第13期 14.2 三角形全等的判定(HL)（参考答案见15期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 “ＨＬ”是一种特殊的判定三角形全等的方法，尽管 它只能在直角三角形中施展拳脚，但是由于应用简单， 仍然受到同学们的青睐．下面就让我们欣赏一下它的魅 力吧！ 一、证明两三角形全等 例１　 如图１，已知 ＡＥ⊥ ＢＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ ＢＤ于点 Ｆ，且 ＡＤ ＝ ＢＣ，ＢＥ ＝ ＤＦ．求 证： △ＡＤＥ≌△ＣＢＦ． 分析：由ＡＥ⊥ＢＤ，ＣＦ⊥ＢＤ 可知，△ＡＤＥ和△ＣＢＦ是两个直角三角形，而又知ＡＤ＝ ＢＣ，只需进一步证明一条直角边对应相等即可． 证明：因为 ＡＥ⊥ ＢＤ，ＣＦ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＡＥＤ ＝ ∠ＣＦＢ＝９０°．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＤＦ＋ＥＦ＝ＢＥ＋ＥＦ， 即ＤＥ＝ＢＦ． 在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＣＢＦ中，因为 ＡＤ＝ＣＢ， ＤＥ＝ＢＦ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＣＢＦ（ＨＬ）． 二、证明两角相等 例２　如图２，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＤ ⊥ＢＥ于点Ｃ，且Ｃ是ＢＥ的中点． 求证：∠Ｂ＝∠Ｅ． 分析：要证明∠Ｂ＝∠Ｅ，可 将问题转化为证明 △ＡＢＣ和 △ＤＥＣ全等．由ＡＤ⊥ＢＥ，可得∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，由 Ｃ是ＢＥ的中点，可得ＢＣ＝ＥＣ，再根据ＡＢ＝ＤＥ可利用 “ＨＬ”证明两个三角形全等． 证明：因为ＡＤ⊥ＢＥ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°． 因为Ｃ为ＢＥ的中点，所以ＢＣ＝ＥＣ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＤＥＣ中，因为 ＡＢ＝ＤＥ， ＢＣ＝ＥＣ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＤＥＣ（ＨＬ）． 所以∠Ｂ＝∠Ｅ． 三、证明两线段相等 例３　如图３，已知ＡＤ，ＡＦ分 别是两个钝角 △ＡＢＣ和 △ＡＢＥ 的高，ＡＤ＝ＡＦ，ＡＣ＝ＡＥ．求证： ＢＣ＝ＢＥ． 分析：根据题意，得 △ＡＤＣ， △ＡＦＥ，△ＡＢＤ，△ＡＢＦ都是直角三角形．根据“ＨＬ”证明 Ｒｔ△ＡＤＣ≌ Ｒｔ△ＡＦＥ，Ｒｔ△ＡＢＤ≌ Ｒｔ△ＡＢＦ．由此可得 ＣＤ＝ＥＦ，ＢＤ＝ＢＦ．从而得到ＢＣ＝ＢＥ． 证明：根据题意，得∠ＡＤＣ＝∠ＡＦＥ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＤＣ和Ｒｔ△ＡＦＥ中，因为 ＡＣ＝ＡＥ， ＡＤ＝ＡＦ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＤＣ≌Ｒｔ△ＡＦＥ（ＨＬ）．所以ＤＣ＝ＦＥ． 在Ｒｔ△ＡＤＢ和Ｒｔ△ＡＦＢ中，因为 ＡＢ＝ＡＢ， ＡＤ＝ＡＦ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＡＦＢ（ＨＬ）．所以ＤＢ＝ＦＢ． 所以ＤＢ－ＤＣ＝ＦＢ－ＦＥ，即ＢＣ＝ＢＥ． 书 学习了三角形全等的判定后，我们可以借助全等三 角形的知识，根据所给的条件，用尺规作图的方法作三 角形．下面举例说明． 一、已知两边及其夹角作三角形 例１　已知一个三角形的两条边分别为 ａ，ｂ，这两 条边的夹角为∠α，如图１，求作这个三角形． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠ＤＢＥ，使其等于 ∠α，然后分别在∠ＤＢＥ的两边截取线段ＢＣ＝ａ，ＢＡ＝ ｂ，连接ＡＣ即可． 作法： （１）先作∠ＤＢＥ＝∠α； （２）然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取 ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ； （３）连接ＡＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图２）． 