第17期 15.4 角的平分线（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 如图１，已知 ∠ＡＯＢ，要求作此角的平分线，不巧的 是你手头上没有圆规，只有三角板或无刻度的直尺，你 能利用现有的工具解决这个问题吗？下面就此介绍几种 方法，供同学们参考． 一、利用三角板作角平分线 作法：如图２，（１）在∠ＡＯＢ的两边上分别截取ＯＭ ＝ＯＮ（如都等于三角板斜边的长）； （２）分别用三角板过点 Ｍ，Ｎ作 ＯＡ，ＯＢ的垂线，并 交于点Ｐ； （３）作射线ＯＰ，则射线ＯＰ即为∠ＡＯＢ的平分线． 理由：因为ＯＭ ＝ＯＮ，ＯＰ＝ＯＰ，所以Ｒｔ△ＯＰＭ≌ Ｒｔ△ＯＰＮ（ＨＬ）．所以∠ＰＯＭ＝∠ＰＯＮ，即ＯＰ为∠ＡＯＢ 的平分线． 二、利用无刻度的直尺作角平分线 作法：如图３，（１）把直尺的一边 放在∠ＡＯＢ的一边ＯＡ上，使直角顶 点与点Ｏ重合，沿直尺的另一边画直 线ＭＮ； （２）再把直尺的一边放在∠ＡＯＢ的另一边 ＯＢ上， 使直角顶点与点Ｏ重合，沿直尺的另一边画直线ＲＱ，与 直线ＭＮ交于点Ｐ； （３）作射线ＯＰ，则射线ＯＰ即为∠ＡＯＢ的平分线． 理由：作ＰＣ⊥ＯＡ于点Ｃ，ＰＤ⊥ＯＢ于点Ｄ，则ＰＣ和 ＰＤ的长均等于直尺的宽度，所以ＰＣ＝ＰＤ．所以点Ｐ在 ∠ＡＯＢ的平分线上，即ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线． 小明采用图４所示 的方法作 ∠ＡＯＢ的平 分线ＯＣ：将带刻度的直 角尺 ＤＥＭＮ按图摆放， 使ＥＭ边与ＯＢ边重合， 点Ｄ落在ＯＡ边上并标记出点Ｄ的位置，量出ＯＤ的长， 再重新放置直角尺，在ＤＮ边上截取ＤＰ＝ＯＤ，过点Ｐ画 射线ＯＣ，则ＯＣ平分∠ＡＯＢ．请判断小明的做法是否可 行？并说明理由． 书 三、１３．因为 ＤＥ∥ ＦＣ， 所 以 ∠ＢＣＧ ＝ ∠ＤＢＣ ＝ ４５°．因 为 ∠ＡＣＧ ＝ １０°， 所 以 ∠ＡＣＢ ＝ ∠ＢＣＧ － ∠ＡＣＧ＝３５°．因为 ＡＢ ＝ＡＣ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ３５°． 所 以 ∠ＡＢＥ＝１８０°－∠ＤＢＣ －∠ＡＢＣ＝１００°． １４．过点Ｐ作ＰＣ⊥ ＡＢ于点 Ｃ，图略．因为 ∠ＰＡＢ＝９０°－７５°＝ １５°，∠ＰＢＣ＝９０°－６０° ＝３０°，所以 ∠ＡＰＢ＝ ∠ＰＢＣ－∠ＰＡＢ＝１５° ＝∠ＰＡＢ．所以 ＰＢ＝ ＡＢ＝２０×２＝４０（海 里）．在直角△ＰＢＣ中， ＰＣ＝ １２ＰＢ＝２０海里 ＜２２海里．所以若轮船 仍向前航行，有触礁的 危险． １５．△ＤＣＥ是等边 三角形．理由如下： 因为△ＡＢＣ是等边 三角形，所以ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＡＣＢ＝６０°．在△ＡＤＣ 和 △ＢＥＣ 中， 因 为 ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ， ＡＤ＝ＢＥ { ， 所 以 △ＡＤＣ ≌ △ＢＥＣ（ＳＡＳ）． 所 以 ∠ＡＣＤ ＝ ∠ＢＣＥ ＝ ６０°，ＤＣ ＝ ＥＣ．所 以 △ＤＣＥ是等边三角形． １６．过点Ｅ作ＥＮ∥ ＡＢ，交 ＢＣ的延长线于 点Ｎ，图略．所以∠Ｎ＝ ∠Ｂ．因为 △ＡＢＣ是等 边三角形，所以 ∠Ｂ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°．由对顶角 相 等， 得 ∠ＢＭＤ ＝ ∠ＮＭＥ，∠ＮＣＥ ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ６０°． 所 以 ∠ＮＣＥ＝∠Ｎ．所以ＣＥ ＝ＮＥ．因为 ＢＤ＝ＣＥ， !"# !$"%&'( 书 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的 距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等 的点在角的平分线上． 