第16期 15.3 等腰三角形（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 上期２版 １５．１轴对称图形 １５．１．１轴对称 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．①②③；　４．４． ５．（１）因为△ＡＢＣ中点Ａ，Ｂ，Ｃ关于直线ＭＮ的对 称点分别为点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，ＡＣ＝８ｃｍ， 所以ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′＝ＡＣ＝８ｃｍ． 因为Ａ′Ｃ＝１２ｃｍ， 所以△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长为：Ａ′Ｂ′＋Ｂ′Ｃ′＋Ａ′Ｃ′＝Ａ′Ｃ ＋ＡＣ＝１２＋８＝２０（ｃｍ）． （２）图略． 根据轴对称的性质，得∠Ａ′＝∠Ａ＝９０°． 所以△Ａ′ＣＣ′的面积为：１２Ａ′Ｃ·Ａ′Ｃ′＝４８ｃｍ ２． ６．（１）因为△ＡＣＥ和△ＡＤＥ关于直线ＡＥ对称， 所以△ＡＣＦ和△ＡＤＦ关于直线ＡＥ对称． 所以∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ． 因为∠ＣＡＢ＝３６°， 所以∠ＡＤＣ＝ １２（１８０°－∠ＣＡＢ）＝７２°． （２）因为∠ＣＡＢ＝３６°，∠Ｂ＝４８°， 所以∠ＡＣＢ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＣＡＢ＝９６°． 因为△ＡＣＥ和△ＡＤＥ关于直线ＡＥ对称， 所以∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＥ＝９６°． 所以∠ＤＥＢ＝∠ＡＤＥ－∠Ｂ＝４８°． １５．１．２画轴对称图形 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．（－６－ｍ，ｎ）． ４．图略． ５．（１）图略，Ａ１（－１，－３），Ｂ１（２，０），Ｃ１（－３，１）． （２）Ｓ△ＡＢＣ ＝４×５－ １ ２×２×４－ １ ２×５×１－ １ ２ ×３×３＝９． ６．（１）（３，２）． （２）点Ａ，Ｂ沿ｘ轴翻折后的对应点的坐标分别为 Ｃ（－１，－１），Ｄ（－４，－１）． 点Ｃ，Ｄ沿直线 ｍ翻折后的对应点的坐标分别为 （３，－１），（６，－１）． 所以点Ａ，Ｂ的 ＜ｘ轴，ｍ＞伴随图形点Ａ′，Ｂ′的坐 标分别为（３，－１），（６，－１）． １５．２线段的垂直平分线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．１４． ４．图略． ５．设ＰＡ交直线ｌ于点Ｃ，连接ＢＣ，图略． 因为直线ｌ是线段ＡＢ的垂直平分线， 所以ＣＡ＝ＣＢ． 所以ＰＡ＝ＣＡ＋ＣＰ＝ＣＢ＋ＣＰ＞ＰＢ． ６．连接ＯＡ，ＯＣ，图略． 因为ＯＥ，ＯＦ分别是ＡＣ，ＢＤ的垂直平分线， 所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＦＯ＝９０°． 在△ＡＢＯ和△ＣＤＯ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ， ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ { ， 所以△ＡＢＯ≌△ＣＤＯ（ＳＳＳ）． 所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ＝７９°． 因为∠ＣＤＢ＝３８°， 所以∠ＯＤＦ＝∠ＣＤＯ－∠ＣＤＢ＝４１°． 所以∠ＤＯＦ＝９０°－∠ＯＤＦ＝４９°． !"# !$"%&'( 书 一、忽视分类讨论 例１　已知等腰三角形的一个外角为１３０°，则它的 顶角的度数为 ． 错解：等腰三角形的一个外角等于１３０°，则这个等 腰三角形的顶角为：１８０°－１３０°＝５０°． 故填５０°． 剖析：已知没有指明此外角的邻补角是顶角还是底 角，所以应分两种情况进行分类讨论． 正解：等腰三角形的一个外角等于１３０°，则这个等 腰三角形的一个内角为：１８０°－１３０°＝５０°． （１）当５０°为顶角时，其他两角为６５°，６５°； （２）当５０°为底角时，其他两角为５０°，８０°． 