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出角，然后根 据条件作出所求作的图形；② 尺规作图时，应注意作图 语言的规范性． 二、已知两角及其夹边作三角形 例２　已知一个三角形的两角分别为 ∠α，∠β，夹 边为ｃ，如图３，求作这个三角形． 分析：作出线段 ＡＢ＝ｃ，即可确定三角形的两个顶 点，再在ＡＢ边的同侧，分别以Ａ，Ｂ为顶点作两个角等于 已知角，这两个角的另一边的交点就是第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）再分别以 Ａ，Ｂ两点为顶点，射线 ＡＢ，ＢＡ为一 边，在ＡＢ边的同一侧作∠ＤＡＢ＝∠α，∠ＥＢＡ＝∠β； （３）ＡＤ，ＢＥ交于点Ｃ，则△ＡＢＣ即为所求（如图４）． 温馨提示：由于已知条件中有一边，所以三角形的 两个顶点容易确定，关键是确定第三个顶点． 三、已知三边作三角形 例３　已知一个三角形三条边分别为 ａ，ｂ，ｃ，如图 ５，求作这个三角形． 分析：先作出△ＡＢＣ的一条边（如ＡＢ＝ｃ），确定出 两个顶点，然后分别以这两个顶点为圆心，以线段ａ，ｂ的 长为半径画出两条弧即可确定第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）分别以Ｂ，Ａ为圆心，以ａ，ｂ长为半径画弧，两弧 交于点Ｃ； （３）连接ＡＣ，ＢＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图６）． 温馨提示：利用尺规作三角形时，一定要注意分析条 件，确定出基本的图形，画出草图，进而确定作图的步骤． 四、已知长度不等的两边作直角三角形（较长边为 斜边） 例４　如图７，已知线段ａ，ｂ，其中ｂ＞ａ，作直角三 角形ＡＢＣ，使ｂ为斜边，∠Ｂ＝９０°． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠Ｂ＝９０°，然后在 ∠Ｂ的一边上截取线段ＢＣ＝ａ，再以点Ｃ为圆心，线段ｂ 的长为半径画弧即可确定第三个顶点Ａ． 作法： （１）先作∠Ｂ＝９０°； （２）然后在∠Ｂ的一边上截取ＢＣ＝ａ； （３）以点Ｃ为圆心，线段ｂ的长为半径画弧交∠Ｂ的 另一边于点Ａ； （４）连接ＡＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图８）． 温馨提示：由已知条件可得三角形的一个角，再用 截取法容易确定其他两个顶点． ! !" # $ ! " # ! ! $ % & ! " ! " # $ % & ' ( ! # ! " " ! " ! $ # ! " ! ! % $ $ % ! & & ' ! ( ! ) ( ! ' $ * ) ( % ! ( 书 １４．因 为 ∠Ｅ ＋ ∠ＣＢＥ ＝１８０°，∠ＡＢＣ ＋∠ＣＢＥ＝１８０°， 所 以 ∠ＡＢＣ ＝ ∠Ｅ． 因为ＡＤ＝ＢＥ， 所以 ＡＤ＋ＤＢ ＝ ＢＥ＋ＤＢ，即ＡＢ＝ＤＥ． 在 △ＡＢＣ 和 △ＤＥＦ 中， 因 为 ∠Ａ＝∠ＥＤＦ， ＡＢ＝ＤＥ， ∠ＡＢＣ＝∠Ｅ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＤＥＦ（ＡＳＡ）． 所以ＡＣ＝ＤＦ． １５．因为 ＢＦ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＧ＝ ∠ＣＢＧ．因为ＣＤ⊥ＡＢ， ＣＧ⊥ ＣＤ，所以 ＡＢ∥ ＣＧ．所以∠ＡＢＧ＝∠Ｇ． 所以 ∠ＣＢＧ＝∠Ｇ．因 为 ∠ＡＣＢ＝∠ＧＣＤ＝ ９０°， 所 以 ∠ＡＣＢ － ∠ＡＣＤ ＝ ∠ＧＣＤ － ∠ＡＣＤ，即 ∠ＢＣＥ ＝ ∠ＧＣＦ．在 △ＢＣＥ和 △ＧＣＦ 中， 因 为 ∠ＣＢＥ＝∠Ｇ， ∠ＢＣＥ＝∠ＧＣＦ， ＣＥ＝ＣＦ { ， 所以 △ＢＣＥ≌ △ＧＣＦ（ＡＡＳ）． 所以ＢＥ＝ＧＦ． １６． （１） 因 为 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＣＡＦ，∠ＢＥＤ ＝ ∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＥ，∠ＣＦＤ ＝∠ＡＣＦ＋∠ＣＡＦ，且 ∠ＢＥＤ ＝ ∠ＣＦＤ ＝ ∠ＢＡＣ， 所 以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＣＡＦ，∠ＢＡＥ ＝ ∠ＡＣＦ． 