一、求点到直线的距离 例１　 如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°．若ＡＣ＝９，ＤＣ＝１３ＡＣ， ＢＤ平分∠ＡＢＣ，则点Ｄ到ＡＢ的距 离等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１ 解：过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，如图１． 因为ＡＣ＝９，ＤＣ＝ １３ＡＣ， 所以ＤＣ＝３． 因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，ＤＨ⊥ＡＢ， 所以ＣＤ＝ＤＨ＝３，即点Ｄ到ＡＢ的距离等于３． 故选Ｂ． 二、求三角形的面积 例２　 如图２，已知在四边 形ＡＢＣＤ中，ＤＥ⊥ ＢＣ，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＡＢ ＝ ６，ＤＥ ＝ ４，则 △ＡＢＤ的面积是 （　　） Ａ．２４ 　　　Ｂ．１８ Ｃ．１２ 　　　Ｄ．６ 解：过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ交ＢＡ的延长线于点Ｆ，如图 ２． 又因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＢＣ， 所以ＤＥ＝ＤＦ＝４． 因为ＡＢ＝６， 所以Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＦ＝１２． 故选Ｃ． 三、说明面积之间的数量关系 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平分线交于 点Ｐ，连接ＰＣ．若△ＰＡＢ，△ＰＢＣ， △ＰＡＣ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３， 则 （　　） Ａ．Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３ Ｂ．Ｓ１ ＝Ｓ２＋Ｓ３ Ｃ．Ｓ１ ＞Ｓ２＋Ｓ３ Ｄ．无法确定Ｓ１与Ｓ２＋Ｓ３的大小 解：过点Ｐ分别作ＰＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ， ＰＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，如图３． 因为∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平分线交于点Ｐ， 所以ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ． 因为Ｓ２ ＝ １ ２ＢＣ·ＰＦ，Ｓ３ ＝ １ ２ＡＣ·ＰＥ， 所以Ｓ２＋Ｓ３ ＝ １ ２（ＡＣ＋ＢＣ）·ＰＤ． 因为Ｓ１ ＝ １ ２ＡＢ·ＰＤ，ＡＢ＜ＡＣ＋ＢＣ， 所以Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３． 故选Ａ． 四、求角度 例４　 如图４，ＡＣ，ＢＤ是四 边形 ＡＢＣＤ的对角线，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，２∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＣ ＋ ∠ＢＡＣ．已知 ∠ＣＡＤ ＝４３°，则 ∠ＢＤＣ＝ ． 解：过点Ｄ分别作ＤＥ⊥ＢＣ 交 ＢＣ的延长线于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＢ交ＢＡ的延长线于点Ｆ， ＤＧ⊥ＡＣ于点Ｇ，如图４． 因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＢ， 所以∠ＤＢＣ＝ １２∠ＡＢＣ，ＤＦ＝ＤＥ． 