综上所述，等腰三角形的顶角为５０°或８０°． 故填５０°或８０°． 例２　在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ边上的垂线与ＡＣ 所在直线相交所得的锐角为５０°，则∠Ｂ＝ ． 错解：如图 １，因为 ∠ＡＤＥ ＝ ５０°，∠ＡＥＤ＝９０°，所以∠Ａ＝９０°－ ∠ＡＥＤ＝４０°． 因为ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ ＝ １２×（１８０°－∠Ａ）＝７０°． 故填７０°． 剖析：本题没有图，△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可 能是钝角三角形，故应分情况讨论． 正解：（１）当△ＡＢＣ是锐角三角形时，同错解； （２）如图２，当△ＡＢＣ为钝 角三角形时，因为∠ＡＤＥ＝５０°， ∠ＡＥＤ＝９０°，所以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ＝１４０°． 所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝ １２ × （１８０°－∠ＢＡＣ）＝２０°． 故填７０°或２０°． 二、错用等腰三角形的性质 例３　如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，Ｏ是△ＡＢＣ内一点，且ＯＢ＝ＯＣ．求 证：ＡＯ⊥ＢＣ． 错证：如图３，延长 ＡＯ交 ＢＣ于点 Ｄ．由ＯＢ＝ＯＣ，ＯＤ平分∠ＢＯＣ，根据等 腰三角形“三线合一”的性质可得 ＡＯ ⊥ＢＣ． 剖析：在遇到等腰三角形问题时，一些同学往往会 把非特殊线段看成特殊线段，如本例中的ＯＤ，已知中没 有说明它是角平分线，仅仅根据图形便断定它是角平分 线，导致错误． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，所以点Ａ在线段ＢＣ的垂直平 分线上． 因为ＯＢ＝ＯＣ，所以点Ｏ在线段ＢＣ的垂直平分线上． 所以ＡＯ⊥ＢＣ． 书 “在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半”，这是解含３０°角的直角三 角形中线段问题的常用定理．这个定理可以将特殊直角 三角形中的角度关系转化到边的等量关系上．遇到３０°角 时，常用的方法为直接应用或添加辅助线，其中添加辅助 线就是构造含３０°角的直角三角形，现举例说明． 一、直接应用３０°角求解 例 １　 如图 １，在 Ｒｔ△ＡＣＢ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ的平分 线ＢＥ交ＡＣ于点Ｅ，点Ｄ为ＡＢ上一点， 且ＡＤ＝ＡＣ，ＣＤ交ＢＥ于点Ｍ． （１）求∠ＤＭＢ的度数； （２）若ＣＨ⊥ＢＥ于点Ｈ，求证：ＡＢ ＝４ＭＨ． 分析：（１）根据角平分线的定义得到 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＣＢＥ＝３０°，根据等腰三角形的性质得到 ∠ＡＣＤ＝ ∠ＡＤＣ＝７５°，根据三角形外角的性质计算即可； （２）根据含３０°角的直角三角形的性质、等腰直角 三角形的性质计算即可得证． 解：（１）因为∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，所以∠ＡＢＣ ＝６０°． 因为ＢＥ是∠ＡＢＣ的平分线，所以∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ ＝３０°． 因为∠Ａ＝３０°，ＡＣ＝ＡＤ，所以∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ＝ ７５°． 所以∠ＤＭＢ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＢＥ＝４５°． （２）因为∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，所以ＡＢ＝２ＢＣ． 因为ＣＨ⊥ＢＥ，∠ＣＢＥ＝３０°，所以ＢＣ＝２ＣＨ． 所以ＡＢ＝４ＣＨ． 因为∠ＣＭＨ＝∠ＤＭＢ＝４５°，所以∠ＭＣＨ＝４５°． 所以ＣＨ＝ＭＨ． 所以ＡＢ＝４ＭＨ． 