2016高考数学常见题型（第五辑）：排列组合的综合应用

排列组合的综合应用 排列组合中的几何问题依然是利用两个基本原理求解，并注意到分类的不重不漏． 例1　(1)平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． ①用这9个点可以确定多少条直线？ ②用这9个点可以确定多少个三角形？ ③用这9个点可以确定多少个四边形？ 题型一 几何问题 (2)在正方体的八个顶点中取三点连成三角形，可构成________个等腰直角三角形． 【答案】　24 【解析】　①确定一条直线需要两个点，因为有4个点共线，所以这9个点所确定直线的条数为Ceq \o\al(2,9)－Ceq \o\al(2,4)＋1＝31. ②确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这9个点确定三角形的个数为Ceq \o\al(3,9)－Ceq \o\al(3,4)＝80. ③确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这9个点确定四边形的个数为Ceq \o\al(4,9)－Ceq \o\al(1,5)Ceq \o\al(3,4)－Ceq \o\al(4,4)＝105. (1)平面内有n条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n条直线的交点的个数为(　　) 【答案】　C 对点训练 A．n(n－1)　　　　　　 B．(n－1)(n－2) C.eq \f(nn－1,2) D.eq \f(n－1n－2,2) 【解析】　这n条直线交点的个数为Ceq \o\al(2,n)＝eq \f(nn－1,2). (2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，若在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有多少种？ 【解析】　方法一：从10个点中，任意取4个点的不同取法共有Ceq \o\al(4,10)种，其中，所取4个点共面的可分为两类．第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有4Ceq \o\al(4,6)种取法． 第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：①4个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有1个点是某棱的中点，另3点在对棱上，因为共有6条棱，所以有6种取法；②4个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4个点必然都是棱的中点，它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边，故有3种不同取法．所以符合题意的不同取法种数为Ceq \o\al(4,10)－(4Ceq \o\al(4,6)＋6＋3)＝141. 方法二：在四面体中取定一个面，记为α，那么取不共面的4个