专题04 代数式的化简求值问题 （四大题型突破练）压轴题常考题型突破分类专练 2024-2025学年人教版数学七年级上册

专题04 代数式的化简求值问题（五大题型突破练） 【解题必备知识】 1.代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。 单独的一个数或一个字母也是代数式. 2.列代数式 把实际问题中的数量或数量关系的文字语言转化为含有数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方，有时还需要用到括号）的数学符号语言的式子，就是要列代数式。 列代数式注意以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 3.代数式的值的概念 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。 4.代数式化简求值的常用方法 1）直接代入求值； 2) 整体代入求值； 3）计算化简后再代入求值。 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 利用整体代入思想化简求值 【题型2】 非负性情况下的代数式求值 【题型3】 数字类规律的化简求值 【题型4】 图形类规律的化简求值 【题型5】 代数式的实际应用 【题型1】 利用整体代入思想化简求值 【例1】[阅读理解] 若代数式的值为9，求代数式的值．小明采用的方法如下： 由题意得： ∴ ∴ ； ∴代数式的值为11． [方法运用] （1）若代数式的值为6，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为7，当时，求代数式的值； [拓展应用] （3）若，则的值为_________． 【变式1-1】某初中数学小组学完“代数式”章节后对一道题进行了交流，请仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小强：对于这个方程的求解，我们还没有学，常规方法不适合解决． 小丽：我知道一种“整体代换”的思想方法：将作为一个整体代入，则原式． 小强：你的方法很巧妙，值得学习． …… 任务： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式1-2】已知，，则 ． 【变式1-3】若，，则的值是 【变式1-4】阅读材料：“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”我们可以这样来解：原式．把式子两边同乘以2，得．所以代数式的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【变式1-5】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则 ； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【变式1-6】（1）【探究】若，则． 【类比】若，则的值为______． （2）【应用】当时，的值是，求当时，的值． （3）【推广】当时，的值为，则当时，的值为______（含的式子表示）． 【题型2】 非负性情况下的代数式求值 【例2】若 ，则的值为（   ） A．6 B．5 C．1 D． 【变式2-1】若，则 ． 【变式2-2】若，则的值是（    ） A．0 B． C． D．5 【变式2-3】 若，则的值为（   ） A．9 B．5 C． D． 【变式2-4】已知，则的值等于 ． 【变式2-5】若，则 ． 【变式2-6】已知，则的值为 ． 【题型3】 数字类规律的化简求值 【例3】观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【变式3-1】根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中－2x＋5的值的变化规律是：x的值每增加1时，的值就减少______．类似地，请写出的值的变化规律：______ ． (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当时，代数式的值为． 【变式3-2】阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______ ； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【变式3-3】有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个 ①，，，； ②； ③； ④． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-4】把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 【变式3-5】[观察下列等式] ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： [尝试计算]： （1） ； （2） ； [运用说明]： （3）设…试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由． 【变式3-6】【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 ，第项是 ． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式： ． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【题型4】 图形类规律的化简求值 【例4】图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层. (1)图①中共有___________个圆圈： (2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________. (3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和. 【变式4-1】如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ． 【变式4-3】观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y 1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 【变式4-4】【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【变式4-5】用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 【变式4-6】（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： 第1个点阵：    第2个点阵：   ______＋______ 第3个点阵：   ______＋______ （2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式． （3）根据以上猜想，求出的值． 【题型5】 代数式的实际应用 【例5】习近平总书记强调：“加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志”．体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，足球每个140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳，B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元． （用含x的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【变式5-1】某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的） (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【变式5-2】郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元．