期中重难点真题特训之压轴满分题型（48题16个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版)

期中重难点真题特训之压轴满分题型（48题16个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴必刷题一、点坐标规律探索 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第23-24个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、、…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 压轴必刷题二、确定物体的位置 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置： （1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系． （2）写出体育场、宾馆的坐标． （3）图书馆的坐标为（﹣4，﹣3），请在图中标出图书馆的位置． 2．（23-24八年级上·全国·期中）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“黄军”两方．蓝军的指挥所在地，黄军的指挥所地地，地在地的正西边（如图）．部队司令部在地．在的北偏东方向上、在的北偏东方向上． （1）______°； （2）请在图中确定（画出）的位置，标出字母； （3）演习前，司令部要蓝军、黄军派人到地汇报各自的准备情况．黄军一辆吉普车从地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从地出发，它们同时到达地．已知吉普车行驶了18分钟．到的距离是到的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及地到地的距离（速度单位用：千米/时）． 压轴必刷题三、图形在坐标系中的平移 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是、，右图中左眼的坐标是，，则右图案中右眼的坐标是 ，左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 ． 3．（23-24八年级上·安徽合肥湖·期中）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，菱形位置如图所示，且，． (1)画出平面直角坐标系，写出点C的坐标； (2)将菱形向左平移3个单位．再向上平移4个单位，画出平移后的菱形，若点在菱形内，其平移后的对应点为，写出的坐标． 压轴必刷题四、求一次函数解析式 1．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）不论取何值，点均不在直线上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）直线与正比例函数的图象相交于点，点M、N分别在直线和直线上，且轴． （1） ； （2）当时，点M的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 压轴必刷题五、一次函数的图象 1．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，一次函数（和是常数）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于第二象限内的点C，且点C的横坐标为．    （1） ； （2）若直线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当时，点P的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴交于点，直线交于轴于点B，交轴于点C，交直线于点． (1)求直线的函数表达式． (2)在轴上是否存在一点Q，使得？若不存在，请说明理由，若存在，求出点Q的坐标． 压轴必刷题六、一次函数求参数问题 1．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级上·安徽池州·期中）一次函数（为常数且） （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为 ； （2）如图：已知长方形中，，，，若一次函数与长方形的边有公共点，则的取值范围为 ． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； (2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 压轴必刷题七、一次函数图象平移问题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（    ）    A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）一次函数与的图象如图所示，交轴于点，现将直线平移使得其经过点，则经过平移后的直线与轴的交点坐标为 ． 3．（23-24八年级上·安徽六安·期中）在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动． 素材 两点确定一条直线 素材 图形平移的本质就是点的平移 素材 平移不改变直线的倾斜程度 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式； 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式． 压轴必刷题八、一次函数的规律探究问题 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在直角坐标系中，正方形、、、…、．按如图所示的方式放置，其中点、、、…、，均在一次函数的图象上，点、、、…、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．    3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 压轴必刷题九、一次函数与方程、不等式的关系 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程 的解是 C．当时， D．不等式 的解集是 2．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． … 0 1 3 5 … … 1 … 压轴必刷题十、一次函数的最大利润问题 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动．该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件20元、乙种奖品的单价为每件10元，共购买50件．设甲种奖品购买x件，购买两种奖品的总费用为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期中）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量 13 14 15 16 17 18 天数 1 1 2 4 1 1 (1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数； (2)当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：；当时，日利润为80元． ①当时，问该花店的日利润最多是多少元？ ②求该花店这10天中日利润为70元的天数． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）为了改善湿地公园生态环境，构建国家文明城市，太和县相关部门现需要购买A，B两种花卉500株，其中花卉每株单价为6元，购买种花卉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：株）之间函数关系如图： (1)求与的函数关系式； (2)若种花卉不超过400株，但不少于种花卉的数量的二分之三，当种花卉购买多少株时，使总费用最低，并求出最低费用． 压轴必刷题十一、一次函数的几何问题 1．（24-25八年级上·安徽池州·期中）如图，直线与轴和分别交于点和点，直线与轴交于点，且直线与正比例函数的图象平行． (1)求和的值； (2)作轴的平行线分别交直线和于点和点，若，求点的坐标．             