第15期 15.1 轴对称图形; 15.2 线段的垂直平分线（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 上期检测卷 一、１．Ｂ；　２．Ｂ； ３．Ａ；　４．Ｄ； ５．Ａ；　６．Ｄ； ７．Ｃ；　８．Ｃ； ９．Ｂ；　１０．Ｃ． 二、１１．２７； １２．６０°； １３．１１０； １４．α＝２β； １５．１或３或４． 三、１６．图略． １７．因为ＡＢ＝ＡＤ， ＡＢ＋ＣＤ＝ＤＥ，所以ＡＤ ＋ＣＤ ＝ＡＣ＝ＤＥ．在 △ＡＢＣ和 △ＤＡＥ中，因 为 ＡＢ＝ＤＡ， ＡＣ＝ＤＥ， ＢＣ＝ＡＥ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＤＡＥ（ＳＳＳ）． １８．根据题意，得 ∠ＯＡＢ＝∠Ｃ＝９０°．在 △ＡＯＢ和△ＣＯＤ中，因 为 ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＯＡＢ＝∠Ｃ， ＡＯ＝ＣＯ { ， 所 以 △ＡＯＢ ≌ △ＣＯＤ（ＳＡＳ）． 所 以 ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ．所以 点Ｄ，Ｏ，Ｂ三点共线，即 钻头正好从点Ｂ处打出． １９．因为ＡＤ⊥ＢＣ， 所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．所 以∠ＤＡＣ＋∠Ｃ＝９０°． 因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＡＥＦ ＝ ∠ＢＥＣ ＝ ９０°．所以 ∠ＥＢＣ＋∠Ｃ ＝９０°．所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＢＣ．在 △ＡＥＦ和 △ＢＥＣ 中， 因 为 ∠ＥＡＦ＝∠ＥＢＣ， ＡＥ＝ＢＥ， ∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＣ { ， 所 以 △ＡＥＦ ≌ △ＢＥＣ（ＡＳＡ）．所以ＥＦ＝ ＥＣ． ２０． （１） 因 为 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ，所以 ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＤＢＣ ＝ ∠ＣＢＥ ＋∠ＤＢＣ， 即 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＤＢＥ ＝ ９０°．在△ＡＢＣ和△ＤＢＥ 中， 因 为 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ， ＡＢ＝ＤＢ， ∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＥ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ 书 １３期２版 １４．２三角形全等的判定 １４．２．５斜边、直角边（ＨＬ） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．３；　５．５５°． ６．（１）因为ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＡＣＢ＝∠ＢＤＡ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＢＡＤ中，因为 ＡＢ＝ＢＡ， ＢＣ＝ＡＤ{ ，所以Ｒｔ△ＡＢＣ ≌Ｒｔ△ＢＡＤ（ＨＬ）． （２）因为Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＢＡＤ，所以Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＡＤ．因为ＣＥ ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＢ，所以 １２ＡＢ·ＣＥ＝ １ ２ＡＢ·ＤＦ．所以ＣＥ＝ＤＦ． ７．在 Ｒｔ△ＡＤＣ和 Ｒｔ△ＣＢＡ中，因为 ＡＣ＝ＣＡ， ＤＡ＝ＢＣ{ ，所以 Ｒｔ△ＡＤＣ≌Ｒｔ△ＣＢＡ（ＨＬ）．所以ＣＤ＝ＡＢ．因为ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因 为 ＡＢ＝ＣＤ， ＡＥ＝ＣＦ{ ，所以Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）． 