“双十一”期间A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一副球拍送1个羽毛球； B网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款． 已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球x个(x＞30)： (1)若在A网店购买，需付款_____ 元(用含x的代数式表示)；若在B网店购买，需 付款_______ 元．(用含x的代数式表示)； (2)若x＝40时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？ 【变式5-3】A、B两处粮库分别有水稻100 t和400 t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150 t和350 t；已知从A、B两处米厂的运价如下表： 到C厂运价 到D厂运价 A粮库 每吨15元 每吨10元 B粮库 每吨12元 每吨12元 （1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为 t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 元； （2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简） （3）当x=100时，求总运输费用． 【变式5-4】某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为，该户应缴纳的水费为 元． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 【变式5-5】某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分 给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 【变式5-6】某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果（千克） 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 (1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费_________元； (2)小明第二次购买苹果千克（超过20千克但不超过40千克）需要付费__________元（用含的式子表示） (3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数式的化简求值问题（五大题型突破练） 【解题必备知识】 1.代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。 单独的一个数或一个字母也是代数式. 2.列代数式 把实际问题中的数量或数量关系的文字语言转化为含有数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方，有时还需要用到括号）的数学符号语言的式子，就是要列代数式。 列代数式注意以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 3.代数式的值的概念 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。 4.代数式化简求值的常用方法 1）直接代入求值； 2) 整体代入求值； 3）计算化简后再代入求值。 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 利用整体代入思想化简求值 【题型2】 非负性情况下的代数式求值 【题型3】 数字类规律的化简求值 【题型4】 图形类规律的化简求值 【题型5】 代数式的实际应用 【题型1】 利用整体代入思想化简求值 【例1】[阅读理解] 若代数式的值为9，求代数式的值．小明采用的方法如下： 由题意得： ∴ ∴ ； ∴代数式的值为11． [方法运用] （1）若代数式的值为6，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为7，当时，求代数式的值； [拓展应用] （3）若，则的值为_________． 【答案】（1）；（2）0；（3）9 【分析】本题考查代数式求值．掌握整体代入法，是解题的关键． （1）根据题意，得到，整体代入，求值即可； （2）根据题意，得到，再利用整体代入法，求值即可； （3）将多项式转化为，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：（1）∵的值为6， ∴， ∴； （2）∵当时，代数式的值为7， 即：， ∴， ∴当时，； （3）∵， ∴． 【变式1-1】某初中数学小组学完“代数式”章节后对一道题进行了交流，请仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小强：对于这个方程的求解，我们还没有学，常规方法不适合解决． 小丽：我知道一种“整体代换”的思想方法：将作为一个整体代入，则原式． 小强：你的方法很巧妙，值得学习． …… 任务： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，掌握待定系数法是解答本题的关键． （1）用整体代入法求解即可； （2）用整体代入法求解即可． 【解答】（1）因为， 所以， 所以， 所以． （2）因为，所以， 所以 ． 【变式1-2】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求代数式的值和有理数加法运算，由题意可把进行拆项，然后利用整体代入进行求解即可，熟练运用法则和整体代入的思想是解题的关键． 【解答】解： ， 故答案为：． 【变式1-3】若，，则的值是 【答案】3 【分析】本题考查了求代数式的值，应用了整体思想，仔细观察两个方程系数特点并相加是本题的关键．观察同一未知数系数的特点，只要把两式相加即可求解． 【解答】因为，， 所以两式相加得：， 所以， 故答案为：3． 【变式1-4】阅读材料：“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”我们可以这样来解：原式．把式子两边同乘以2，得．所以代数式的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)200 (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入法是解答本题的关键． （1）直接将整体代入中计算即可； （2）把变形为，然后把整体代入计算即可； （3）把变形为，再整体代入求值即可． 【解答】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：，， ． 【变式1-5】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则 ； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值以及整体思想： （1）先整理，再代入，即可作答； （2）先整理，把代入，即可作答； （3）先整理，再把，代入，即可作答； 正确掌握整体代入法是解题的关键． 【解答】（1）解：依题意，因为 所以； （2）解：依题意， ； 把代入， 得 （3）解：依题意，因为，， 所以． 【变式1-6】（1）【探究】若，则． 【类比】若，则的值为______． （2）【应用】当时，的值是，求当时，的值． （3）【推广】当时，的值为，则当时，的值为______（含的式子表示）． 【答案】（1）；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值； （1）把代数式，然后利用整体代入的方法计算；利用同样方法计算的值； （2）先用已知条件得到，而当时，，然后利用整体代入的方法计算； （3）利用当时，代数式的值为m得到，而当时，，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）∵， ∴； 若，则； 故答案为；；；； （2）∵当时，代数式的值是， ∴， ∴， ∴当时，； （3）∵当时，代数式的值为， ∴， 即， 当时， ． 