第11期 14.1 全等三角形; 14.2 三角形全等的判定(SAS)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 上期３，４版 一、１．Ｃ；　２．Ａ； ３．Ｂ；　４．Ｂ； ５．Ｄ；　６．Ｄ； ７．Ａ；　８．Ｃ； ９．Ｄ；　１０．Ｃ． 二、１１．两个角是内 错角，这两个角相等； １２．－４；　１３．４０°； １４．２００； １５．（－３，－１）或 （－３，－４）． 三、１６．图略． １７．根据题意，得 ２ｍ－７－３＝２，ｎ＝ｍ－ ２．解得ｍ＝６，ｎ＝４． １８．（１）因 为 点 （ｍ，ｎ）在一次函数ｙ＝ ２ｘ－３的图象上，所以ｎ ＝２ｍ－３．所以ｎ－２ｍ ＝－３．所以３ｎ－６ｍ＋ ２０３３＝３（ｎ－２ｍ）＋ ２０３３＝２０２４． （２）点 Ａ（５ｍ－６， ５ｎ）在直线 ｙ＝２ｘ－３ 上．理由如下： 当ｘ＝５ｍ－６时，ｙ ＝２（５ｍ－６）－３＝１０ｍ －１５＝５（２ｍ－３）＝ ５ｎ．所以点 Ａ（５ｍ－６， ５ｎ）在直线 ｙ＝２ｘ－３ 上． １９．（１）容器内原 有水量：０．９－０．３ ＝ ０．６（Ｌ），滴水的速度是 ０．４Ｌ／ｈ，所以 ０．４ａ＝ ０．６．解得ａ＝１．５． （２）设Ｗ与ｔ之间 的函数表达式为Ｗ＝ｋｔ ＋０．３（ｋ＞０）．把（１．５， ０．９）代入，得 １．５ｋ＋ ０．３＝０．９．解得 ｋ＝ 书 上期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ 二、１１．２５°；　１２．如果两个实数的和是正数，那么这两个实 数都是正数；　１３．９；　１４．（３，－１）；　１５．４３或 ８ ３． 三、１６．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ的高，所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ∠ＢＡＤ＝６５°，所以∠Ｂ＝∠ＡＤＣ－∠ＢＡＤ＝２５°．因为 ＣＥ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＣＢ＝５０°，所以∠ＥＣＢ＝ １２∠ＡＣＢ＝ ２５°．所以∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＥＣＢ＝５０°． １７．（１）图略． （２）体育场的坐标是（－４，２），火车站的坐标是（－１，１）， 文化宫的坐标是（０，－２）． （３）图略． １８．（１）设直线ＡＢ所对应的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋３．把 Ｂ（６，－３）代入，得６ｋ＋３＝－３．解得ｋ＝－１．所以直线ＡＢ所 对应的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋３． （２）当ｙ＝０时，－ｘ＋３＝０．解得ｘ＝３．所以Ｃ（３，０）．所 以△ＯＡＣ的面积为：１２ ×３×３＝４．５． （３）＜． １９．（１）根据题意，得２ａ＋３ａ＋１＝０．解得ａ＝－１５． （２）根据题意，得 －２ａ－（３ａ＋１）＝９．解得ａ＝－２．所以 ２ａ＝－４，３ａ＋１＝－５．所以点Ａ的坐标是（－４，－５）． ２０．（１）①１１５°，１１５°． ②∠ＡＯＣ＝∠ＡＤＯ．理由如下： 因为△ＡＢＣ中，三个内角的平分线交于点 Ｏ，所以 ∠ＯＡＣ ＝ １２∠ＢＡＣ，∠ＯＣＡ＝ １ ２∠ＡＣＢ，∠ＡＢＯ ＝ １ ２∠ＡＢＣ．所以 ∠ＡＯＣ＝１８０°－（∠ＯＡＣ＋∠ＯＣＡ）＝１８０°－ １２（∠ＢＡＣ＋ ∠ＡＣＢ）＝１８０°－１２（１８０°－∠ＡＢＣ）＝９０°＋ １ ２∠ＡＢＣ．因为 ＯＤ⊥ＯＢ，所以∠ＢＯＤ＝９０°．