第12期 14.2 三角形全等的判定(ASA,SSS,AAS)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 两个三角形全等的判定方法有“ＳＳＳ”，“ＳＡＳ”， “ＡＳＡ”，“ＡＡＳ”及直角三角形中的“ＨＬ”，它们都需要三 个条件，而常见的试题却往往只给出两个明显的已知条件， 面对“二缺一”的局面，到底选择哪种方法来判定呢？ 一、已知两边对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ＢＣ＝ＥＦ 方法一 找第三边对应相等：首先判断 ＡＣ＝ＤＦ，然 后应用“ＳＳＳ”判定全等 方法二 找已知两边的夹角对应相等：首先判断∠Ｂ ＝∠Ｅ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 例１　如图１，已知ＡＢ＝ ＤＥ，ＡＤ＝ＣＦ，添加下列条件， 能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ的是 （　　） Ａ．ＡＣ＝ＤＦ Ｂ．∠Ａ＝∠ＦＤＥ Ｃ．∠ＡＣＢ＝∠Ｆ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ 解析：因为ＡＤ＝ＣＦ，所以ＡＤ＋ＣＤ＝ＣＦ＋ＣＤ，即 ＡＣ＝ＤＦ．要判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，已经有两边对应相 等，应添加这两边的夹角对应相等或第三边对应相等． 添加ＡＣ＝ＤＦ或∠ＡＣＢ＝∠Ｆ或∠Ｂ＝∠Ｅ，不能 判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； 添加 ∠Ａ＝∠ＦＤＥ，根据“ＳＡＳ”判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ． 故选Ｂ． 二、已知两角对应相等 已知条件 ∠Ａ＝∠Ｄ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知两角的夹边对应相等：首先判断 ＡＢ ＝ＤＥ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法二 找已知一角的对边相等：首先判断ＡＣ＝ＤＦ 或者ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例２　如图２，ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，∠Ａ＝∠Ｄ，请你再补充一个 条件，使△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，你补充 的条件是 ． 解析：由对顶角相等，得 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ．要判定 △ＡＯＢ ≌△ＤＯＣ，应添加一组边对应相等． 添加ＡＯ＝ＤＯ，根据“ＡＳＡ”判定△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ； 添加ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ，根据“ＡＡＳ”判定△ＡＯＢ ≌△ＤＯＣ． 故填ＡＯ＝ＤＯ或ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ． 三、已知一边、一角对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知角的另一邻边对应相等：首先判断 ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 方法二 找已知边的另一邻角对应相等：首先判断 ∠Ａ＝∠Ｄ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法三 找已知边的对角对应相等：首先判定 ∠Ｃ ＝∠Ｆ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例３　 如图３，已知 ∠ＤＡＢ ＝∠ＣＡＢ，点 Ａ，Ｂ，Ｅ共线，添加 下列条件不能判定 △ＤＡＢ≌ △ＣＡＢ的是 （　　） Ａ．∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ Ｂ．∠Ｄ＝∠Ｃ Ｃ．ＤＡ＝ＣＡ Ｄ．ＤＢ＝ＣＢ 解析：由图可知，ＡＢ是公共边． 