故答案为：． 【题型2】 非负性情况下的代数式求值 【例2】若 ，则的值为（   ） A．6 B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，根据非负数的性质可得，求得的值，代入即可求解． 【解答】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-1】若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值，根据非负数的性质得出，是解题的关键． 根据非负数的性质可得，，即，，再代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式2-2】若，则的值是（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-3】 若，则的值为（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，得出，求出x和y的值，即可解答． 【解答】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式2-4】已知，则的值等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，代入代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． 【变式2-5】若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查绝对值的非负性，乘方运算，先根据绝对值得非负性求出a，b的值，然后代入解题即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：8． 【变式2-6】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，理解绝对值、偶次方的非负性是正确解答的前提，求出、的值是解决问题的关键．根据偶次方，绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【解答】解：，而，， ，， 解得，， ， 故答案为：． 【题型3】 数字类规律的化简求值 【例3】观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【答案】(1) (2)①，② (3)①② 【分析】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【解答】（1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 【变式3-1】根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中－2x＋5的值的变化规律是：x的值每增加1时，的值就减少______．类似地，请写出的值的变化规律：______ ． (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当时，代数式的值为． 【答案】(1)1；14 (2)2；x的值每增加1时，的值就增加3． (3)－5x＋6 【分析】本题考查了代数式的值和一元一次方程． （1）把分别代入式子即可求解； （2）观察表格中数值的变化规律即可解答； （3）根据x的值每增加1，代数式的值就减小5，可设这个式子为，又由当时，代数式的值为，即可求得n的值，从而得到代数式． 【解答】（1）当时， ， ， 即，． 故答案为：1，14 （2）根据表中的值为9，7，5，3，1，可得x每增加1，的值就减少2； 根据表中的值为2，5，8，11，14，可得x每增加1，的值就增加3． 故答案为：2；x的值每增加1时，的值就增加3． （3）∵x的值每增加1，代数式的值就减小5， ∴设这个式子为， ∵当时，代数式的值为， ∴， 解得， ∴这个代数式为． 【变式3-2】阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______ ； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3)29070 【分析】（1）根据题中规律即可写出； （2）根据（1）中得到规律进行计算即可； （3）根据（1）中规律进行拓展并计算即可 【解答】（1）， ； （2）解：原式 （3）解：原式 ， 【点评】本题主要考查有理数乘法运算律的应用、数字类规律的应用，正确理解题中规律是解题的关键． 【变式3-3】有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个 ①，，，； ②； ③； ④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 【解答】解：由题意得：，，，， ，，，，故①正确； ，，，，故②正确； ∵， ∴是由经过503次操作所得， ∵，，，， ∴、、、……，三个为一组成一个循环， ∵， ∴，故③错误； 依次计算：，，，，…， 则每3次操作，相应的数会重复出现， ， ， ．故④错误； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：C． 【变式3-4】把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含的代数式表示出第组最后一个数，判断出第组最后一个奇数，进而可得答案，找到数字类规律是解题的关键． 【解答】依题意得：第组中奇数的个数有个， ∴第组最后一个奇数为：， ∴当时，第组最后一个奇数为：， 当时，第组从左往右奇数依次是为：，，，，，， 则表示的数是， 故答案为：． 【变式3-5】[观察下列等式] ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： [尝试计算]： （1） ； （2） ； [运用说明]： （3）设…试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查数字的变化规律． （1）通过观察可得原式，再运算即可； （2）通过观察可得原式，再运算即可； （3）由，，，推出，，，据此求解即可． 【解答】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； （3），理由如下， ∵，，，，， 又∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 即， ∴． 【变式3-6】【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 ，第项是 ． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式： ． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【解答】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 【题型4】 图形类规律的化简求值 【例4】图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层. (1)图①中共有___________个圆圈： (2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________. (3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和. 【答案】(1)66 (2)56 (3)1179 【分析】（1）计算第11层小圆圈的个数，就是计算1加到11的数的和； （2）首先计算10层圆圈的个数，可得第11层第1个数； （3）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可． 