÈÉÊ ††‡ˆ DU A ()ËJK7] 6bÌ̈́Ž<ÎÏ1 _ÐÑ%ÒÓ1 fWQ RÔÕÖ[×Ø1 ÙV ڍŽÛÜD;1 Š" LÝHDÞ7<ßàU 书 “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，即等腰 三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合． 该性质其实包括以下三方面的内容： 如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， Ｄ是ＢＣ上的一点． （１）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底 边ＢＣ上的中线，那么ＡＤ是顶角 ∠ＢＡＣ的平分线，也是底边 ＢＣ 上的高． （２）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ顶角∠ＢＡＣ的平分线，那 么ＡＤ是底边ＢＣ上的中线，也是底边ＢＣ上的高． （３）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底边ＢＣ上的高，那么ＡＤ 是顶角∠ＢＡＣ的平分线，也是底边ＢＣ上的中线． “三线合一”的性质给我们提供了说明角相等、直 线垂直、线段相等的新思想和新方法．在解答一些与图 形有关的问题时，要注意灵活运用它，下面举例来说明 这一性质的重要应用． 例　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＤＥ⊥ ＡＢ 于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ．若ＤＥ＝ ２．５ｃｍ，则ＢＦ＝ ｃｍ． 分析：根据等腰三角形的“三 线合一”得出 ＢＤ＝ＣＤ．所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝ＡＢ·ＤＥ．又因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ，将ＡＣ ＝ＡＢ代入即可求出ＢＦ的值． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， 所以ＢＤ＝ＣＤ． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝２．５ＡＢ． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ， 所以 １ ２ＡＣ·ＢＦ＝２．５ＡＢ． 因为ＡＣ＝ＡＢ，所以 １２ＢＦ＝２．５． 解得ＢＦ＝５ｃｍ． 故填５． 如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线． 已知∠ＢＡＤ＝６０°，则∠Ｃ＝ ． !"# $%$&$'%()& !"#$ !"#$%&'() ' " !" (' !!"#) % ! *+,- /01234'56789: !" ; !"#$%&'" ()*+,-'. " <= >?@ ! * $ # " ! ! $ ! " # & ( $ " A B > C D #"$ & ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " EF GHI ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # ! " $ ! * ! $ ! # " $ ! " # $ ! ! ! $ " $ # ! ! ( # " $ ! * * +, JKL - * +, MGN - ( . /, OPL - * +, Q R - * +, S T ./012, O U 34015, OVW .6718, X Y .679:, Z$[ G\] ^ _ `ab c d efg Mhi cjV > $ klb mnK ^op +oq MKr sT0 tu_ v g wxy Gz{ ;5./, G | ;5<=, > } >?./, M~ @A./, M€€ BCDE, ‚ƒ &=5„…2†‡ &=5…ˆ‰Š‹ŒŽ &=5…‘’“”•–—†˜ 1™š›œžŸ › ¡JKL ¢£¤¥¦§žŸ¨©¡+,*&-%./.0ª1« ¬­®©¡$(-$23 #¯°E±E² 4 #³+¸ž² #¹º»¼¶2!5*-5$.*$53 #½°¾¿¡&=ÀÁÂÃaÄÅÆÇÈ *!$ ©1™°›/012ɝº #¬Ê¹Ë¡2!2223 #Ã̺ͰÎÏ¡2!5*!5$.**$5 2!5*!5$.*$!.ªŒÐÑ #ÍÒ¡ÓÔ½°Ã̺¿ÕÖ×¢ØÙ¬ÚªÛÑ #¬ÊÍÒÎÏ¡***)5 #ÜÝÞßÍàáÍâãÍ #½äå×¢ØÀªÃÑ9ˆæçèš #é꒓ëÜì©¡*&2222&222**2 #é꺻¼¡2!5*!5$.*$55 #½ší!B'ï𔕖—ªñòÃóôÅõö÷øùŠ‹ú ** ©Ñûïüý”ïþÿ!"