在△ＡＢＥ和△ＣＡＦ 中， 因 为 ∠ＡＢＥ＝∠ＣＡＦ， ＡＢ＝ＣＡ， ∠ＢＡＥ＝∠ＡＣＦ { ， 所 以 △ＡＢＥ ≌ △ＣＡＦ（ＡＳＡ）． （２）ＥＦ ＋ ＣＦ ＝ ＢＥ．理由如下： 书 上期２版 １４．２三角形全等的判定 １４．２．２角边角（ＡＳＡ） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．７．５；　４．６． ５．在△ＡＢＤ和 △ＡＣＥ中，因为 ∠Ａ＝∠Ａ， ＡＢ＝ＡＣ， ∠Ｂ＝∠Ｃ { ， 所以 △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＡＳＡ）．所以ＢＤ＝ＣＥ． ６．（１）因为 ＡＢ∥ ＤＥ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ．在 △ＡＢＣ和 △ＤＥＦ中，因为 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ， ＡＢ＝ＤＥ， ∠Ａ＝∠Ｄ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ＤＥＦ（ＡＳＡ）． （２）因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，所以ＢＣ＝ＥＦ．所以ＢＣ －ＦＣ＝ＥＦ－ＦＣ，即ＢＦ＝ＥＣ．因为ＢＥ＝１００ｍ，ＢＦ＝ ３０ｍ，所以ＦＣ＝ＢＥ－ＢＦ－ＥＣ＝４０ｍ． １４．２．３边边边（ＳＳＳ） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ｆ，ＡＢＥ；　４．５２°． ５．在 △ＡＢＤ和 △ＣＤＢ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ， ＡＤ＝ＣＢ， ＢＤ＝ＤＢ { ， 所以 △ＡＢＤ≌△ＣＤＢ（ＳＳＳ）． ６．（１）因为ＡＦ＝ＢＣ，所以ＡＦ－ＣＦ＝ＢＣ－ＣＦ，即 ＡＣ＝ＢＦ．因为ＢＥ＝ＢＦ，所以ＡＣ＝ＢＥ．在 △ＡＣＤ和 △ＢＥＣ 中， 因 为 ＣＤ＝ＥＣ， ＡＣ＝ＢＥ， ＡＤ＝ＢＣ { ， 所 以 △ＡＣＤ ≌ △ＢＥＣ（ＳＳＳ）．所以∠Ａ＝∠Ｂ．所以ＡＤ∥ＢＥ． （２）因为∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝５０°，所以∠ＤＣＥ＝ １８０°－∠ＣＤＥ－∠ＣＥＤ＝８０°．因为∠ＢＣＥ＝２０°，所以 ∠ＤＣＢ＝∠ＤＣＥ－∠ＢＣＥ＝６０°．由（１）知 △ＡＣＤ≌ △ＢＥＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝∠ＢＣＥ＝２０°．所以 ∠Ａ＝ ∠ＤＣＢ－∠ＡＤＣ＝４０°．所以∠Ｂ＝４０°． １４．２．４角角边（ＡＡＳ） 基础训练 　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．答案不惟一，如 ＡＣ ＝ＤＦ；　４．２．８． ５．因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠ＢＡＣ＝∠Ｅ．在△ＡＢＣ和 △ＥＡＤ中， 因 为 ∠ＡＣＢ＝∠Ｄ， ∠ＢＡＣ＝∠Ｅ， ＡＢ＝ＥＡ { ， 所 以 △ＡＢＣ≌ △ＥＡＤ（ＡＡＳ）． ６．因为∠ＤＣＢ＝１００°，∠ＡＤＣ＝６５°，所以∠Ａ＝ １８０°－∠ＤＣＢ－∠ＡＤＣ＝１５°＝∠ＢＥＣ．在△ＢＣＥ和 △ＤＣＡ中， 因 为 ∠ＢＥＣ＝∠Ａ， ∠Ｃ＝∠Ｃ， ＣＢ＝ＣＤ { ， 所 以 △ＢＣＥ≌ △ＤＣＡ（ＡＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＡ．因为ＢＣ＝ＣＤ，所以ＣＡ－ ＢＣ＝ＣＥ－ＣＤ，即ＡＢ＝ＤＥ．所以测得ＤＥ的长就是Ａ， Ｂ两点间的距离． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．稳定性；　１０．ＡＢ＝ＥＤ或ＢＣ＝ＤＣ； １１．３０；　１２．８０°． 三、１３．因为点Ｅ为ＢＣ边的中点，所以ＢＥ＝ＣＥ． 在△ＢＤＥ和△ＣＤＥ中，因为 ＢＤ＝ＣＤ， ＤＥ＝ＤＥ， ＢＥ＝ＣＥ { ， 所以△ＢＤＥ≌△ＣＤＥ（ＳＳＳ）． 所以∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＥ． 