二、构造含３０°角的直角三角形后求解 例２　 如图 ２，△ＡＢＣ是 等边三角形，点 Ｅ是 ＡＣ的中 点，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ于点Ｆ， 延长ＢＣ交ＥＦ的反向延长线 于点Ｄ．若ＥＦ＝１，则ＤＦ的长 为 （　　） Ａ．２　　　Ｂ．２．５　　　Ｃ．３　　　Ｄ．３．５ 分析：连接ＢＥ，由等边三角形的性质可求得 ∠ＡＢＣ 的度数，根据等边三角形的“三线合一”可求得 ∠ＡＢＥ 和∠ＣＢＥ的度数，结合直角三角形的性质可求∠Ｄ的度 数及ＢＥ的长，由“等角对等边”可求得ＥＤ的长，进而可 求解． 解：连接ＢＥ，如图２． 因为△ＡＢＣ为等边三角形，所以∠ＡＢＣ＝６０°． 因为Ｅ为ＡＣ的中点，所以∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ＝３０°． 因为ＥＦ⊥ＡＢ，ＥＦ＝１，所以∠Ｄ＝９０°－∠ＡＢＣ＝ ３０°，ＢＥ＝２ＥＦ＝２． 所以ＥＤ＝ＢＥ＝２． 所以ＤＦ＝ＥＤ＋ＥＦ＝３． 故选Ｃ． ! " # $ % ! # ! ! & " ' $ % ! " % ' $ & ( ! )* +,- """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ./ 0 1 % ' " & ) * ! ! " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " * % ' + , " - ! # 书 策略１：三边相等的三 角形是等边三角形 例 １　 如图 １，△ＡＢＣ 是等边三角形，分别延长 ＡＢ至点Ｆ，ＢＣ至点Ｄ，ＣＡ至 点 Ｅ，使 ＡＦ＝３ＡＢ，ＢＤ ＝ ３ＢＣ，ＣＥ ＝ ３ＣＡ． 求 证： △ＤＥＦ是等边三角形． 证明：因为△ＡＢＣ是等 边三角形，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ＝６０°，ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＡ．所以∠ＥＡＦ＝ ∠ＦＢＤ＝∠ＤＣＥ＝１２０°．因为ＡＦ＝３ＡＢ，ＢＤ＝３ＢＣ， ＣＥ＝３ＣＡ，所以ＡＦ＝ＢＤ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＤ．所以 △ＡＥＦ≌△ＢＦＤ≌△ＣＤＥ．所以ＥＦ＝ＦＤ＝ＤＥ．所以 △ＤＥＦ是等边三角形． 策略２：三个角都相等的三角形是等边三角形 例２　 如图 ２，四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ ＤＣ，ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ，∠Ａ ＝６０°．求证：△ＡＢＤ是等边三角 形． 证明：因为 ＡＢ∥ ＤＣ，∠Ａ＝ ６０°，所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＣＤＢ，∠ＡＤＣ＝１８０°－∠Ａ＝ １２０°．因为 ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ＝ １ ２∠ＡＤＣ＝６０°．所以∠Ａ＝∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝６０°． 所以△ＡＢＤ是等边三角形． 策略３：有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形 例 ３　 如图 ３，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，过点Ａ沿直线ＡＥ折叠 这个三角形，使点Ｃ落在ＡＢ边上的 点Ｄ处，连接ＤＣ．若ＡＥ＝ＢＥ，求证： △ＡＤＣ是等边三角形． 证明：根据折叠的性质，得 ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＥ＝ ∠ＤＡＥ．因为ＡＥ＝ＢＥ，所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．因为∠ＡＣＢ ＝９０°，所以∠Ｂ＋∠ＣＡＢ＝３∠Ｂ＝９０°．解得∠Ｂ＝ ３０°．所以∠ＣＡＢ＝６０°．所以△ＡＤＣ是等边三角形． 书 等腰三角形的性质定理———“等边对等角”及判定 定理———“等角对等边”是一对重要定理，也是中考的 常见考点，下面列举试题加以分析说明． 