第10期 13.2 三角形全等的判定(2)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 问题：如图 １，已知 ＡＣ∥ ＢＤ，ＡＥ，ＢＥ分别平分 ∠ＣＡＢ， ∠ＤＢＡ，且ＣＤ经过点 Ｅ，试判断 ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系，并说 明理由． 方法一：截长法 思路分析：在线段ＡＢ上截取ＡＦ＝ＡＣ，连结ＥＦ，根据 “Ｓ．Ａ．Ｓ．”可得△ＣＡＥ≌△ＦＡＥ，则∠Ｃ＝∠ＡＦＥ，从而得 出∠ＥＦＢ＝∠Ｄ．根据“Ａ．Ａ．Ｓ．”可得△ＢＥＦ≌△ＢＥＤ， 则ＢＦ＝ＢＤ，从而得到ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系． 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如 下： 如图２，在ＡＢ上截取 ＡＦ＝ ＡＣ，连结ＥＦ． 因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ． 在△ＣＡＥ和△ＦＡＥ中， 因为ＡＣ＝ＡＦ，∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ，ＡＥ＝ＡＥ， 所以△ＣＡＥ≌△ＦＡＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以∠Ｃ＝∠ＡＦＥ． 因为ＡＣ∥ＢＤ，所以∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°． 因为∠ＥＦＢ＋∠ＡＦＥ＝１８０°，所以∠ＥＦＢ＝∠Ｄ． 因为ＢＥ平分∠ＤＢＡ，所以∠ＦＢＥ＝∠ＤＢＥ． 在△ＢＥＦ和△ＢＥＤ中， 因为∠ＥＦＢ＝∠Ｄ，∠ＦＢＥ＝∠ＤＢＥ，ＢＥ＝ＢＥ， 所以△ＢＥＦ≌△ＢＥＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＢＦ＝ＢＤ． 因为ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ，所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 方法二：补短法 思路分析：延长ＡＣ到点Ｆ，使ＡＦ＝ＡＢ，连结ＥＦ．根 据“Ｓ．Ａ．Ｓ．”可得△ＡＥＦ≌△ＡＥＢ，则∠Ｆ＝∠ＡＢＥ，ＥＦ ＝ＥＢ．再根据“Ａ．Ａ．Ｓ．”可得△ＣＥＦ≌△ＤＥＢ，则ＦＣ＝ ＢＤ，从而得出ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系． 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如下： 如图３，延长 ＡＣ至点 Ｆ，使 ＡＦ＝ＡＢ，连结ＥＦ． 因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ． 在△ＡＥＦ和△ＡＥＢ中， 因为 ＡＦ ＝ＡＢ，∠ＦＡＥ ＝ ∠ＢＡＥ，ＡＥ＝ＡＥ， 所以△ＡＥＦ≌△ＡＥＢ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以∠Ｆ＝∠ＡＢＥ，ＥＦ＝ＥＢ． 因为ＢＥ平分∠ＤＢＡ，所以∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＥ． 所以∠Ｆ＝∠ＤＢＥ． 因为ＡＣ∥ＢＤ，所以∠ＦＣＥ＝∠Ｄ． 在△ＣＥＦ和△ＤＥＢ中， 因为∠ＦＣＥ＝∠Ｄ，∠Ｆ＝∠ＤＢＥ，ＥＦ＝ＥＢ， 所以△ＣＥＦ≌△ＤＥＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＦＣ＝ＢＤ． 因为ＡＢ＝ＡＦ＝ＡＣ＋ＦＣ， 所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 温馨提示：截长法和补短法是解决全等三角形中线 段的和、差、倍、分等题目的常用方法．若题目的条件或 待求结论中含有“ａ＝ｂ＋ｃ”，需要添加辅助线时，应考 虑截长法或补短法，其具体做法为：在最长的线段上截 取一条线段与较短的线段相等，或是将一条较短的线段 延长，使之与最长的线段相等，再利用全等三角形的知 识进行说明． 书 在实际应用中，对于一些不能直接测量的距离，可 以构造全等三角形来完成测量．现举例说明． 一、计算砖块的厚度 例１　如图１，课间小聪拿 着老师的等腰直角三角板玩， 不小心掉到两墙之间，小聪用 三角板量出 ＣＥ＝１２ｃｍ，于是 小聪很快就知道了砌墙砖块的 厚度（每块砖的厚度相等）．你知道他是怎样算出来的 吗？砌墙砖块的厚度是多少？ 解：由题意可知 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ＝９０°， ＡＣ＝ＣＢ． 所以 ∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＤ ＝９０°，∠ＥＣＢ＋∠ＡＣＤ ＝ ９０°． 所以∠ＤＡＣ＝∠ＥＣＢ． 在△ＡＤＣ和△ＣＥＢ中，因为∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ，∠ＤＡＣ ＝∠ＥＣＢ，ＡＣ＝ＣＢ，所以△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＡＤ＝ＣＥ＝１２ｃｍ． 