微专题08 利用基本不等式解决多元最值问题-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2023-2024学年《题型通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题08 利用基本不等式解决多元最值问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平方和与积的转换 题型2 条件等式求范围 题型3 消元法求最值问题 题型4 单换元法求最值问题 题型5 互倒模型 题型6 双换元法求最值问题 多元函数的最值问题,常常以压轴题的身份“现身”于各种考试题中,尤其是一类条件等式下多元函数最值问题,“引无数考生竞折腰”.求解这类问题,不仅要求考生善于对目标函数进行适当变形,使其能够与基本不等式的应用相“匹配”,而且要求考生能根据实际问题,选择恰当的方法,从而达到优化解题过程的目的. 一般地,处理多元最值问题的思考角度有以下几个.1)从元的个数角度,关键在于减元处理,可利用代入消元、整体换元、三角换元等方法减元;2)从元的次数角度,关键在于转化目标函数(代数式),如一次二次比分式型、齐次比型、双勾函数型等;3)从元的组合结构角度,关键在于结构分析,将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式,再利用均值不等式等常用不等式求解最值,注意等号成立的条件. 基于此,本文介绍一种求多元函数最值问题的妙法——双换元法.双换元,就是为了更好地解决问题,对题目中的两个部分用两个“新元”同时替换,使原问题凸显本质,便于构造基本不等式模型,从而让解答过程更流畅.本文先介绍双换元法在三类典型问题中的应用,同时将其引申为三换元法,以体现这种方法的灵活性. 1.分式型最值问题 示例1；(1)已知均为正实数,,则的最小值是 (2)已知,则的最大值为 解析：(1)设,原题转化为已知,且,求的最小值.此时有 当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为4. (2)令,则,所以,故 当且仅当,即时,等号成立,故的最大值为. 2.条件等式可分解型最值问题 示例2；若实数满足,则的最小值是 . 解析：因为,所以,令,则,即,故 当且仅当时,等号成立,故,即的最小值为. 注：虽然换元时只用了一个变量,但变量与变量的倒数相当于是两个变量,双换元法在解决两个变量(二次式子)时可以起到简化解题过程的作用,这一方法在近几年的各地模拟题求解中屡见不鲜. 3.条件等式简单、目标函数复杂的最值问题 示例3：已知正实数满足. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 解析：(1)因为,令解析,则,且,所以 当且仅当且,即时,等号成立,所以当且仅当时,,故的最小值为. (2)由(1)得,所以 当且仅当且,即时,等号成立,所以当且仅当时,,故的最小值为. 本题双换元的目的是使目标函数变得简单,并容易拆分,为“1”的代换法和基本不等式的应用创造条件. 4.双换元的延伸 通过以上分析,不难看出双换元是指解一个问题时同时换两个元,那么对于有些更复杂的多元最值问题,能否换三个元呢? 示例4：已知,则的最小值为 设,则 ,且,所以,故 又 所以,当且 仅当,即 ,即时,等号成立,则所求最小值为9. 注：本例同时换了三个“新元”,虽然没有达到“减元”的效果,却打破了原有式子的结构,使我们更容易应用基本不等式解题. 题型1 平方和与积的转换 【例1】若，，且，则的最小值为（       ） A．9 B．16 C．49 D．81 【变式1】已知，，，则的最大值为________． 【变式2】是不同时为0的实数，则的最大值为________． 【变式3】已知实数，且，则的最大值为______． 【变式4】设且，则的最大值为_______ 【变式5】已知正实数，，满足，则的最大值为___________． 题型2 条件等式求范围 【例2】设，则的最小值等于（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式1】已知，，且，则的最小值为__________． 【变式2】若，且满足，则的最小值为______． 【变式3】已知，，且，则的最小值为___________． 【变式4】已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______． 题型3 消元法求最值问题 【例3】若正实数，满足，则的最大值为______． 【变式1】已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ） A． B．3 C． D． 题型4 单换元法求最值问题 【例4】若y均为正实数，且，则的最小值为________． 【变式1】已知，，则的最小值为____． 【变式2】的最大值为______． 【变式3】若实数满足，则的最大值为___________． 【变式4】已知，，，则的最大值为___________． 题型5 互倒模型 【例5】若实数满足，则的最小值为__________． 【变式1】已知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝_____． 题型6 双换元法求最值问题 【例6】已知实数，满足，则的最小值为__________． 【变式1】若正数a，b满足，则的最小值是__． 【变式2】已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________． 【变式3】若实数满足，则的最大值为________． $$2023-2024学年《题型通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题08 利用基本不等式解决多元最值问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平方和与积的转换 题型2 条件等式求范围 题型3 消元法求最值问题 题型4 单换元法求最值问题 题型5 互倒模型 题型6 双换元法求最值问题 多元函数的最值问题,常常以压轴题的身份“现身”于各种考试题中,尤其是一类条件等式下多元函数最值问题,“引无数考生竞折腰”.求解这类问题,不仅要求考生善于对目标函数进行适当变形,使其能够与基本不等式的应用相“匹配”,而且要求考生能根据实际问题,选择恰当的方法,从而达到优化解题过程的目的. 一般地,处理多元最值问题的思考角度有以下几个.1)从元的个数角度,关键在于减元处理,可利用代入消元、整体换元、三角换元等方法减元;2)从元的次数角度,关键在于转化目标函数(代数式),如一次二次比分式型、齐次比型、双勾函数型等;3)从元的组合结构角度,关键在于结构分析,将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式,再利用均值不等式等常用不等式求解最值,注意等号成立的条件. 基于此,本文介绍一种求多元函数最值问题的妙法——双换元法.双换元,就是为了更好地解决问题,对题目中的两个部分用两个“新元”同时替换,使原问题凸显本质,便于构造基本不等式模型,从而让解答过程更流畅.本文先介绍双换元法在三类典型问题中的应用,同时将其引申为三换元法,以体现这种方法的灵活性. 1.分式型最值问题 示例1；(1)已知均为正实数,,则的最小值是 (2)已知,则的最大值为 解析：(1)设,原题转化为已知,且,求的最小值.此时有 当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为4. (2)令,则,所以,故 当且仅当,即时,等号成立,故的最大值为. 2.条件等式可分解型最值问题 示例2；若实数满足,则的最小值是 . 解析：因为,所以,令,则,即,故 当且仅当时,等号成立,故,即的最小值为. 