第十四章整式的乘法与因式分解（A卷提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列因式分解正确的是（　　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）计算：的结果为（  ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（　　） A．a2﹣a﹣1＝a（a﹣1﹣） B．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 C．m2﹣m﹣1＝m（m﹣1）﹣1 D．m（a﹣b）+n（b﹣a）＝（m﹣n）（a﹣b） 4．（本题3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．a10÷a9＝a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2 5．（本题3分）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若可以用公式进行分解因式，则的值为（    ） A．6 B．18 C． D． 7．（本题3分）求的值为（    ） A．2 B． C．-4 D． 8．（本题3分）已知，则的值为（    ） A．13 B．8 C．－3 D．5 9．（本题3分）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 10．（本题3分）设，是实数，定义一种新的运算：，则下列结论：①，则且；②；③；④，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）（27m2n3﹣9mn2）÷3mn= ． 12．（本题3分）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= ． 13．（本题3分）已知，，m，n为正整数，则 ． 14．（本题3分）已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是 . 15．（本题3分）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是 （用“＜”连接）． 16．（本题3分）若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）运用完全平方公式计算： （1）；（2）． 18．（本题4分）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． (3)． 20．（本题6分）先化简，再求值： (1)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－； (2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2. 21．（本题8分）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 22．（本题10分）有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案：      小明发现这三种方案都能验证公式：． 对于方案一，小明是这样验证的：． 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 23．（本题10分）阅读材料：解方程我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式， ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验一次项：． ③横向写出两因式：． （2）根据乘法原理：若，则或，则方程可以这样求解方程左边因式分解得所以原方程的解为，．试用上述方法和原理解下列方程： （1）； （2）． 24．（本题12分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：_________； （2）因式分解：； （3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 25．（本题12分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3．当，即或时，的值均为6，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称 (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求实数m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列因式分解正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误； B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、不能进行因式分解，选项计算错误； 故选：B． 【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 2．（本题3分）计算：的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式乘以多项式进行计算即可 【详解】 故选A 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键． 3．（本题3分）下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（　　） A．a2﹣a﹣1＝a（a﹣1﹣） B．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 C．m2﹣m﹣1＝m（m﹣1）﹣1 D．m（a﹣b）+n（b﹣a）＝（m﹣n）（a﹣b） 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫因式分解，根据定义对各选项进行一一分析判断即可． 【详解】A. a2﹣a﹣1＝a（a﹣1﹣）∵从左往右的变形是乘积形式，但（a﹣1﹣）不是整式，故选项A不是因式分解； B. （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，从左往右的变形是多项式的乘法，故选项B不是因式分解； C. m2﹣m﹣1＝m（m﹣1）﹣1，从左往右的变形不是整体的积的形式，故选项C不是因式分解； D.根据因式分解的定义可知 m（a﹣b）+n（b﹣a）＝（m﹣n）（a﹣b）是因式分解，故选项D从左往右的变形是因式分解． 故选D． 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的特征从左往右的变形后各因式乘积，各因式必须为整式，各因式之间不有加减号是解题关键． 4．（本题3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．a10÷a9＝a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、 ，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，熟练掌握同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方法则是解题的关键． 5．（本题3分）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定公因式的方法：①如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取；②取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；③把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式． 【详解】解：原多项式的公因式为：， 故选：C． 【点睛】本题考查公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题关键． 6．（本题3分）若可以用公式进行分解因式，则的值为（    ） A．6 B．18 C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 7．（本题3分）求的值为（    ） A．2 B． C．-4 D． 【答案】D 【分析】将化为，根据同底数幂的逆用将化为，进行计算即可得． 【详解】解： = = = = = 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用，解题的关键是掌握这些知识点． 8．（本题3分）已知，则的值为（    ） A．13 B．8 C．－3 D．5 【答案】A 【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 9．（本题3分）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可． 【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为 所以面积变小了， 故选C． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键． 10．（本题3分）设，是实数，定义一种新的运算：，则下列结论：①，则且；②；③；④，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，分别表示出各项的意义，再比较是否相等． 【详解】解：∵， ①若，则，则a，b互为相反数，故错误； ②=，故正确； ③≠，故错误； ④，，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查了定义新运算，解题的关键是理解题中所给的运算法则，以及整式的混合运算． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）（27m2n3﹣9mn2）÷3mn= ． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式运算法则求解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查整式除法运算，掌握整式除法运算法则是解题关键． 12．（本题3分）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= ． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式的运算即可. 【详解】∵， ∵+=4=16， ∴=4. 【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 13．（本题3分）已知，，m，n为正整数，则 ． 【答案】 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵2m=a，32n=b=25n，m，n为正整数， ∴25m+10n=(2m)5×(25n)2=a5b2， 故答案是：a5b2． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则． 14．（本题3分）已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是 . 【答案】16或-16． 【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】∵x2+kxy+64y2是一个完全平方式， ∴kxy=±2•x•8y， 解得：k=±16， 故答案为±16． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．（本题3分）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则的逆用将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小． 【详解】解：a＝8131＝(34)31＝3124， b＝2741＝(33)41＝3123， c＝961＝(32)61＝3122， ∵3124＞3123＞3122， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方法则的应用，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则． 16．（本题3分）若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 【答案】 【分析】根据题目给出的算法计算即可． 【详解】解：由题意得， =， = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算和整式运算，解题关键是准确理解题意，得出正确的整式运算算式，熟练进行计算． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）运用完全平方公式计算： （1）；（2）． 【答案】（1）10404；（2）9801 【分析】（1）把原式变形为（100+2）2，然后根据完全平方公式计算即可； （2）把原式变形为（100-1）2，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 18．（本题4分）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）12；（2）69． 【分析】本题考查整式的变形，幂的乘方，完全平方公式． （1）先整理得到，再将中变形成即可得到本题答案； （2）利用完全平方公式变形即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴； （2）解：∵，，， ∴． 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单项式的乘法法则处理； （2）根据整式的运算法则处理； （3）根据整式的运算法则，结合乘法公式处理； 【详解】（1）； （2）. （3） . 【点睛】本题考查整式的运算，乘法公式的运用；掌握整式的运算法则是解题的关键． 20．（本题6分）先化简，再求值： (1)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－； (2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2. 【答案】（1）4－2ab，5；（2）－2x－5y，0. 【分析】（1）利用平方差公式、单项式乘以单项式以及结合单项式除以单项式的法则去掉括号，再合并同类项，将已知数据代入即可解答；（2）先利用平方差公式和完全平方公式把中括号内的式子化简，再利用多项式除以单项式的运算法则计算化为最简，最后代入求值即可. 【详解】（1）原式＝， =， =4－2ab， 当ab＝－时， 原式＝5. （2）原式＝ ， =， =－2x－5y， 当x＝－5，y＝2时， 原式＝0. 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式乘除运算法则是解题关键． 21．（本题8分）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；(2)2ab+b2． 【分析】去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号；根据上述法则判断哪一步错误，再正确的去掉括号，合并同类项即可. 【详解】解：(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号； (2)原式=a2+2ab-(a2-b2) =a2+2ab-a2+b2 =2ab+b2． 故答案为(1)第二步，去括号时没有变号；(2)2ab+b2． 【点睛】本题主要考查整式的运算，解题关键要掌握去括号法则； 22．（本题10分）有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案：      小明发现这三种方案都能验证公式：． 对于方案一，小明是这样验证的：． 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用拼图验证完全平方公式．观察图形，借助图形面积的不同表示得到等式，既验证了公式，又借助图形加深了对公式的理解，体现了数形结合的思想． 【详解】解：方案二：； 方案三：． 23．（本题10分）阅读材料：解方程我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式， ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验一次项：． ③横向写出两因式：． （2）根据乘法原理：若，则或，则方程可以这样求解方程左边因式分解得所以原方程的解为，．试用上述方法和原理解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可； （2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，． （2）， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式． 24．（本题12分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：_________； （2）因式分解：； （3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）见解析 【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】解：（1） =(x-y+1)2； （2）令A=a+b，则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2， 故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2； （3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2， ∵n为正整数， ∴n2+3n+1也为正整数， ∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 25．（本题12分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3．当，即或时，的值均为6，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称 (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求实数m的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）根据题意可得当和当时，的值相同，则，解方程可得答案； （3）把原整式利用完全平方公式变形为，进一步变形得到，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即此时的值都相等， ∴关于对称，即多项式关于对称， 故答案为：2； （2）解：当时，，当时，， ∵关于x的多项式关于对称，， ∴当和当时，的值相同， ∴， 解得； （3）解： ， ∵当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即此时的值都相等， ∴关于对称，即整式关于对称， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$