所以∠ＡＤＯ＝∠ＢＯＤ＋∠ＤＢＯ ＝９０°＋１２∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＣ． （２）因为ＢＦ平分 ∠ＡＢＥ，ＣＦ平分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＦＢＥ＝ １ ２∠ＡＢＥ，∠ＦＣＢ＝ １ ２∠ＡＣＢ．所以∠Ｆ＝∠ＦＢＥ－∠ＦＣＢ＝ １ ２（∠ＡＢＥ－∠ＡＣＢ）＝ １ ２∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＯ＝３２°．所以∠ＡＯＤ ＝１８０°－∠ＡＤＯ－∠ＤＡＯ＝３８°． ２１．（１）ｓ＝ １２ｔ，（９，４）． （２）①根据题意，得乙同学上山过程中距山脚的距离ｓ与时 间ｔ的函数表达式为ｓ＝１３ｔ．当ｓ＝４－ ３ ４ ＝ １３ ４时， １ ３ｔ＝ １３ ４． 解得ｔ＝３９４．所以点Ｆ的坐标为（ ３９ ４， １３ ４）．设甲同学下山过程 中距山脚的距离ｓ与时间ｔ的函数表达式为ｓ＝ｋｔ＋ｂ．将Ｄ（９， ４）和Ｆ（３９４， １３ ４）代入，得 ９ｋ＋ｂ＝４， ３９ ４ｋ＋ｂ＝ １３ ４ { ．解得 ｋ＝－１，ｂ＝１３{ ．所以 甲同学下山过程中距山脚的距离 ｓ与时间 ｔ的函数表达式为 ｓ ＝－ｔ＋１３． ②乙到达山顶所用的时间为：４÷１３ ＝１２（ｈ）．当 ｔ＝１２ 时，ｓ＝－１２＋１３＝１．所以当乙到达山顶时，甲和乙之间的距离 是：４－１＝３（ｋｍ）． 书 全等三角形是初中数 学的重要内容，它存在于众 多的情境中，下面举例加以 说明，供同学们赏析． 一、网格图中的全等三 角形 例１　如图１，图形的 各个顶点都在３×３正方形 网格的格点上，则 ∠１＋ ∠２＝ ． 解：如图２． 在△ＡＢＣ和 △ＣＤＥ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ， ＢＣ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＣＤＥ（ＳＡＳ）． 所以∠１＝∠ＤＣＥ． 在△ＤＢＥ和△ＦＢＥ中，因为 ＤＢ＝ＦＢ， ∠ＢＤＥ＝∠ＢＦＥ， ＤＥ＝ＦＥ { ， 所以△ＤＢＥ≌△ＦＢＥ（ＳＡＳ）． 所以∠ＤＢＥ＝∠ＦＢＥ＝４５°． 所以∠１＋∠２＝∠ＤＣＥ＋∠２＝∠ＤＢＥ＝４５°． 故填４５°． 二、平面直角坐标系中的全等三角形 例２　在平面直角坐标系中，已知点 Ａ（－３，０）， Ｂ（２，０），Ｃ（－１，２），Ｅ（４，２）．如果 △ＡＢＣ与 △ＥＦＢ全 等，那么点Ｆ的坐标可以是 （　　） Ａ．（６，０）　　　　　　　Ｂ．（４，０） Ｃ．（４，－２） Ｄ．（４，－３） 解：Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３，Ｆ４的坐标分别为（６，０），（４，０），（４， －２），（４，－３），过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，如图３． 根据题意，得ＡＢ＝５． 在△ＥＦ１Ｂ中，最长边ＢＦ１＝４．在△ＥＦ２Ｂ中，最长 边ＢＥ＜４．在△ＥＦ３Ｂ中，最长边ＥＦ３＝４．所以△ＥＦ１Ｂ， △ＥＦ２Ｂ，△ＥＦ３Ｂ都不与△ＡＢＣ全等． 在 △ＢＣＤ 和 △Ｆ４ＢＦ２ 中， 因 为 ＣＤ＝ＢＦ２， ∠ＢＤＣ＝∠Ｆ４Ｆ２Ｂ， ＢＤ＝Ｆ４Ｆ２ { ， 所以△ＢＣＤ≌△Ｆ４ＢＦ２（ＳＡＳ）．所 以∠ＣＢＤ＝∠ＢＦ４Ｆ２，ＢＣ＝Ｆ４Ｂ． 在 △ＡＢＣ 和 △ＥＦ４Ｂ 中， 因 为 ＡＢ＝ＥＦ４， ∠ＣＢＡ＝∠ＢＦ４Ｅ， ＢＣ＝Ｆ４Ｂ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＦ４Ｂ（ＳＡＳ）． 故选Ｄ． 书 在求解有关全等三角形的动点问题时，要研究基本 图形及动点的运动状态，进而确定时间范围，借助方程 求解．解题过程中要注意有时需要分类讨论． 