添加∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ，因为∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＢＥ－∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＥ－∠ＣＡＢ，即∠Ｄ＝∠Ｃ，根据 “ＡＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加∠Ｄ＝∠Ｃ，根据“ＡＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加ＤＡ＝ＣＡ，根据“ＳＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加ＤＢ＝ＣＢ，无法判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ． 故选Ｄ． 书 三、１３．因为 ＡＢ∥ ＤＥ， 所 以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＤＥ． 在△ＡＢＣ和△ＤＡＥ 中， 因 为 ＡＢ＝ＤＡ， ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＥ， ＡＣ＝ＤＥ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＤＡＥ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｃ＝∠Ｅ． １４． （１） 因 为 △ＡＢＤ≌ △ＣＦＤ，所以 ＡＤ＝ＣＤ＝７． 因为 ＢＣ＝１０，所 以ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝３． （２）因 为 ＡＤ ⊥ ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°． 所以 ∠Ｂ＋∠ＢＡＤ ＝ ９０°．因 为 △ＡＢＤ ≌ △ＣＦＤ，所以 ∠ＢＡＤ＝ ∠ＦＣＤ．所 以 ∠Ｂ ＋ ∠ＦＣＤ ＝ ９０°．所 以 ∠ＣＥＢ＝９０°．所以 ＣＥ ⊥ＡＢ． １５．ＡＣ＝ＣＭ．理由 如下： 因为 Ｆ为 ＢＣ的中 点，所以 ＢＦ＝ＣＦ．在 △ＢＦＥ和△ＣＦＭ中，因 为 ＢＦ＝ＣＦ， ∠ＢＦＥ＝∠ＣＦＭ， ＥＦ＝ＭＦ { ， 所 以 △ＢＦＥ ≌ △ＣＦＭ（ＳＡＳ）．所以 ＢＥ ＝ＣＭ．因为 ＡＤ⊥ ＢＣ， 所以 ∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＣ ＝９０°．在 △ＢＤＥ和 △ＡＤＣ 中， 因 为 ＢＤ＝ＡＤ， ∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＣ， ＤＥ＝ＤＣ { ， 所 以 △ＢＤＥ ≌ △ＡＤＣ（ＳＡＳ）．所以 ＢＥ ＝ＡＣ．所以ＡＣ＝ＣＭ． １６．（１）由对顶角 相 等， 得 ∠ＢＣＦ ＝ ∠ＤＣＥ． 在 △ＢＣＦ 和 △ＤＣＥ 中， 因 为 ＢＣ＝ＤＣ， ∠ＢＣＦ＝∠ＤＣＥ， ＣＦ＝ＣＥ { ， 所 以 △ＢＣＦ ≌ △ＤＣＥ（ＳＡＳ）． 书 上期２版 １４．１全等三角形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．５５；　４．９５°． ５．（１）因为△ＡＢＥ≌△ＤＣＦ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ． 所以ＡＢ∥ＣＤ． （２）因为△ＡＢＥ≌△ＤＣＦ，所以ＢＥ＝ＣＦ． 所以ＢＥ－ＥＦ＝ＣＦ－ＥＦ，即ＢＦ＝ＣＥ． 因为ＢＣ＝１０，ＥＦ＝７， 所以ＣＥ＝ＢＦ＝ １２×（１０－７）＝１．５． 所以ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝８．５． ６．如图所示： 能力提高　７．１９３或６． １４．２三角形全等的判定 １４．２．１边角边（ＳＡＳ）① 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．①③；　４．５０°． ５．因为∠１＝∠２， 所以∠１＋∠ＤＡＣ＝∠２＋∠ＤＡＣ，即 ∠ＢＡＣ＝ ∠ＤＡＥ． 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，因为 ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ， ＡＣ＝ＡＥ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＡＳ）． ６．因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． 在△ＥＡＤ和△ＣＡＤ中，因为 ＡＥ＝ＡＣ， ∠ＥＡＤ＝∠ＣＡＤ， ＡＤ＝ＡＤ { ， 所以△ＥＡＤ≌△ＣＡＤ（ＳＡＳ）． 