专题一　全等三角形的性质与判定 １．Ｃ；　３．Ｄ；　３．Ｂ；　４．ｎ ２＋ｎ ２ ． ５．因为ＡＥ＝ＢＦ，所以ＡＥ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ，即ＡＦ＝ＢＥ．因 为ＡＣ∥ ＢＤ，所以 ∠ＣＡＦ＝∠ＤＢＥ．又因为 ＡＣ＝ＢＤ，所以 △ＡＣＦ≌△ＢＤＥ（ＳＡＳ）．所以ＣＦ＝ＤＥ． ６．（１）△ＤＣＰ与△ＢＰＥ的周长和为１５．４． （２）∠ＣＢＥ的度数为６６°． ７．（１）因为ＡＧ⊥ＥＦ，ＣＨ⊥ＥＦ，所以∠Ｇ＝∠Ｈ＝９０°．因 为ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＤＥＦ＝∠ＢＦＥ．因为 ∠ＤＥＦ＝∠ＡＥＧ， ∠ＢＦＥ＝∠ＣＦＨ，所以∠ＡＥＧ＝∠ＣＦＨ．又因为ＡＥ＝ＣＦ，所以 △ＡＧＥ≌△ＣＨＦ（ＡＡＳ）． （２）线段ＧＨ与ＡＣ互相平分．理由如下： 连接ＡＣ交ＧＨ于点Ｏ，图略．由（１），得ＡＧ＝ＣＨ，∠Ｇ＝∠Ｈ＝ ９０°．由对顶角相等，得∠ＡＯＧ＝∠ＣＯＨ，所以△ＡＯＧ≌△ＣＯＨ（ＡＡＳ）． 所以ＡＯ＝ＣＯ，ＧＯ＝ＨＯ．所以线段ＧＨ与ＡＣ互相平分． 专题二　用尺规作三角形 １．Ａ；　２．Ａ． ３．作图略．∠ＡＯＢ＞∠ＤＣＥ． ４．（１）作图略　（２）能．作图略．　（３）４． １３期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ 二、９．６０°；　１０．１２；　１１．２７；　１２．１． 三、１３．图略． １４．因为ＣＦ⊥ＢＥ，所以∠ＣＦＢ＝９０°．因为ＡＤ∥ＢＣ，所以 ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＦＢＣ． 在 △ＡＥＢ 和 △ＦＢＣ 中， 因 为 ∠Ａ＝∠ＣＦＢ， ∠ＡＥＢ＝∠ＦＢＣ， ＢＥ＝ＣＢ { ， 所以△ＡＥＢ≌△ＦＢＣ（ＡＡＳ）．所以ＡＥ＝ＦＢ． １５．（１）因为ＢＦ＝ＥＣ，所以ＢＦ＋ＣＦ＝ＥＣ＋ＣＦ，即ＢＣ＝ ＥＦ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，因为ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＳＳ）． （２）由（１），得 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠Ｄ ＝ １０５°．因为∠１＝３０°，所以∠ＦＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠１＝７５°．因为 ＡＣ＝ＣＦ，所以∠ＡＦＣ＝∠ＦＡＣ＝７５°．所以 ∠ＡＣＢ＝１８０°－ ∠ＡＦＣ－∠ＦＡＣ＝３０°． １６．（１）因为ＢＮ＝ＣＭ，所以ＢＮ＋ＭＮ＝ＣＭ＋ＭＮ，即ＢＭ ＝ＣＮ．因为ＡＭ⊥ＢＣ，ＤＮ⊥ＢＣ，所以∠ＡＭＢ＝∠ＤＮＣ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＭ和Ｒｔ△ＤＣＮ中，因为 ＡＢ＝ＤＣ， ＢＭ＝ＣＮ{ ，所以Ｒｔ△ＡＢＭ≌ Ｒｔ△ＤＣＮ（ＨＬ）． （２）ＯＡ＝ＯＤ．理由如下： 由（１）知△ＡＢＭ≌△ＤＣＮ．所以ＡＭ＝ＤＮ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＭ ＝ ∠ＤＯＮ． 在 △ＡＭＯ 和 △ＤＮＯ 中， 因 为 ∠ＡＯＭ＝∠ＤＯＮ， ∠ＡＭＯ＝∠ＤＮＯ， ＡＭ＝ＤＮ { ， 所以△ＡＭＯ≌△ＤＮＯ（ＡＡＳ）．所以ＯＡ＝ＯＤ． １７．（１）因为∠ＡＢＣ＝９０°，所以∠ＤＢＥ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＡＣＢ和Ｒｔ△ＤＥＢ中，因为 ＡＣ＝ＤＥ， ＢＣ＝ＢＥ{ ，所以Ｒｔ△ＡＣＢ ≌Ｒｔ△ＤＥＢ（ＨＬ）．所以ＡＢ＝ＤＢ． （２）作ＢＭ平分∠ＡＢＤ交ＡＫ于点Ｍ，图略．所以∠ＡＢＭ＝ ∠ＭＢＫ＝１２∠ＡＢＤ＝４５°．因为ＢＦ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＣＢＦ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝４５°．由对顶角相等，得∠ＧＢＫ＝∠ＣＢＦ＝４５°．因 为ＫＢ平分∠ＡＫＧ，所以∠ＭＫＢ＝∠ＧＫＢ．在△ＢＭＫ和△ＢＧＫ 中，因为 ∠ＭＢＫ＝∠ＧＢＫ， ＢＫ＝ＢＫ， ∠ＭＫＢ＝∠ＧＫＢ{ ，所以△ＢＭＫ≌△ＢＧＫ（ＡＳＡ）．所以 ＢＭ ＝ ＢＧ，ＫＭ ＝ ＫＧ． 