一、单向运动 例１　如图１，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ ＝６， ＢＣ＝８，点Ｃ在直线ｌ上．点 Ｐ从点Ａ出发，在三角形边上 沿Ａ→Ｃ→Ｂ的路线向终点 Ｂ运动；点Ｑ从Ｂ点出发，在 三角形边上沿Ｂ→Ｃ→Ａ的路线向终点Ａ运动，点Ｐ和 Ｑ分别以１单位 ／秒和２单位 ／秒的速度同时开始运动． 在运动过程中，若有一点到达终点，另一个点也随之停 止运动．分别过点Ｐ和Ｑ作ＰＥ⊥直线ｌ于点Ｅ，ＱＦ⊥直 线ｌ于点Ｆ，当△ＰＥＣ与△ＣＦＱ全等时，点Ｐ的运动时间 为 秒． 解：设点Ｐ的运动时间为ｔ秒．因为△ＰＥＣ与△ＣＦＱ 全等，所以ＣＰ＝ＣＱ．分三种情况： ①当０＜ｔ≤４时，点Ｐ在ＡＣ上，点Ｑ在ＢＣ上，因 为ＣＰ＝ＣＱ，所以６－ｔ＝８－２ｔ，解得ｔ＝２； ②当４＜ｔ≤６时，点Ｐ，Ｑ都在ＡＣ上，因为ＣＰ＝ ＣＱ，所以６－ｔ＝２ｔ－８，解得ｔ＝１４３； ③当６＜ｔ≤７时，点Ｐ在ＢＣ上，点Ｑ在ＡＣ上，因 为ＣＰ＝ＣＱ，所以ｔ－６＝２ｔ－８，解得ｔ＝２，不符合题意， 舍去． 故填２或１４３． 例２　如图２，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＣ＝ＢＤ＝３ｃｍ，∠Ａ＝ ∠Ｂ，点Ｐ在线段ＡＢ上以１ｃｍ／ｓ的速度由点Ａ向点Ｂ运 动，同时，点Ｑ在线段ＢＤ上由点Ｂ向点Ｄ运动．设运动 时间为 ｔｓ，当点 Ｑ的运动速度为 ｃｍ／ｓ时， △ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等． 解：设点 Ｑ的运动速度是 ｘｃｍ／ｓ．因为 ∠Ａ＝∠Ｂ，所以 △ＡＣＰ与 △ＢＰＱ全等有两种情 况： ①ＡＰ＝ＢＰ，ＡＣ＝ＢＱ＝３，则 ｔ＝ １２×４÷１＝２．所以ｘ＝３÷２＝１．５； ②ＡＰ＝ＢＱ，ＡＣ＝ＢＰ＝３，则ｔ＝（４－３）÷１＝１． 所以ｘ＝１÷１＝１． 故填１．５或１． 二、往返运动 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝８ｃｍ，ＡＧ∥ ＢＣ，ＡＧ ＝ ８ｃｍ，点Ｆ从点 Ｂ出发，沿线段 ＢＣ以４ｃｍ／ｓ的速度连续做往返 运动，点Ｅ从点Ａ出发沿线段ＡＧ 以２ｃｍ／ｓ的速度运动至点Ｇ，Ｅ，Ｆ两点同时出发，当点Ｅ 到达点Ｇ时，Ｅ，Ｆ两点同时停止运动，ＥＦ与 ＡＣ交于点 Ｄ．设点 Ｅ的运动时间为 ｔｓ，当 ｔ的值为 时， △ＡＤＥ≌△ＣＤＦ． 解：点Ｅ到达点Ｇ所用的时间是：８÷２＝４（ｓ）．点Ｆ 到达点Ｃ所用的时间是：８÷４＝２（ｓ）．因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以ＡＥ＝ＣＦ． ①当点Ｆ从点Ｂ运动至点Ｃ时，０＜ｔ≤２，８－４ｔ＝ ２ｔ，解得ｔ＝ ４３； ②当点Ｆ从点Ｃ返回至点Ｂ时，２＜ｔ≤４，４ｔ－８＝ ２ｔ，解得ｔ＝４． 故填 ４ ３或４． ! !" #$% ! " # $ % & ! ! & ' ! % () # ! " # ! & ! # * + ' # ' ! ' " ' $ ) ! & # , - # ! " $ % &'$'"'!'# '# '! '" '$ $ " ! # ! " % ! & ' ( ) * # ! ! # # ! ! ! ' ) & # ! % ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 全等三角形中有两个基本图形，一个可用来证明线 段相等，另一个可用来证明角相等．它们在全等三角形 的证明中应用非常广泛，下面举例说明． 性质：如图１，等长线段加上（或减去）同一线段后 仍相等． 一般推理步骤为：因为ＡＢ＝ＣＤ（已知），所以ＡＢ＋ ＢＤ＝ＣＤ＋ＢＤ，即ＡＤ＝ＣＢ；或因为ＡＤ＝ＣＢ（已知），所 以ＡＤ－ＢＤ＝ＣＢ－ＢＤ，即ＡＢ＝ＣＤ． 