一、等腰三角形的性质定理———“等边对等角” 例１　 如图１，在 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝２４°，延 长ＢＣ到点Ｄ，使ＣＤ＝ＡＣ，连 接ＡＤ，则∠Ｄ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３９° Ｂ．４０° Ｃ．４９° Ｄ．５１° 分析：利用“等边对等角”求得 ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ ７８°，∠Ｄ＝∠ＣＡＤ，然后利用三角形外角的性质求出答 案即可． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝２４°， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １２（１８０°－∠ＢＡＣ）＝７８°． 因为ＣＤ＝ＡＣ，所以∠Ｄ＝∠ＣＡＤ． 因为∠ＡＣＢ＝∠Ｄ＋∠ＣＡＤ， 所以∠Ｄ＝∠ＣＡＤ＝ １２∠ＡＣＢ＝３９°． 故选Ａ． 二、等腰三角形的判定定理———“等角对等边” 例２　如图２，已知在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°，ＣＤ是△ＡＢＣ的 角平分线．求证：ＡＤ＝ＢＣ． 分析：利用“等边对等角”求得 ∠Ｂ和∠ＡＣＢ的度数，根据三角形的 角平分线的定义可得∠ＡＣＤ的度数， 再由等腰三角形的判定定理即可得出结论． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １２（１８０°－∠Ａ）＝７２°． 因为ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 所以∠ＡＣＤ＝ １２∠ＡＣＢ＝３６°＝∠Ａ． 所以ＡＤ＝ＣＤ． 因为∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝７２°， 所以∠Ｂ＝∠ＢＤＣ． 所以ＢＣ＝ＣＤ． 所以ＡＤ＝ＢＣ． 书 “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，即等腰 三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合． 该性质其实包括以下三方面的内容： 如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， Ｄ是ＢＣ上的一点． （１）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底 边ＢＣ上的中线，那么ＡＤ是顶角 ∠ＢＡＣ的平分线，也是底边 ＢＣ 上的高． （２）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ顶角∠ＢＡＣ的平分线，那 么ＡＤ是底边ＢＣ上的中线，也是底边ＢＣ上的高． （３）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底边ＢＣ上的高，那么ＡＤ 是顶角∠ＢＡＣ的平分线，也是底边ＢＣ上的中线． “三线合一”的性质给我们提供了说明角相等、直 线垂直、线段相等的新思想和新方法．在解答一些与图 形有关的问题时，要注意灵活运用它，下面举例来说明 这一性质的重要应用． 例　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＤＥ⊥ ＡＢ 于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ．若ＤＥ＝ ２．５ｃｍ，则ＢＦ＝ ｃｍ． 分析：根据等腰三角形的“三线合一”得出 ＢＤ＝ ＣＤ．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝ＡＢ·ＤＥ． 又Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ，将ＡＣ＝ＡＢ代入即可求出ＢＦ． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， 所以ＢＤ＝ＣＤ． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝２．５ＡＢ． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ， 所以 １ ２ＡＣ·ＢＦ＝２．５ＡＢ． 因为ＡＣ＝ＡＢ，所以 １２ＢＦ＝２．５． 解得ＢＦ＝５ｃｍ． 故填５． 如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线． 已知∠ＢＡＤ＝６０°，则∠Ｃ＝ ． ! 23 456 ! # & $ ' % ! ! % ' $ " ) & ' % & $ ) " ! # ! 7 8 9 : $'& " % ! " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! )3 4;< " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " $ % ' & ! # ! ! % $ ' & % ' $ & ! " ! ! ' & $ % ! " #! !!"#" $"% !" !$!%&#$'#&( ! ! =&>?@ABCDEFGHI%(J !" K !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()*+ ,-. / !#$% LMNOP ?QRS!#' "#$%&'()*+,-./0 123001' !' 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． １０．如图９，△ＡＢＣ为等边三角形，ＡＤ⊥ＢＣ，点Ｅ为 ＡＣ边上的点，ＡＥ＝ＡＤ，则∠ＡＤＥ的度数是 ． １１．如图１０，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝３０°，ＡＢ ⊥ＡＤ，ＡＤ＝２，则ＢＣ的长是 ． １２．如图１１，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１０５°，ＡＤ⊥ＢＣ， 垂足为点 Ｄ．若 ＡＢ＋ＢＤ ＝ＣＤ，则 ∠Ｂ的度数为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，直线ＤＥ， ＦＧ分别经过点Ｂ，Ｃ，ＤＥ∥ＦＧ．若∠ＤＢＣ＝４５°，∠ＡＣＧ ＝１０°，求∠ＡＢＥ的度数． １４．（８分）如图１３，为了躲避海盗，一轮船由西向东 航行，早上８点，在Ａ处测得小岛Ｐ在北偏东７５°的方向 上，以每小时２０海里的速度继续向东航行，１０点到达Ｂ 处，并测得小岛Ｐ在北偏东６０°的方向上，已知小岛周围 ２２海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？ １５．（１０分）如图１４，点Ｅ是等边△ＡＢＣ外的一点， 点Ｄ是ＢＣ边上一点，ＡＤ＝ＢＥ，∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ，连接 ＥＤ，ＥＣ．试判断△ＤＣＥ的形状，并说明理由． １６．（１２分）如图１５，△ＡＢＣ是等边三角形，Ｄ，Ｅ分 别是ＡＢ及ＡＣ延长线上的一点，且ＢＤ＝ＣＥ，连接ＤＥ交 ＢＣ于点Ｍ．求证：ＭＤ＝ＭＥ． １７．（１４分）小马和小虎在解这样一道题：“如图１６， 在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｅ在ＡＢ边上，ＡＥ＝ＡＣ， ＢＤ＝ＢＣ，求∠ＤＣＥ的度数．”他们经过商量后，结论不 一致，小马说：“∠ＤＣＥ的度数与 ∠Ｂ的度数有关，只有 知道 ∠Ｂ的度数才能求出 ∠ＤＣＥ的度数．”小虎说： “∠ＤＣＥ的度数是一个定值，与∠Ｂ的度数无关．”他们 谁说的正确？请说明理由． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＣＡ＝ＣＢ，点Ｍ在线 段ＡＢ上，ＭＮ∥ＡＣ，ＭＧ平分∠ＮＭＢ交ＢＣ于点Ｈ，ＢＧ⊥ ＭＧ，垂足为点Ｇ． （１）求证：△ＢＭＮ是等腰直角三角形； （２）若ＭＨ＝８ｃｍ，求ＢＧ的长                                                                                                                                                                 ． 