所以砌墙砖块的厚度是４ｃｍ． 二、测量斜坡上一点的竖直高度 例２　 如图 ２，ＡＤ是一段斜坡， ＡＢ是水平线，现为了测量斜坡上一点 Ｄ的竖直高度ＤＢ的长度，欢欢在Ｄ处 立上一竹竿ＣＤ，并保证ＣＤ⊥ＡＤ，然 后在竿顶Ｃ处垂下一根绳ＣＥ，与斜坡 的交点为点Ｅ，他调整好绳子ＣＥ的长度，使得ＣＥ＝ＡＤ， 此时他测得ＤＥ＝２米，求ＢＤ的长度． 解：如图２，延长ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ． 因为∠Ａ＋∠１＝９０°，∠Ｃ＋∠２＝９０°，∠１＝∠２， 所以∠Ａ＝∠Ｃ． 在△ＡＢＤ和△ＣＤＥ中，因为∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＥ，∠Ａ ＝∠Ｃ，ＡＤ＝ＣＥ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＤＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＢＤ＝ＤＥ＝２米． 三、测量土地的面积 例３　如图３，有一块不规 则土地ＡＢＣＤ，分别被甲、乙二 人承包，一条公路 ＧＥＦＨ穿过 这块土地，ＥＦ左边是甲的土 地，右边是乙的土地，ＡＢ∥ ＣＤ．为了方便通行，决定将这 条公路尽量修直，但要求甲、 乙二人的土地面积不变．请你设计一种方案，解决这个 问题，并说明理由． 解：取ＥＦ的中点Ｏ，连结ＧＯ并延长交ＦＨ于点Ｍ，ＧＭ 分别交ＡＢ，ＣＤ于点Ｐ，Ｑ，如图３，ＧＭ就是修直后的公路． 理由如下： 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＰＥＯ＝∠ＱＦＯ． 因为点Ｏ是ＥＦ的中点，所以ＥＯ＝ＦＯ． 由对顶角相等，得∠ＥＯＰ＝∠ＦＯＱ． 在△ＥＯＰ和△ＦＯＱ中，因为 ∠ＰＥＯ＝∠ＱＦＯ，ＥＯ ＝ＦＯ，∠ＥＯＰ＝∠ＦＯＱ， 所以△ＥＯＰ≌△ＦＯＱ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． 所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变． 书 （上接４版参考答案） １６．延长 ＣＤ至点 Ｆ，使 ＤＦ＝ＡＢ，连结 ＥＦ，图略．因为 ∠ＣＤＥ ＝１２０°，所以∠ＥＤＦ＝ １８０°－∠ＣＤＥ＝６０°．因 为∠Ａ＝６０°，所以∠Ａ ＝∠ＥＤＦ．在 △ＥＡＢ和 △ＥＤＦ中，因为 ＡＥ＝ ＤＥ，∠Ａ ＝ ∠ＥＤＦ，ＡＢ ＝ＤＦ，所以 △ＥＡＢ≌ △ＥＤＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＦ，ＢＥ＝ ＦＥ． 因 为 ∠ＡＥＢ ＋ ∠ＣＥＤ＝∠ＢＥＣ，所以 ∠ＤＥＦ ＋ ∠ＣＥＤ ＝ ∠ＦＥＣ ＝ ∠ＢＥＣ．在 △ＥＣＢ和 △ＥＣＦ中，因 为 ＥＣ＝ＥＣ，∠ＢＥＣ＝ ∠ＦＥＣ，ＢＥ＝ＦＥ，所以 △ＥＣＢ≌△ＥＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ）． 所以 ∠ＥＣＢ＝∠ＥＣＦ， 即ＣＥ平分∠ＢＣＤ． 附加题　１．（１）因 为 ＤＦ∥ ＢＣ， 所 以 ∠ＡＤＦ ＝ ∠Ｃ．因 为 ∠ＡＢＦ ＝ ∠Ｃ，所 以 ∠ＡＢＦ ＝ ∠ＡＤＦ．在 △ＡＢＦ和 △ＡＤＦ中，因 为 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＡＢＦ＝ ∠ＡＤＦ，ＢＦ＝ＤＦ，所以 △ＡＢＦ≌△ＡＤＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为∠ＡＢＥ＝ ３０°，∠ＡＥＢ＝７０°，所以 ∠ＢＡＥ＝１８０°－∠ＡＢＥ －∠ＡＥＢ＝８０°．由（１） 知△ＡＢＦ≌ △ＡＤＦ．所 以 ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝ １ ２∠ＢＡＥ＝４０°．所以 书 上期２版 １３．１命题、定理与证明 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ａ； ４．如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 零． ５．（１）真命题； （２）假命题，当ａ＝－１，ｂ＝－２时，ａｂ＞０； （３）假命题，如∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝５０°，则∠Ａ＋∠Ｂ ＝７０°，其和不是钝角； （４）真命题． ６．依次填入：已知；两直线平行，同位角相等；已知； 垂直的定义；等量代换；垂直的定义． ７．因为 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，所以 ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＤＯＢ（对顶角的性质）．因为ＯＥ，ＯＦ分别平分∠ＡＯＣ， ∠ＤＯＢ，所以∠１＝１２∠ＡＯＣ，∠２＝ １ ２∠ＤＯＢ（角平分线 的定义）．