例１　 如图２，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 在一条直线上，ＡＦ＝ＤＥ，∠Ａ＝ ∠Ｄ，ＡＣ＝ＤＢ．求证：△ＡＢＦ≌ △ＤＣＥ． 证明：因为ＡＣ＝ＤＢ， 所以ＡＣ－ＢＣ＝ＤＢ－ＢＣ，即ＡＢ＝ＤＣ． 在△ＡＢＦ和△ＤＣＥ中，因为 ＡＦ＝ＤＥ， ∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＤＣ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）． 有些习题可运用“等长线段加上（或减去）等长线 段后仍相等”求解． 例２　如图３，ＡＤ，ＢＣ相交于点 Ｏ，且ＯＢ＝ＯＣ，ＯＡ＝ＯＤ，延长ＡＤ到 点Ｆ，延长ＤＡ到点Ｅ，且ＡＥ＝ＤＦ，连 接ＣＦ，ＢＥ．求证：ＢＥ∥ＣＦ． 证明：因为ＯＡ＝ＯＤ，ＡＥ＝ＤＦ， 所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＤ＋ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ． 在△ＯＢＥ和△ＯＣＦ中，因为 ＯＥ＝ＯＦ， ∠ＥＯＢ＝∠ＦＯＣ， ＯＢ＝ＯＣ { ， 所以△ＯＢＥ≌△ＯＣＦ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｅ＝∠Ｆ． 所以ＢＥ∥ＣＦ． 性质：如图４，等角加上（或减 去）同一角后仍相等． 一般推理步骤为：因为 ∠ＡＯＣ ＝∠ＢＯＤ（已知），所以 ∠ＡＯＣ＋ ∠ＣＯＤ ＝ ∠ＢＯＤ ＋∠ＣＯＤ，即 ∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ；或因为∠ＡＯＤ＝ ∠ＢＯＣ（已知），所以 ∠ＡＯＤ －∠ＣＯＤ ＝∠ＢＯＣ－ ∠ＣＯＤ，即∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ． 例３　 如图５，已知 ＯＡ＝ ＯＣ，ＯＢ ＝ ＯＤ，∠ＢＯＤ ＝ ∠ＡＯＣ．求证：∠Ｂ＝∠Ｄ． 证 明： 因 为 ∠ＢＯＤ ＝ ∠ＡＯＣ，所以 ∠ＢＯＤ－∠ＡＯＤ ＝∠ＡＯＣ－∠ＡＯＤ，即∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ． 在△ＡＯＢ和△ＣＯＤ中，因为 ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ， ＯＢ＝ＯＤ { ， 所以△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｂ＝∠Ｄ． 编者语：遇到全等三角形的基本图形时，观察题中 条件对应的图形是否有重合的部分，运用“有重合相减， 无重合相加”即可得到判定两个三角形全等的一个条 件，进而得解． 书 全等三角形是研究图形的重要工具，是后续研究全 等多边形的基础，而且它也为许多问题的解决提供了方 法与手段．下面就让我们一起走进全等的世界吧！ 一、正确理解全等三角形的含义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 如△ＡＢＣ和△ＤＥＦ全等，即△ＡＢＣ与△ＤＥＦ是能 够完全重合的两个三角形．互相重合的顶点、边、角分别 叫做对应顶点、对应边、对应角，我们也把它们称为全等 三角形的对应元素． 点Ａ与点Ｄ，点Ｂ与点Ｅ，点Ｃ与点Ｆ对应时，△ＡＢＣ 与△ＤＥＦ全等可记为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ．符号“≌”直观 地反映了全等的两层含义：“∽”表示图形形状相同， “＝”表示图形大小相等． 二、准确辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素，最简单也是最有效的 方法是：先找全等三角形的对应顶点，再确定对应边和 对应角． 