在 △ＡＢＭ 和 △ＤＢＧ 中， 因 为 ＡＢ＝ＤＢ， ∠ＡＢＭ＝∠ＤＢＧ， ＢＭ＝ＢＧ { ， 所以 △ＡＢＭ≌ △ＤＢＧ（ＳＡＳ）．所以 ＡＭ ＝ ＤＧ．所以ＡＫ＝ＡＭ＋ＫＭ＝ＤＧ＋ＫＧ． 附加题　过点Ｏ分别作ＯＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＯＦ⊥ＢＣ于点Ｆ， ＯＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，ＯＨ⊥ＡＤ于点Ｈ，图略．因为ＡＯ平分∠ＢＡＤ， 所以ＯＥ＝ＯＨ，∠ＡＥＯ＝∠ＡＨＯ＝９０°．在Ｒｔ△ＯＡＥ和Ｒｔ△ＯＡＨ 中，因为 ＯＡ＝ＯＡ， ＯＥ＝ＯＨ{ ，所以 Ｒｔ△ＯＡＥ≌ Ｒｔ△ＯＡＨ（ＨＬ）．所以 ＡＥ ＝ＡＨ．同理可得ＢＥ＝ＢＦ，ＣＦ＝ＣＧ，ＤＧ＝ＤＨ．所以ＡＢ＋ＣＤ＝ ＡＥ＋ＢＥ＋ＣＧ＋ＤＧ＝ＡＨ＋ＢＦ＋ＣＦ＋ＤＨ＝ＡＤ＋ＢＣ． 书 在求解平面直角坐标系中的轴对称问题时，关键是 要掌握关于某条直线对称的点的坐标之间的规律，提高 学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力，形成良好的 科学研究方法． （１）点（ａ，ｂ）关于直线 ｙ＝ｍ（各点的纵坐标都是 ｍ）对称的点的坐标为（ａ，２ｍ－ｂ）． 特殊地，当ｍ＝０，即点（ａ，ｂ）关于ｘ轴对称的点的 坐标为（ａ，－ｂ）．也可以通俗说成：求某点关于ｘ轴对称 的点的坐标时，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数， 简单说成“横坐标不变，纵坐标变（是指变成原数的相反 数）”． （２）点（ａ，ｂ）关于直线 ｘ＝ｎ（各点的横坐标都是 ｎ）对称的点的坐标为（２ｎ－ａ，ｂ）． 特殊地，当ｎ＝０，即点（ａ，ｂ）关于ｙ轴对称的点的 坐标为（－ａ，ｂ）．也可以通俗说成：求某点关于ｙ轴对称 的点的坐标时，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变， 简单说成：“横坐标变（是指变成原数的相反数），纵坐 标不变”． 例１　在平面直角坐标系中，点Ｐ（－２，３）关于ｘ轴 的对称点Ｑ的坐标为 （　　） Ａ．（－２，－３） Ｂ．（－３，－２） Ｃ．（２，－３） Ｄ．（２，３） 解：点 Ｐ（－２，３）关于 ｘ轴的对称点 Ｑ的坐标为 （－２，－３）． 故选Ａ． 例２　若点Ａ（ａ，３）与点Ｂ（－２，ｂ）关于ｙ轴对称， 则点Ｍ（ａ，ｂ）所在的象限是 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 解：因为点Ａ（ａ，３），点Ｂ（－２，ｂ）关于ｙ轴对称，所 以ａ＝２，ｂ＝３．所以点Ｍ（ａ，ｂ）在第一象限． 故选Ａ． 例３　如图，在平面直角坐 标系中，△ＡＢＣ关于直线 ｍ（直 线ｍ上各点的横坐标都为１）对 称，点Ｃ的坐标为（４，１），则点Ｂ 的坐标为 （　　） Ａ．（－２，１） Ｂ．（－３，１） Ｃ．（－２，－１） Ｄ．（２，１） 解：因为△ＡＢＣ关于直线ｍ（直线ｍ上各点的横坐 标都为１）对称，所以Ｃ，Ｂ关于直线ｍ对称．所以可设点 Ｂ的坐标为（ａ，１）．因为点Ｃ的坐标为（４，１），所以４＋ａ２ ＝１．解得ａ＝－２．所以点Ｂ的坐标为（－２，１）． 故选Ａ． 书 !"#$%&'() ， *+,-&./0123 45678& ， 9#:;< =>"#&$% ， ?@"# ABC>DE(&,FG H ． IJK@"#LMN4 56OPQQRS ！ ! 、 "#$%&'() *&'% + １　 TP １，△ＤＥＦ F△ＡＢＣUVWXYZ[ 456 ， \O]^564 ． ,- ： !"#$%&' ()*+,(&'% ， -. /%&'(01 ， 23+, 45#67&'8 ， 9:" #&'8;<(=>?@<AB ． . ：①_`56=Ｃ，Ｆ； ②abc= Ｃ，Ｆdef， gV １ ２ＣＦ&hdijOk，l kmV= Ｍ，Ｎ； ③_`ＭＮ． YZ ＭＮ K1nopO&564 ， TP ２． / 、 "#&'%*"#()0%&'() + ２　 TP ３， qrstu ＡＢＣＤ GYZ ｌ， O]st u ＡＢＣＤ UVYZ ｌ 56&Pu ． ,- ： !"CD, ＡＢＣＤ EF>< ｌ &'(+, ， G !