2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点． (1)求的值及直线的表达式． (2)计算四边形的面积． (3)是直线上一点，若，求点的坐标． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接交y轴于C点． (1)求直线的截距； (2)动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）．设从出发起运动了x秒． ①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标； ②当时，y轴上是否存在一点E，使得的面积与的面积相等?若存在，求E的坐标；若不存在，说明理由． 压轴必刷题十二、一次函数的行程问题 1．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元． (1)在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式； (3)若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？ 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息小时再往A镇参加救灾．一分队出发了后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为千米/时． (1)若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？ (2)下列图象中①②分别描述了一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并据图象直接指出甲乙谁先到达终点． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇，出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)求a的值． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 压轴必刷题十三、与三角形的高、中线与角平分线有关的计算 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）利用格点画图或计算： （1）画出中边上的高﹔ （2）画出中的角平分线； （3）每个格点小正方形的边长都为，则的面积为_____． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若是角平分线，求的度数． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题： （1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积　 　△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得　 　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为　 　． （3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由． 压轴必刷题十四、三角形的内角 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）中，，，求的各内角的度数． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，求的度数．    3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数． （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC= ； （2）若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BPC= ； （3）若∠A=60°，则∠BPC= ； （4）若∠A=100°，则∠BPC= ． （5）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC= ． 压轴必刷题十五、三角形的外角 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图是一副三角板拼成的图案，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，与分别是和的角平分线，则与，之间的数量关系是______．    3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，E是平面内一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，当点E在上方时，猜想与、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，连接，若，且，，求的度数． 压轴必刷题十六、推理与论证的压轴题 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期中）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） A 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（48题16个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴必刷题一、点坐标规律探索 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第23-24个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第23-24个点在第列，即可得到第23-24个点的坐标 【详解】解：解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0， 第二列有2个点，点的横坐标为1， 第三列有3个点，点的横坐标为2， 依次类推， 第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动， 所有列点的总数为， 有， ， ，即第23-24个点在第64列， 第23-24个点的横坐标为63， ，64为偶数列， 第23-24个点的纵坐标为7， 第23-24个点的坐标为． 故选：A． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、、…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第秒点位置，找出运动规律是解题的关键． 【详解】由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； ； 则当时间为秒时，， ∴点， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 压轴必刷题二、确定物体的位置 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置： （1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系． （2）写出体育场、宾馆的坐标． （3）图书馆的坐标为（﹣4，﹣3），请在图中标出图书馆的位置． 【答案】(1)见解析；（2）（﹣4，3）、（2，2）；（3）见解析 【分析】（1）如下图，按题意规范的画出坐标系即可； （2）根据（1）中所建立的坐标系写出“体育馆”和“宾馆”的坐标即可； （3）根据（1）中所建立的坐标系和图书馆的坐标为（-4，-3）在图中标出表示图书馆的点即可. 【详解】解：（1）以火车站为坐标原点建立的平面直角坐标系如图所示： （2）体育场（﹣4，3）、宾馆（2，2）； （3）图书馆位置如上图所示． 2．（23-24八年级上·全国·期中）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 【答案】(1)，，， (2)目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站 (3)， 【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． （1）根据“目标C，F的位置表示为，”， 表示目标A，B，D，E的位置即可； （2）根据“目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站”，求出每一圈表示，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，D，E的实际位置即可； （3）根据“目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处”，观察图形并计算，写出G，H的位置表示即可． 