例１　如图１，△ＡＥＣ≌△ＡＤＢ，点Ｅ和点Ｄ是对应 顶点，写出它们的对应边和对应角． 分析：根据图形找到对应顶点即可得解． 解：因为 △ＡＥＣ≌ △ＡＤＢ，点 Ｅ 和点Ｄ是对应顶点，点 Ａ是公共点， 所以点Ｃ和点Ｂ对应． 所以 ＡＥ和 ＡＤ是对应边，ＡＣ和 ＡＢ是对应边，ＥＣ和ＤＢ是对应边； ∠Ａ是公共角，∠ＡＥＣ和 ∠ＡＤＢ是对应角，∠Ｃ和 ∠Ｂ是对应角． 三、全等三角形的性质与判定 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长 相等，面积相等，对应边上的高、中线和角平分线相等． 判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （其余判定方法见１２期及１３期）． 例２　如图２，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一条直线上，ＡＢ＝ ＣＤ＝ １３ＢＣ，ＡＥ＝ＤＦ，ＡＥ∥ＤＦ． （１）求证：△ＡＥＣ≌△ＤＦＢ； （２）若Ｓ△ＡＥＣ ＝６，求四边形ＢＥＣＦ的面积． 分析：此题考查的是全等三角形的判定与性质，正 确作出辅助线是解答此题的关键． 解：（１）因为ＡＥ∥ＤＦ，所以∠Ａ＝∠Ｄ． 因为ＡＢ＝ＣＤ，所以ＡＢ＋ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＣ，即ＡＣ＝ＤＢ． 在△ＡＥＣ和△ＤＦＢ中，因为 ＡＥ＝ＤＦ， ∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＣ＝ＤＢ { ， 所以△ＡＥＣ≌△ＤＦＢ（ＳＡＳ）． （２）过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＣ于点Ｈ，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＡＣ 于点Ｍ，如图３． 所以Ｓ△ＡＥＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＥＨ，Ｓ△ＢＥＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＥＨ． 因为ＡＢ＝ １３ＢＣ，所以ＢＣ＝ ３ ４ＡＣ． 所以Ｓ△ＢＥＣ ＝４．５． 因为△ＡＥＣ≌△ＤＦＢ，所以Ｓ△ＡＥＣ ＝Ｓ△ＤＦＢ． 所以ＥＨ＝ＦＭ． 所以Ｓ△ＢＥＣ ＝Ｓ△ＣＦＢ． 所以Ｓ四边形ＢＥＣＦ ＝２Ｓ△ＢＥＣ ＝９． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! & % # ) ! ! # " +, -./ 0 1 2 3 # 0 4 2 3 ! &% ! # ! # ! % & # - ! $ ) # ! & % ' - ! 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１２∠ＥＡＢ ＝ ９０°．所以２∠Ｃ＋∠ＥＡＢ ＝１８０°．因为 ２∠１＋ ∠ＥＡＢ ＝１８０°，所以 ∠１＝∠Ｃ．所以 ＥＦ∥ ＢＣ． （２） 由 （１） 知 ∠ＡＢＣ＝９０°．因为∠Ｃ ＝７２°，所以 ∠ＢＡＣ＝ ９０°－∠Ｃ＝１８°．所以 ∠ＥＡＢ ＝ ２∠ＢＡＣ ＝ ３６°．所以∠ＡＢＥ＝１８０° －∠ＥＡＢ－∠ＡＥＢ ＝ ６６°．所 以 ∠ＣＢＥ ＝ ∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝２４°． ２１．（１）－３，６． （２）①设经过 ｘ秒 ＰＱ平行于ｙ轴． 根据题意，得６－２ｘ ＝ｘ．解得ｘ＝２． 