所以ＤＥ＝ＤＣ． 所以△ＢＤＥ的周长为：ＢＥ＋ＢＤ＋ＤＥ＝ＡＢ－ＡＥ＋ ＢＤ＋ＤＣ＝ＡＢ－ＡＣ＋ＢＣ＝１９． １４．２．１边角边（ＳＡＳ）② 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．１．１． ４．（１）因为ＢＦ＝ＥＣ， 所以ＢＦ＋ＦＣ＝ＥＣ＋ＦＣ，即ＢＣ＝ＥＦ． 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，因为 ＡＣ＝ＤＦ， ∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ， ＢＣ＝ＥＦ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，所以∠Ｂ＝∠Ｅ． 所以ＡＢ∥ＥＤ． ５．（１）因为ＣＥ∥ＡＢ，所以∠Ｂ＝∠ＤＣＥ． 在△ＡＢＣ和△ＤＣＥ中，因为 ＢＣ＝ＣＥ， ∠Ｂ＝∠ＤＣＥ， ＢＡ＝ＣＤ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）． （２）由（１）知△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ． 因为∠Ｄ＝２２°，所以∠Ａ＝∠Ｄ＝２２°． 因为∠Ｂ＝５０°，所以∠ＡＧＦ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＝７２°． 所以∠ＡＦＧ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＧＦ＝８６°． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ 二、９．７９°；　１０．６０；　１１．１３；　１２．３０． 书 变脸是川剧中的一项绝活，这不，全等三角形也玩 开了“变脸”，它以各种不同的面孔出现在我们面前，但 只要同学们认真观察图形，熟练掌握了它的判定方法 ———“ＳＳＳ”，就能透过假面具看清其真面目，从而说明两 个三角形全等． 真面目：如图１，△ＡＢＣ和△ＤＥＦ是两个能完全重合 的三角形，则△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ． 变脸一：两个三角形有部分公共边 例１　如图２，已知ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＦ＝ＥＣ， 那么△ＡＢＣ和△ＤＥＦ全等吗？请说明理由． 分析：条件中已经知道了两 组对边相等，我们再知道一组对 边相等即可判定全等．由已知中 的ＢＦ＝ＥＣ，我们再结合图形， 不难得到 ＢＣ＝ＥＦ，依据“ＳＳＳ” 即可说明全等． 解：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ．理由如下： 因为ＢＦ＝ＥＣ， 所以ＢＦ＋ＦＣ＝ＥＣ＋ＦＣ，即ＢＣ＝ＥＦ． 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中， 因为ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＳＳ）． 评注：尽可能从已知条件中发现隐含的等量关系是 解决此类问题的关键． 变脸二：两个三角形有一条边重合 例２　 如图 ３，已知 ＡＢ＝ ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，试说明：△ＡＢＣ≌ △ＤＣＢ． 分析：在 △ＡＢＣ与 △ＤＣＢ 中，已经给出了两组对边相等： ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，要说明三角形全等还缺少一个条 件．已知两边相等，我们通常考虑应用“ＳＡＳ”或“ＳＳＳ”， 找ＡＢ与ＡＣ的夹角∠Ａ，ＤＣ与ＤＢ的夹角∠Ｄ是否相等 或第三条边ＢＣ与ＣＢ是否相等．而由于ＢＣ与ＣＢ是公共 边，故ＢＣ＝ＣＢ，依据“ＳＳＳ”，问题得解． 解：在△ＡＢＣ与△ＤＣＢ中， 因为ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，ＢＣ＝ＣＢ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ（ＳＳＳ）． 评注：本题要抓住公共边，依据全等三角形的判定 方法“ＳＳＳ”，说明两个三角形全等． 例３　 如图 ４，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ ＝ＤＢ，试说明：ＡＢ∥ＣＤ． 