【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为，， ∴按照此方法表示：，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵，，目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站， ∴， 又∵，，，， ∴，，，， ∴目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站； （3）解：∵目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处， ∴，，，， ∴，． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“黄军”两方．蓝军的指挥所在地，黄军的指挥所地地，地在地的正西边（如图）．部队司令部在地．在的北偏东方向上、在的北偏东方向上． （1）______°； （2）请在图中确定（画出）的位置，标出字母； （3）演习前，司令部要蓝军、黄军派人到地汇报各自的准备情况．黄军一辆吉普车从地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从地出发，它们同时到达地．已知吉普车行驶了18分钟．到的距离是到的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及地到地的距离（速度单位用：千米/时）． 【答案】（1）；（2）画图见解析；（3）越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，地到地的距离为30千米. 【分析】（1）由方位角的知识即可求解； （2）根据题意画出方位角，交点即为C点位置； （3）设吉普车的速度为x千米/时，则越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为千米，A到C的距离为千米，根据“越野车在吉普车出发3分钟后从地出发，它们同时到达地”找到等量关系列出方程即可求解. 【详解】（1）由题意可知： 故答案为：； （2）如图所示，点C即为所求. （3）设吉普车的速度为x千米/时，则越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为千米，A到C的距离为千米， 由题意，得=（2x+4）， 解得x=100， 2x+4=204，=30， 答：越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，地到地的距离为30千米. 【点睛】此题考查了方位角和一元一次方程的实际应用.设出合适的未知数，找到等量关系列出方程是解答此题的关键. 压轴必刷题三、图形在坐标系中的平移 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标． 【详解】解：左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为； 故选：D 【点睛】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是、，右图中左眼的坐标是，，则右图案中右眼的坐标是 ，左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移；根据两眼的距离为2，得出右图案中右眼的横坐标为，即可得出右图案中右眼的坐标；根据左眼的坐标从平移到右图中左眼的坐标是，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，即可得出点平移后的坐标，即可求解． 【详解】解：∵左图案中左右眼睛的坐标分别是、， ∴两眼间的距离为2，且平行于轴， ∵右图中左眼的坐标是， ∴右图案中右眼的横坐标为． 则右图案中右眼的坐标是． ∵左眼的坐标从平移到右图中左眼的坐标是，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 故答案为：，． 3．（23-24八年级上·安徽合肥湖·期中）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，菱形位置如图所示，且，． (1)画出平面直角坐标系，写出点C的坐标； (2)将菱形向左平移3个单位．再向上平移4个单位，画出平移后的菱形，若点在菱形内，其平移后的对应点为，写出的坐标． 【答案】(1)见详解， (2)见详解， 【分析】本题主要考查作图，涉及确定平面直角坐标系中点的坐标和点的平移， 根据给定的点确定原点以及点C的坐标； 根据平移得性质即可求得菱形和点． 【详解】（1）解：如图，由图可知点， （2） ∵菱形向左平移3个单位．再向上平移4个单位， ∴点也向左平移3个单位．再向上平移4个单位， 则点． 压轴必刷题四、求一次函数解析式 1．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）不论取何值，点均不在直线上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得点所在的直线为，若不论取何值，点均不在直线上，则只有这两条直线平行才满足题意，据此即可求得的值． 【详解】解：∵点， ∴可以假设：，， ∴，代入， ∴， ∴点一定在直线上， ∵不论取何值，点均不在直线上， ∴直线与直线平行， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意求得点所在的直线解析式是解题的关键． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）直线与正比例函数的图象相交于点，点M、N分别在直线和直线上，且轴． （1） ； （2）当时，点M的坐标是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，解题的关键是掌握用一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及平行于x轴的直线上的点纵坐标相等． （1）把代入，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入，即可求出k的值； （2）设，则或，根据轴，得出或，求出t的值即可． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴正比例函数解析式为， 故答案为：2； （2）∵点M在直线上， ∴设， ∵， ∴点N的横坐标为或， ∵点N在直线上， ∴或， ∵轴， ∴或， 解得：或， ∴点M的坐标为或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 压轴必刷题五、一次函数的图象 1．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，一次函数（和是常数）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质； 首先求出交点的横坐标为1，排除D选项；然后根据A选项中函数图象的增减性，与y轴的交点位置推出矛盾，可得A错误；根据B选项中交点在x轴上，可得，则两函数图象的陡峭程度应该相同，故B错误；根据C选项中函数图象的增减性，交点位置进行验证，可知C选项符合题意． 【详解】解：联立，解得：， ∴交点的横坐标为1，D排除； 由A选项中函数图象的增减性可得，，则两函数图象都应与y轴正半轴相交，不符合题意； B选项中交点在x轴上，则， 所以和互为相反数， 所以两函数图象的陡峭程度应该相同，不符合题意； 由C选项中函数图象的增减性可得，， 所以， 所以交点位于第四象限，符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于第二象限内的点C，且点C的横坐标为．    （1） ； （2）若直线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当时，点P的坐标为 ． 【答案】 7 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用等知识．认真审题，观察图象关系，利用数形结合思想确定解题思路，进而推理、计算． （1）先将代入求出点C的坐标，然后把代入即可求解； （2）设，则，可求，再根据可得出关于a的方程，然后求解即可． 【详解】解：（1）将代入，得， ∴． 