@H"#C*I8 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ EF>< ｌ (&'8 Ａ′， Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′， JKL;M ， ABNOPQ"(+, ． . ：①v=ＡOＡＥ⊥ｌV=Ｅ，whＡＥx=Ａ′，y ＥＡ′＝ＡＥ， z= Ａ′ K1= Ａ UVYZ ｌ &56= ； ②{|&}~abO]=Ｂ，Ｃ，ＤUVYZｌ& 56= Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′； ③_`Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ｄ′，Ｄ′Ａ′． stu Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ K1npO&Pu ， TP ４． + ３　 TP ５， qr ＡＤ €a∠ＣＡＢ，ＤＣ⊥ＡＣV= Ｃ， \3YGe‚! ＡＢ ƒOL= Ｅ， y„= Ｃ，Ｅ UV ＡＤ n!YZ56 ． ,- ： 8 Ｃ，Ｅ EF ＡＤ P3><&' ， RS△ＡＤＣ≌ △ＡＤＥ，./TU,VW(XYZ["+AB． .1! ：①!ＡＥƒ…†ＡＥ＝ＡＣ； ②_`ＤＥ． = Ｅ ‡dnpO&= ， TP ６． .1/ ： ! ＡＤ &I}O∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ，ＤＦmＡＢ V= Ｅ， Pˆ ． 2!2 ： ‰Š^‹OP}~Œ ？ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " #$ % & % & $ " ' ! " ! # % & $ " %! &! "! $! ' ! & " $ % ! $ & " $ % ! ! % ! !" #$% ! & ' ( ) ! & ! " #$ % & ( ) * + $"##!$ % , & - 书 一、求角度 例１　如图１，在直角三 角形 ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°， ∠Ｂ＝５０°，ＡＤ⊥ ＢＣ，垂足为 点Ｄ，△ＡＤＢ与△ＡＤＢ′关于直 线ＡＤ对称，点 Ｂ的对称点是 点Ｂ′，则∠ＣＡＢ′的度数为 （　　） Ａ．１０°　　　 Ｂ．２０° Ｃ．３０°　　　 Ｄ．４０° 分析：利用轴对称的性质得出∠ＢＡＤ＝∠Ｂ′ＡＤ，再 利用直角三角形的性质即可求出∠ＢＡＤ的度数，最后根 据角之间的关系即可求出∠ＣＡＢ′的度数． 解：因为△ＡＤＢ与△ＡＤＢ′关于直线ＡＤ对称，点Ｂ 的对称点是点Ｂ′， 所以∠ＢＡＤ＝∠Ｂ′ＡＤ． 因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°． 因为∠Ｂ＝５０°， 所以∠ＢＡＤ＝∠Ｂ′ＡＤ＝９０°－∠Ｂ＝４０°． 因为∠ＢＡＣ＝９０°， 所以∠ＣＡＢ′＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ－∠Ｂ′ＡＤ＝１０°． 故选Ａ． 二、求周长 例２　如图２，等边 △ＡＢＣ的边 长为 １ｃｍ，Ｄ，Ｅ分别是 ＡＢ，ＡＣ上的 点，将△ＡＤＥ沿直线ＤＥ折叠，使点Ａ 落在点Ａ′处，且点 Ａ′在 △ＡＢＣ的外 部，求阴影部分图形的周长． 分析：由折叠知，直线 ＤＥ是 △ＡＤＥ和△Ａ′ＤＥ的对称轴，根据轴对称的性质知，ＡＤ ＝Ａ′Ｄ，ＡＥ＝Ａ′Ｅ，由此可知阴影部分图形的周长等于等 边△ＡＢＣ的周长． 解：阴影部分图形的周长为３ｃｍ． 三、求面积 例３　如图３，正方形ＡＢＣＤ的边 长为４ｃｍ，求阴影部分的面积． 分析：根据轴对称的性质知，阴 影部分的面积是正方形面积的一半． 解：阴影部分的面积为： １ ２×４× ４＝８（ｃｍ２）． 书 一、品牌标识与轴对称 例１　下列图形是某些品牌的 ＬＯＧＯ，其中是轴对 称图形的是 （　　） 解析：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形 沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那 么这个图形叫做轴对称图形，可知选项Ｄ符合该定义． 故选Ｄ． 二、剪纸与轴对称 例２　剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下 学生剪纸作品中，是轴对称图形的是 （　　） 解析：观察可知，选项Ｄ的剪纸图案是轴对称图形． 故选Ｄ． 三、折纸与轴对称 例３　将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面 扎出字母“Ｂ”，再把它展开铺平，你看到的图形是 （　　） 解析：对折展开后的两个图形成轴对称，对应点所 连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等．