所以∠１＝∠２（等量代换）．因为∠ＡＯＦ＋∠２ ＝１８０°（平角的定义），所以∠ＡＯＦ＋∠１＝１８０°（等量 代换）．所以ＯＥ与ＯＦ在同一条直线上． １３．２三角形全等的判定 １３．２．１全等三角形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．１０ｃｍ；　４．９０°； ５．８． ６．因为△ＡＢＥ≌△ＤＣＥ，所以∠Ａ＝∠ＥＤＣ．因为 ∠Ｆ＝∠Ａ，所以∠Ｆ＝∠ＥＤＣ．所以ＡＤ∥ＢＦ． ７．（１）因为 △ＡＣＥ≌ △ＤＣＢ，所以 ＡＥ＝ＢＤ ＝ ８ｃｍ． （２）因为△ＡＣＥ≌△ＤＣＢ，所以∠ＤＣＢ＝∠ＡＣＥ＝ １１５°．所以∠ＢＤＣ＝１８０°－∠ＤＢＣ－∠ＤＣＢ＝４０°． 能力提高　８．１９３或６． １３．２．２边角边（Ｓ．Ａ．Ｓ．） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．ＡＦ＝ＤＥ． ４．（１）在△ＣＤＡ和△ＢＥＦ中，因为ＣＤ＝ＢＥ，∠１＝ ∠Ｂ，ＣＡ＝ＢＦ，所以 △ＣＤＡ≌ △ＢＥＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ∠Ｄ＝∠２． （２）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠２＝∠ＢＡＣ＝８０°．所以 ∠Ｄ＝８０°． ５．（１）由对顶角相等，得 ∠ＡＯＢ ＝∠ＣＯＤ．在 △ＡＯＢ和△ＣＯＤ中，因为 ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ， ＯＢ＝ＯＤ，所以△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）由（１）知△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ．因为ＡＢ＝８，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝８．在△ＢＣＤ中，ＢＣ－ＣＤ＜ＢＤ＜ＢＣ＋ＣＤ， 即２＜２ＯＢ＜１８．所以１＜ＯＢ＜９． ６．（１）因为ＣＥ∥ＡＢ，所以∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．在△ＡＢＣ 和△ＤＣＥ中，因为ＢＣ＝ＣＥ，∠Ｂ＝∠ＤＣＥ，ＢＡ＝ＣＤ，所 以△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）由（１）知△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ．因为∠Ｄ＝２２°，所 以∠Ａ＝∠Ｄ＝２２°．因为∠Ｂ＝５０°，所以∠ＡＧＦ＝∠Ｂ ＋∠Ｄ＝７２°．所以∠ＡＦＧ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＧＦ＝８６°． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ 二、９．一个角是锐角的补角，这个角是钝角； １０．１８；　１１．３０；　１２．８或６． 三、１３．因为 △ＡＯＢ≌ △ＡＤＣ，所以 ∠ＯＡＢ ＝ ∠ＤＡＣ．因为 ∠ＯＡＤ ＝∠ＤＡＢ＋∠ＯＡＢ＝８０°，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＢ＋∠ＤＡＣ＝８０°．因为∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ， 所以∠ＡＢＣ＝１２（１８０°－∠ＢＡＣ）＝５０°．因为ＢＣ∥ＯＡ， 所以 ∠ＯＡＢ＝∠ＡＢＣ＝５０°．因为 ∠Ｏ ＝９０°，所以 ∠ＡＢＯ＝９０°－∠ＯＡＢ＝４０°． １４．该命题是真命题．证明如下： 因为∠１＝∠２，所以１８０°－∠１＝１８０°－∠２，即 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中，因为ＢＣ＝ＤＣ， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，ＡＣ＝ＡＣ，所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以∠Ｂ＝∠Ｄ． １５．（１）由对顶角相等，得 ∠ＢＣＦ＝∠ＤＣＥ．在 △ＢＣＦ和△ＤＣＥ中，因为ＢＣ＝ＤＣ，∠ＢＣＦ＝∠ＤＣＥ，ＣＦ ＝ＣＥ，所以△ＢＣＦ≌△ＤＣＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ∠ＢＦＣ＝ ∠Ｅ．所以ＢＦ∥ＤＥ．因为ＡＭ∥ＤＥ，所以点Ａ，Ｍ，Ｆ在一 条直线上． （２）由（１）知△ＢＣＦ≌△ＤＣＥ．因为ＤＥ＝１００米， 所以ＢＦ＝ＤＥ＝１００米．因为ＢＭ＝４０米，ＦＮ＝２０米， 所以ＭＮ＝ＢＦ－ＢＭ－ＦＮ＝４０米． 答：山中隧道ＭＮ的长为４０米． （下转１，４版中缝） 书 “Ｓ．Ｓ．Ｓ．”是三角形全等 家庭中重要的一员，活泼可 爱，十分迷人，今天她来到同 学们之间，向大家介绍自己的 迷人之处． 一、直接判定全等 例１　如图１，已知ＡＢ＝ ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＦ＝ＥＣ，那么 △ＡＢＣ和 △ＤＥＦ全等吗？