所以１８０°－∠ＢＤＥ＝１８０°－∠ＣＤＥ，即∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＤＣ． 书 “ＨＬ”可以判定直角三角形全等，但是一定要注意 它不是判定直角三角形全等的惟一方法，前面学习的判 定一般三角形全等的方法都适用于直角三角形．下面举 例加以说明． 一、运用“ＨＬ”判定直角三角形全等 例 １　 如 图 １， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ ＝ＡＥ，ＤＥ⊥ ＡＢ．若 ∠ＢＤＥ ＝ ４６°， 则 ∠ＤＡＥ ＝ ． 分析：根据直角三角形的性质求得 ∠Ｂ的度数，即 可得到 ∠ＢＡＣ的度数，再运用“ＨＬ”证明 △ＡＣＤ≌ △ＡＥＤ，得到∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ即可得解． 解：因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°． 所以∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝９０°． 因为∠Ｃ＝９０°， 所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝９０°． 所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＥ＝４６°． 在Ｒｔ△ＡＣＤ和Ｒｔ△ＡＥＤ中，因为 ＡＤ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＥ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＣＤ≌Ｒｔ△ＡＥＤ（ＨＬ）． 所以∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ＝２３°． 故填２３°． 二、运用“ＡＳＡ”或“ＡＡＳ”判定直角三角形全等 例２　 如图 ２，Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＥＤＦ中，∠Ｂ＝∠Ｄ，在不添 加任何辅助线的情况下，请你添 加 一 个 条 件 ， 使 Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＥＤＦ全等． 分析：本题是一道开放型的题目，答案不惟一，只要 符合三角形全等的判定定理即可． 解：①添加条件：ＡＢ＝ＥＤ． 证明：在△ＡＢＣ和△ＥＤＦ中，因为 ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＥＤ， ∠Ａ＝∠ＤＥＦ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）． ②添加条件：ＢＣ＝ＤＦ或ＡＣ＝ＥＦ或ＡＥ＝ＣＦ（添 加这三个条件所用到的判定方法相同，此处以ＢＣ＝ＤＦ 为例进行证明）． 证明：在△ＡＢＣ和△ＥＤＦ中，因为 ∠Ａ＝∠ＤＥＦ， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＣ＝ＤＦ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ（ＡＡＳ）． 故填ＡＢ＝ＥＤ或ＢＣ＝ＤＦ或ＡＣ＝ＥＦ或ＡＥ＝ＣＦ． 书 用尺规作三角形要求同学们能根据要求正确作出 三角形，并能根据三角形全等说明这样作的理由．现将 与作三角形有关的创新题型归类如下： 一、选择作图顺序 例１　已知∠α和线段ｍ，ｎ，求作△ＡＢＣ，使ＢＣ＝ ｍ，ＢＡ＝ｎ，∠ＡＢＣ＝∠α，作法的合理顺序为 （填序号）． ①在射线ＢＤ上截取线段ＢＡ＝ｎ；②作一条线段ＢＣ ＝ｍ；③以Ｂ为顶点，以ＢＣ为一边，作∠ＤＢＣ＝∠α； ④连接ＡＣ，则△ＡＢＣ就是所求作的三角形． 分析：利用基本作图，使三角形的两边及夹角等于 已知边及夹角即可作答． 解：作图的步骤应该是：② 作一条线段 ＢＣ＝ｍ；③ 以Ｂ为顶点，以ＢＣ为一边，作∠ＤＢＣ＝∠ａ；①在射线 ＢＤ上截取线段ＢＡ＝ｎ；④连接ＡＣ，则△ＡＢＣ就是所求 作的三角形． 故填②③①④． 二、补充作图过程 例２　如图１，已知线段ａ， ｃ和∠α，求作：△ＡＢＣ，使ＢＣ＝ ａ，ＡＢ＝ｃ，∠ＡＢＣ＝∠α．根据图 ２的作图步骤在下面空格填上 适当的文字或字母． （１）如图２－①，作∠ＮＢＭ ＝ ； （２）如图２－②，在射线ＢＭ上截取ＢＣ＝ ， 在射线ＢＮ上截取ＢＡ＝ ； （３）连接 ，如图２－③，△ＡＢＣ就是所求作 的三角形． 