观察图形， 符合这一特征的图形是选项Ｃ． 故选Ｃ． 四、美术字与轴对称 例４　天津市的旅游形象宣传口号是“天天乐道， 津津有味”，下列汉字中是轴对称图形的是 （　　） 解析：根据轴对称图形的定义进行分析即可． 故选Ｃ． 书 轴对称图形和成轴对称图形是“亲兄弟”，相貌比较 相近，但二者之间既有区别又有联系，因而同学们在学 习这两个概念时，容易相互混淆．请同学们一起进入轴 对称的“直播间”，对这两个概念进行比较和辨析． 一、区别 １．定义不同 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠 后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴． 成轴对称图形：如果两个平面图形沿着一条直线对 折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条 直线叫做这两个图形的对称轴． ２．图形个数不同 轴对称图形是对一个图形而言，即一种具有特殊性 质的图形，它能被一条直线分割为两部分，沿这条直线 折叠后，其中一部分能与这个图形的另一部分互相重合． 成轴对称图形是对两个图形而言的，是指两个图形之 间的关系，这两个图形沿一条直线对折后能够完全重合． ３．对称点不同 轴对称图形的对称点在同一个图形上． 成轴对称图形的对称点分别在两个图形上． ４．对称轴的条数不同 轴对称图形不一定只有一条对称轴．如：长方形有 两条对称轴，而圆有无数条对称轴． 成轴对称的两个图形只有一条对称轴． 二、联系 １．轴对称图形和成轴对称图形都有对称轴，都是沿 对称轴折叠后能够完全重合． ２．如果把轴对称图形被对称轴分成的两部分看成 两个图形，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如 果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一 个轴对称图形．可见，它们在一定的条件下，可以相互转 化，由轴对称图形的性质能研究成轴对称图形的性质． 三、典例精析 例１　下列图形中，是轴对称图形的是 （　　） 解析：根据轴对称图形的定义即可作答． 故选Ｂ． 例２　下列图形中，左、右两个图形成轴对称的是 （填序号）． 解析：根据两个图形成轴对称的概念即可作答． 故填①②． ! *+ ,-- ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ./ 0 1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! 23 456 ! " % & $ " ! " # ' ( ) * $ &!" & % ! ! ( ( ( ( ( ( ( ( ' ( ) * ' ( ) * ! " # $ ' ( ) * ' ( ) * ! & %! % & $ " ! % & '% !!"#& (&) !" &+&#*!++,, ! ! 789:;<=>?@A23BCDE !" F !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()*+ ,-. / !"#!GHIJK :LMN!!-"#$%&'()*+'(,$- ./*0123456789$%.:;5<=- &->?@ABCDEFG'(HIJK%L$ M.:'(6NOPCQHIRS$M.:Q:R S- OPQRS>TUV$M.'(WXYZ:M L$["\FG]^RS_`:$ML! !"#$ TUVWXYZT :LMNa"\bc:d]Feb:;5- OPQRS79bf:d]Feb:;5<=! A[\&]"C8 D̂ &_`ab:cd &_`bef=ghijk &_`blmnopqrsct 9uvwxyzC w{S|}~ €‚ƒ„zC…†S).!#/+0+01A2D - ./ |}~ 0 - ./ 4(‡ 0 ' 1 2/ ˆ‰~ 0 - ./ Š ‹ 0 - ./ Œ  324567 ˆ Ž 89456/ ˆ 3:;5</ ‘ ’ 3:;=>7 “”• (–— ˜ ™ š›œ  ž Ÿ ¡ 4¢£ ¤ 0 ” ¥¦œ §¨} ˜©ª «©6 4}¬ ­8 ®¯™ ° ¡ ±²³ (´µ ?6327 • ¶ ?6@A7 ˆ·¸ BC327 4 ¹ DE327 º » FGHI7 ¼½¾ "¿v*À*C "Á«ÅzC "xyÆÇÈS+"$!