因为２∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ，∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＣ＋ ∠ＢＡＣ， 所以∠ＡＣＥ＝２∠ＡＣＤ，即ＣＤ平分∠ＡＣＥ． 又因为ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＧ⊥ＡＣ， 所以ＤＥ＝ＤＧ． 所以ＤＦ＝ＤＧ． 所以ＡＤ平分∠ＣＡＦ． 因为∠ＣＡＤ＝４３°， 所以∠ＣＡＦ＝２∠ＣＡＤ＝８６°． 所以∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＣＡＦ＝９４°． 所以 ∠ＢＤＣ ＝∠ＤＣＥ－∠ＤＢＣ ＝ １２∠ＡＣＥ－ １ ２∠ＡＢＣ＝ １ ２（∠ＡＣＥ－∠ＡＢＣ）＝ １ ２∠ＢＡＣ＝４７°． 故填４７°． 书 上期２版 １５．３等腰三角形 １５．３．１等腰三角形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．４０°；　４．７． ５．因为ＡＢ＝ＡＣ， 所以∠ＡＢＣ＝∠Ｃ． 所以∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠Ｃ＝１８０°－２∠Ｃ． 因为ＢＤ⊥ＡＣ， 所以∠ＢＤＣ＝９０°． 所以∠ＣＢＤ＝９０°－∠Ｃ． 所以∠Ａ＝２∠ＣＢＤ． ６．因为∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ， 所以∠ＣＡＢ＝∠Ｂ＝１２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝４５°． 因为ＡＣ＝ＡＤ，ＡＥ⊥ＣＤ， 所以∠ＥＡＤ＝ １２∠ＣＡＢ＝２２．５°． 因为ＡＥ⊥ＣＤ，ＦＭ⊥ＣＤ， 所以ＡＥ∥ＦＭ． 所以∠ＭＦＤ＝∠ＥＡＤ＝２２．５°． １５．３．２等边三角形的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１０°． ４．因为△ＣＡＰ和△ＣＢＱ都是等边三角形， 所以∠ＡＣＰ＝∠Ｂ＝６０°． 因为∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠ＢＣＨ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＰ＝３０°． 所以∠ＢＨＣ＝１８０°－∠ＢＣＨ－∠Ｂ＝９０°． 所以ＢＱ⊥ＣＰ． １５．３．３等腰三角形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．２． ４．因为ＢＣ＝ＤＣ， 所以∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ． 因为∠ＥＢＣ＝∠ＥＤＣ， 所以 ∠ＥＢＣ－∠ＣＢＤ ＝∠ＥＤＣ－∠ＣＤＢ，即 ∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ． 所以△ＥＢＤ是等腰三角形． ５．因为∠Ａ＝９０°， 所以ＣＡ⊥ＡＢ． 因为ＥＤ⊥ＣＡ， 所以ＥＤ∥ＡＢ． 所以∠ＥＧＦ＝∠ＡＦＣ． 因为∠ＣＦＥ＝∠ＡＦＣ， 所以∠ＥＧＦ＝∠ＣＦＥ． 所以ＥＦ＝ＥＧ． １５．３．４等边三角形的判定 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．６０°；　４．１８． ５．连接ＡＮ，并延长交ＢＣ于点Ｄ，图略． 因为ＡＭ ＝ＭＮ， 所以∠ＭＡＮ＝∠ＭＮＡ． 因为ＭＮ∥ＡＢ， 所以∠ＢＡＮ＝∠ＭＮＡ． 所以∠ＢＡＮ＝∠ＭＡＮ． 又因为ＡＢ＝ＡＣ， 所以ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ． 所以ＮＢ＝ＮＣ． 因为ＮＢ＝ＢＣ， 所以ＮＢ＝ＮＣ＝ＢＣ． 所以△ＮＢＣ是等边三角形． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ 二、９．（２，０）；　１０．７５°；　１１．６；　１２．５０°． !"