书 １５．３等腰三角形 １５．３．１等腰三角形的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．若一个等腰三角形的顶角为１１０°，则它的一个 底角的度数为 （　　） Ａ．７０° Ｂ．４５° Ｃ．３５° Ｄ．２５° ２．如图１，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｈ是 ＢＣ边的中 点，∠Ｂ＝２８°，则∠ＨＡＣ的度数为 （　　） Ａ．２８° Ｂ．４２° Ｃ．５２° Ｄ．６２° ３．如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，点Ｄ在ＡＣ边上， 点Ｅ在ＣＢ的延长线上，ＤＥ与ＡＢ相交于点Ｆ．若∠Ｃ＝ ５０°，∠Ｅ＝２５°，则∠ＢＦＥ的度数为 ． ４．如图３，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，ＢＤ＝３ｃｍ，ＤＥ＝ ４ｃｍ，则ＣＤ＝ ｃｍ． ５．如图４，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ ＡＣ于点 Ｄ．求证： ∠Ａ＝２∠ＣＢＤ． ６．如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，点 Ｄ，Ｆ是线段ＡＢ上的两点，连接ＣＤ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ 于点Ｅ，过点 Ｆ作 ＦＭ⊥ ＣＤ于点 Ｍ．若 ＡＣ＝ＡＤ，求 ∠ＭＦＤ的度数． １５．３．２等边三角形的性质 １．如图１，ａ∥ ｂ，△ＡＢＣ为等边三角形．若 ∠１＝ ４５°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．１０５° Ｂ．１２０° Ｃ．７５° Ｄ．４５° ２．如图２，在等边三角形ＡＢＣ中，ＡＤ是 ＢＣ边上的 中线，点Ｅ在线段ＡＤ上，∠ＥＢＣ＝４５°，则∠ＡＥＢ＝ （　　） Ａ．１０５° Ｂ．１２０° Ｃ．１３５° Ｄ．１４０° ３．如图 ３，点 Ｄ在等边 △ＡＢＣ的边ＣＢ的延长线上，点Ｅ 在线段 ＢＣ上，连接 ＡＤ，ＡＥ．若 ＤＡ＝ＤＥ，且∠ＤＡＢ＝２０°，那么 ∠ＥＡＣ的度数为 ． ４．如图 ４，∠ＡＣＢ ＝９０°， △ＣＡＰ和△ＣＢＱ都是等边三角形，ＢＱ和ＣＰ交于点Ｈ． 求证：ＢＱ⊥ＣＰ． １５．３．３等腰三角形的判定 １．在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＣ＝５，则ＡＢ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２．在 △ＡＢＣ中，若 ∠Ａ＝２５°，∠Ｂ＝１３０°，则 △ＡＢＣ是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等边三角形 Ｄ．等腰三角形 ３．如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ的平分线与△ＡＢＣ的外 角平分线交于点 Ｄ，过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＣ于 点Ｆ．若ＢＥ＝８，ＣＦ＝６，则ＥＦ 的长是 ． ４．如图２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ＤＣ，点Ｅ在ＡＢ 边上，∠ＥＢＣ＝∠ＥＤＣ．求证：△ＥＢＤ是等腰三角形． ５．如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，Ｆ为ＡＢ边上 一点，作∠ＣＦＥ＝∠ＡＦＣ，交ＢＣ边于点Ｅ，过点Ｅ作ＥＤ ⊥ＣＡ于点Ｄ，ＥＤ交ＣＦ于点Ｇ．求证：ＥＦ＝ＥＧ． １５．３．４等边三角形的判定 １．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝２， 则ＡＢ的长是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ ２．