请 说明理由． 分析：条件中已经知道了 两组对边相等，我们再知道一 组对边相等即可判定全等．由 已知中的ＢＦ＝ＥＣ，再结合图形，不难得到ＢＣ＝ＥＦ，故可 用“Ｓ．Ｓ．Ｓ．”判定全等． 解：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ．理由如下： 因为ＢＦ＝ＥＣ，所以ＢＦ－ＣＦ＝ＥＣ－ＣＦ，即ＢＣ＝ ＥＦ． 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，因为ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＣ ＝ＥＦ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． 二、由全等推性质 例２　如图２，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ ＤＢ．试说明：ＡＢ∥ＣＤ． 分析：要说明 ＡＢ∥ ＣＤ，只需 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，要使 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＤＣＢ，只需判定△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ． 解：在 △ＡＢＣ和 △ＤＣＢ中，因为 ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ ＤＢ，ＢＣ＝ＣＢ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． 所以∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ． 所以ＡＢ∥ＣＤ． 三、添加辅助线构造全等三角形 例３　如图３，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ ＝ＣＢ．试说明：∠Ａ＝∠Ｃ． 分析：显然根据已知条件无 法说明图中的两个三角形全等， 若连结ＢＤ，利用“Ｓ．Ｓ．Ｓ．”则可判 定△ＡＢＤ≌△ＣＤＢ，再根据全等三角形的性质解题即可． 解：连结ＢＤ，如图３． 在△ＡＢＤ和△ＣＤＢ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ， ＢＤ＝ＤＢ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＤＢ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． 所以∠Ａ＝∠Ｃ． ! !" #$% ! " # $ % ! ! " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""" ! & ' ( ) * % ! ! $ ! & ' ( $) & % ! " $ ! # & % " % $ ' * + & , - ! . ) / ! " ! " ) $ # $ ' % ! % ! $ 书 两个三角形全等的判定方法有“Ｓ．Ａ．Ｓ．”，“Ａ．Ｓ．Ａ．”， “Ａ．Ａ．Ｓ．”，“Ｓ．Ｓ．Ｓ．”及直角三角形中的“Ｈ．Ｌ．”，它们都需 要三个条件，而常见的试题却往往只给出两个明显的已知 条件，面对“二缺一”的局面，到底选择哪种方法来判定呢？ 一、已知两边对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ＢＣ＝ＥＦ 方法一 找两边的夹角对应相等：首先判断 ∠Ｂ＝ ∠Ｅ，然后应用“Ｓ．Ａ．Ｓ．”判定全等 方法二 找第三边对应相等：首先判断ＡＣ＝ＤＦ，然 后应用“Ｓ．Ｓ．Ｓ．”判定全等 例１　如图１，已知ＡＢ＝ ＤＥ，ＡＤ＝ＣＦ，添加下列条件， 能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ的是 （　　） Ａ．ＡＣ＝ＤＦ Ｂ．∠Ａ＝∠ＦＤＥ Ｃ．∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ 解析：因为ＡＤ＝ＣＦ，所以ＡＤ＋ＣＤ＝ＣＦ＋ＣＤ，即 ＡＣ＝ＤＦ．要判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，已经有两边对应相 等，应添加这两边的夹角对应相等或第三边对应相等． 添加ＡＣ＝ＤＦ或∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ或∠Ｂ＝∠Ｅ，不 能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； 添加∠Ａ＝∠ＦＤＥ，根据“Ｓ．Ａ．Ｓ．”判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ． 故选Ｂ． 二、已知两角对应相等 已知条件 ∠Ａ＝∠Ｄ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知两角的夹边对应相等：首先判断 ＡＢ ＝ＤＥ，然后应用“Ａ．