分析：根据作图步骤填空，注意使用规范用语． 解：（１）如图２－①，作∠ＮＢＭ ＝∠α； （２）如图２－②，在射线ＢＭ上截取ＢＣ＝ａ，在射线 ＢＮ上截取ＢＡ＝ｃ； （３）连接ＡＣ，如图２－③，△ＡＢＣ就是所求作的三角 形． 故填（１）∠α；　（２）ａ，ｃ；　（３）ＡＣ． 三、还原图形 例３　如图 ３是一块三角尺模具（阴影部分已破 损），能否到店铺加工一块与原来的模具 △ＡＢＣ的形状 和大小完全相同的模具 △Ａ′Ｂ′Ｃ′？请用尺规作出模具 △Ａ′Ｂ′Ｃ′． 分析：观察可知原模具的两边 ＡＣ，ＢＣ及它们的夹角 ∠ＡＣＢ没有破损，根据“ＳＡＳ”可画出与原模具一样的三角形． 解：能到店铺加工一块与原来的模具△ＡＢＣ完全相 同的模具△Ａ′Ｂ′Ｃ′．作法如下： （１）作∠ＥＣ′Ｆ＝∠ＡＣＢ； （２）在Ｃ′Ｅ，Ｃ′Ｆ上分别截取Ｃ′Ａ′＝ＣＡ，Ｃ′Ｂ′＝ＣＢ； （３）连接Ａ′Ｂ′，△Ａ′Ｂ′Ｃ′就是所求作的三角形（如 图４）． """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! 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"#$% %&'()*+ ,-. / MNO &P$ Q@R6 MNO %P# Q@R6 MST # QUVWXY %"Z[\7]^ %"Z\_`Dabcde %"Z\fghijklm]n AopqrstJ quvwxy z{|}~tJ€v+,%#-)')'.M/Y ) *+ wxy , ) *+ ‚ƒ„ , # - .+ …†y , ) *+ ‡ ˆ , ) *+ ‰ Š -./01+ … ‹ 23/01+ …Œ -4506+ Ž  -4578+ ‘) ƒ’“ ” • –—˜ ™ š =›œ ‚ž ™ŸŒ & ‘  ¡˜ ¢£x ”¤¥ ¦¤' ‚x§ ¨Š@ ©ª• « œ ¬­® ƒ¯° 91-.+ ) ± 91:;+ …²³ <=-.+ ‚ ´ >?-.+ µ ¶ @ABC+ ·¸¹ #ºp»¼»J #½¦-tJ #rsÀÁÂv)$!%-!&'%&!" #ºpÃÄv%"ÅÆÇȗÉÊËÌÍ %$& Aopq?@A7rsÀ #ÎÏrÐv)$)))" #ÈÑÀÒpÓÔv)$!%"!&'%%&! )$!%"!&'%&$'5bÕY #ÒÖv×غpÈÑÀÄÙÚ0zÛÜÎÝ5ÞY #ÎÏÒÖÓÔv%%%(! #ßàáâÒãäÒåæÒ #ºpç0zÛÅ5ÈYG_èéêp #ëìhiíßîv%#))))#)))%%) #ëìïÁÂv)$!%"!&'%&!! #ðñòóôõöbc÷øjklm5ùúÈûüÊýþÿ!"Da# %% Y$÷P%j÷&'()*P×ØðñÈ+ïÄÙ,- 书 １４．２三角形全等的判定 １４．２．５斜边、直角边（ＨＬ） １．如图１，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的 墙上．已知左边滑梯的高度ＡＣ与右边滑梯的水平长度 ＤＦ相等，则判定△ＡＢＣ与△ＤＥＦ全等的依据是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ＨＬ Ｂ．ＡＳＡ Ｃ．ＡＡＳ Ｄ．ＳＳＳ ２．如图２，ＢＥ＝ＣＦ，ＡＥ⊥ ＢＣ，ＤＦ⊥ ＢＣ，要根据 “ＨＬ”证明Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ，则还要添加一个条件 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｂ．ＡＢ＝ＣＤ Ｃ．ＡＥ＝ＥＦ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｃ ３．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是 （　　） Ａ．两个锐角对应相等 Ｂ．一个锐角和斜边对应相等 Ｃ．两条直角边对应相等 Ｄ．一条直角边和斜边对应相等 ４．如图３，ＡＣ⊥ＢＣ于点Ｃ，ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＡＤ⊥ ＡＢ于点Ａ，ＢＣ＝ＡＥ，ＡＢ＝ＡＤ．若ＡＣ＝５，ＢＣ＝２，则ＣＥ ＝ ． ５．如图４，点Ｄ在ＢＣ边上，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ ＢＣ交ＡＣ于点Ｆ，ＢＤ＝ＣＦ，ＢＥ＝ＣＤ．