【解答】（1）解：当小圆圈有11层时，共有：1+2+3+…+11==66个圆圈； 故答案为：66； （2）当有10层时，共有：1+2+3+…+10==55个圆圈 则第11层最左边圆图的数是56，故答案为：56； （3）当小圆圈有11层时，共有66个圆圈，故圆圈里的数为，其中23个负数，1个0，42个正数，∴图④所有圆圈中各数的绝对值之和： = ==1179 【点评】此题主要考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【变式4-1】如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【解答】解：，，，，，； ， 故选：D． 【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 【变式4-2】如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ． 【答案】85 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第n个图案点和三角形的个数规律是解题关键．根据图案得到第n个图案点的个数为个；三角形有个，再求出第10个图案点的个数为个；三角形有个，问题得解． 【解答】解：由所给图案可得 第1个图案点的个数为个；三角形有1个； 第2个图案点的个数为个；三角形有个； 第3个图案点的个数为个；三角形有个； …… 所以第n个图案点的个数为个；三角形有个； 所以第10个图案点的个数为个；三角形有个， 所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为个． 故答案为：85 【变式4-3】观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y 1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 【答案】①见解析； ②57； ③ 【分析】本题考查了图形类规律探索，找出一般规律是解题关键． ①根据已知图形数出黑点个数是解题关键； ②根据题意得出一般规律：图n黑点的个数是：，据此即可求解； ③根据②作答即可． 【解答】解：①由图形可知，时，；，， 填表如下： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 7    13 21   … ②由题意可知，图1黑点的个数是：1； 图2黑点的个数是：； 图3黑点的个数是：； … 观察可知，图n黑点的个数是：， 即时，， 故答案为：57； ③由②可知，n与y之间的关系为． 【变式4-4】【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【解答】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 【变式4-5】用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 【答案】(1)12；17；（5n＋2） (2)1012；不能 (3)110个 【分析】（1）依次求出图形中用的火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）先求出187根火柴搭成的是第几个图形，再根据图形中正方形个数变化的规律即可解决问题． 【解答】（1）解：（1）由所给图形可知， 第①个图形用的火柴棒根数为：7＝1×5＋2； 第②个图形用的火柴棒根数为：12＝2×5＋2； 第③个图形用的火柴棒根数为：17＝3×5＋2； …， 所以第n个图形用的火柴棒根数为（5n＋2）根． 故答案为：12，17，（5n＋2）． （2）解：（2）由（1）知， 当n＝202时， 5n＋2＝5×202＋2＝1012（根）， 即第202个图形用的火柴棒根数为1012根． 使用2023根火柴棒不能搭建完整的正方形组建的图形． 当5n＋2＝2023时， 解得n＝404.2， 因为n为正整数， 所以不能搭建完整的正方形组建的图形． 故答案为：1012，不能． （3）解：（3）令5n＋2＝187， 解得n＝37， 即第37个图形用的火柴棒根数为187根． 又因为第①个图形产生的正方形个数为：2＝1×3﹣1； 第②个图形产生的正方形个数为：5＝2×3﹣1； 第③个图形产生的正方形个数为：8＝3×3﹣1； …， 所以第n个图形产生的正方形个数为（3n﹣1）个， 当n＝37时， 3n﹣1＝3×37﹣1＝110（个）， 即第37个图形产生的正方形个数为110个， 所以使用187根火柴搭图形，图中会产生110个正方形． 【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现所用火柴棒的根数及产生正方形的个数变化的规律是解题的关键． 【变式4-6】（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： 第1个点阵：    第2个点阵：   ______＋______ 第3个点阵：   ______＋______ （2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式． （3）根据以上猜想，求出的值． 【答案】（1），，，；（2）；（3）20201 【分析】（1）根据点阵图即可求解； （2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第个点阵相对应的等式； （3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可． 【解答】解：（1）由图可得：，， 故答案为：，，，； （2）第1个点阵：    第2个点阵：    第3个点阵： 第个点阵相对应的等式为： ； （3）由（2）可得： ， ， ， ． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第个点阵相对应的等式为：，是解题的关键． 【题型5】 代数式的实际应用 【例5】习近平总书记强调：“加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志”．体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，足球每个140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳，B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元． （用含x的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)在A网店购买较为合算 (3)当时，先从A网店购买60个足球，再从B网店购买140条跳绳．共计付款12180元． 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用A，B两个网店的优惠方案分别计算足球与跳绳的付费金额是解题的关键． （1）利用A，B两个网店的优惠方案分别计算足球与跳绳的付费金额再相加即可； （2）将分别代入两个代数式计算通过比较结果即可得出结论； （3）通过计算得出方案：先从A网店购买60个足球，送60条跳绳，再从B网店购买140条跳绳即可． 【解答】（1）解：若在A网店购买，需付款：元； 若在B网店购买，需付款：元． 故答案为：；； （2）当时， （元）， （元）， ， ∴在A网店购买较为合算． （3）当时，先从A网店购买60个足球，再从B网店购买140条跳绳 （元）． ∴当时，先从A网店购买60个足球，再从B网店购买140条跳绳．共计付款12180元． 【变式5-1】某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的） (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【答案】(1)； (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值： （1）方案一的收费为：元，方案二收费为：元； （2）把代入两个代数式，进而比较即可． 【解答】（1）解：方案一的收费为：元， 方案二收费为：元； 故答案为：；． （2）解：把代入（元）， 把代入（元）， ∵， ∴方案二省钱． 【变式5-2】郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元．“双十一”期间A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一副球拍送1个羽毛球； B网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款． 