第十四章整式的乘法与因式分解（B卷培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A．3a+a＝4a2 B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．（a3）2÷a5＝1 D．3a3•2a2＝6a6 2．（本题3分）下列因式分解正确的是（　　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）计算：（﹣）2022×0.62021的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 4．（本题3分）若满足，则的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 5．（本题3分）x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．4或﹣4 D．8或﹣8 6．（本题3分）已知M、N表示两个代数式，M＝（x+1）（x﹣1）﹣2（y2﹣y+1），N＝（2x+y）（2x﹣y），则M与N的大小是（ ） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 7．（本题3分）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．2560 B．490 C．70 D．49 8．（本题3分）若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．（本题3分）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）观察下列等式：；；；……，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）计算：（x+2）（2x﹣3）＝ ． 12．（本题3分）已知，，m，n为正整数，则 ． 13．（本题3分） ． 14．（本题3分）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 15．（本题3分）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 16．（本题3分）如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为 ．    三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）计算： （1） （2） 18．（本题4分）把下列各式分解因式： (1) ； (2) 19．（本题6分）先化简，再求值：（a﹣2b）2﹣（3b+a）（a﹣3b）﹣a（3a﹣6b），其中a＝﹣2，b＝﹣1． 20．（本题6分）小红准备完成题目：计算（x2  x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 21．（本题8分）已知：整式，整式． （1）若，求a的值； （2）若可以分解为，求A+B． 22．（本题10分）数学教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形： 先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　． （2）求代数式x2+2x+4的最小值． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，试判断△ABC的形状． 23．（本题10分）探究题 图1是一个长为2、宽为2的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后 按图2的形状拼成一个正方形． (1)请你用两种不同的代数式表示图2中阴影部分面积： ① ；② ． (2)观察图2，写出三个代数式，之间的等量关系： ． (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若，求的值． 24．（本题12分）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 25．（本题12分）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)利用“配方法”分解因式：； (3)若．求N的最小值； (4)已知整式与，请比较A、B的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A．3a+a＝4a2 B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．（a3）2÷a5＝1 D．3a3•2a2＝6a6 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法、单项式与单项式乘法法则逐一计算即可得答案． 【详解】A.3a+a＝4a，故该选项计算错误，不符合题意， B.（﹣2a）3＝（-2）3·a3=﹣8a3，故该选项计算正确，符合题意， C.（a3）2÷a5＝a6÷a5=a，故该选项计算错误，不符合题意， D.3a3•2a2＝6a3+2=6a5，故该选项计算错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方，幂的乘法与除法混合运算、单项式与单项式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．（本题3分）下列因式分解正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误； B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、不能进行因式分解，选项计算错误； 故选：B． 【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 3．（本题3分）计算：（﹣）2022×0.62021的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】C 【分析】原式利用同底数幂乘法的逆用和积的乘方的逆用化简，计算即可求值． 【详解】． 故选C． 【点睛】本题考查同底数幂乘法的逆用和积的乘方的逆用．掌握同底数幂乘法的逆用和积的乘方的逆用公式是解答本题的关键． 4．（本题3分）若满足，则的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】将代数式变形为，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 故选：B 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和分式运算，观察已知条件和要求的结果之间的联系，熟练运用完全平方公式进行变形计算是解题的关键． 5．（本题3分）x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．4或﹣4 D．8或﹣8 【答案】D 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵x2＋mx＋16是一个完全平方式， ∴＝16， 解得m＝8或m＝﹣8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键． 6．（本题3分）已知M、N表示两个代数式，M＝（x+1）（x﹣1）﹣2（y2﹣y+1），N＝（2x+y）（2x﹣y），则M与N的大小是（ ） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 【答案】B 【分析】根据作差法进行比较即可； 【详解】解：∵ M＝（x+1）（x﹣1）﹣2（y2﹣y+1），N＝（2x+y）（2x﹣y）， ∴M-N=（x+1）（x﹣1）﹣2（y2﹣y+1）-（2x+y）（2x﹣y）， =x2-1-2y2+2y-2-4x2+y2， =-3x2-y2+2y-3， =-3x2-(y-1)2-2＜0 ∴M＜N， 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了整式加减应用，涉及平方差公式等运算，熟练掌握相关运算法则、准确计算是解题的关键． 7．（本题3分）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．2560 B．490 C．70 D．49 【答案】B 【分析】利用面积公式得到ab＝10，由周长公式得到a+b＝7，所以将原式因式分解得出ab（a+b）2．将其代入求值即可． 【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10， ∴ab＝10，a+b＝7， ∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算是解题的关键． 8．（本题3分）若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】∵a+b=3， ∴a2-b2+6b =(a+b)(a-b)+6b =3(a-b)+6b =3a-3b+6b =3a+3b =3(a+b) =9． 故选C 9．（本题3分）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解析：因为，，， 所以 ， 即． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 10．（本题3分）观察下列等式：；；；……，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出规律，计算即可． 