分析：要说明ＡＢ∥ＣＤ，只需 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，要说明 ∠ＡＢＣ ＝∠ＤＣＢ，只需说明 △ＡＢＣ≌ △ＤＣＢ． 解：在△ＡＢＣ和△ＤＣＢ中， 因为ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，ＢＣ＝ＣＢ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ（ＳＳＳ）． 所以∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ． 所以ＡＢ∥ＣＤ． 评注：在利用“ＳＳＳ”来说明两个三角形全等时，一 定要看清楚是否是这两个三角形的对应边相等，否则容 易产生错误． 书 众所周知，数学知识 来源于生活，又服务于生 活．我们在学习了全等三 角形的有关知识后，一定 要学会运用其解决身边的 实际问题． 例１　如图１，ＡＤ是一 段斜坡，ＡＢ是水平线，现 为了测量斜坡上一点Ｄ的 竖直高度ＤＢ的长度，欢欢 在Ｄ处立上一竹竿ＣＤ，并 保证ＣＤ⊥ ＡＤ，然后在竿 顶Ｃ处垂下一根绳 ＣＥ，与 斜坡的交点为点Ｅ，他调整 好绳子ＣＥ的长度，使得ＣＥ ＝ＡＤ，此时他测得ＤＥ＝２米，求ＢＤ的长度． 分析：延长ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ．由 直角三角形的性质可得∠Ａ＝∠Ｃ． 再由∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＥ＝９０°，ＡＤ＝ ＣＥ，得 △ＡＢＤ≌ △ＣＤＥ，即可得出 ＢＤ＝ＤＥ． 解：如图１，延长ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ． 因为 ∠Ａ＋∠１＝９０°，∠Ｃ＋∠２＝９０°，∠１＝ ∠２，所以∠Ａ＝∠Ｃ． 在△ＡＢＤ和△ＣＤＥ中，因为 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＥ， ∠Ａ＝∠Ｃ， ＡＤ＝ＣＥ { ， 所以△ＡＢＤ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）． 所以ＢＤ＝ＤＥ＝２米． 例２　如图２，有一块不 规则土地 ＡＢＣＤ，分别被甲、 乙二人承包，一条公路ＧＥＦＨ 穿过这块土地，ＥＦ左边是甲 的土地，右边是乙的土地，ＡＢ ∥ＣＤ．为了方便通行，决定 将这条公路尽量修直，但要 求甲、乙二人的土地面积不变．请你设计一种方案解决 这个问题，并说明理由． 分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙 二人的土地面积不变．这里，我们应注意充分利用 ＡＢ ∥ＣＤ这一条件来构造全等三角形． 解：取ＥＦ的中点Ｏ，连接ＧＯ并延长交ＦＨ于点Ｍ， ＧＭ分别交ＡＢ，ＣＤ于点Ｐ，Ｑ，如图２，ＧＭ就是修直后的公 路．理由如下： 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＰＥＯ＝∠ＱＦＯ． 因为点Ｏ是ＥＦ的中点，所以ＥＯ＝ＦＯ． 由对顶角相等，得∠ＥＯＰ＝∠ＦＯＱ． 在△ＥＯＰ和△ＦＯＱ中，因为 ∠ＰＥＯ＝∠ＱＦＯ， ＥＯ＝ＦＯ， ∠ＥＯＰ＝∠ＦＯＱ { ， 所以△ＥＯＰ≌△ＦＯＱ（ＡＳＡ）． 所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变． 温馨提示：同学们在学习过程中应该注意观察自 己身边的实际问题，善于用数学的头脑去发现、分析和 解决问题，适当地把实际问题转化为三角形全等的问 题来解决，在很多时候还需要作出辅助线来帮助解题． 如图３，为了测量湖宽 ＡＢ，先 在ＡＢ的延长线上选定点 Ｃ，再选 一个适当的点 Ｍ，然后分别延长 ＢＭ，ＣＭ到点Ｂ′，Ｃ′，使ＭＢ′＝ＭＢ， ＭＣ′＝ＭＣ，又在Ｃ′Ｂ′的延长线上 找一点Ａ′，使Ａ′，Ｍ，Ａ三点在同一直线上，这时，只要测 出线段Ａ′Ｂ′的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理 吗？ ! " # ! $ " % & ! " ! ! " # $ & " $ ' ( # ) * % + ! , ! " ! ! &! !! -! ' - ! & ! # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " - & ! ! # " ! $ - & ! ! " ! - & % $ " " %& ' ( & ! " %-$! ! ! 书 问题：如图１，已知ＡＣ∥ＢＤ， ＡＥ，ＢＥ分别平分 ∠ＣＡＢ，∠ＤＢＡ， 且ＣＤ经过点Ｅ，试判断ＡＢ与ＡＣ ＋ＢＤ的数量关系，并说明理由． 