/$&0!&$% "¿vÉÊS&_ËÌ,͛ÎÏÐÑÒ !"& †9uvw789:xyÆ "ÓÔxÕS+"+++% "ÍÖÆ×vØTS+"$!"$&0!!&$ +"$!"$&0!&"0ÙhÚD "×ÛSÜÝ¿vÍÖÆÊÞßàáâÓãÙäD "ÓÔ×ÛØTS!!!3$ "åæçè×éê×ëì× "¿víàîáËÙÍD@eïðñv "òónoôåõ†S!#++++#+++!!+ "òóÆÇÈS+"$!"$&0!&$$ "¿vö.÷'øhiùúpqrsÙû"ÍüýÏþÿ!"#=g$ !! †D%ù]&pù'()*+]ÜÝ¿vÍÖÆÊÞ,- 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列图形是同学们生活中常见的品牌 ＬＯＧＯ，不 是轴对称图形的是 （　　） ２．点（３，－２）关于ｘ轴的对称点是 （　　） Ａ．（－３，－２） Ｂ．（３，２） Ｃ．（－３，２） Ｄ．（３，－２） ３．如图１，已知 ∠ＣＤＥ＝１０８°，直 线ｌ是五边形ＡＢＣＤＥ的一条对称轴，则 直线ｌ与边ＤＥ所夹锐角α的度数为 （　　） Ａ．３６° 　　　　　Ｂ．５４° Ｃ．７２° 　　　　　Ｄ．１０８° ４．若△ＡＢＣ是轴对称图形，中线ＡＤ所在直线为其 惟一的一条对称轴，则△ＡＢＣ的周长是 （　　） Ａ．３ＡＢ Ｂ．３ＡＤ Ｃ．２ＢＣ＋ＡＣ Ｄ．２ＡＢ＋ＢＣ ５．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子． 如图２，棋盘中心方子的位置用（－１，０）表示，右下角方 子的位置用（０，－１）表示，小莹将第４枚圆子放入棋盘 后，所有棋子构成一个轴对称图形，则她放的位置是 （　　） Ａ．（－２，１） Ｂ．（－１，１） Ｃ．（１，－２） Ｄ．（－１，－２） ６．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为点Ｄ，ＥＦ垂 直平分ＡＣ，交ＢＣ于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ，连接ＡＥ．若ＢＤ＝ ＤＥ，△ＡＢＣ的周长为１６，ＡＦ＝３，则ＤＣ的长为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ７．墙上有一面镜子，镜子对 面的墙上有一个数字式电子钟． 如果在镜子里看到该电子钟的 时间显示如图４所示，那么它的实际时间是 （　　） Ａ．１２：５１ Ｂ．１５：２１ Ｃ．１５：５１ Ｄ．１２：２１ ８．如图５，在平面直角坐标系中，对在第一象限的 △ＡＢＣ进行循环往复的轴对称变换．若原来点Ａ的坐标 是（ａ，ｂ），则第２３次变换后点Ａ的坐标是 （　　） Ａ．（ａ，ｂ） Ｂ．（ａ，－ｂ） Ｃ．（－ａ，ｂ） Ｄ．（－ａ，－ｂ） 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图６，观察下列各组图形，其中成轴对称的图形 是 （填序号）． １０．如图７，直线ｌ１，ｌ２交于点Ｏ，点Ｐ关于ｌ１，ｌ２的对 称点分别为Ｐ１，Ｐ２．若ＯＰ＝４，Ｐ１Ｐ２ ＝７，则△Ｐ１ＯＰ２的 周长是 ． １１．如图８，已知点Ａ（０，８），点Ｂ（－６，８）．若ｘ轴上 一点 Ｐ到 Ａ，Ｂ两点的距离相等，则点 Ｐ的坐标为 ． １２．如图９，△ＡＣＤ和 △ＢＣＥ都 是△ＡＣＢ的轴对称图形，对称轴分别 是直线 ＡＣ，ＢＣ．若 ＡＤ⊥ ＢＥ，则 ∠ＤＣＥ＝ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１０，以直线ｌ为对称轴，请画出图形 的另一半． １４．（８分）如图１１，一个四边形纸片 ＡＢＣＤ，∠Ｂ＝ ∠Ｄ，△ＡＢＥ关于直线ＡＥ的对称图形是 △ＡＦＥ，点 Ｆ落 在ＡＤ边上．若∠Ｃ＝７２°，求∠ＡＥＢ的度数． １５．（１０分）如图１２，在△ＡＢＣ中，ＡＤ垂直平分ＢＣ， 点Ｅ在ＢＣ的延长线上，且满足ＡＢ＋ＢＤ＝ＤＥ．求证：点 Ｃ在线段ＡＥ的垂直平分线上． １６．（１２分）如图１３，Ｄ是 △ＡＢＣ内部一点，∠ＤＡＢ ＝∠ＡＢＣ． （１）作点Ｄ关于直线ＡＢ的对称点Ｅ（要求：尺规作 图，不写作法，保留作图痕迹）； （２）在（１）的条件下连接 ＡＥ，ＢＥ，求证：∠Ｄ＋ ∠ＥＢＣ＝１８０°． １７．（１４分）将△ＡＢＣ的∠Ａ沿直线ＤＥ折叠，点Ａ的 对应点为点Ａ′，记∠ＣＤＡ′为∠１，∠ＢＥＡ′为∠２． （１）如图１４－①，当点Ａ的对应点Ａ′落在△ＡＢＣ的 内部时，试探究 ∠１，∠２与 ∠Ａ的数量关系，并说明理 由； （２）如图１４－②，当点Ａ的对应点Ａ′落在△ＡＢＣ的 外部（ＡＢ的下方）时，∠１，∠２与∠Ａ又有怎样的数量关 系呢？