若∠ＡＦＤ＝１４５°， 则∠ＥＤＦ＝ ． ６．如图５，ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ＝ＢＣ，ＣＥ⊥ＡＢ， ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是点Ｅ，Ｆ．求证： （１）△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ； （２）ＣＥ＝ＤＦ． ７．如图６，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝ ９０°，ＢＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＣＦ＝ＡＥ，ＢＣ＝ ＤＡ．求证：Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＣＤＦ． 专题一　全等三角形的性质与判定 １．如图１，已知点Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一直线上．若 △ＡＢＣ ≌△ＣＤＥ，ＡＢ＝９，ＢＤ＝１３，则ＤＥ＝ （　　） Ａ．３ Ｂ．３．５ Ｃ．４ Ｄ．４．５ ２．如图２，△ＡＢＣ≌ △ＡＤＥ．若 ∠Ｂ＝８０°，∠Ｃ＝ ３０°，∠ＤＡＣ＝２５°，则∠ＢＡＥ的度数为 （　　） Ａ．５５° Ｂ．７５° Ｃ．１０５° Ｄ．１１５° ３．如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，２∠Ｃ＝１８０°＋∠Ａ，则 下列关于ＡＢ，ＢＣ的关系描述正确的是 （　　） Ａ．ＡＢ＞２ＢＣ Ｂ．ＡＢ＝２ＢＣ Ｃ．ＡＢ＜２ＢＣ Ｄ．无法判断 ４．如图４－①，已知ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为∠ＢＡＣ平分线上 的一点，连接ＢＤ，ＣＤ；如图４－②，已知 ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ 为∠ＢＡＣ平分线上的两点，连接ＢＤ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ；如图４ －③，已知ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ，Ｆ为∠ＢＡＣ平分线上的三点， 连接ＢＤ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ，ＢＦ，ＣＦ；…，依此规律，则第ｎ个图 形中全等三角形的对数是 ． ５．如图５，点Ａ，Ｅ，Ｆ，Ｂ在直线ｌ上，ＡＥ＝ＢＦ，ＡＣ∥ ＢＤ，且ＡＣ＝ＢＤ．求证：ＣＦ＝ＤＥ． ６．如图６，已知△ＡＢＣ≌△ＤＢＥ，点Ｄ在ＡＣ边上， ＢＣ与ＤＥ交于点Ｐ．若ＡＤ＝ＤＣ＝２．４，ＢＣ＝４．１． （１）求△ＤＣＰ与△ＢＰＥ的周长和； （２）若∠ＡＢＥ＝１６２°，∠ＤＢＣ＝３０°，求∠ＣＢＥ的 度数． ７．如图７，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，点Ｅ，Ｆ分 别在ＡＤ，ＢＣ边上，ＡＥ＝ＣＦ，过点Ａ，Ｃ分别作 ＥＦ的垂 线，垂足分别为点Ｇ，Ｈ． （１）求证：△ＡＧＥ≌△ＣＨＦ； （２）连接ＡＣ，线段ＧＨ与ＡＣ是否互相平分？请说明 理由． 专题二　用尺规作三角形 １．利用尺规作图，不能作出惟一三角形的是 （　　） Ａ．已知两边及其中一边的对角 Ｂ．已知三边 Ｃ．已知两边及其夹角 Ｄ．已知两角及其夹边 ２．如图１，己知线段 ａ，∠１，求作 △ＡＢＣ，使 ＢＣ＝ ａ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＡ＝∠１，张蕾的作法如图２所示，则 下列说法中一定正确的是 （　　） Ａ．作△ＡＢＣ的依据为ＡＳＡ Ｂ．弧ＥＦ是以ＡＣ长为半径画的 Ｃ．弧ＭＮ是以点Ａ为圆心，ａ的长为半径画的 Ｄ．弧ＧＨ是以ＣＰ长为半径画的 ３．如图３，已知∠ＤＣＥ，∠ＡＯＢ，利用尺规作图比较 它们的大小（不写作法，保留作图痕迹）． ４．已知一个三角形的两条边长分别是 １ｃｍ和 ２ｃｍ，一个内角为４０°． （１）请你借助如图４所示的图形，画出一个满足条 件的三角形（请在你画的图中标出已知角的度数和已 知边的长度，不要求写作法，保留作图痕迹）； （２）你是否还能画出既满足题目条件，又与（１）中 所画的三角形不全等的三角形？