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝２，∠Ａ＝６０°，则ＢＣ＝ （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ３．如图１，已知线段ＡＢ，分别以点Ａ和点Ｂ为圆心， ＡＢ的长为半径作弧，两弧相交于点 Ｃ，连接 ＡＣ，ＢＣ，则 ∠ＢＡＣ的度数为 ． ４．如图２，过等边△ＡＢＣ的顶点Ａ，Ｂ，Ｃ依次作ＡＢ， ＢＣ，ＡＣ的垂线 ＭＧ，ＭＮ，ＮＧ，三条垂线围成 △ＭＮＧ．若 ＡＭ ＝２，则△ＭＮＧ的周长为 ． ５．如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｍ是 ＡＣ边上的 点，Ｎ是△ＡＢＣ内一点，ＭＮ∥ＡＢ，且ＡＭ＝ＭＮ＝ＮＢ＝ ＢＣ．求证：△ＮＢＣ是等边三角形 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 上期３版 一、１．Ｂ；　２．Ｂ； ３．Ｂ；　４．Ｄ； ５．Ｂ；　６．Ｂ； ７．Ａ；　８．Ｃ． 二、９．②；　１０．１５； １１．（－３，０）； １２．４５°． 三、１３．图略． １４．因为 △ＡＢＥ关 于直线 ＡＥ的对称图形 是 △ＡＦＥ，所以 ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＡＥＦ，∠Ｂ ＝ ∠ＡＦＥ．因 为 ∠Ｂ ＝ ∠Ｄ，所以 ∠ＡＦＥ ＝ ∠Ｄ．所以ＥＦ∥ＣＤ．所 以∠ＢＥＦ＝∠Ｃ＝７２°． 所 以 ∠ＡＥＢ ＝ １ ２∠ＢＥＦ＝３６°． １５．因为ＡＤ垂直平 分ＢＣ，所以 ＢＤ＝ＤＣ， ＡＢ＝ＡＣ．因为ＡＢ＋ＢＤ ＝ＤＥ，所以ＡＣ＋ＤＣ＝ ＤＥ．又因为ＤＥ＝ＤＣ＋ ＣＥ，所以ＡＣ＝ＣＥ．所以 点Ｃ在线段 ＡＥ的垂直 平分线上． １６．（１）图略． （２）因为点Ｄ关于 直线ＡＢ的对称点是Ｅ， 所以 ∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＢ， ∠Ｄ ＝ ∠ＡＥＢ．因 为 ∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＣ，所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＣ．所以 ＡＥ∥ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＋ ∠ＥＢＣ ＝１８０°．所以 ∠Ｄ＋∠ＥＢＣ＝１８０°． １７．（１）∠１＋∠２ ＝２∠Ａ．理由如下： 由折叠性质，得 ∠ＡＤＥ ＝ ∠Ａ′ＤＥ， ∠ＡＥＤ＝∠Ａ′ＥＤ．所以 ∠１＋∠２ ＝１８０°－ ∠ＡＤＥ－∠Ａ′ＤＥ＋１８０° －∠ＡＥＤ－∠Ａ′ＥＤ ＝ ３６０° － ２（∠ＡＤＥ ＋ ∠ＡＥＤ） ＝ ３６０° － ２（１８０°－∠Ａ）＝２∠Ａ． （２）猜 想：∠１ － ∠２＝２∠Ａ．证明如下： 由折叠性质，得 ∠ＡＤＥ ＝ ∠Ａ′ＤＥ， ∠ＡＥＤ＝∠Ａ′ＥＤ．所以 ∠１－∠２ ＝１８０°－ ∠ＡＤＥ － ∠Ａ′ＤＥ － （∠Ａ′ＥＤ－∠ＤＥＢ）＝ １８０° － ２∠ＡＤＥ － ∠Ａ′ＥＤ ＋ ∠ＤＥＢ ＝ １８０° － ２∠ＡＤＥ － ∠ＡＥＤ＋∠Ａ＋∠ＡＤＥ ＝２∠Ａ． 附加题　连接ＡＡ′ 交ＢＣ于点 Ｄ，延长 Ａ′Ａ 交Ｂ′Ｃ′于点Ｅ，图略．因 为点 Ａ关于 ＢＣ边的对 称点是 Ａ′，所以 ＤＡ′＝ ＤＡ，ＡＡ′⊥ＢＣ．因为点Ｂ 关于ＡＣ边的对称点是 Ｂ′，所以ＢＡ＝Ｂ′Ａ．因为 点Ｃ关于 ＡＢ边的对称 点是 Ｃ′，所以 ＡＣ ＝ ＡＣ′． 在 △ＡＢＣ 和 △ＡＢ′Ｃ′ 中， 因 为 ＢＡ＝Ｂ′Ａ， ∠ＢＡＣ＝∠Ｂ′ＡＣ′， ＡＣ＝ＡＣ′{ ， 所 以 △ＡＢＣ≌ △ＡＢ′Ｃ′． 所以ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，∠Ｂ＝ ∠Ｃ′Ｂ′Ａ．所以 ＣＢ∥ Ｂ′Ｃ′．因为ＡＤ⊥ＢＣ，所 以 ＡＥ⊥ Ｂ′Ｃ′．所以 １ ２ＢＣ·ＡＤ＝ １ ２Ｂ′Ｃ′· ＡＥ．所以ＡＤ＝ＡＥ．所以 Ａ′Ｅ＝３ＡＤ．所以Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＝ １２Ｂ′Ｃ′·Ａ′Ｅ＝３× （ １ ２ＡＤ·ＢＣ）＝３Ｓ△ＡＢＣ ＝３．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