#üÓÔ¯äÃ̺¿Õ$% *!4! &'¸() 2*+,¡*4áâãäzåÆ<æçèé¯2ê4 $4áâãëzåÆ<æçèé¯2ê4 !4ìíãäzåÆîãëzåÆæ ç<ïð4 -./0¡ ìíãäzåÆîãë zåÆæç¯ñî鯯ñ<ïð4 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１是一张小凳子的简易图，支撑架ＡＥ与ＢＤ 相交于点 Ｃ，且 ＡＣ＝ＣＢ．若 △ＡＢＣ的外角 ∠ＡＣＤ＝ １１０°，则∠ＡＢＣ＝ （　　） Ａ．３５° Ｂ．５５° Ｃ．７０° Ｄ．１１０° ２．如图２，△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＤ平分∠ＢＡＣ．若 ＢＣ＝６，则ＣＤ的长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ３．在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＢ＝３，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．无法确定 ４．如图３，△ＡＢＣ是等边三角形，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ， ＡＣ边上，且ＥＦ∥ＢＣ．若ＡＢ＝６，ＢＥ＝４，则ＥＦ的长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ ５．如图４，点Ｂ在点Ａ的北偏西５０°方向，点Ｃ在点 Ｂ的正东方向，且点Ｃ到点Ｂ与点Ａ到点Ｂ的距离相等， 则点Ａ相对于点Ｃ的位置是 （　　） Ａ．北偏东２５° Ｂ．北偏东２０° Ｃ．南偏西２５° Ｄ．南偏西２０° ６．如图５，△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠ＢＡＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ 交ＢＣ于点Ｄ，ＤＥ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｅ．已知ＣＥ＝３，ＢＣ＝ ８，则ＤＥ的长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ７．如图６，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，点Ｂ关于ＡＣ 的对称点Ｂ′恰好落在ＣＤ上．若∠ＢＡＤ＝α，则∠ＡＣＢ的 度数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．α－４５° Ｃ．１２α Ｄ．９０°－ １ ２α ８．如图７，在△ＡＢＣ中，ＢＣ ＝ＡＣ，∠Ｂ ＝３５°，∠ＥＣＭ ＝ １５°，ＡＦ⊥ＣＭ．若ＡＦ＝２．５，则 ＡＢ的长为 （　　） Ａ．５ Ｂ．５．５ Ｃ．７ Ｄ．６ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图８，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 ＡＢ＝ ＡＣ，立柱ＡＤ⊥ＢＣ，且顶角∠ＢＡＣ＝１２０°，则∠Ｃ的大小 为 ． １０．如图９，△ＡＢＣ为等边三角形，ＡＤ⊥ＢＣ，点Ｅ为 ＡＣ边上的点，ＡＥ＝ＡＤ，则∠ＡＤＥ的度数是 ． １１．如图１０，在△ＡＢＣ中，Ｄ 为ＡＢ上一点，ＡＤ＝ＤＣ＝ＢＣ， 且∠Ａ＝３０°，ＡＤ＝５，则ＡＢ＝ ． １２．在等边 △ＡＢＣ中，Ｅ是 ∠ＡＢＣ的平分线上一点，∠ＡＥＢ＝１０５°，点 Ｐ在 △ＡＢＣ 的边上．若ＡＥ＝ＥＰ，则∠ＡＥＰ的度数为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）如图１１，在△ＡＢＣ中，已知点Ｄ在线段 ＡＢ的反向延长线上，ＡＥ平分∠ＤＡＣ，且ＡＥ∥ＢＣ．求证： △ＡＢＣ是等腰三角形． １４．（１２分）如图１２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ ＡＣ于点Ｄ．求证：∠Ａ＝２∠ＣＢＤ． １５．（１４分）如图１３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｍ是ＡＣ 边上的点，Ｎ是△ＡＢＣ内一点，ＭＮ∥ＡＢ，且ＡＭ＝ＭＮ＝ ＮＢ＝ＮＣ，∠ＡＣＮ＝２０°．求证：△ＮＢＣ是等边三角形． １６．（１６分）小马和小虎在解这样一道题：“如图１４， 在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｅ在ＡＢ边上，ＡＥ＝ＡＣ， ＢＤ＝ＢＣ，求∠ＤＣＥ的度数．”他们经过商量后，结论不 一致，小马说：“∠ＤＣＥ的度数与 ∠Ｂ的度数有关，只有 知道 ∠Ｂ的度数才能求出 ∠ＤＣＥ的度数．”小虎说： “∠ＤＣＥ的度数是一个定值，与∠Ｂ的度数无关．”他们 谁说的正确？请说明理由． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图１，△ＡＢＣ是等边三角形，Ｄ，Ｅ分别是 ＡＢ及ＡＣ延长线上的一点，且ＢＤ＝ＣＥ，连结ＤＥ交ＢＣ于 点Ｍ．求证：ＭＤ＝ＭＥ． ２．（１２分）如图２，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＣＡ＝ ＣＢ，点Ｍ在线段ＡＢ上，ＭＮ∥ＡＣ，ＭＧ平分∠ＮＭＢ交ＢＣ 于点Ｈ，ＢＧ⊥ＭＧ，垂足为点Ｇ． （１）求证：△ＢＭＮ是等腰直角三角形； （２）若ＭＨ＝８ｃｍ，求ＢＧ的长                                                                                                                                                                 ． 书 １３．３等腰三角形 １３．３．１等腰三角形的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．若一个等腰三角形的顶角为１１０°，则它的一个 底角的度数为 （　　） Ａ．７０° Ｂ．４５° Ｃ．３５° Ｄ．２５° ２．如图１，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，Ｈ是ＢＣ边的中点，∠Ｂ＝ ２８°，则∠ＨＡＣ的度数为（　　） Ａ．２８° Ｂ．４２° Ｃ．５２° Ｄ．６２° ３．如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，点Ｄ在ＡＣ边上， 点Ｅ在ＣＢ的延长线上，ＤＥ与ＡＢ相交于点Ｆ．若∠Ｃ＝ ５０°，∠Ｅ＝２５°，求∠ＢＦＥ的度数． ４．如图３，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，点 Ｄ，Ｆ是线段ＡＢ上的两点，连结ＣＤ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ 于点Ｅ，过点 Ｆ作 ＦＭ⊥ ＣＤ于点 Ｍ．若 ＡＣ＝ＡＤ，求 ∠ＭＦＤ的度数． １３．３．２等边三角形的性质 １．如图１，ａ∥ ｂ，△ＡＢＣ为等边三角形．若 ∠１＝ ４５°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．１０５° Ｂ．１２０° Ｃ．７５° Ｄ．４５° ２．如图２，在等边三角形ＡＢＣ中，ＡＤ是 ＢＣ边上的 中线，点Ｅ在线段ＡＤ上，∠ＡＢＥ＝１５°，则∠ＡＥＢ＝ （　　） Ａ．１０５° Ｂ．１２０° Ｃ．１３５° Ｄ．１４０° ３．如图３，点Ｄ在等边△ＡＢＣ 的边ＣＢ的延长线上，点Ｅ在线段 ＢＣ上，连结ＡＤ，ＡＥ．若ＤＡ＝ＤＥ， 且∠ＤＡＢ＝２０°，那么∠ＥＡＣ的度 数为 ． ４．如图４，∠ＡＣＢ＝９０°，△ＣＡＰ和△ＣＢＱ都是等边 三角形，ＢＱ和ＣＰ交于点Ｈ．求证：ＢＱ⊥ＣＰ． 能力提高 ５．如图５，在等边△ＡＢＣ中，ＢＣ＝８，过边ＢＣ上的 一点Ｐ作 ∠ＤＰＥ＝６０°，分别与边 ＡＢ，ＡＣ相交于点 Ｄ，Ｅ． （１）在图中找出与∠ＥＰＣ始终相等的角，并说明理 由； （２）若△ＰＤＥ为等边三角形，求ＢＤ＋ＣＥ的值． １３．３．３等腰三角形的判定 １．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２５°，∠Ｂ＝１３０°，则△ＡＢＣ 是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形 ２．如图１，∠Ｂ＝∠Ｃ＝３６°，∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ＝ ７２°，则图中的等腰三角形有 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ３．如图２，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ的平分线与 △ＡＢＣ 的外角平分线交于点Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于点 Ｅ，交 ＡＣ于点 Ｆ．若 ＢＥ＝８，ＣＦ＝６，则 ＥＦ的长是 ． ４．如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ＤＣ，点Ｅ在ＡＢ 边上，∠ＥＢＣ＝∠ＥＤＣ．求证：△ＥＢＤ是等腰三角形． ５．如图４，在△ＡＢＥ中，ＡＢ＝ＡＥ，ＡＣ＝ＡＤ，∠Ｄ＝ ∠Ｃ＝９０°，ＢＣ，ＤＥ交于点Ｏ．△ＯＢＥ是等腰三角形吗？ 请说明理由． １３．３．４等边三角形的判定 １．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝２，∠Ａ＝６０°，则ＢＣ＝ （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２．