若能，请用尺规作出所 有这样的三角形；若不能，请说明理由． （３）如果将题目中的条件改为“三角形的两条边长 分别是３ｃｍ和４ｃｍ，一个内角为４０°”，那么满足这一条 件，且彼此不全等的三角形共有 个 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图 １，已知 ∠Ａ＝∠Ｃ，ＢＯ＝ＤＯ，则可得到 △ＡＯＢ≌△ＣＯＤ，理由是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ＨＬ Ｂ．ＳＡＳ Ｃ．ＡＳＡ Ｄ．ＡＡＳ ２．如图２，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，∠Ｅ＝６０°，则∠Ａ＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．３５° ３．根据下列条件，能作出惟一△ＡＢＣ的是 （　　） Ａ．ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＣ＝８ Ｂ．∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝４５°，ＡＢ＝４ Ｃ．∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝６ Ｄ．ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，∠Ａ＝３０° ４．如图３，两根长度都为１２米的绳子，一端都系在 旗杆上的点 Ａ处，另一端分别固定在地面两个木桩上， 则两个木桩离旗杆底部的距离ＢＤ与ＣＤ的关系是 （　　） Ａ．ＢＤ＞ＣＤ Ｂ．ＢＤ＜ＣＤ Ｃ．ＢＤ＝ＣＤ Ｄ．无法确定 ５．如图４，已知在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ＝ＡＣ， ＤＥ⊥ＡＢ交ＢＣ于点Ｅ．若∠Ｂ＝２８°，则∠ＡＥＣ的度数 为 （　　） Ａ．２８° Ｂ．５９° Ｃ．６０° Ｄ．６２° ６．如图５，锐角△ＡＢＣ的两条高ＢＤ，ＣＥ相交于点Ｏ， 且ＣＥ＝ＢＤ．若∠ＣＢＤ＝２０°，则∠Ａ的度数为（　　） Ａ．２０° Ｂ．４０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ７．如图６，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°，下列结论中 不正确的是 （　　） Ａ．∠ＤＡＥ＝∠ＣＢＥ Ｂ．ＣＥ＝ＤＥ Ｃ．△ＤＡＥ与△ＣＢＥ不一定全等 Ｄ．∠１＝∠２ ８．如图７，在△ＡＤＥ和△ＡＢＣ 中，∠Ｅ＝∠Ｃ，ＤＥ＝ＢＣ，ＥＡ＝ ＣＡ，过点Ａ作ＡＦ⊥ＤＥ，垂足为点 Ｆ，ＤＥ交ＣＢ的延长线于点Ｇ，连接 ＡＧ，四边形ＤＧＢＡ的面积为１２，ＡＦ ＝４，则ＦＧ的长是 （　　） Ａ．２ Ｂ．２．５ Ｃ．３ Ｄ．１０３ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图 ８，ＰＭ ＝ＰＮ，∠ＢＯＣ＝３０°，则 ∠ＡＯＢ＝ ． １０．如图９，Ｄ为 Ｒｔ△ＡＢＣ中斜边 ＢＣ上的一点，且 ＢＤ＝ＡＢ，过点Ｄ作ＢＣ的垂线，交ＡＣ于点Ｅ．若ＡＥ＝ １２ｃｍ，则ＤＥ的长为 ｃｍ． １１．如图１０，在 △ＡＢＣ中，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，∠Ｃ＝ ２∠ＣＤＢ，ＡＢ ＝ １２，ＣＤ ＝ ３，则 △ＡＢＣ的 周 长 是 ． １２．如图１１，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ为对角线，且 ＡＣ＝ＡＢ，∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＤ，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ．若ＢＤ＝６， ＣＤ＝４，则ＤＥ的长度为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１２，已知∠α和线段ａ，请用套尺和 圆规作△ＡＢＣ，使其满足：∠Ｂ＝∠α，∠Ｃ＝４５°，ＡＢ＝ ａ（保留作图痕迹，不写作法）． １４．（８分）如图１３，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ａ＝９０°，以点Ｂ为 圆心，ＢＣ长为半径画弧，与射线ＡＤ交于点Ｅ，连接 ＢＥ， 过点Ｃ作ＣＦ⊥ＢＥ于点Ｆ．