已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球x个(x＞30)： (1)若在A网店购买，需付款_____ 元(用含x的代数式表示)；若在B网店购买，需 付款_______ 元．(用含x的代数式表示)； (2)若x＝40时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？ 【答案】(1)(5x+1050)，(4.5x+1080)；(2)在A网店购买合算；(3)先在A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球需1200元，差10个羽毛球在B网店购买需45元，共需1245元． 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把x＝40代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球，另外10副羽毛球拍在B网店购买即可． 【解答】解：(1)A网店购买需付款30×40+(x﹣30)×5＝(5x+1050)元； B网店购买需付款40×90%×30+5×90%×x＝(4.5x+1080)元． 故答案为(5x+1050)，(4.5x+1080)； (2)当x＝40时， A网店需5×40+1050＝1250(元)； B网店需4.5×40+1080＝1260(元)； 所以按A网店购买合算； (3)先A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球需1200元，差10个羽毛球B网店购买需45元，共需1245元． 【点评】此题考查列代数式，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键． 【变式5-3】A、B两处粮库分别有水稻100 t和400 t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150 t和350 t；已知从A、B两处米厂的运价如下表： 到C厂运价 到D厂运价 A粮库 每吨15元 每吨10元 B粮库 每吨12元 每吨12元 （1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为 t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 元； （2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简） （3）当x=100时，求总运输费用． 【答案】（1）（400-x）、（10x-500）；（2）总运费为（6550-5x）元；（3）6050元． 【分析】（1）由B粮库有水稻400t全部运出，可得从B粮库运到D地的水稻=400t-从B粮库运到C地的水稻，则第一个空可解；先用x表示出从A粮库将水稻运往D地的吨数，再乘以10则第二个空可解． （2）据题意先用x分别表示出从A粮库将运往D地C地的水稻质量、从B粮库运到C地D地的水稻质量，再乘以相应的运费单价，最后相加即可用x表示出总费用． （3）把x=100代入到（2）所得到的代数式中求值即可． 【解答】（1）：∵从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨且B粮库有水稻400t全部运出 ∴从B粮库运到D地的水稻为（400-x）t； ∴由表格知从B粮库将水稻运往C、D地的运输费用分别为12x元和12(400-x)元； ∵D地能加工水稻350 ∴从A粮库运往D地的水稻为（t） ∴由表格知从A粮库将水稻运往D地的运输费用为（元）； 故答案为：（400-x）；（10x-500） （2）∵A粮库有水稻100t且全部运出 ∴从A粮库运往C地的水稻为100-(x-50)=150-x(t) ∴由表格知从A粮库将水稻运往C地的运输费用为15(150-x)元． ∴运输的总费用为： = =（元）． （3）把x=100代入到-5x+6550中得 -5x+6550=-500+6550=6050（元） 答：当x=100时，总费用为6050元． 【点评】此题考查列代数式解决实际问题．关键是理解题意和表格，从中抽象出相等关系． 【变式5-4】某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为，该户应缴纳的水费为 元． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可； （2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【解答】（1）解： （元）， ∴该户这个月应缴纳的水费为元； （2）解： （元）， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴ 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴ 元， 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴ 元； 综上所述，当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元． 【点评】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式5-5】某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分 给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 【答案】(1) (2)， (3)元 【分析】本题考查列代数式，解答此类问题的关键是明确题意，列出形应的代数式. （1）根据题意可以求得甲顾客一次性购物元实际付款额； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出题目中的问题； （3）根据题意可以求得丙顾客两次购物实际付款额. 【解答】（1）由题意可得： (元) ， 故答案为:； （2）由题意可得，当 时, 他实际付款: 元， 当时，他实际付款：元， 故答案为: ，； （3）由题意可得,元 , 即丙顾客两次购物实际付款合计元. 【变式5-6】某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果（千克） 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 (1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费_________元； (2)小明第二次购买苹果千克（超过20千克但不超过40千克）需要付费__________元（用含的式子表示） (3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含的式子表示） 【答案】(1)90； (2)； (3)当时，()元；当时，()元；当时，元． 【分析】（1）图中可以知道：15千克在“不超过20千克的总分”按6元/千克收费，再计算即可； （2）按x超过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的千克按5元/千克来收费，最后再把2个费用相加； （3）“小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量”可以知道第一次购买的数量要小于50千克；分、、三种情况讨论计算即可． 【解答】（1）解：（元）， ∴小明第一次购买15千克苹果，需要付费90元． 故答案为：90； （2）∵过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的千克按5元/千克来收费， ∴元． 故答案为：； （3）∵再次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量， ∴，第二次购买千克； 当时，则； 需要付费为： （元）； 当时，则， 需要付费为： （元）； 当时，则， 需要付费为： （元）． 【点评】本题考查了列代数式．整式的加减运算，利用了分类讨论的思想；比较容易出错，需要把每一段的总费用算出来，然后再相加． 学科网（北京）股份有限公司 $$