请写出猜想，并给予证明． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，点Ａ关于ＢＣ边的 对称点为Ａ′，点Ｂ关于ＡＣ边的对称点为Ｂ′，点Ｃ关于ＡＢ 边的对称点为Ｃ′，连接Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′．若Ｓ△ＡＢＣ ＝１，求 Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′                                                                                                                                                                 ． 书 １５．１轴对称图形 １５．１．１轴对称 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列四个图案是历届世界杯足球赛会徽图案上 的一部分图形，其中是轴对称图形的是 （　　） ２．如图１中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴 的条数为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ３．如图２为一张锐角三角形纸片ＡＢＣ，小明想要通 过折纸的方式折出如下线段：①ＢＣ边上的中线 ＡＤ； ②∠ＢＡＣ的平分线ＡＥ；③ＢＣ边上的高ＡＦ．根据所学知 识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸 折出的有 （填序号）． ４．如图３，点Ｏ为∠ＡＢＣ内 部一点，且ＯＢ＝２，Ｅ，Ｆ分别为 点Ｏ关于射线ＢＡ，射线ＢＣ的对 称点．当∠ＡＢＣ＝９０°时，ＥＦ的 长为 ． ５．如图４，△ＡＢＣ中，点Ａ，Ｂ，Ｃ关于直线ＭＮ的对称 点分别为点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，其中∠Ａ＝９０°，ＡＣ＝８ｃｍ，Ａ′Ｃ ＝１２ｃｍ． （１）求△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长； （２）连接ＣＣ′，求△Ａ′ＣＣ′的面积． ６．如图５，在 △ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝３６°，∠Ｂ＝４８°， Ｄ，Ｅ分别是边ＡＢ和ＢＣ上的点，△ＡＣＥ和△ＡＤＥ关于直 线ＡＥ对称，ＣＤ交ＡＥ于点Ｆ． （１）求∠ＡＤＣ的度数； （２）求∠ＤＥＢ的度数． １５．１．２画轴对称图形 １．在平面直角坐标系中，点Ａ（３，－４）关于ｙ轴的 对称点Ｂ的坐标是 （　　） Ａ．（３，４） Ｂ．（－３，－４） Ｃ．（－３，４） Ｄ．（－４，３） ２．图１和图２中所有的“●”都完全相同，将图１的 “●”放在图２中①②③④的某一位置，使它与原来７ 个“●”组成的图形是轴对称图形，这个位置是 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ ３．如图３，在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称 图形，其中点Ａ（－６，６）的对称点Ａ′的坐标为（０，６），点 Ｍ（ｍ，ｎ）为图象上的一点，则点Ｍ在图象上的对称点的 坐标为 ． ４．在图４中分别补一个小正方形，使其成为不同的 轴对称图形． ５．如图５，在平面直角坐标系中，网格上的每个小 正方形的边长均为１，△ＡＢＣ的顶点坐标分别为Ａ（－１， ３），Ｂ（２，０），Ｃ（－３，－１）． （１）在 图 中 画 出 △ＡＢＣ关 于 ｘ轴 对 称 的 △Ａ１Ｂ１Ｃ１（点Ａ，Ｂ，Ｃ的对称点分别为 Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），并写 出Ａ１，Ｂ１，Ｃ１的坐标； （２）求△ＡＢＣ的面积． ６．在平面直角坐标系中，对于任意图形 Ｇ及直线 ｌ１，ｌ２，给出如下定义：将图形Ｇ先沿直线ｌ１翻折得到图 形Ｇ１，再将图形Ｇ１沿直线ｌ２翻折得到图形Ｇ２，则称图 形Ｇ２是图形Ｇ的 ＜ｌ１，ｌ２ ＞伴随图形． 