方法一：截长法 思路分析：在线段ＡＢ上截取ＡＦ＝ＡＣ，连接ＥＦ，根 据“ＳＡＳ”可得△ＣＡＥ≌△ＦＡＥ，则∠Ｃ＝∠ＡＦＥ，从而得 到∠ＥＦＢ＝∠Ｄ．再根据“ＡＡＳ”可得△ＢＥＦ≌△ＢＥＤ， 则ＢＦ＝ＢＤ，从而得到ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系． 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如 下： 如图２，在ＡＢ上截取 ＡＦ＝ ＡＣ，连接ＥＦ． 因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ． 在△ＣＡＥ和△ＦＡＥ中，因为 ＡＣ＝ＡＦ， ∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ， ＡＥ＝ＡＥ { ， 所以△ＣＡＥ≌△ＦＡＥ（ＳＡＳ）．所以∠Ｃ＝∠ＡＦＥ． 因为ＡＣ∥ＢＤ，所以∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°． 因为∠ＥＦＢ＋∠ＡＦＥ＝１８０°，所以∠ＥＦＢ＝∠Ｄ． 因为ＢＥ平分∠ＤＢＡ，所以∠ＦＢＥ＝∠ＤＢＥ． 在△ＢＥＦ和△ＢＥＤ中，因为 ∠ＥＦＢ＝∠Ｄ， ∠ＦＢＥ＝∠ＤＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ { ， 所以△ＢＥＦ≌△ＢＥＤ（ＡＡＳ）．所以ＢＦ＝ＢＤ． 因为ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ，所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 方法二：补短法 思路分析：延长ＡＣ到点Ｆ，使ＡＦ＝ＡＢ，连接ＥＦ．根 据“ＳＡＳ”可得△ＡＥＦ≌△ＡＥＢ，则∠Ｆ＝∠ＡＢＥ，ＥＦ＝ ＥＢ．再根据“ＡＡＳ”可得△ＣＥＦ≌△ＤＥＢ，则ＦＣ＝ＢＤ，从 而得出ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系． 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如 下： 如图３，延长ＡＣ至点Ｆ，使ＡＦ ＝ＡＢ，连接ＥＦ． 因为ＡＥ平分∠ＣＡＢ， 所以∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ． 在△ＡＥＦ和△ＡＥＢ中，因为 ＡＦ＝ＡＢ， ∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ， ＡＥ＝ＡＥ { ， 所以△ＡＥＦ≌△ＡＥＢ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｆ＝∠ＡＢＥ，ＥＦ＝ＥＢ． 因为ＡＣ∥ＢＤ，所以∠ＦＣＥ＝∠Ｄ． 因为ＢＥ平分∠ＤＢＡ，所以∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＥ． 所以∠Ｆ＝∠ＤＢＥ． 在△ＣＥＦ和△ＤＥＢ中，因为 ∠ＦＣＥ＝∠Ｄ， ∠Ｆ＝∠ＤＢＥ， ＥＦ＝ＥＢ { ， 所以△ＣＥＦ≌△ＤＥＢ（ＡＡＳ）．所以ＦＣ＝ＢＤ． 因为ＡＢ＝ＡＦ＝ＡＣ＋ＦＣ，所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 温馨提示：截长法和补短法是解决全等三角形中线 段的和、差、倍、分等题目的常用方法．若题目的条件或 待求结论中含有“ａ＝ｂ＋ｃ”，需要添加辅助线时，应考 虑截长法或补短法，其具体做法为：在最长的线段上截 取一条线段与较短的线段相等，或是将一条较短的线段 延长，使之与最长的线段相等，再利用全等三角形的知 识进行说明． ! " #! !!"#" $"% !" !%!$&&'"'( ! ! )*+,-./0123456789 !" : !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()*+ ,-. / "$(! ;<=>?@AB3&.&C...C&&.8 ,DEFG#$%&'()*+, -.!&.&/.../&&."#0123456 789$ % % HIJKG:;<=>,%&-. 67?@)A+,89( / " % - & ! " ! " % - & ! ! $ ! " % - & ! # $ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " 45 LMN " OP QRS - & ! $ " % ! & % " - $ ! 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Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．