求证：ＡＥ＝ＦＢ． １５．（１０分）如图１４，已知ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＦ＝ ＥＣ． （１）说明△ＡＢＣ与△ＤＥＦ全等的理由； （２）如果 ＡＣ ＝ＣＦ，∠１＝３０°，∠Ｄ ＝１０５°，求 ∠ＡＣＢ的度数． １６．（１２分）如图１５，已知ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｏ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，ＤＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，ＢＮ＝ＣＭ． （１）求证：△ＡＢＭ≌△ＤＣＮ； （２）试猜想ＯＡ与ＯＤ的大小关系，并说明理由． １７．（１４分）如图１６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°， 点Ｄ是ＣＢ延长线上一点，点Ｅ是线段ＡＢ上一点，连接 ＤＥ，ＡＣ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＢＥ． （１）求证：ＡＢ＝ＤＢ； （２）ＢＦ平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｆ，点Ｇ是线段ＦＢ延 长线上一点，连接ＤＧ，点Ｈ是线段 ＤＧ上一点，连接 ＡＨ 交ＢＤ于点Ｋ，连接ＫＧ．当ＫＢ平分∠ＡＫＧ时，求证：ＡＫ＝ ＤＧ＋ＫＧ． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ，ＤＯ分别是 ∠ＢＡＤ，∠ＡＢＣ，∠ＢＣＤ，∠ＡＤＣ的平分线．求证：ＡＢ＋ＣＤ                                                                                                                                                                 ＝ＡＤ＋ＢＣ． 书 因 为 △ＡＢＥ ≌ △ＣＡＦ， 所以 ＡＥ＝ＣＦ，ＢＥ ＝ＡＦ． 所以 ＥＦ＋ＣＦ ＝ ＥＦ＋ＡＥ＝ＡＦ＝ＢＥ． １７．（１）因为ＯＢ⊥ ＯＣ， 所 以 ∠ＢＯＤ ＋ ∠ＣＯＥ＝９０°． 因为ＣＥ⊥ ＯＡ，ＢＤ ⊥ＯＡ， 所 以 ∠ＣＥＯ ＝ ∠ＯＤＢ＝９０°． 所以∠ＢＯＤ＋∠Ｂ ＝９０°． 所 以 ∠ＣＯＥ ＝ ∠Ｂ． 在 △ＣＯＥ 和 △ＯＢＤ 中， 因 为 ∠ＣＥＯ＝∠ＯＤＢ， ∠ＣＯＥ＝∠Ｂ， ＯＣ＝ＢＯ { ， 所 以 △ＣＯＥ ≌ △ＯＢＤ（ＡＡＳ）． 所以ＯＥ＝ＢＤ． （２）因为△ＣＯＥ≌ △ＯＢＤ， 所以 ＣＥ＝ＯＤ ＝ １５ｃｍ． 因为ＡＤ＝２ｃｍ， 所以 ＯＢ＝ＯＡ＝ ＯＤ＋ＡＤ＝１７ｃｍ． 附加题　（１）由对 顶角相等，得 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＧＢＨ． 因 为 ∠Ａ ＝ ∠ＡＢＣ， 所 以 ∠Ａ ＝ ∠ＧＢＨ． 因为 ＥＦ⊥ ＡＢ，ＧＨ ⊥ＡＢ， 所以∠ＡＦＥ＝∠Ｈ ＝９０°． 在 △ＡＥＦ 和 △ＢＧＨ 中， 因 为 ∠Ａ＝∠ＧＢＨ， ∠ＡＦＥ＝∠Ｈ， ＥＦ＝ＧＨ { ， 所 以 △ＡＥＦ ≌ △ＢＧＨ（ＡＡＳ）． （２）因为△ＡＥＦ≌ △ＢＧＨ， 所以ＡＦ＝ＢＨ． 所以 ＡＦ－ＢＦ ＝ ＢＨ－ＢＦ，即ＡＢ＝ＦＨ＝ ４． 由对顶角相等，得 ∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＨ． 因为ＥＦ⊥ＡＢ， 所以∠ＥＦＤ＝９０° ＝∠Ｈ． 在 △ＥＦＤ 和 △ＧＨＤ 中， 因 为 ∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＨ， ∠ＥＦＤ＝∠Ｈ， ＥＦ＝ＧＨ { ， 所 以 △ＥＦＤ ≌ △ＧＨＤ（ＡＡＳ）． 所以 ＤＦ＝ＤＨ＝ １ ２ＦＨ＝２． !"#!$"%&'( !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# !"#$ %& ! ! !"#$ )&*+,-./012345%(6 !" 7 %&'( ! 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