# #)$%&'( 书 “两线”是指角的平分线和线段的垂直平分线，它 们的性质和判定是初中几何知识的重要内容，是几何推 理和计算的重要理论依据，但在理解和应用中，有些同 学总会出现一些错误，为了帮助大家有效避开思维误 区，下面举例加以说明． 一、错误认识角平分线的性质 例１　如图１，在△ＡＢＣ中，ＢＤ 为∠ＡＢＣ的平分线，ＡＢ＝ＢＣ，点Ｐ 在ＢＤ上，ＰＭ⊥ＡＤ于点Ｍ，ＰＮ⊥ ＣＤ于点Ｎ，则ＰＭ和ＰＮ相等吗？ 错解：ＰＭ ＝ＰＮ．理由如下： 因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，点 Ｐ在 ＢＤ上，ＰＭ⊥ＡＤ，ＰＮ⊥ＣＤ， 所以ＰＭ ＝ＰＮ． 剖析：根据角平分线的性质可知，当且仅当ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ时，ＰＭ ＝ＰＮ． 正解： （请你写 出正确的解答过程，下同）． 经验：角平分线上的点到角两边的距离相等． 二、思考不周，漏解 例２　如图２，直线ｌ１，ｌ２，ｌ３表 示三条相互交叉的公路，现要建一 个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可选择的地址有几 处？你是如何发现的？ 错解：根据角平分线的性质，到三条公路的距离相 等的点在三条公路的交点Ａ，Ｂ，Ｃ组成的△ＡＢＣ的三条 角平分线的交点处，而 △ＡＢＣ的角平分线的交点只有 １个，所以可选择的地址只有一处． 剖析：解题过程只考虑了三角形的内角平分线，实 际上，三角形的外角平分线上的点也具有相同的性质． 正解： ． 经验：不论是三角形的内角平分线还是外角平分线 上的点，到对应角的两边的距离都相等． 三、错判线段的垂直平分线 例３　如图３，ＡＤ是△ＡＢＣ的 角平分线，ＤＥ，ＤＦ分别是 △ＡＢＤ 和△ＡＣＤ的高． 求证：ＡＤ垂直平分ＥＦ． 错证：因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， 所以ＤＥ＝ＤＦ． 所以ＡＤ垂直平分ＥＦ． 剖析：我们知道，两点确定一条直线，因此要判定 ＡＤ垂直平分ＥＦ，需要同时证明ＡＥ＝ＡＦ，ＤＥ＝ＤＦ，不 能单凭ＤＥ＝ＤＦ或ＡＥ＝ＡＦ就断定ＡＤ垂直平分ＥＦ． 证明： ． 经验：当我们要证明一条直线是线段的垂直平分线 时，可以用线段的垂直平分线的判定定理直接证明，也 可以先证明一个三角形是等腰三角形，再证明这条直线 是它底边上的高线或中线所在的直线． 书 　　学习了线段的垂直平分线和角的平分线后，我们经 常会遇到用尺规确定位置的题型，下面举例分析说明， 供同学们参考． 一、用线段的垂直平分线确定位置 例１　如图１，已知∠ＥＢＣ，点Ａ为ＢＥ边上一点，请 用尺规作图，在ＢＣ边上作一点Ｄ，使得∠ＡＤＣ＝２∠Ｂ． 分析：要使∠ＡＤＣ＝２∠Ｂ，即∠ＤＡＢ＝∠Ｂ，根据等 腰三角形的性质可知ＤＡ＝ＤＢ，所以可知点Ｄ是线段ＡＢ 的垂直平分线与ＢＣ的交点． 解：如图２，分别以Ａ，Ｂ为圆心，大于 １２ＡＢ的长为半 径作弧，两弧交于两点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，交ＢＣ于点Ｄ，则 点Ｄ即为所求． 二、用角的平分线确定位置 例２　如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ．在 ＢＣ 边上求作一点Ｐ，使得△ＡＢＰ≌△ＡＤＰ． 分析：要使 △ＡＢＰ≌ △ＡＤＰ，根据题意可知 ＡＢ＝ ＡＤ，ＡＰ＝ＡＰ，结合题意与三角形全等的判定方法，可作 ∠ＢＡＤ的平分线，根据“ＳＡＳ”即可说明 △ＡＢＰ≌ △ＡＤＰ． 解：如图４，以点Ａ为圆心，任意长（小于线段ＡＢ的 长）为半径作弧，交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｆ，分别以Ｅ， Ｆ为圆心，大于 １２ＥＦ的长为半径画弧，两弧相交于点Ｏ， 连接ＡＯ并延长，交ＢＣ于点Ｐ，则点Ｐ即为所求． 