将代入，得：， 解得； （2）由（1）知， ∴， 当时，， ∴， ∴． 由可设． ∵轴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：7；或． 3．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴交于点，直线交于轴于点B，交轴于点C，交直线于点． (1)求直线的函数表达式． (2)在轴上是否存在一点Q，使得？若不存在，请说明理由，若存在，求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，平面直角坐标系中三角形面积的求法： （1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算出，设点Q坐标为，根据用含n的代数式表示出，解出n的值即可． 【详解】（1）解：∵点在直线直线上， ∴，即， 设直线解析式为， 把、代入可得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线交于y轴于点B，交x轴于点C， 当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∵、， ∴， ∵， ∴， 设点Q坐标为， 则， 解得：或， ∴点Q坐标为或． 压轴必刷题六、一次函数求参数问题 1．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．根据题意，画出图象，可得当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：如图， 观察图象得：当时，， 即，解得：， 当时，， 即，解得：， ∴k的取值范围是或． 故选：D． 2．（23-24八年级上·安徽池州·期中）一次函数（为常数且） （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为 ； （2）如图：已知长方形中，，，，若一次函数与长方形的边有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）由一次函数解析式为，可得出点的坐标为； （2）分别求出当一次函数经过点时及当一次函数经过点时，求出k的值，现求出的取值范围． 【详解】解：（1）一次函数恒经过点， 点的坐标为． 故答案为：； （2）长方形中，，，， ， 当一次函数经过点时， 解得：， 当一次函数经过点时， 解得：， 一次函数与长方形的边有公共点， 由图可知，或 故答案为：或 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； (2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)①，②见解析 (2)①；；② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握画图方法是解答本题的关键． （1）①根据解析式代入数据计算即可填表，②根据表格描点画图即可； （2）①根据图象可得函数的最大值；根据图象当y随x增大而减小时可得x的取值范围；②根据图象当时，可得x的取值范围． 【详解】（1）解：①完成下面列表： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 1 2 3 2 1 0 … ②函数图象如图所示： （2）解：①根据图象得：时，函数的最大值为，当y随x增大而减小时，x的取值范围是； ②根据图象结合表格得：当时，x的取值范围是． 压轴必刷题七、一次函数图象平移问题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（    ）    A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变 【答案】D 【分析】根据点、的坐标求出所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出是定值，是定值，到直线的距离是定值，进而得出答案． 【详解】解：连接，     点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 将直线：向上平移1个单位即可得直线， 两直线平行， 点是第一象限内直线上的一个动点， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， ∴是定值， ∴是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）一次函数与的图象如图所示，交轴于点，现将直线平移使得其经过点，则经过平移后的直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】求得A的坐标，设经过平移后的直线为，把A的坐标代入，可得b的值，即可求得解析式，令x=0，即可求得与y轴的交点坐标． 【详解】解：函数， 令y=0，则求得x=2， ∴A（2，0）， 设经过平移后的直线为，把A（2，0）代入，可得 b=1， ∴经过平移后的直线为， 令x=0，则y=1， ∴经过平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，1）， 故答案为：（0，1）． 【点睛】本题考查一次函数的图象与几何变换，平移前后直线系数k的值不变． 3．（23-24八年级上·安徽六安·期中）在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动． 素材 两点确定一条直线 素材 图形平移的本质就是点的平移 素材 平移不改变直线的倾斜程度 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式； 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式． 【答案】任务：，；平移后的函数表达式为 任务：平移后的函数表达式为 【分析】任务：由得，，再由函数图象向左平移个单位长度得，，； 任务：当时，，则，由线段扫过的图形面积为，可得，最后由一次函数的平移即可求解； 本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】任务：由得， 当时，；当时，， ∴，， ∵该函数图象向左平移个单位长度， ∴，， 平移后的函数表达式为， 故答案为：，； 任务：当时，， ∴，则， ∵线段扫过的图形面积为， ∴， ∴， ∵平移不改变直线的倾斜程度， ∴设平移后的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴设平移后的函数表达式为． 压轴必刷题八、一次函数的规律探究问题 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，根据题意分别求出点的坐标，并根据有理数的乘方运算找出规律，由此即可求解． 【详解】解：∵点，，，…在直线， ∴当时，，即的纵坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴，则 ∵是正方形是正方形， ∴，则， ∴， ∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在直角坐标系中，正方形、、、…、．按如图所示的方式放置，其中点、、、…、，均在一次函数的图象上，点、、、…、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】先求解的坐标，再求得直线的解析式，再求解、的坐标得出规律，求出的坐标，再求出的坐标即可， 【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为， ∴正方形边长为1，正方形边长为2， ∴的坐标是，的坐标是：， 代入得 ， 解得： ． 则直线的解析式是：， ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标是1，的纵坐标是2， 在直线中，令，则纵坐标是：， ∴ ∴正方形、、…、的边长分别为：、、…、， ∴、、…、的坐标依次为：、、、…、， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，正方形的性质，求解的解析式是解本题的关键． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 压轴必刷题九、一次函数与方程、不等式的关系 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程 的解是 C．当时， D．