2016高考数学常见题型（第五辑）：定值、定点与存在性问题

定值、定点与存在性问题 例1　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点． 题型一 定点、定值问题 【解析】　(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|. 当O1不在y轴上时， 过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点， ∴|O1M|＝eq \r(x2＋42).又|O1A|＝eq \r(x－42＋y2)， ∴eq \r(x－42＋y2)＝eq \r(x2＋42)，化简，得y2＝8x(x≠0)． 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x. (2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx＋b代入y2＝8x中， 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0. 由求根公式，得x1＋x2＝eq \f(8－2bk,k2)，① x1x2＝eq \f(b2,k2).② 因为x轴是∠PBQ的角平分线， 所以eq \f(y1,x1＋1)＝－eq \f(y2,x2＋1). 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0. ∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0. ∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0.③ 将①，②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0. ∴k＝－b，此时Δ>0. ∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)． 点评：定值、定点问题是指曲线变化或参数值变化时，某一个量不变或某一个点不变，解决的方法都是用参数把有关量表示出来，进行化简变形得出要求的定值．这类问题考查的是代数运算能力． (2015·山东淄博期末)已知动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A. (1)求轨迹T的方程； (2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不在x轴上)．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 对点训练 【解