三、用线段的垂直平分线结合角的平分线确定位置 例３　两个城镇Ａ，Ｂ与一条公路ＣＤ，一条河流ＣＥ 的位置如图５所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山 庄到城镇Ａ，Ｂ的距离必须相等，到公路ＣＤ和河流ＣＥ的 距离也相等，且在∠ＤＣＥ的内部，请用尺规作出该山庄 的位置Ｐ． 分析：根据该山庄到城镇Ａ，Ｂ的距离相等可知，该山 庄在线段ＡＢ的垂直平分线上，根据该山庄到公路ＣＤ和河 流ＣＥ的距离相等可知，该山庄在∠ＤＣＥ的平分线上． 解：如图６，作线段ＡＢ的垂直平分线ＭＮ，作∠ＤＣＥ 的平分线ＣＦ，ＭＮ与ＣＦ相交于点Ｐ，则点Ｐ就是山庄的 位置． ! # ! " # $ % & ' ! ! ( ! ( # ( " % ) ! ! " ! * + , ) # ! % # % , ) - ! *+ ,-. ! " ! ) . + ! $ - ) . + / , * & ! /0 1 2 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! & . + , ) - " & $ * ! # -) + , ! ! -) + , . $ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! " #! !!"#" $"% !" !'!$&#''!"( ! ! 3&456789:;!<=>%(? !" @ !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()*+ ,-. / !#$% ABCDE 5FGH&!"!"#$%&'()*+,-(. /01+,-23" #"45671#%&'$,-89:*;< =" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! IJ KLM / ! # ) + ) ! ! " & $ + / ! " ) 0 " + - & # $ / 1 ! <= NOP ) # & * - , + ! " ,- # 2 ' + * ! $ + . - 3 ' ! # - , ' . * + ! ! !QR $%STUV( WUVX>3$?@AB4CDEFG D=H(I."#,$(JK$.&/5$&/$4LM#&6 /#(JK$#&/6$#/&7JK$&/$6$./&4JK/-% &$+/'4 + - " $', . & ' # ! " $ / ! $ *YZ[\5]^ *YZ\_`8abcde *YZ\fghijklm]n 4opqrst% quvwxy z{|}~t%€v()#$*'+'+,‚-( ) *+ wxy , ) *+ ƒ„… , # - .+ †‡y , ) *+ ˆ ‰ , ) *+ Š ‹ -./01+ † Œ 23/01+ †Ž -4506+   -4578+ ‘’“ „”• 1 – —˜™ š › œž ƒPŸ š  , ’ ¡L™ ¢£x 1¤¥ ¦¤§ ƒxO ¨‹& ©ª– « ž ¬­® „¯M 91-.+ “ ° 91:;+ †±² <=-.+ ƒ ³ >?-.+ ´ µ @ABC+ ¶·¸ %¹pº»º% %¼¦Àt% %rsÁÂÃv'"%#*%!+#!%& %¹pÄÅv*YÆÇÈɘÊËÌÍÎ #"!4opq3&45rsÁ %ÏÐrÑv'"'''& %ÉÒÁÓpÔEv'"%#!%!+##!% '"%#!%!+#!"+‚bÕÖ %Ó×vØÙ¹pÉÒÁÅÚÛÜzÝÞÏ߂àÖ %ÏÐÓ×ÔEv###/% %áâãäÓåæÓçèÓ %¹péÜzÝƂÉÖ;_êëìp %íîhiïáðv#$''''$'''##' %íîÁÂÃv'"%#!%!+#!%% %¹pñIò+óbcôõjklm‚ö÷ÉøùËúûüýþ8aÿ ## Ö!ô$"jô#$%&'$ØÙ¹pÉÒÁÅÚ() 书 所以 ＢＤ ＝ ＮＥ． 在 △ＢＤＭ和△ＮＥＭ中，因 为 ∠ＢＭＤ＝∠ＮＭＥ， ∠Ｂ＝∠Ｎ， ＢＤ＝ＮＥ { ， 所 以 △ＢＤＭ ≌ △ＮＥＭ（ＡＡＳ）．所以ＭＤ ＝ＭＥ． １７．小虎说的正确． 理由如下： 因 为 ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所以 ∠Ａ＋∠Ｂ＝ ９０°．