【详解】解：根据题意规律可知：， ∴＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了考查了平方差公式，弄清题意规律是解本题的关键． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）计算：（x+2）（2x﹣3）＝ ． 【答案】2x2+x-6 【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】（x+2）（2x﹣3）=2x2-3x+4x-6=2x2+x-6 故答案为：2x2+x-6． 【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知其运算法则． 12．（本题3分）已知，，m，n为正整数，则 ． 【答案】 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵2m=a，32n=b=25n，m，n为正整数， ∴25m+10n=(2m)5×(25n)2=a5b2， 故答案是：a5b2． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则． 13．（本题3分） ． 【答案】/ 【分析】平方差公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握公式是解题的关键． 14．（本题3分）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 15．（本题3分）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据，可以将所求式子化简，本题得以解决． 【详解】解： =（x+1）（x-1）-x（x-2） =x2-1-x2+2x =2x-1， 故答案为：2x-1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 16．（本题3分）如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为 ．    【答案】4 【分析】设，，建立关于a、b的关系，最后求面积． 【详解】解：设，，则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式是求解本题的关键． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘法计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式展开，在合并同类项即可； 【详解】（1）原式； （2）原式； 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，乘法公式的应用，合并同类项，准确计算是解题的关键． 18．（本题4分）把下列各式分解因式： (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的因式分解：提公因式法与公式法；一般步骤是：先考虑提公因式法，再考虑公式法；注意因式分解要进行到再也不能分解为止； （1）提取公因式即可； （2）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（本题6分）先化简，再求值：（a﹣2b）2﹣（3b+a）（a﹣3b）﹣a（3a﹣6b），其中a＝﹣2，b＝﹣1． 【答案】5 【分析】首先根据整式的乘法运算法则计算，然后合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：（a﹣2b）2﹣（3b+a）（a﹣3b）﹣a（3a﹣6b） 将a＝﹣2，b＝﹣1代入得， 【点睛】此题考查了整式的混合运算和代数求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 20．（本题6分）小红准备完成题目：计算（x2  x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可； （2）设一次项系数为，计算，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得的值，即原题中被遮住的一次项系数． 【详解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x） （2）设一次项系数为， 答案是不含三次项的 【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． 21．（本题8分）已知：整式，整式． （1）若，求a的值； （2）若可以分解为，求A+B． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先化简 ，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可； （2）先化简 ，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∴， ∵可以分解为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的加减运算、整式的乘除运算、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 22．（本题10分）数学教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形： 先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　． （2）求代数式x2+2x+4的最小值． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，试判断△ABC的形状． 【答案】（1）；（2）3；（3）△ABC是等边三角形． 【分析】（1）根据题意首先对m2﹣4m﹣5进行配方，然后利用平方差公式法分解因式即可； （2）根据题意对x2+2x+4进行配方，然后求解最小值即可； （3）首先对a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0整理变形，得到，可得a=b，b=c，即可判断出△ABC的形状． 【详解】解：（1）m2﹣4m﹣5 （2）x2+2x+4 ∵， ∴， ∴最小值为3． （3）a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0， ∴a=b，b=c，即， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】此题考查了完全平方公式和平方差公式分解因式，配方法运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式． 23．（本题10分）探究题 图1是一个长为2、宽为2的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后 按图2的形状拼成一个正方形． (1)请你用两种不同的代数式表示图2中阴影部分面积： ① ；② ． (2)观察图2，写出三个代数式，之间的等量关系： ． (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若，求的值． 【答案】(1)①② (2) (3)36 【分析】（1）由题意知，阴影部分为正方形，其边长正好为（m – n）；根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积由图形可得； （2）大正方形的面积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积； （3）根据绝对值和平方的非负性可得到，，根据（2）中的等式代入计算即可． 【详解】（1）解：①由图可知，阴影部分是一个正方形，边长为， ∴阴影部分的面积为：； ②由图形知，阴影部分的面积=大正方形的面积减去四个小长方形的面积， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：①②． （2）解：由（1）知，； 故答案为： （3）解：∵ ∴，， ∴． 【点睛】此题考查根据图形理解完全平方公式，以及利用整体代入的方法求代数式的值． 24．（本题12分）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 25．（本题12分）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)利用“配方法”分解因式：； (3)若．求N的最小值； (4)已知整式与，请比较A、B的大小． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，N有最小值是6 (4) 【分析】本题主要考查配方法的运用，完全平方公式的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，整式加减运算的应用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数； （2）类比例题进行分解因式即可； （3）类比例题求的最小值即可； （4）先计算整式与的差，偶次方的非负性，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 常数项为25． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴当时，N有最小值是6； （4）解： ∵ ∴ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$