Ｓ．Ａ．”判定全等 方法二 找已知一角的对边相等：首先判断ＡＣ＝ＤＦ或 者ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“Ａ．Ａ．Ｓ．”判定全等 例２　如图２，ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，∠Ａ＝∠Ｄ，请你再补充一个 条件，使△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，你补充 的条件是 ． 解析：由对顶角相等，得 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ．要判定△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，应添加一组 边对应相等． 添加 ＡＯ ＝ＤＯ，根据“Ａ．Ｓ．Ａ．”判定 △ＡＯＢ≌ △ＤＯＣ； 添加ＡＢ＝ＤＣ或 ＢＯ＝ＣＯ，根据“Ａ．Ａ．Ｓ．”判定 △ＡＯＢ≌△ＤＯＣ． 故填ＡＯ＝ＤＯ或ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ． 三、已知一边、一角对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知角的另一邻边对应相等：首先判断 ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“Ｓ．Ａ．Ｓ．”判定全等 方法二 找已知边的另一邻角对应相等：首先判断 ∠Ａ＝∠Ｄ，然后应用“Ａ．Ｓ．Ａ．”判定全等 方法三 找已知边的对角对应相等：首先判定 ∠Ｃ ＝∠Ｆ，然后应用“Ａ．Ａ．Ｓ．”判定全等 例３　 如图３，已知 ∠ＤＡＢ ＝∠ＣＡＢ，点 Ａ，Ｂ，Ｅ共线，添加 下列条件不能判定 △ＤＡＢ≌ △ＣＡＢ的是 （　　） Ａ．∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ Ｂ．∠Ｄ＝∠Ｃ Ｃ．ＤＡ＝ＣＡ Ｄ．ＤＢ＝ＣＢ 解析：由图可知，ＡＢ是公共边． 添加∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ，因为∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＢＥ－∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＥ－∠ＣＡＢ，即∠Ｄ＝∠Ｃ，根据 “Ａ．Ａ．Ｓ．”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加 ∠Ｄ＝∠Ｃ，根据“Ａ．Ａ．Ｓ．”判定 △ＤＡＢ≌ △ＣＡＢ； 添加 ＤＡ＝ＣＡ，根据“Ｓ．Ａ．Ｓ．”判定 △ＤＡＢ≌ △ＣＡＢ； 添加ＤＢ＝ＣＢ，无法判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ． 故选Ｄ． # % ) ' $ ! ) % ! $ # ' ! ! # ) - $ % ! $ ! +, -./ # % ) ' $ ! # % ) ' $ ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ) $ ! # % ! ! ) $ ! # % ! $ ' ) $ ! # % ! " ' !"#$ 012345678&'('&'#&'&'('#('('('# )'*'9 :;<=> $%&'()*+,-./012 3&'('&'#&'&'('#('('('#)'*'4#&5678 9:;<' ?@AB>=>?@A./012 9:)*+,-.;<' ! CD EFG !"# #+$,$-%,& !"#$ !"#$%&'() ' " !" (' !!"#) % ! *+,- HIJ:KLDMNOPQR !% S !"#$%&'" ()*+,-'. 8TU $V" WIX9 # ! ) % ! " $ * +, Y.Z - * +, [\] - ( . /, ^_Z - * +, ` a - * +, b c ./012, ^ d 34015, ^ef .6718, g h .679:, ijk \lm n o pq* r s tuv [wx rye z j {|* }~. n) €) [.‚ ƒcI „…o † v ‡ˆ‰ \Š‹ ;5./, \ Œ ;5<=, z  >?./, [Ž @A./, [ BCDE, ‘’“ C”M•N:–— C”MN˜™š›œžŸ C”MN ¡¢£¤¥¦§–¨ J©ª«¬­®W «¯>Y.Z °±²³´µ®W¶·>./%,0+1+12839 ¸¹º·>$%0$+4 #»ª!¼!W #½€0®W #¬ÀÁÂÃ>+"5%05$1%$54 #»ªÄÅ>C”ÆÇÈÉqÊËÌÍÎ %"$ ·J©ª«HIJ:¬­Á #¸Ï¬Ð>+"+++4 #ÉÑÁÒªÓÔ>+"5%"5$1%%$5 +"5%"5$1%$"18œÕ9 #ÒÖ>×Ø»ªÉÑÁÅÙÚ3°ÛܸÝ8Þ9 #¸ÏÒÖÓÔ>%%%65 #ßàáâÒãäÒåæÒ #»ªç3°ÛÆ8É9è˜éêëª #ìí¢£îßï·>%,++++,+++%%+ #ìíÁÂÃ>+"5%"5#1%#55 #»ªðñ,Dòœóô¤¥¦§8õöÉ÷øËùúûüýš›þ %% ·9ÿóV!