因为 ＢＤ＝ＢＣ，所 以 ∠ＢＣＤ＝∠ＢＤＣ＝ １ ２（１８０°－∠Ｂ）＝９０° － １２∠Ｂ．因为 ＡＥ ＝ ＡＣ， 所 以 ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＡＥＣ ＝ １２（１８０°－ ∠Ａ）＝９０°－ １２∠Ａ． 所以 ∠ＤＣＥ＝１８０°－ ∠ＤＥＣ－∠ＣＤＥ＝１８０° －（９０°－ １２∠Ａ） － （９０° － １２∠Ｂ） ＝ １ ２（∠Ａ＋∠Ｂ）＝４５°． 所以 ∠ＤＣＥ的度数是 一个定值，与 ∠Ｂ的度 数无关，即小虎说的正 确． 附加题　（１）因为 ∠Ｃ＝９０°，ＣＡ＝ＣＢ，所 以∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝４５°． 因为 ＭＮ∥ ＡＣ，所以 ∠ＢＮＭ ＝∠Ｃ＝９０°， ∠ＢＭＮ＝∠Ａ＝４５°． 所以 △ＢＭＮ是等腰直 角三角形． （２）延长 ＢＧ，ＭＮ 交于点 Ｑ，图略，则 ∠ＢＮＱ ＝ １８０° － ∠ＭＮＨ＝９０°．因为ＢＧ ⊥ ＭＧ，所以 ∠ＢＧＨ＝ ∠ＱＧＭ ＝９０°．因 为 ∠ＢＨＧ＝∠ＭＨＮ，所以 ∠ＱＢＮ ＝∠ＨＭＮ．由 （１）可知，ＭＮ＝ＢＮ．在 △ＭＮＨ和△ＢＮＱ中，因为 ∠ＭＮＨ＝∠ＢＮＱ， ＭＮ＝ＢＮ， ∠ＨＭＮ＝∠ＱＢＮ { ， 所以 △ＭＮＨ ≌ △ＢＮＱ（ＡＳＡ）．所以 ＭＨ ＝ＢＱ＝８ｃｍ．因为ＭＧ平 分∠ＮＭＢ，所以∠ＢＭＧ＝ ∠ＱＭＧ． 在 △ＭＢＧ和 △ＭＱＧ 中， 因 为 ∠ＢＧＭ＝∠ＱＧＭ， ＭＧ＝ＭＧ， ∠ＢＭＧ＝∠ＱＭＧ { ， 所以 △ＭＢＧ ≌ △ＭＱＧ（ＡＳＡ）．所以 ＢＧ ＝ＱＧ＝１２ＢＱ＝４ｃｍ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，ＯＰ平分∠ＡＯＢ，ＰＣ⊥ＯＢ，垂足为点Ｃ，ＰＣ ＝５，Ｄ是射线ＯＡ上的任一点，则 （　　） Ａ．ＰＤ＞５ Ｂ．ＰＤ≥５ Ｃ．ＰＤ＜５ Ｄ．ＰＤ≤５ ２．如图２，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＡＢ∶ＡＣ＝４∶３， 则△ＡＢＤ与△ＡＣＤ的面积比为 （　　） Ａ．４∶３ Ｂ．１６∶９ Ｃ．３∶４ Ｄ．９∶１６ ３．如图３，欲作∠Ａ的平分线，有下列尺规作图的步 骤：①分别以点Ｂ，Ｃ为圆心，以大于线段ＢＣ长度的一半 为半径画弧交于点Ｄ；②作射线ＡＤ；③以点Ａ为圆心，以 适当长为半径画弧分别交∠Ａ的两边于Ｂ，Ｃ两点，则正 确的顺序为 （　　） Ａ．①②③ Ｂ．③②① Ｃ．②①③ Ｄ．③①② ４．如图４，有三条道路围成直角三角形 ＡＢＣ，其中 ＢＣ＝１０００ｍ，某人从Ｂ处出发沿着ＢＣ行走了８００ｍ，到 达Ｄ处，ＡＤ恰为 ∠ＣＡＢ的平分线，则此时这个人到 ＡＢ 的最短距离为 （　　） Ａ．１０００ｍ Ｂ．８００ｍ Ｃ．２００ｍ Ｄ．１８００ｍ ５．如图５，Ｏ是 △ＡＢＣ内的一点，且 Ｏ到三边 ＡＢ， ＢＣ，ＣＡ的距离 ＯＦ＝ＯＤ ＝ＯＥ．若 ∠ＢＡＣ＝７０°，则 ∠ＢＯＣ的度数是 （　　） Ａ．７０° Ｂ．１２０° Ｃ．１２５° Ｄ．１３０° ６．如图６，已知点Ｅ到ＡＣ，ＡＢ边的距离相等，ＡＢ＝ ＡＣ，则图中的全等三角形有 （　　） Ａ．２对 Ｂ．３对 Ｃ．４对 Ｄ．５对 ７．如图７，已知ＡＢ∥ＣＤ，射线ＡＥ平分∠ＢＡＣ，过点 Ｅ作ＥＨ⊥ＡＣ于点Ｈ，作ＥＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，并延长ＦＥ交 ＣＤ于点Ｇ，连接ＣＥ．若∠ＡＥＣ＝９０°，ＥＨ＝１，则ＦＧ的 长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ８．如图８，在 △ＡＢＣ中，内角 ∠ＢＡＣ与外角 ∠ＣＢＥ 的平分线相交于点Ｐ，ＢＥ＝ＢＣ，ＰＢ与ＣＥ交于点Ｈ，ＰＧ ∥ＡＤ交ＢＣ于点Ｆ，交ＡＢ于点Ｇ，连接ＣＰ，则下列说法 错误的是 （　　） Ａ．ＢＰ垂直平分ＣＥ　　Ｂ．ＧＡ＝ＧＰ Ｃ．∠ＰＣＦ＝∠ＣＰＦ Ｄ．