注：虽然换元时只用了一个变量,但变量与变量的倒数相当于是两个变量,双换元法在解决两个变量(二次式子)时可以起到简化解题过程的作用,这一方法在近几年的各地模拟题求解中屡见不鲜. 3.条件等式简单、目标函数复杂的最值问题 示例3：已知正实数满足. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 解析：(1)因为,令解析,则,且,所以 当且仅当且,即时,等号成立,所以当且仅当时,,故的最小值为. (2)由(1)得,所以 当且仅当且,即时,等号成立,所以当且仅当时,,故的最小值为. 本题双换元的目的是使目标函数变得简单,并容易拆分,为“1”的代换法和基本不等式的应用创造条件. 4.双换元的延伸 通过以上分析,不难看出双换元是指解一个问题时同时换两个元,那么对于有些更复杂的多元最值问题,能否换三个元呢? 示例4：已知,则的最小值为 设,则 ,且,所以,故 又 所以,当且 仅当,即 ,即时,等号成立,则所求最小值为9. 注：本例同时换了三个“新元”,虽然没有达到“减元”的效果,却打破了原有式子的结构,使我们更容易应用基本不等式解题. 题型1 平方和与积的转换 【例1】若，，且，则的最小值为（       ） A．9 B．16 C．49 D．81 【答案】D 【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立． 故选：D 【变式1】已知，，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】， ，即，当且仅当，即或时，等号成立， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【变式2】是不同时为0的实数，则的最大值为________． 【答案】 【解析】， ， 当且仅当时取等号，所以 的最大值为． 故答案为：． 【变式3】已知实数，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】由，所以， 又由， 当且仅当时，等号成立，所以． 故答案为：． 【变式4】设且，则的最大值为_______ 【答案】 【解析】由题意， 由均值不等式，当时，， 当且仅当即时等号成立 故，即 当且仅当即时等号成立 故答案为： 【变式5】已知正实数，，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】∵，，为正实数， ∴， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴的最大值为． 故答案为： 题型2 条件等式求范围 【例2】设，则的最小值等于（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得且， 所以， 当且仅当时，即等号成立， 所以的最小值为． 故选：B． 【变式1】已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】因为 所以 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为： 【变式2】若，且满足，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】由 又，则 所以 当且仅当以及，即时取得等号． 所以的最小值为3 故答案为：3 【变式3】已知，，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【解析】由题得， 所以． （当且仅当时取等） 因为，所以的最小值为4． 故答案为：4 【变式4】已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】因为、且， 所以 当仅当时取等号， 即解得或（舍去），当且仅当、时取等号； 故答案为： 题型3 消元法求最值问题 【例3】若正实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab， 所以a＝， 则＝＝＝﹣2 （）2+， 当，即b＝2 时取得最大值． 故答案为：． 【变式1】已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以 ， 所以， 令，则，且 ， 所以，当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值是． 故选：A． 题型4 单换元法求最值问题 【例4】若y均为正实数，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】令，则， 由得，即， 所以， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即，当且仅当，时，等号成立． 故答案为：． 【变式1】已知，，则的最小值为____． 【答案】2 【解析】∵x，y＞0，则＝， 设＝t，t＞0， 则＝（t+1）+﹣2≥2﹣2＝4﹣2＝2， 当且仅当t+1＝，即t＝1时取等号，此时x＝y， 故的最小值为2， 【变式2】的最大值为______． 【答案】 【解析】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 故答案为：． 【变式3】若实数满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】令，则，即， 所以， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以． 所以的最大值为． 故答案为：． 【变式4】已知，，，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】，当时取等， 所以， 故令，则， 所以， 当时，等号成立． 所以的最大值为 故答案为： 题型5 互倒模型 【例5】若实数满足，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】，设，则，， ， ， 等号在，即，或时成立． 所以的最小值为4． 故答案为：4 【变式1】已知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝_____． 【答案】 【解析】∵x，y＝R+，设，则， ∴ ∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y， ∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0， ∴， ∵xy的最大值与最小值分别为M和m， ∴M，m， ∴M+m． 题型6 双换元法求最值问题 【例6】已知实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】设，，， 可得， 则． 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：． 【变式1】若正数a，b满足，则的最小值是__． 【答案】 【解析】设，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，取得最小值． 故答案为：． 【变式2】已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 令， 则， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 【变式3】若实数满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】由，得， 设，其中． 则，从而， 记，则， 不妨设，则， 当且仅当，即时取等号，即最大值为． 故答案为：． $$