专题03 有理数运算中的有关规律和新定义问题（四大题型突破练）压轴题常考题型突破分类专练 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题03 有理数运算中的有关规律和新定义问题 （四大题型突破练） 【解题必备知识】 1.有理数的运算法则 （1）加法法则：①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0.③一个数与0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。任何数与0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．有理数的运算律 （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 有理数的混合运算 【题型2】 有理数运算的实际应用 【题型3】 有理数运算中的规律问题 【题型4】 有理数运算中的新定义问题 【题型1】 有理数的混合运算 【例1】阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【变式1-1】有理数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【变式1-2】 2024年央视春晚，刘谦的魔术表演再次风靡全国，小明也学起刘谦表演了一个“魔术”，他先在投影上展示了从1开始连续的2024个自然数，然后对它们进行操作，规则如下：每次擦掉三个数，再添上所擦掉三数之和的个位数字，若经过多次操作后，最后剩下两个数，当一位同学说出其中一个数是17时，小明马上说出另一个数是 A．1 B．3 C．11 D．13 【变式1-3】计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算； （2）如果计算结果等于，求被污染的数字． 【变式1-4】用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1-5】阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用倒数法计算：． 【变式1-6】计算题． (1) (2) (3) (4) (5) 【题型2】 有理数运算的实际应用 【例2】天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶 10元，小瓶 2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶； B超市一律打九折； C超市购买满  30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数 (元) 【变式2-1】一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米． 【变式2-2】 《如何选择合适的话费套餐》 【背景素材】 某通信运营商提供融合套餐，一人付费全家享，其中两种套餐的具体内容如下： 套餐 套餐 每月基本服务费 169元 199元 每月免费国内通用流量 每月免费国内通话时间 800分钟 1000分钟 超出后通话收费 0.15元分钟 超出后流量收费 3元，不足按收费 【问题解决】若某用户目前使用套餐． 任务月全家使用流量，通话时长850分钟，请计算该用户12月份的套餐费用． 任务2：该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大．视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为为正整数）． （1）请表示该用户每月所需支付的费用． （2）请计算说明，该用户何时需要调整套餐． 【变式2-3】如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ （3）将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【变式2-4】有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． （1）若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； （2）若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； （3）若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【变式2-5】如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． （1）当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； （2）当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 【变式2-6】A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． （1）根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 （2）A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； （3）在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？ 【题型3】 有理数运算中的规律问题 【例3】 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． （1）利用规律计算：； （2）问题拓展：求； （3）问题解决：求的值． 【变式3-1】求的值，可令①，①式两边都乘以3，则②，②①得．则，仿照以上推理，计算出的值为 ． 【变式3-2】 设，利用等式，则与最接近的正整数是 A．18 B．20 C．24 D．25 【变式3-3】观察下列算式： ，，①，②， ，， （1）①________，②________； （2）求的个位数字． 【变式3-4】观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：______ ． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①______ ； ②______ ． （3）探究并计算： ①． ②． 【变式3-5】请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式： 第①式：    第②式： 第③式： 将这三个等式的两边相加，可以得到： 读完这段材料，请你思考后回答： （1） （2） （用含的式子表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题 （1） （2） （用含n的式子表示） （3）计算：． 【拓展应用】 直接写出下式的结果： 【变式3-6】如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______ ； （2）以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______ ； （3）______ ； （4）计算：； （5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【题型4】 有理数运算中的新定义问题 【例4】 对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则 A． B． C． D． 【变式4-1】定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是 A．1 B．2 C．7 D．8 【变式4-2】我们规定：若有理数，满足，则称，互为“等和积数”，其中叫做的“等和积数”， 也叫的“等和积数”．例如：，，所以，则与互为“等和积数”． 若的“等和积数”是，的“等和积数”是，则的值为 ． 【变式4-3】如图，定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是11．若，则第449次“运算”的结果是 ． 【变式4-4】我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数 叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然 数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是 ．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完 美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比 10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是 ． 【变式4-5】在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”； ⊕⊕． 如：1⊕⊕． 