所以经过 ２秒 ＰＱ 平行于ｙ轴． ②设ｔ秒时，以 Ａ， Ｏ，Ｑ，Ｐ为顶点的四边 形的面积是１０ｃｍ２． 当点Ｐ在ｙ轴右侧 时， 根据题意，得 １ ２ × ［（６－２ｔ）＋ｔ］×４＝ １０，解得ｔ＝１，此时点Ｐ 的坐标为（４，４）； 当点Ｐ在ｙ轴左侧 时， 根据题意，得 １ ２ × ［（２ｔ－６）＋ｔ］×４＝ １０，解得ｔ＝１１３，此时点 Ｐ的坐标为（－４３，４）． 综上所述，点 Ｐ的 坐标为（４，４）或（－４３， ４）． !"#!$"%&'( 书 １４．１全等三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列各选项中给出的两个图形属于全等形的是 （　　） ２．如图１，已知△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ，Ａ是Ｃ的对应点， 那么下列结论中，不一定正确的是 （　　） Ａ．∠Ｂ＝∠Ｄ Ｂ．∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．ＡＢ＝ＣＤ ３．如图 ２，点 Ｂ，Ｃ，Ｅ在同一条直线上，△ＡＢＣ≌ △ＥＦＣ，∠Ａ＝３５°，那么∠ＥＦＣ＝ °． ４．如图３，四边形ＡＢＣＤ≌四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，则∠Ａ 的大小是 ． ５．如图４，已知 △ＡＢＥ≌ △ＤＣＦ，Ａ，Ｅ分别是 Ｄ，Ｆ 的对应点，且Ｂ，Ｆ，Ｅ，Ｃ在同一条直线上． （１）求证：ＡＢ∥ＣＤ； （２）若ＢＣ＝１０，ＥＦ＝７，求ＢＥ的长度． ６．如图５，请你在图中画两条直线，把这个“＋”图 案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）． ７．如果△ＡＢＣ的三边长为３，５，７，△ＤＥＦ的三边长 为３，３ｘ－２，２ｙ－１．若这两个三角形全等，则 ｘ＋ｙ＝ ． １４．２三角形全等的判定 １４．２．１边角边（ＳＡＳ）① １．如图１是某纸伞截面示意图，伞柄 ＡＰ平分两条 伞骨所成的∠ＢＡＣ，ＡＥ＝ＡＦ．若支杆 ＤＦ需要更换，则 所换长度应与哪一段长度相等 （　　） Ａ．ＢＥ Ｂ．ＡＥ Ｃ．ＤＥ Ｄ．ＤＰ ２．如图２，已知∠１＝∠２，若用“ＳＡＳ”证明△ＡＣＢ ≌△ＢＤＡ，还需加上条件 （　　） Ａ．ＢＣ＝ＡＤ Ｂ．ＡＣ＝ＢＤ Ｃ．∠Ｃ＝∠Ｄ Ｄ．ＯＡ＝ＯＢ ３．如图 ３，下列 ４个图形中，全等的 ２个图形是 （填序号）． ４．如图４，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ ＝ＡＥ，∠Ａ＝１０５°，∠Ｄ ＝ ２５°，则∠ＡＢＥ＝ ． ５．如图５，ＡＢ＝ＡＤ，∠１ ＝∠２，ＡＣ ＝ ＡＥ．求证： △ＡＢＣ≌△ＡＤＥ． ６．如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１５，ＡＣ＝８， ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ，求 △ＢＤＥ的周长． １４．２．１边角边（ＳＡＳ）② １．如图１，Ｄ是ＢＣ的中点，ＡＤ⊥ＢＣ，那么下列结论 中不一定成立的是 （　　） Ａ．△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ Ｂ．∠Ｂ＝∠Ｃ Ｃ．ＡＤ平分∠ＢＡＣ Ｄ．ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ ２．如图 ２，ＢＤ ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＣＡ，∠ＤＢＥ＝∠Ｃ＝ ６２°，∠ＢＤＥ＝７５°，则∠ＡＦＥ的度数为 （　　） Ａ．１４８° Ｂ．１４０° Ｃ．１３５° Ｄ．１２８° ３．