∠ＡＣＢ＝３∠ＡＰＢ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图９，Ｐ是∠ＡＯＢ的平分线上一点，ＰＣ⊥ＡＯ于 点Ｃ，ＰＤ⊥ ＯＢ于点 Ｄ，写出图中一组相等的线段： ． １０．如图１０，若ＢＤ⊥ＡＥ于点Ｂ，ＤＣ⊥ＡＦ于点Ｃ，且 ＤＢ＝ＤＣ，∠ＢＡＣ＝４０°，∠ＡＤＧ＝１３０°，则 ∠ＤＧＦ＝ ． １１．如图１１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ与∠ＡＣＢ的平分线 相交于点Ｏ，ＥＦ经过点 Ｏ，分别交 ＡＢ，ＡＣ于点 Ｅ，Ｆ，ＢＥ ＝ＯＥ，ＯＦ＝５ｃｍ，点Ｏ到ＢＣ的距离为４ｃｍ，则△ＯＦＣ 的面积为 ｃｍ２． １２．如图１２，綦河两岸互相平行，小皮不小心将足球 踢入河中，小明站在Ｐ处看到足球从与桥及两岸等距离 的Ａ处漂到与桥及两岸等距离的Ｂ处，则小明的视线转 角∠ＢＰＡ＝ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）现有三个村庄 Ａ，Ｂ，Ｃ的位置如图１３所 示，线段ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ分别是连通任意两个村庄之间的公 路．现要修一个水站Ｐ，使水站不仅到村庄Ａ，Ｃ的距离相 等，并且到公路ＡＢ，ＡＣ的距离也相等，请在图中作出水 站Ｐ的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕 迹）． １４．（１０分）如图１４，ＤＥ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ．若ＢＤ＝ＣＤ，ＢＥ＝ＣＦ，求证：ＡＤ平 分∠ＢＡＣ． １５．（１０分）如图１５，ＡＤ是△ＡＢＣ中∠ＢＡＣ的平分 线，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＢＤ＝４，∠Ｂ＝３０°，Ｓ△ＡＣＤ ＝７，求ＡＣ 的长． １６．（１２分）如图１６，ＡＢ∥ＣＤ，以点Ａ为圆心，小于 ＡＣ的长为半径作圆弧，分别交ＡＢ，ＡＣ于Ｅ，Ｆ两点，再分 别以点Ｅ，Ｆ为圆心，大于 １２ＥＦ的长为半径作圆弧，两条 圆弧交于点Ｐ，作射线ＡＰ，交ＣＤ于点Ｍ． （１）若∠ＡＣＤ＝１１４°，求∠ＭＡＢ的度数； （２）若 ＣＮ⊥ ＡＭ，垂足为点 Ｎ，求证：△ＡＣＮ≌ △ＭＣＮ． １７．（１２分）如图１７，ＯＣ平分∠ＡＯＢ，Ｐ为 ＯＣ上一 点，ＰＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，∠ＰＥＯ＋∠ＰＦＯ＝１８０°，试求ＯＥ＋ ＯＦ与２ＯＤ的数量关系． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分线交于点 Ｅ． （１）求证：点Ｅ在∠Ａ的平分线上； （２）已知点Ｅ到ＢＣ边的距离是４，△ＡＢＣ的面积为 ３６，求△ＡＢＣ的周长                                                                                                                                                                 ． 书 １５．４角的平分线 １５．４．１角平分线的性质 １．如图１，ＯＣ平分 ∠ＡＯＢ，Ｐ是 ＯＣ上一点，ＰＨ⊥ ＯＢ于点Ｈ，Ｑ是射线ＯＡ上的一个动点．若 ＰＨ＝３，则 ＰＱ长的最小值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．如图２，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是角平分线，ＤＥ ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分别为点Ｅ，Ｆ．下列结论中，不正 确的是 （　　） Ａ．ＤＡ平分∠ＥＤＦ Ｂ．ＡＤ上的点到ＡＢ，ＡＣ的距离相等 Ｃ．