解答下列问题： （1）计算：⊕⊕的值； （2）在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个数作为，，的值，进行“⊕⊕”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 【变式4-6】 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数运算中的有关规律和新定义问题 （四大题型突破练） 【解题必备知识】 1.有理数的运算法则 （1）加法法则：①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0.③一个数与0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。任何数与0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．有理数的运算律 （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 有理数的混合运算 【题型2】 有理数运算的实际应用 【题型3】 有理数运算中的规律问题 【题型4】 有理数运算中的新定义问题 【题型1】 有理数的混合运算 【例1】阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见解答。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【解答】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 【变式1-1】有理数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据所给的条件进行分析即可． 【解答】解：， 与异号，且都不为0， ，， 与同号，且不为0，；与同号，且不为0，， 与同号，与异号， ， 不为0， ，，，均不为0， ， 当，时，，，即； 当，时，，，则，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是明确清楚各数的关系． 【变式1-2】 2024年央视春晚，刘谦的魔术表演再次风靡全国，小明也学起刘谦表演了一个“魔术”，他先在投影上展示了从1开始连续的2024个自然数，然后对它们进行操作，规则如下：每次擦掉三个数，再添上所擦掉三数之和的个位数字，若经过多次操作后，最后剩下两个数，当一位同学说出其中一个数是17时，小明马上说出另一个数是 A．1 B．3 C．11 D．13 【答案】． 【分析】由个位数字总是被保留的，因此从1加到2024的总和的个位数字和每三个相加保留的个位数字是相等的，根据题中的操作确定出另一个数即可． 【解答】解：， 这些数字的个位最后保留为0， 现在其中一个数是17，另一个数为个位数， 它一定是三数之和的个位数，且与17的和个位数为0， 这个数只能为3． 故选：． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规则是解本题的关键． 【变式1-3】计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算； （2）如果计算结果等于，求被污染的数字． 【答案】（1）-29 （2） 【分析】（1）按照有理数混合运算法则运算即可； （2）设被污染的数字为，列出方程解答即可． 【解答】解：（1） ； （2）设被污染的数字为， 由题意，得， 解得 所以被污染的数字是． 【点评】本题考查了有理数混合运算及解方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式1-4】用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可； （4）逆用乘法分配律求解即可． 【解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-5】阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用倒数法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【解答】解：∵ ， ∴原式． 【变式1-6】计算题． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)100 (2)90 (3)2018 (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算． （1）按照带括号的四则混合运算法则，要先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的，有中括号和小括号的要先算小括号再算中括号； （2）按照带括号的四则混合运算法则，要先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的，有中括号和小括号的要先算小括号再算中括号； （3）利用乘法分配律及乘法分配律的逆运算进行简便运算，注意计算过程中，根据数字40．36和20．18的特点，将40．36写成20．18×2的形式； （4）观察数字特点结合数据之间的倍数关系，将改写成，将改写成，再利用乘法分配律的逆运算进行简便运算． （5）观察数据，，，……，可总结出规律①；又，，……则总结出规律②；据此计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【题型2】 有理数运算的实际应用 【例2】天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶 10元，小瓶 2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶； B超市一律打九折； C超市购买满  30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数 (元) 【答案】选择商场：B C C A; 所花钱数 (元): 40 44 12.5 【分析】题目主要考查打折运算及有理数的乘法应用，理解题意，分别对每位顾客计算出相应的超市的费用即可得出结果 【解答】解：顾客甲：只买10小瓶，(元)，只买10小瓶， 到A或C超市购买无优惠，到B超市购买有优惠，花费为（元）； 顾客乙：只买5个大瓶，(元)，已满30元，到A超市购买无优惠，到B超市购买九折，到C超市购买八折， 应该到C超市购买更便宜，花费； 顾客丙：买4大瓶6小瓶，(元)， 如果选A超市就是：元)，如果选B超市就是：(元)， 选C超市就是：(元)， 所以选C超市， 顾客丁：买1大瓶和2小瓶，(元)， 如果选A超市：(元)， 如果选B超市就是：(元)， 如果选C超市无优惠， 所以选A超市． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 B C C A 所花钱数 (元) 40 44 12.5 【变式2-1】一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米． 【答案】 【分析】根据题意可求出第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，从而即可得出第五次截去余下的，剩下米． 【解答】解：第一次截去全长的，剩下米， 第二次截去余下的，剩下米， … 第五次截去余下的，剩下米． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键． 【变式2-2】 《如何选择合适的话费套餐》 【背景素材】 某通信运营商提供融合套餐，一人付费全家享，其中两种套餐的具体内容如下： 套餐 套餐 每月基本服务费 169元 199元 每月免费国内通用流量 每月免费国内通话时间 800分钟 1000分钟 超出后通话收费 0.15元分钟 超出后流量收费 3元，不足按收费 【问题解决】若某用户目前使用套餐． 任务月全家使用流量，通话时长850分钟，请计算该用户12月份的套餐费用． 任务2：该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大．视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为为正整数）． （1）请表示该用户每月所需支付的费用． （2）请计算说明，该用户何时需要调整套餐． 【答案】任务191.5元．任务（1）元 （2）每月使用流量为时，需要调整套餐． 【分析】任务1：根据基本服务费加超出的通话费加超出的流量收费，即可求解； 任务（1）根据基本服务费加超出的通话费加超出的流量收费，即可表示出该用户每月所需支付的费用； （2）由（1）知，当套餐的费用等于套餐的基本服务费时，列出方程求出即可作出说明． 【解答】解：任务 解：（元； 答：该用户12月份的套餐费用为191.5元． 任务 （1）元； 答：该用户每月所需支付的费用为元； （2）由题意得：， 解得：， 由于为正整数，故， 答：每月使用流量为时，需要调整套餐． 【点评】本题考查了有理数的运算，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意得出有理数混合运算的式子是解题的关键． 