如图 ３，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是四个村 庄，Ｂ，Ｄ，Ｃ在一条东西走向公路的沿 线上，ＢＤ＝ＤＣ＝１ｋｍ，村庄ＡＣ，ＡＤ 间也有公路相连，且公路 ＡＤ是南北 走向，ＡＣ＝３ｋｍ，只有 ＡＢ之间由于 间隔了一个小湖，所以无直接相连成 公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得 ＡＥ ＝ １．２ｋｍ，ＢＦ＝０．７ｋｍ，则建造的斜拉桥长至少为 ｋｍ． ４．如图４，点Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在同一条直线上，ＤＦ＝ＡＣ， ＥＣ＝ＢＦ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ．求证： （１）△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； （２）ＡＢ∥ＥＤ． ５．如图５，△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ延长线上一点，满足 ＣＤ＝ＡＢ，过点Ｃ作ＣＥ∥ＡＢ且ＣＥ＝ＢＣ，连接ＤＥ并延 长，分别交ＡＣ，ＡＢ于点Ｆ，Ｇ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ； （２）若∠Ｂ＝５０°，∠Ｄ＝２２°，求∠ＡＦＧ的度数 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列四个图形中，与图１全等的是 （　　） ２．如图 ２，已知 △ＡＢＣ≌ △ＣＤＡ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ，则ＢＣ的 对应边是 （　　） Ａ．ＣＤ 　　　Ｂ．ＣＡ Ｃ．ＤＡ 　　　Ｄ．ＡＢ ３．如图３，已知△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ，Ａ和Ｂ，Ｃ和Ｄ分别 是对应顶点．若ＡＢ＝６ｃｍ，ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＣ＝５ｃｍ，则 △ＢＡＤ的周长为 （　　） Ａ．５ｃｍ Ｂ．１５ｃｍ Ｃ．１８ｃｍ Ｄ．２０ｃｍ ４．如图４，已知ＡＢ＝ＡＣ，要根据“ＳＡＳ”判定△ＡＢＤ ≌△ＡＣＥ，还需要添加条件 （　　） Ａ．ＡＤ＝ＡＥ Ｂ．ＯＤ＝ＯＥ Ｃ．ＯＢ＝ＯＣ Ｄ．ＢＤ＝ＣＥ ５．关于全等图形的描述，下列说法正确的是（　　） Ａ．形状相同的图形 Ｂ．面积相等的图形 Ｃ．能够完全重合的图形 Ｄ．周长相等的图形 ６．如图５，在 △ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ 是ＢＣ边上的两点，ＡＤ＝ＡＥ，ＢＥ ＝ＣＤ，∠１＝∠２＝１１０°，∠ＢＡＥ ＝６０°，则∠ＣＡＥ的度数为 （　　） Ａ．５０° 　　　Ｂ．６０° Ｃ．４０° 　　　Ｄ．２０° ７．三个全等三角形按如图６所示的形式摆放，则 ∠１＋∠２＋∠３的度数是 （　　） Ａ．９０° Ｂ．１２０° Ｃ．１３５° Ｄ．１８０° ８．老师布置的作业中有这样一道题：如图 ７，在 △ＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ的中点．若ＡＣ＝３，ＡＢ＝６，则ＡＤ的 长不可能是 （　　） 思考：甲同学认为 ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ这三条边不在同一个三 角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点 Ｄ出 发，构造辅助线，利用全等的知识解决．