５５° Ｄ．６０° ４．如图４，已知ＢＥ⊥ＡＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，且 ＢＥ＝ＣＦ，则ＡＤ是△ＡＢＣ的 （　　） Ａ．中线 Ｂ．高线 Ｃ．角平分线 Ｄ．无法确定 ５．如图５，已知 △ＡＢＣ与 △ＤＥＦ，Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｄ四点在 同一条直线上，其中 ＡＢ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ，ＡＣ＝ＤＥ，则 ∠ＡＣＢ＝ （　　） Ａ．∠ＥＦＤ Ｂ．∠ＡＢＣ Ｃ．２∠Ｄ Ｄ．１２∠ＡＦＥ ６．如图６，点Ｃ在ＤＥ上，ＡＢ＝ＡＥ，ＢＣ交ＡＥ于点Ｆ， ∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＥ，ＢＣ＝５，ＣＤ＝２，则ＥＣ的长 为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ７．在平面直角坐标系中，正方形ＡＢＣＤ如图７摆放． 若顶点Ａ，Ｂ的坐标分别为（ａ，０），（０，ｂ），则顶点Ｄ的坐 标为 （　　） Ａ．（－ｂ，ａ＋ｂ） Ｂ．（ａ－ｂ，－ａ） Ｃ．（－ａ，ａ－ｂ） Ｄ．（ｂ－ａ，－ａ） ８．如图８，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝６０°，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ 的平分线ＢＤ，ＣＥ相交于点Ｏ，ＢＤ交ＡＣ于点Ｄ，ＣＥ交ＡＢ 于点Ｅ．若ＢＣ＝７，ＢＥ＝４，则ＣＤ的长为 （　　） Ａ．７２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．无法确定 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图９，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接 成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的 （填“稳定性”或“不稳定性”）． １０．如图１０，已知∠Ａ＝∠Ｅ，∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ，要运 用“ＡＡＳ”判定 △ＡＢＣ≌ △ＥＤＣ，应添加的条件是 ． １１．如图１１，ＡＢ＝１２，∠ＡＢＣ＝９０°，ＤＡ⊥ＡＢ，点Ｅ 是ＣＤ的中点，连接ＡＥ并延长交ＢＣ于点Ｆ，ＡＤ＝５，ＢＣ ＝１０，则△ＡＢＦ的面积为 ． １２．如图１２，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＞ＡＢ，点Ｄ在边ＡＢ的 延长线上，ＡＤ＝ＡＣ，在ＢＣ上有一点Ｅ，使得ＣＥ＝ＤＥ， 连接ＡＥ．若∠ＡＥＢ＝５０°，则∠ＢＥＤ的度数为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１３，在△ＡＢＣ中，点Ｅ为ＢＣ边的中 点，连接ＡＥ，点Ｄ为线段ＡＥ上的一点（不与Ａ，Ｅ重合）， 连接ＢＤ，ＣＤ．若ＢＤ＝ＣＤ，求证：∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ． １４．（８分）如图１４，Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｅ四点在同一条直线上， ＡＤ＝ＢＥ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ，∠Ｅ＋∠ＣＢＥ＝１８０°．求证：ＡＣ ＝ＤＦ． １５．（１０分）如图１５，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＢＦ平分∠ＡＢＣ分别交ＣＤ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ， ＣＧ⊥ＣＤ，交ＢＦ于点Ｇ．已知ＣＥ＝ＣＦ，求证：ＢＥ＝ＧＦ． １６．（１２分）如图１６，点Ｂ，Ｃ分别在射线ＡＭ，ＡＮ上， 点Ｅ，Ｆ都在∠ＭＡＮ内部的射线ＡＤ上，已知ＡＢ＝ＡＣ，且 ∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝∠ＢＡＣ． （１）求证：△ＡＢＥ≌△ＣＡＦ； （２）试判断ＥＦ，ＢＥ，ＣＦ之间的数量关系，并说明理 由． １７．