【变式2-3】如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ （3）将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【答案】见解答 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）这2张卡片上数字组成一个最大的数，除了有个位十位相组成之外，还有乘方； （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【解答】（1）解：， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）解：抽取两个数直接组成一个两位数，最大的为； 抽取两个数组成一个幂，最大为， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大为625； （3）解：从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 【变式2-4】有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． （1）若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； （2）若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； （3）若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】见解答 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【解答】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 【变式2-5】如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． （1）当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； （2）当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 【答案】（1）1.2min （2），， 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，圆柱的容积计算，关键是注意分类讨论． （1）甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，即乙容器水位达到甲容器中水的水位； （2）分水还未达到管子连接处、乙水位达到了管子连接处两种情况讨论． 【解答】（1）解：， ， ． （2）解：分两种情况：①乙容器中水还未达到管子连接处，i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时； ， 丙装满时间为， 即后，此时丙水位达到了管子连接处，，丙处水流入乙；此时容器乙高度增加速度， i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时； 当时，， ii) 当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时；此时丙水位达到了管子连接处，丙处水流入乙； 时，， 乙装满时间为； ②乙水位达到了管子连接处，当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时； 即后，，时， 综上，当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差． 【变式2-6】A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． （1）根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 （2）A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； （3）在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？ 【答案】（1）B点-8，A点-4 （2）3；4．（3）秒 3.5秒 【分析】（1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒时的位置即可； （2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可； （3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可； ②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出时间即可． 【解答】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10， 5秒时，点A在数轴上的位置为0， ∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴7秒时，点A在数轴上的位置为； ∵5秒时，点B在数轴上的位置为12， 7秒时，点B在数轴上的位置为20， ∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒， ∴0秒时，点B在数轴上的位置为， 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 B点在数轴上的位置 12 20 （2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为： （秒）； 相遇时A、B两点对应的数为； 故答案为：3；4． （3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示， ∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）； ∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示， ∴持续个单位， ∴第一次提示持续时间为（秒）， 即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒； ②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示， ∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒）， A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示． 【题型3】 有理数运算中的规律问题 【例3】 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． （1）利用规律计算：； （2）问题拓展：求； （3）问题解决：求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【解答】（1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． 【变式3-1】求的值，可令①，①式两边都乘以3，则②，②①得．则，仿照以上推理，计算出的值为 ． 【答案】 【分析】根据题干中的方法令，则，作差即可求解． 【解答】解：令， 则， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的错位相减法简便运算，理解题干中的方法是解题的关键． 【变式3-2】 设，利用等式，则与最接近的正整数是 A．18 B．20 C．24 D．25 【答案】． 【分析】利用等式，代入原式得出数据的规律性，从而求出． 【解答】解：利用等式，代入原式得： 而 故选：． 【点评】此题主要考查了数的规律，关键是运用已知发现规律，题目规律性比较强． 【变式3-3】观察下列算式： ，，①，②， ，， （1）①________，②________； （2）求的个位数字． 【答案】（1）① 91 ，② 337 ； （2）3 【分析】（）根据乘方的定义计算即可求解； （）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解； 本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键． 【解答】（1）解： ， 故答案为：； ， 故答案为：； （2）解：∵，，，，，， ， ∴个位数字按照的规律循环， 又∵， ∴的个位数字之和为： ， ∴的个位数字为． 【变式3-4】观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：______ ． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①______ ； ②______ ． （3）探究并计算： ①． ②． 【答案】（1） （2）， （3）1011/2023， 【分析】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【解答】 （1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 【变式3-5】请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式： 第①式：    第②式： 第③式： 将这三个等式的两边相加，可以得到： 读完这段材料，请你思考后回答： （1） （2） （用含的式子表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题 （1） （2） （用含n的式子表示） （3）计算：． 