¤ó"#$%&V×Ø»ªÉÑÁÅÙ'( 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很 快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与 原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是 （　　） Ａ．Ｓ．Ｓ．Ｓ． Ｂ．Ｓ．Ａ．Ｓ． Ｃ．Ａ．Ａ．Ｓ． Ｄ．Ａ．Ｓ．Ａ． ２．如图２，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，ＣＢ＝ＣＤ，∠１＝３０°， 则∠２＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ３．如图３，ＡＢ∥ＤＥ，ＡＣ∥ＤＦ，ＢＥ＝ＣＦ，ＡＢ＝３，则 ＤＥ的长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．无法确定 ４．如图４，ＭＮ∥ ＰＱ，ＡＢ⊥ ＰＱ，点 Ａ，Ｄ在直线 ＭＮ 上，点Ｂ，Ｃ在直线ＰＱ上，点Ｅ在ＡＢ上．若ＡＤ＋ＢＣ＝７， ＡＤ＝ＥＢ，ＤＥ＝ＥＣ，则ＡＢ的长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．无法确定 ５．如图５，已知ＢＥ⊥ＡＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，且 ＢＥ＝ＣＦ，则ＡＤ是△ＡＢＣ的 （　　） Ａ．中线 Ｂ．高线 Ｃ．角平分线 Ｄ．无法确定 ６．如图６，在 △ＡＣＤ和 △ＢＣＥ中，ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＥ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＥ＝５５°，∠ＢＣＤ＝１５５°，ＡＤ与ＢＥ相 交于点Ｐ，则∠ＢＰＤ的度数为 （　　） Ａ．１１０° Ｂ．１２５° Ｃ．１３０° Ｄ．１５５° ７．如图７，点Ｃ在ＤＥ上，ＡＢ＝ＡＥ，ＢＣ交ＡＥ于点Ｆ， ∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＥ，ＢＣ＝５，ＣＤ＝２，则ＥＣ的长 为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ８．如图８，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝６０°，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ 的平分线ＢＤ，ＣＥ相交于点Ｏ，ＢＤ交ＡＣ于点Ｄ，ＣＥ交ＡＢ 于点Ｅ．若ＢＣ＝７，ＢＥ＝４，则ＣＤ的长为 （　　） Ａ．７２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．无法确定 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图 ９，∠Ａ＝∠Ｅ，∠ＢＣＤ ＝∠ＡＣＥ，要运用 “Ａ．Ａ．Ｓ．”判定 △ＡＢＣ≌ △ＥＤＣ，应添加的条件是 ． １０．如图１０，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＞ＡＢ，点Ｄ在边ＡＢ的 延长线上，ＡＤ＝ＡＣ，在ＢＣ上有一点Ｅ，使得ＣＥ＝ＤＥ， 连结ＡＥ．若∠ＡＥＢ＝５０°，则∠ＢＥＤ的度数为 ． １１．如图１１，ＡＢ＝１２，∠ＡＢＣ＝９０°，ＤＡ⊥ＡＢ，点Ｅ 是ＣＤ的中点，连结ＡＥ并延长交ＢＣ于点Ｆ，ＡＤ＝５，ＢＣ ＝１０，则△ＡＢＦ的面积为 ． １２．如图１２，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ为对角线，且 ＡＣ＝ＡＢ，∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＤ，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ．若ＢＤ＝６， ＣＤ＝４，则ＤＥ的长度为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）如图１３，Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｅ四点在同一条直线 上，ＡＤ＝ＢＥ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ，∠Ｅ＋∠ＣＢＥ＝１８０°．求证： ＡＣ＝ＤＦ． １４．（１２分）如图１４，点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｅ在一条直线上，ＡＣ ＝ＥＦ，ＡＤ＝ＢＥ，ＢＣ＝ＤＦ，ＢＣ与ＤＦ交于点Ｏ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ； （２）若∠Ａ＝６０°，∠Ｆ＝６５°，求∠ＡＢＣ的度数． １５．