基于以上两位 同学的思考过程，请选择正确的结果． Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图８，当∠１＝ 时，图中的两个三角形 全等． １０．如图９，已知△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，∠Ｂ＝７５°，∠Ｃ＝ ２５°，∠ＤＡＣ＝２０°，则∠ＥＡＣ的度数为 °． １１．如图１０，已知ＤＥ是△ＡＢＥ的高线，ＡＤ＝ＢＤ，Ｃ 为ＢＥ上一点，连接ＡＣ，交ＤＥ于点Ｆ，连接ＢＦ．若ＢＦ＝ １０ｃｍ，ＣＦ＝３ｃｍ，则ＡＣ＝ ｃｍ． １２．如图１１，△ＡＣＢ和△ＤＣＥ都是等腰直角三角形， 其中∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ＝４５°，Ｄ 为 ＡＢ边上一点．若 ＡＤ ＝１２，ＢＤ ＝５，则 Ｓ△ＢＤＥ ＝ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１２，点 Ａ，Ｄ，Ｃ在同一条直线上，ＡＢ ∥ＤＥ，ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＤＥ，求证：∠Ｃ＝∠Ｅ． １４．（１０分）如图１３，已知ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，△ＡＢＤ≌ △ＣＦＤ． （１）若ＢＣ＝１０，ＡＤ＝７，求ＢＤ的长； （２）求证：ＣＥ⊥ＡＢ． １５．（１０分）如图１４，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为 点Ｄ，ＡＤ＝ＢＤ，点Ｅ在ＡＤ上，ＤＣ＝ＤＥ，Ｆ为ＢＣ的中点， 连接ＥＦ并延长至点Ｍ，使得ＭＦ＝ＥＦ，连接ＣＭ，请判断 线段ＡＣ与ＣＭ的关系，并说明理由． １６．（１２分）如图１５，沿ＡＭ方向开山修路，为了加快 施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在ＡＭ上 取一点Ｂ，在小山外取一点Ｃ，连接ＢＣ并延长，使ＣＤ＝ ＢＣ，过点Ｄ作ＡＢ的平行线ＤＥ，连接ＥＣ并延长，在延长 线上取一点Ｆ，使ＣＦ＝ＣＥ，ＦＭ与山的另一面交于点Ｎ， 沿ＦＮ方向开工就能使点Ａ，Ｍ，Ｆ成一条直线． （１）请说明其中的道理； （２）测量得ＤＥ＝１００米，ＢＭ＝４０米，ＦＮ＝２０米， 求山中隧道ＭＮ的长． １７．（１２分）如图１６，已知 ＡＢ＝ＡＣ，∠１＝∠２＝ ∠３，ＢＥ＝ＥＦ．求证：ＢＣ＝ＦＣ． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＢ＝２０ｃｍ， ＢＣ＝１５ｃｍ，Ｅ为 ＡＢ的中点，若点 Ｐ在线段 ＢＣ上以 ５ｃｍ／ｓ的速度由点Ｂ向点Ｃ运动，同时，点Ｑ在线段ＣＤ 上由点Ｃ向点Ｄ运动． （１）若点 Ｑ运动的速度是 ５ｃｍ／ｓ，经过 １ｓ后， △ＢＰＥ与△ＣＱＰ是否全等，请说明理由； （２）若点Ｑ的运动速度与点Ｐ的运动速度不相等， 当△ＢＰＥ与△ＣＱＰ全等时，求出点Ｑ的运动速度                                                                                                                                                                 ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# !"#$ %& ! ! !"#$ )&*+,-./012345%(6 !! 7 %&'( ! 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