例如：点Ｐ（２，１）的 ＜ｘ轴，ｙ轴 ＞伴随图形是点 Ｐ′（－２，－１）． （１）点Ｑ（－３，－２）的 ＜ｘ轴，ｙ轴 ＞伴随图形的 坐标为 ； （２）已知Ａ（－１，１），Ｂ（－４，１），直线ｍ经过点（１， １），且与ｙ轴平行，请写出点Ａ，Ｂ的 ＜ｘ轴，ｍ＞伴随图 形点Ａ′，Ｂ′的坐标． １５．２线段的垂直平分线 １．如图１，直线ＣＤ是线段ＡＢ的垂直平分线，Ｐ为直 线ＣＤ上的一点，已知线段ＰＡ＝６，则线段ＰＢ的长度为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．７ ２．如图２，地面上有三个洞口 Ａ，Ｂ，Ｃ，老鼠可从任 意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞 口，尽快抓住老鼠，应该蹲在 （　　） Ａ．△ＡＢＣ三条角平分线的交点 Ｂ．△ＡＢＣ三条中线的交点 Ｃ．△ＡＢＣ三条高的交点 Ｄ．△ＡＢＣ三条边的垂直平分线的交点 ３．如图 ３，ＤＥ，ＦＧ分别是 △ＡＢＣ的ＡＢ，ＡＣ边的垂直平分 线，连接ＡＧ，ＡＥ，已知ＢＣ＝１０， ＧＥ＝２，则 △ＡＧＥ的周长是 ． ４．如图４，在 △ＡＢＣ内找 一点Ｐ，使点Ｐ到Ａ，Ｂ两点的距离相等，并且点Ｐ到点Ｃ 的距离等于线段ＡＣ的长（尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹）． ５．如图５，直线ｌ是线段ＡＢ的垂直平分线，点Ｐ在 直线ｌ的右侧，连接ＰＡ，ＰＢ．求证：ＰＡ＞ＰＢ． ６．如图６，ＯＥ，ＯＦ分别是ＡＣ，ＢＤ的垂直平分线，垂 足分别为点Ｅ，Ｆ，且ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＯ＝７９°，∠ＣＤＢ＝ ３８°，求∠ＤＯＦ的度数 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 △ＤＢＥ（ＡＳＡ）． （２）过点 Ａ作 ＡＭ ⊥ＢＤ于点 Ｍ，图略．所 以 ∠ＡＭＢ ＝ ９０° ＝ ∠ＥＢＤ．因为Ｆ是ＡＥ的 中点，所以ＡＦ＝ＥＦ．由 对顶角相等，得 ∠ＡＦＭ ＝∠ＥＦＢ．在△ＡＦＭ和 △ＥＦＢ 中， 因 为 ∠ＡＭＦ＝∠ＥＢＦ， ∠ＡＦＭ ＝∠ＥＦＢ， ＡＦ＝ＥＦ { ， 所 以 △ＡＦＭ ≌ △ＥＦＢ（ＡＡＳ）．所以 ＡＭ ＝ＥＢ＝ＢＣ，ＭＦ＝ＢＦ． 所以 ＢＭ ＝２ＢＦ．因为 ∠ＤＢＣ＋∠ＡＢＦ＝９０°， ∠ＡＢＦ＋∠ＢＡＭ＝９０°， 所以∠ＤＢＣ＝∠ＢＡＭ． 在△ＡＢＭ和△ＢＤＣ中， 因 为 ＡＢ＝ＢＤ， ∠ＢＡＭ ＝∠ＤＢＣ， ＡＭ ＝ＢＣ { ， 所 以 △ＡＢＭ ≌ △ＢＤＣ（ＳＡＳ）．所以 ＢＭ ＝ＣＤ．所以ＣＤ＝２ＢＦ． ２１．（１）因为ＣＤ平 分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＤ．因为 ∠ＣＡＯ ＝９０°－∠ＢＤＯ，所以 ∠ＣＡＯ ＝ ∠ＣＢＤ．在 △ＡＣＤ和△ＢＣＤ中，因 为 ∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＤ， ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ， ＣＤ＝ＣＤ { ， 所 以 △ＡＣＤ ≌ △ＢＣＤ（ＡＡＳ）．所以 ＡＣ ＝ＢＣ． （２）因为 Ｃ（４，０）， 所以ＯＣ＝４．由（１）知 ∠ＤＡＥ＝∠ＤＢＯ，ＡＤ＝ ＢＤ．又因为 ∠ＡＤＦ ＝ ∠ＢＤＯ，所以 △ＡＤＦ≌ △ＢＤＯ（ＡＳＡ）．所以 ＤＦ ＝ＤＯ．因为 ∠ＤＥＡ＝ ∠ＤＡＥ，所以 ∠ＤＢＯ＝ ∠ＤＥＡ．在 △ＤＢＯ和 △ＤＥＦ 中， 因 为 ∠ＤＢＯ＝∠ＤＥＦ， ∠ＤＯＢ＝∠ＤＦＥ， ＤＯ＝ＤＦ { ， 所 以 △ＤＢＯ ≌ △ＤＥＦ（ＡＡＳ）．所以 ＢＯ ＝ＥＦ．在 Ｒｔ△ＣＤＯ和 Ｒｔ△ＣＤＦ 中， 因 为 ＣＤ＝ＣＤ， ＤＯ＝ＤＦ{ ， 所 以 Ｒｔ△ＣＤＯ ≌ Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）． 所 以 ＣＯ＝ＣＦ．所以ＢＣ＋ＣＥ ＝ＢＯ＋ＯＣ＋ＣＦ－ＥＦ ＝２ＯＣ＝８． （３）ＥＧ ＝ ＥＦ ＋ ＯＧ．证明如下： 由（２）知△ＤＥＦ≌ △ＤＢＯ．所以ＤＥ＝ＤＢ， ∠ＥＤＦ＝∠ＢＤＯ．所以 ∠ＧＤＢ ＝ ∠ＧＤＯ ＋ ∠ＢＤＯ ＝ ∠ＧＤＯ ＋ ∠ＥＤＦ ＝ ∠ＧＤＥ．在 △ＥＤＧ和△ＢＤＧ中，因 为 ＤＥ＝ＤＢ， ∠ＧＤＥ＝∠ＧＤＢ， ＤＧ＝ＤＧ { ， 所 以 △ＥＤＧ ≌ △ＢＤＧ（ＳＡＳ）．所以 ＥＧ ＝ＢＧ＝ＯＢ＋ＯＧ＝ＥＦ ＋ＯＧ．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