（１４分）小明在物理课上学习了发声物体的振 动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆 点Ｏ处用一根细绳悬挂一个小球Ａ，小球 Ａ可以自由摆 动，如图１７，ＯＡ表示小球静止时的位置．当小明用发声 物体靠进小球时，小球从 ＯＡ摆到 ＯＢ位置，此时过点 Ｂ 作ＢＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，当小球摆到ＯＣ位置时，ＯＢ与ＯＣ恰 好垂直（图中的Ａ，Ｂ，Ｏ，Ｃ在同一平面上），过点Ｃ作ＣＥ ⊥ＯＡ于点Ｅ，测得ＣＥ＝１５ｃｍ，ＡＤ＝２ｃｍ． （１）求证：ＯＥ＝ＢＤ； （２）求ＯＢ的长． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图１，△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠ＡＢＣ，延长ＡＣ到Ｅ，过点 Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｆ，延长ＣＢ到Ｇ，过点 Ｇ作ＧＨ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｈ，且ＥＦ＝ＧＨ． （１）求证：△ＡＥＦ≌△ＢＧＨ； （２）如图２，连接ＥＧ与ＦＨ相交于点Ｄ，若ＡＢ＝４， 求ＤＨ的长                                                                                                                                                                 ． 书 １４．２三角形全等的判定 １４．２．２角边角（ＡＳＡ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，ＡＣ＝ＤＦ，∠１＝∠２，如果根据“ＡＳＡ”判 定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，那么需要补充的条件是 （　　） Ａ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｂ．ＡＢ＝ＤＥ Ｃ．ＢＦ＝ＣＥ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ ２．如图２，已知Ｄ是△ＡＢＣ的边ＡＢ上的一点，ＤＦ交 ＡＣ于点Ｅ，ＤＥ＝ＥＦ，ＦＣ∥ＡＢ．若ＢＤ＝２，ＣＦ＝５，则ＡＢ 的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．７ ３．如图３，已知 △ＡＢＣ的面积为１５ｃｍ２，ＢＰ平分 ∠ＡＢＣ，过点Ａ作ＡＰ⊥ＢＰ于点Ｐ，则△ＰＢＣ的面积为 ｃｍ２． ４．如图４，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ∥ＡＤ，ＢＥ＝ＤＦ，图中全等 的三角形的对数是 ． ５．如图５，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＣ，ＡＢ上，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＢ ＝ＡＣ．求证：ＢＤ＝ＣＥ． ６．某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的 长度，他们所绘图形如图６所示，点 Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在直线 ｌ 上（点Ｆ，Ｃ之间不能直接测量，为池塘的长度），点Ａ，Ｄ 在直线ｌ的异侧，且 ＡＢ∥ ＤＥ，∠Ａ＝∠Ｄ，测得 ＡＢ＝ ＤＥ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； （２）若ＢＥ＝１００ｍ，ＢＦ＝３０ｍ，求池塘ＦＣ的长． １４．２．３边边边（ＳＳＳ） １．如图１是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁 架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利 用 （　　） Ａ．垂线段最短 Ｂ．两点之间，线段最短 Ｃ．两点确定一条直线 Ｄ．三角形的稳定性 ２．如图２，已知ＡＣ＝ＦＥ，ＢＣ＝ＤＥ，点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆ在 一条直线上，要利用“ＳＳＳ”证明△ＡＢＣ≌△ＦＤＥ，可以 添加的一个条件是 （　　） Ａ．ＡＤ＝ＦＢ Ｂ．ＤＥ＝ＢＤ Ｃ．ＢＦ＝ＤＢ Ｄ．以上都不对 ３．