ＡＥ＝ＡＦ Ｄ．ＡＢ，ＡＣ上的点到ＡＤ的距离相等 ３．如图３，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ．已知ＢＤ＝６，则ＡＣ的长 为 （　　） Ａ．３ Ｂ．１２ Ｃ．６ Ｄ．９ ４．如图４，点Ｐ是∠ＡＯＢ的平分线 ＯＣ上一点，ＰＮ ⊥ＯＢ于点Ｎ，点Ｍ是线段ＯＮ上一点，已知ＯＭ＝３，ＯＮ ＝４，点Ｄ为ＯＡ上一点．若满足ＰＤ＝ＰＭ，则ＯＤ的长为 ． ５．如图５，在△ＡＢＣ中，ＡＤ 是△ＡＢＣ的角平分线，延长ＡＤ 至点Ｅ，使ＡＤ＝ＤＥ，连接ＢＥ． 若ＡＢ＝３ＡＣ，△ＢＤＥ的面积为 ９， 则 △ＡＢＣ 的 面 积 是 ． ６．如图６，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＣ，垂足 为点Ｅ，ＡＦ是△ＡＢＣ的中线，ＡＢ＝１６，ＡＣ＝６，ＤＥ＝５． 求△ＡＤＦ的面积． ７．如图７，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ是它的角平分线，Ｐ是 ＡＤ延长线上的一点，ＰＥ∥ＡＢ交ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ∥ＡＣ交 ＢＣ于点Ｆ．求证：点Ｄ到ＰＥ和ＰＦ的距离相等． １５．４．２角平分线的判定 １．如图１，在ＣＤ上求一点Ｐ，使它到ＯＡ，ＯＢ的距离 相等，则点Ｐ是 （　　） Ａ．线段ＣＤ的中点 Ｂ．ＯＡ与ＯＢ的中垂线的交点 Ｃ．ＯＡ与ＣＤ的中垂线的交点 Ｄ．ＣＤ与∠ＡＯＢ的平分线的交点 ２．如图２，直线ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｏ，ＰＥ⊥ ＡＢ于点 Ｅ，ＰＦ⊥ＣＤ于点 Ｆ．若 ＰＥ＝ＰＦ，且 ∠ＡＯＣ＝５０°，则 ∠ＥＯＰ的度数为 （　　） Ａ．６５° Ｂ．６０° Ｃ．４５° Ｄ．３０° ３．两把完全相同的长方形直 尺按如图３方式摆放，记两把尺的 接触点为点 Ｐ，其中一把直尺的上 边缘恰好与射线 ＯＡ重合，而另一 把直尺的下边缘与射线 ＯＢ重合， 上边缘与射线 ＯＡ交于点 Ｍ，连接 ＯＰ．若∠ＢＯＰ＝２８°，则 ∠ＡＭＰ的 大小为 ． ４．如图４，已知∠ＡＯＢ和直线ＭＮ，请你在直线ＭＮ 上确定一点Ｐ，使点Ｐ到射线ＯＡ和ＯＢ的距离相等（不 写作法，保留作图痕迹）． ５．如图５，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＤ是△ＡＢＣ 的一条角平分线，点Ｏ，Ｅ，Ｆ分别在ＢＤ，ＢＣ，ＡＣ上，且四 边形ＯＥＣＦ是正方形．求证：点Ｏ在∠ＢＡＣ的平分线上． ６．如图６，四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，点Ｅ 为ＢＣ的中点，且ＡＥ平分∠ＢＡＤ．求证： （１）ＤＥ平分∠ＡＤＣ； （２）ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＤ． ７．在正方形网格中，Ｍ，Ｎ，Ｐ， Ｑ均是格点，∠ＡＯＢ的位置如图７ 所示，则到 ∠ＡＯＢ的两边距离相 等的格点是 ． ８．如图８，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ 在ＢＣ边上，∠ＢＡＤ＝１００°，∠ＡＢＣ 的平分线交ＡＣ于点Ｅ，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＡＢ，垂足为点Ｆ，且∠ＡＥＦ＝５０°，连接ＤＥ． （１）求∠ＣＡＤ的度数； （２）求证：ＤＥ平分∠ＡＤＣ； （３）若ＡＢ＝７，ＡＤ＝４，ＣＤ＝８，且Ｓ△ＡＣＤ ＝１５，求 △ＡＢＥ的面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# !"#$ %& ! ! !"#$ !"#$%&'()*+,-./01 !" 2 %&'( ! 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