如图１，过等边△ＡＢＣ的顶点Ａ， Ｂ，Ｃ依次作 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的垂线 ＭＧ， ＭＮ，ＮＧ，三条垂线围成 △ＭＮＧ．若 ＭＮ ＝６，则△ＭＮＧ的周长为 ． ３．如图 ２，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，点Ｄ为△ＡＢＣ外一 点，且ＢＤ＝ＢＣ，∠ＤＢＣ＝３０°，连结ＡＤ，以ＡＢ为对称轴 构造△ＡＢＤ的轴对称图形 △ＡＢＥ，连结 ＣＥ．请判断 △ＢＣＥ的形状，并证明你的结论． 能力提高 ４．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ是△ＡＢＣ内 两点，ＡＥ平分 ∠ＢＡＣ，∠ＤＢＣ＝∠Ｄ＝６０°．若 ＢＤ＝ ９ｃｍ，ＤＥ＝２ｃｍ，求ＢＣ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （上接４版参考答案） ２１．（１）－１８，－８， －２这三个数是“完美 组合数”．理由如下： 因 为 （－１８）×（－８槡 ） ＝ １２， （－１８）×（－２槡 ） ＝６， （－８）×（－２槡 ） ＝４，所以－１８，－８，－２ 这三个数是“完美组合 数”． （２） （－３）×（－１２槡 ） ＝ ６． ①当 －３槡 ｍ ＝１２ 时，－３ｍ＝１４４，解得ｍ ＝－４８， （－４８）×（－１２槡 ） ＝ ２４； ② 当 －１２槡 ｍ ＝ １２时，－１２ｍ＝１４４，解 得ｍ＝－１２（不符合题 意，舍去）． 综上所述，ｍ的值 是 －４８． ２２．（１）∠ＤＡＧ ＝ ∠ＤＨＫ（或 ∠ＤＭＯ ＝ ∠ＤＨＫ）．证明如下： 因为 ＡＫ⊥ ＥＦ，所 以 ∠ＤＫＨ＝９０°．所以 ∠ＨＤＫ ＋ ∠ＤＨＫ ＝ ９０°．因为 ＨＧ⊥ ＡＢ，所 以 ∠ＤＧＡ＝９０°．所以 ∠ＡＤＧ＋∠ＤＡＧ＝９０°． 由对 顶 角 相 等， 得 ∠ＡＤＧ＝∠ＨＤＫ．所以 ∠ＤＨＫ＝∠ＤＡＧ． （∠ＤＭＯ＝∠ＤＨＫ 证明略．） （２）ＭＤ ＝ ＥＨ ＋ ＦＮ．证明如下： 连结 ＧＮ，图略．因 为 ∠ＡＣＢ＝９０°，所以 ∠ＥＣＦ＝１８０°－∠ＡＣＢ ＝９０°，∠ＣＡＤ＋∠ＡＤＣ ＝９０°．因为 ∠ＡＫＥ＝ ９０°，所以 ∠ＥＡＫ＋∠Ｅ ＝９０°．所以 ∠ＡＤＣ＝ ∠Ｅ．在△ＡＣＤ和△ＦＣＥ 中， 因 为 ∠ＡＣＤ ＝ ∠ＦＣＥ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＤＣ ＝∠Ｅ，所以 △ＡＣＤ≌ △ＦＣＥ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以 ＡＤ＝ＦＥ．因为 ＭＮ∥ ＡＢ，ＤＧ⊥ＡＢ，所以ＤＧ⊥ ＭＮ．所 以 ∠ＭＯＧ ＝ ∠ＮＯＧ＝９０°．在△ＭＯＧ 和△ＮＯＧ中，因为ＭＯ＝ ＮＯ，∠ＭＯＧ ＝ ∠ＮＯＧ， ＯＧ＝ＯＧ，所以 △ＭＯＧ ≌ △ＮＯＧ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所 以ＭＧ＝ＮＧ，∠ＭＧＯ＝ ∠ＮＧＯ．因为 ∠ＡＧＤ ＝ ９０°，ＧＭ平分 ∠ＡＧＤ，所 以 ∠ＡＧＭ ＝∠ＭＧＯ＝ ４５°．所以 ∠ＮＧＯ＝４５° ＝∠ＡＧＭ．在 △ＡＭＧ和 △ＨＮＧ中，因为 ∠ＭＡＧ ＝ ∠ＮＨＧ，∠ＡＧＭ ＝ ∠ＨＧＮ，ＭＧ＝ＮＧ，所以 △ＡＭＧ≌△ＨＮＧ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＡＭ＝ＨＮ．所以ＡＤ －ＡＭ ＝ＦＥ－ＨＮ，即 ＭＤ＝ＥＨ＋ＦＮ． （全文完） !"#$%&!"#"' !"#$%&'()*+ $"%!&%'(!')* !",-%&'()*+ +"%!&%'(!!'% . ! ! !"#$ ! " %&'( ()*+,-./01234 !" 5 ()*+,-./01234 !" 5 67 ! 89:7; <=>?@AB5C 67 ! 89:7; D=>?EAB5F " # $ % & ' ! , (& ) % * " $ ! " ' & ) + " , ! ' ( - % , ! ! , ( % . / ! ' ! ! $ & ' " + ! ' $ + ' 0 1 - ! , ! " + & ' " $ ! % ' 0 $ " & + ! ! & " $ + ' & $ ' " + ) ! ' ! " $ & + " ' $ ' + ! ! 2 * 3 ! !" 4 ( , * 3 ! " 4 ,( " & " & , 4 ( ! ! 4 & ( , ! ' ! " , ) ( 4 " ! , , 4 ( ! " , ( & 4 " ! !! ! % 4 " & ( , ! ) , ( 4 (! & ! ( " * ) 4 ,( , 4 & ( * " ! ! ( 4 , * - 2 3 ! ' ,( 4 & ! * ! !+ , 4 & ( ! !' , & ( 4 4 ( , & " ! ' & " ( , 4 ! !, " ! - , & ( 4