如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＥ＝ＣＦ，ＢＥ＝ ＡＦ，则∠Ｅ＝∠ ，∠ＣＡＦ＝∠ ． ４．如图４，已知∠ＡＯＢ，以点Ｏ为圆心，任意长度为 半径画弧①，分别交 ＯＡ，ＯＢ于点 Ｅ，Ｆ，再以点 Ｅ为圆 心，ＥＦ的长为半径画弧，交弧①于点Ｄ，画射线ＯＤ．若 ∠ＡＯＢ＝２６°，则∠ＢＯＤ的度数为 ． ５．如图５，已知ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ．求证：△ＡＢＤ≌ △ＣＤＢ． ６．如图６，点Ｃ在线段ＡＢ上，ＣＤ＝ＣＥ，ＤＥ交ＡＢ于 点Ｆ，且ＢＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＢＣ＝ＡＦ． （１）求证：ＡＤ∥ＢＥ； （２）若∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝５０°，∠ＢＣＥ＝２０°，求 ∠Ｂ的度数． １４．２．４角角边（ＡＡＳ） １．如图１，已知∠１＝∠２， ＡＣ＝ＡＤ，增加下列条件，不能 使△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ的是 （　　） Ａ．ＢＣ＝ＥＤ Ｂ．ＡＢ＝ＡＥ Ｃ．∠Ｃ＝∠Ｄ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ ２．如图２，△ＡＢＣ中 ＢＣ边上的高为 ｈ１，△ＤＥＦ中 ＤＥ边上的高为ｈ２，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ｈ１ ＞ｈ２ Ｂ．ｈ１ ＝ｈ２ Ｃ．ｈ１ ＜ｈ２ Ｄ．无法确定ｈ１，ｈ２的大小 ３．如图３，已知ＢＣ∥ＥＦ，ＡＣ∥ＤＦ，若使△ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，则需添加一个条件是 （只需添加一个 即可）． ４．如图４，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ ＝ＢＤ．若ＤＥ⊥ ＢＣ，ＡＢ＝３．２，ＢＣ＝６，则 ＣＥ的长为 ． ５．如图５，ＡＢ＝ＡＥ，ＡＢ∥ＤＥ，∠ＡＣＢ＝∠Ｄ．求证： △ＡＢＣ≌△ＥＡＤ． ６．如图６，要测量河两岸上Ａ，Ｂ两点的距离，在点Ｂ 所在河岸一侧平地上取一点 Ｃ，使 Ａ，Ｂ，Ｃ在一条直线 上，另取点Ｄ，使ＣＤ＝ＢＣ，测得∠ＤＣＢ＝１００°，∠ＡＤＣ ＝６５°，在ＣＤ的延长线上取点Ｅ，使∠ＢＥＣ＝１５°．这时 测得ＤＥ的长就是Ａ，Ｂ两点间的距离，为什么 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ？ 书 所以∠Ｆ＝∠Ｅ． 所以ＭＦ∥ＤＥ． 因为ＡＭ∥ＤＥ， 所以点 Ａ，Ｍ，Ｆ在 一条直线上． （２） 由 （１） 知 △ＢＣＦ≌△ＤＣＥ． 因为ＤＥ＝１００米， 所以 ＢＦ＝ＤＥ＝ １００米． 因为 ＢＭ ＝４０米， ＦＮ＝２０米， 所以 ＭＮ ＝ＢＦ－ ＢＭ－ＦＮ＝４０米． 答：山中隧道 ＭＮ 的长为４０米． １７．在 △ＡＢＤ和 △ＡＣＤ 中， 因 为 ＡＢ＝ＡＣ， ∠１＝∠２， ＡＤ＝ＡＤ { ， 所 以 △ＡＢＤ ≌ △ＡＣＤ（ＳＡＳ）． 所 以 ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＤＣ＝９０°． 因为∠２＝∠３， 所以１８０°－∠２－ ∠ＡＣＤ＝１８０°－∠３－ ∠ＢＣＥ，即 ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＢＥＣ＝９０°． 所 以 ∠ＦＥＣ ＝ １８０°－∠ＢＥＣ＝９０°． 在 △ＢＥＣ 和 △ＦＥＣ 中， 因 为 ＢＥ＝ＦＥ， ∠ＢＥＣ＝∠ＦＥＣ， ＥＣ＝ＥＣ { ， 所 以 △ＢＥＣ ≌ △ＦＥＣ（ＳＡＳ）． 所以ＢＣ＝ＦＣ． 附加题　（１）△ＢＰＥ 与△ＣＱＰ全等．理由如 下： 根据题意，得ＢＰ＝ ＣＱ＝５×１＝５（ｃｍ）． 所以 ＣＰ ＝ＢＣ－ ＢＰ＝１０ｃｍ． 因为 Ｅ为 ＡＢ的中 点， 所以 ＢＥ ＝ １２ＡＢ ＝１０ｃｍ． 所以ＢＥ＝ＣＰ． 在 △ＢＰＥ 和 △ＣＱＰ 中， 因 为 ＢＥ＝ＣＰ， ∠Ｂ＝∠Ｃ， ＢＰ＝ＣＱ { ， 所 以 △ＢＰＥ ≌ △ＣＱＰ（ＳＡＳ）． （２）当点Ｑ的运动 速度与点Ｐ的运动速度 不相等时，ＢＰ≠ＣＱ． 因为 ∠Ｂ ＝∠Ｃ， △ＢＰＥ与△ＣＰＱ全等， 所以 ＢＰ＝ＣＰ＝ １ ２ＢＣ＝７．５ｃｍ，ＢＥ＝ ＣＱ＝１０ｃｍ． 所以点Ｑ的运动时 间 为：７．５ ÷ ５ ＝ １．５（ｓ）． 所以点Ｑ的运动速 度 为：１０ ÷ １．５ ＝ ２０ ３（ｃｍ／ｓ）．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