（１４分）小明在物理课上学习了发声物体的振 动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆 点Ｏ处用一根细绳悬挂一个小球Ａ，小球Ａ可以自由摆 动，如图１５，ＯＡ表示小球静止时的位置．当小明用发声 物体靠进小球时，小球从 ＯＡ摆到 ＯＢ位置，此时过点 Ｂ 作ＢＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，当小球摆到ＯＣ位置时，ＯＢ与ＯＣ恰 好垂直（图中的Ａ，Ｂ，Ｏ，Ｃ在同一平面上），过点Ｃ作ＣＥ ⊥ＯＡ于点Ｅ，测得ＣＥ＝１５ｃｍ，ＡＤ＝２ｃｍ． （１）求证：ＯＥ＝ＢＤ； （２）求ＯＢ的长． １６．（１６分）如图１６－①，△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠ＡＢＣ， 延长ＡＣ到Ｅ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｆ， 延长ＣＢ到Ｇ，过点Ｇ作ＧＨ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｈ， 且ＥＦ＝ＧＨ． （１）求证：△ＡＥＦ≌△ＢＧＨ； （２）如图１６－②，连结ＥＧ与ＦＨ相交于点Ｄ，若ＡＢ ＝４，求ＤＨ的长． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（１０分）如图１，点Ｂ，Ｃ分别在射线ＡＭ，ＡＮ上，点 Ｅ，Ｆ都在∠ＭＡＮ内部的射线 ＡＤ上，已知 ＡＢ＝ＡＣ，且 ∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝∠ＢＡＣ． （１）求证：△ＡＢＥ≌△ＣＡＦ； （２）试判断ＥＦ，ＢＥ，ＣＦ之间的数量关系，并说明理 由． ２．（１０分）如图２，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ， ＯＤ分别是 ∠ＢＡＤ，∠ＡＢＣ，∠ＢＣＤ，∠ＡＤＣ的平分线．求 证：                                                                                                                                                                 ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＤ＋ＢＣ． 书 １３．２三角形全等的判定 １３．２．３角边角（Ａ．Ｓ．Ａ．） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图 １，ＡＣ ＝ ＤＦ，∠１ ＝ ∠２，如果根据 “Ａ．Ｓ．Ａ．”判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，那么需要补充的条件 是 （　　） Ａ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｂ．ＡＢ＝ＤＥ Ｃ．ＢＦ＝ＣＥ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ ２．如图２，已知 △ＡＢＣ的面积为１５ｃｍ２，ＢＰ平分 ∠ＡＢＣ，过点Ａ作ＡＰ⊥ＢＰ于点Ｐ，则△ＰＢＣ的面积为 ｃｍ２． ３．如图３，ＡＢ∥ ＣＤ，ＢＣ∥ ＡＤ，ＢＥ＝ＤＦ，图中全等的三角 形的对数是 ． ４．如图 ４，点 Ｄ，Ｅ分别在 ＡＣ，ＡＢ上，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＢ＝ＡＣ．求证：ＢＤ＝ＣＥ． ５．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池 塘的长度，他们所绘如图５，点Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在直线ｌ上（点 Ｆ，Ｃ之间不能直接测量，为池塘的长度），点Ａ，Ｄ在ｌ的 异侧，且ＡＢ∥ＤＥ，∠Ａ＝∠Ｄ，测得ＡＢ＝ＤＥ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； （２）若ＢＥ＝１００ｍ，ＢＦ＝３０ｍ，求池塘ＦＣ的长． １３．２．４角角边（Ａ．Ａ．Ｓ．） １．如图１，已知∠１＝∠２， ＡＣ＝ＡＤ，增加下列条件，不能 使△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ的是 （　　） Ａ．ＢＣ＝ＥＤ Ｂ．ＡＢ＝ＡＥ Ｃ．∠Ｃ＝∠Ｄ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ ２．如图２，△ＡＢＣ中 ＢＣ边上的高为 ｈ１，△ＤＥＦ中 ＤＥ边上的高为ｈ２，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ｈ１ ＞ｈ２ Ｂ．ｈ１ ＝ｈ２ Ｃ．ｈ１ ＜ｈ２ Ｄ．无法确定ｈ１，ｈ２的大小 ３．如图３，ＡＢ＝ＡＥ，ＡＢ∥ＤＥ，∠ＡＣＢ＝∠Ｄ．求证： △ＡＢＣ≌△ＥＡＤ． ４．