【拓展应用】 直接写出下式的结果： 【答案】阅读材料一：（1）3080 （2） 阅读材料二：（1）2870 （2） （3）19270 拓展应用：10100 【分析】材料阅读一： （1）根据题中所给的式子得出第⑳式：，代入进行计算即可得到答案； （2）根据题中所给的式子得出第式：，代入进行计算即可得到答案； 阅读材料二： （1）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （2）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （3）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； 拓展应用： 根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【解答】阅读材料一： 解：（1）第①式：    第②式： 第③式：， …， 第⑳式：， ； （2）第①式：    第②式： 第③式：， …， 第式：， ； 阅读材料二： 解：（1）第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ， 故答案为：2870； （2）第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ， 故答案为：； （3）由题意得： ； 拓展应用： 解：根据题意得： ， 故答案为：10100． 【变式3-6】如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______ ； （2）以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______ ； （3）______ ； （4）计算：； （5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【解答】 （1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 【题型4】 有理数运算中的新定义问题 【例4】 对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则 A． B． C． D． 【答案】 ． 【分析】先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，将的取值分情况讨论，再结合，确定的取值． 【解答】解：一定为偶数， 是偶数， ①当为奇数时， ， 是负数， 为负奇数， ， ， 解得，舍去； ②当为偶数时， ， 是负数， 为负偶数， ， ， 解得，符合题意． 的值为． 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，对相应的运算法则的掌握． 【变式4-1】定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是 A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】． 【分析】根据关于整数的“”运算：探究规律后即可解决问题； 【解答】解：由题意时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， 第2017次运算结果8， 故选：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，关于整数的“”运算，解题的关键是理解题意，循环从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 【变式4-2】我们规定：若有理数，满足，则称，互为“等和积数”，其中叫做的“等和积数”， 也叫的“等和积数”．例如：，，所以，则与互为“等和积数”． 若的“等和积数”是，的“等和积数”是，则的值为 ． 【答案】． 【分析】根据“等和积数”的定义，计算和的值，代入求值即可． 【解答】解：的“等和积数”是，的“等和积数”是， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算、“等和积数”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式4-3】如图，定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是11．若，则第449次“运算”的结果是 ． 【答案】8 【思路点拨】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢． 【解答】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数）， 需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为1352，， 第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，， 可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8， 从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数， 这样循环计算一直到第449次“运算”，得到的结果为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【变式4-4】我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数 叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然 数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是 ．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完 美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比 10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是 ． 【答案】16 【分析】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在 的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除这4个数，再分别找出12、14、 15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出 “完美指标”． 【解答】解：12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数， 完美指标：， 14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数， 完美指标：， 15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数， 完美指标：， 16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数， 完美指标：， 18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数， 完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 故答案为：16． 【点评】考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是，根据所给出的新的运算方法，即 完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题． 【变式4-5】在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”； ⊕⊕． 如：1⊕⊕． 解答下列问题： （1）计算：⊕⊕的值； （2）在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个数作为，，的值，进行“⊕⊕”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 【答案】见解答 【分析】（1）原式利用已知的新定义计算即可求出值； （2）根据新定义确定出所求即可． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式； （2）当时，⊕⊕，此时最大值是； 当时，⊕⊕，此时最大值为， ， 计算结果的最大值为． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【变式4-6】 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 【答案】见解答 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可； （2）根据题中所给运算可进行求解； （3）由（1）（2）可求解； （4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解． 【解答】解：（1） ； 故答案为； （2）； ； 故答案为，； （3）； 故答案为； （4） ． 故答案为25. 学科网（北京）股份有限公司 $$