如图４，要测量河两岸上Ａ，Ｂ两点的距离，在点Ｂ 所在河岸一侧平地上取一点 Ｃ，使 Ａ，Ｂ，Ｃ在一条直线 上，另取点Ｄ，使ＣＤ＝ＢＣ，测得∠ＤＣＢ＝１００°，∠ＡＤＣ ＝６５°，在ＣＤ的延长线上取点Ｅ，使∠ＢＥＣ＝１５°．这时 测得ＤＥ的长就是Ａ，Ｂ两点的距离，为什么？ １３．２．５边边边（Ｓ．Ｓ．Ｓ．） １．如图１，已知ＡＣ＝ＦＥ，ＢＣ ＝ＤＥ，点 Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆ在一条直线 上，要利用“Ｓ．Ｓ．Ｓ．”证明△ＡＢＣ ≌△ＦＤＥ，可以添加的一个条件 是 （　　） Ａ．ＡＤ＝ＦＢ Ｂ．ＤＥ＝ＢＤ Ｃ．ＢＦ＝ＤＢ Ｄ．以上都不对 ２．如图２，已知△ＡＢＣ与△ＤＥＦ，Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｄ四点在 同一条直线上，其中ＡＢ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ，ＡＣ＝ＤＥ，则 ∠ＡＣＢ＝ （　　） Ａ．∠ＥＦＤ Ｂ．∠ＡＢＣ Ｃ．２∠Ｄ Ｄ．１２∠ＡＦＥ ３．如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＥ＝ＣＦ，ＢＥ＝ ＡＦ，则∠Ｅ＝∠ ，∠ＣＡＦ＝∠ ． ４．如图４，已知 ＡＢ＝ＣＢ，ＡＤ＝ＣＤ．求证：∠Ａ＝ ∠Ｃ． ５．如图５，点Ｃ在线段ＡＢ上，ＣＤ＝ＣＥ，ＤＥ交ＡＢ于 点Ｆ，且ＢＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＢＣ＝ＡＦ． （１）求证：ＡＤ∥ＢＥ； （２）若∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝５０°，∠ＢＣＥ＝２０°，求 ∠Ｂ的度数． １３．２．６斜边直角边（Ｈ．Ｌ．） １．如图 １，ＢＥ ＝ＣＦ，ＡＥ⊥ ＢＣ，ＤＦ⊥ ＢＣ，要根据“Ｈ．Ｌ．”证 明Ｒｔ△ＡＢＥ≌ Ｒｔ△ＤＣＦ，则还要 添加一个条件是 （　　） Ａ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｂ．ＡＢ＝ＣＤ Ｃ．ＡＥ＝ＥＦ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｃ ２．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是 （　　） Ａ．两个锐角对应相等 Ｂ．一个锐角和斜边对应相等 Ｃ．两条直角边对应相等 Ｄ．一条直角边和斜边对应相等 ３．如图２，ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ＝ＢＣ，ＣＥ⊥ＡＢ， ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ，Ｆ．求证： （１）△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ； （２）ＣＥ＝ＤＦ． ４．如图３，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝ ９０°，ＢＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＣＦ＝ＡＥ，ＢＣ＝ ＤＡ．求证：Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ＣＤＦ． 书 ∠ＡＦＢ＝１８０°－∠ＡＢＦ －∠ＢＡＦ＝１１０°． ２．（１）因为 ＡＤ∥ ＢＣ， 所 以 ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＣＢＤ．在 △ＡＢＤ和 △ＣＤＢ中，因为 ＡＤ ＝ ＣＢ，∠ＡＤＢ ＝ ∠ＣＢＤ， ＢＤ＝ＤＢ，所以 △ＡＢＤ ≌△ＣＤＢ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所 以ＡＢ＝ＣＤ． （２） 由 （１） 知 ∠ＥＤＧ＝∠ＦＢＧ．点 Ｅ 从点Ｄ运动到点Ａ的时 间是４秒，点Ｆ从点Ｃ沿 Ｃ→Ｂ→Ｃ运动到点 Ｃ 的时间是 ８ ３秒，设运动 时间为ｔ秒，点Ｇ的运动 速度为每秒ａ个单位． ① 当 ０＜ｔ≤ ４３ 时，当 ＤＥ＝ＢＦ，ＤＧ＝ ＢＧ 时，△ＤＥＧ ≌ △ＢＦＧ，则 ｔ＝４－３ｔ，６ －ＢＧ＝ＢＧ，解得ｔ＝１， ＢＧ＝３，所以ａ＝３÷１ ＝３； 当ＤＥ＝ＢＧ，ＤＧ＝ ＢＦ 时，△ＤＥＧ ≌ △ＢＧＦ，则 ｔ＝ＢＧ，６－ ＢＧ＝４－３ｔ，解得 ｔ＝ －１，ＢＧ＝－１（舍去）． ② 当 ４３ ＜ｔ≤ ８ ３ 时，当 ＤＥ＝ＢＦ，ＤＧ＝ ＢＧ 时，△ＤＥＧ ≌ △ＢＧＦ，所以ｔ＝３ｔ－４， ６－ＢＧ＝ＢＧ，解得ｔ＝ ２，ＢＧ＝３，所以ａ＝３÷ ２＝ ３２； 当ＤＥ＝ＢＧ，ＤＧ＝ ＢＦ 时，△ＤＥＧ ≌ △ＢＧＦ，所以 ｔ＝ＢＧ，６ －ＢＧ＝３ｔ－４，解得ｔ＝ ５ ２，ＢＧ＝ ５ ２，所以ａ＝ ５ ２÷ ５ ２ ＝１． 综上所述，当点 Ｇ 的运动速度为每秒３个 单位或 ３ ２ 个单位或 １个单位时， 会 出 现 △ＤＥＧ与 △ＢＦＧ全等 的情况． （全文完）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