不等式 的解集是 【答案】C 【分析】根据函数的图象直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图象可知， 当时，，A选项错误，不符合题意； 方程 的解是，B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式 的解集是，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 2．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解之间的关系，熟练掌握把一次函数交点坐标为二元一次方程组的解是解题的关键．根据两直线的交点坐标是对应方程组的解即可解答． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴关于，的二元一次方程组的解是， 故填：． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． 【答案】(1)①全体实数；② (2)见解析 (3)①（答案不唯一）的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到；②（答案不唯一）当时，函数有最大值，最大值为1；③ 【分析】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键． （1）①根据函数可得自变量的取值范围是全体实数；②分别把点，代入计算，再比较大小即可； （2）先补充表格，再描点画图即可； （3）①根据函数图象平移规则：左加右减，上加下减可得答案；②结合函数图象的最高点可得函数的最大值，③结合图象可得交点位置，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①函数的自变量的取值范围是全体实数； ②∵点，是该函数图象上的两点， ∴，， ∴． （2）解：补全表格得， … 0 1 3 5 … … 1 … 在平面直角坐标系画出函数图象如图． （3）解：①的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到．（答案不唯一） ②当时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） ③当时， 由图知，即， 解得， 压轴必刷题十、一次函数的最大利润问题 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动．该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件20元、乙种奖品的单价为每件10元，共购买50件．设甲种奖品购买x件，购买两种奖品的总费用为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)甲：13件，乙：37件；630元 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出函数关系式和不等式关系式是解题的关键． （1）分别算出甲、乙两种奖品的费用相加即是总费用； （2）一次函数的系数，故根据函数的性质可知随的增大而增大，根据题（1）可求最小值． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）由题意，得， 解得． 由（1），得， ， 随x的增大而增大． 为整数， 当时，， 乙：（件）． 答：甲种奖品购买13件，乙种奖品购买37件时，费用最少，最少为630元． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期中）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量 13 14 15 16 17 18 天数 1 1 2 4 1 1 (1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数； (2)当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：；当时，日利润为80元． ①当时，问该花店的日利润最多是多少元？ ②求该花店这10天中日利润为70元的天数． 【答案】(1)4； (2)①80元；②2天． 【分析】本题考查了一次函数的应用，花的支数的整数性，函数的性质． （1）根据图表，数出花的支数小于16的天数即可． （2）①当时，，根据函数性质，当时，y取最大值，此时(元)；当时，日利润为80元．比较解答即可． ②根据当时，日利润为80元，故．结合当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：，得，求得n值，对照图表作答即可． 【详解】（1）根据图表，数出花的支数小于16的天数为（天）． 故该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天． （2）①当时，， 根据函数性质，y随n的增大而增大，且n为整数， 当时，y取最大值，此时(元)； 当时，日利润为80元． 故：当时，该花店的日利润最多是80元． ②根据当时，日利润为80元， 故． 当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：， 得， 解得：； 综上所述：花店这10天中日利润为70元的天数为2天． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）为了改善湿地公园生态环境，构建国家文明城市，太和县相关部门现需要购买A，B两种花卉500株，其中花卉每株单价为6元，购买种花卉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：株）之间函数关系如图： (1)求与的函数关系式； (2)若种花卉不超过400株，但不少于种花卉的数量的二分之三，当种花卉购买多少株时，使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)购买种花卉400株时，总费用最低为元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，解一元一次不等式组等知识点． （1）根据题意分别设函数关系式，再代入图中数据求解即可； （2）设购买B种花卉株，则A种花卉株，根据题意列不等式组，求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）设与的函数关系式为： 将代入得，， 解得：， ； 将代入得， 解得 ， 综上所述，； （2）设购买B种花卉株，A种花卉株； 由题意得： 解得： 当时，两种花卉所需费用记为w： 则 ， ∴当时，元： 答：购买种花卉400株时，总费用最低为元． 压轴必刷题十一、一次函数的几何问题 1．（24-25八年级上·安徽池州·期中）如图，直线与轴和分别交于点和点，直线与轴交于点，且直线与正比例函数的图象平行． (1)求和的值； (2)作轴的平行线分别交直线和于点和点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式和一次函数值： （1）不平行于y轴的两条直线若平行，那么它们解析式的一次项系数相同，据此可得，把C点坐标代入中，求出m的值，即可求出点C的坐标，再把点C坐标代入中求出b的值即可； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与正比例函数的图象平行， ∴．             把点代入中得：，解得， ∴．         把点代入中，得，解得． ∴． （2）由（1）可知直线， ∴可设点的坐标为． ∵轴， ∴点的坐标为， ∵， ∴，解得或， 当时，；当时，， ∴点的坐标为或． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点． (1)求的值及直线的表达式． (2)计算四边形的面积． (3)是直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)9 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合运用， （1）把点在直线上，可得，在运用待定系数法，将，代入直线的表达式为，即可求解； （2）由（1）可得，，，则，根据，代入求值即可； （3）设，根据，，且，分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴．即， 设直线的表达式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：由（1）可得，， 直线，令，可得， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴． 解得或11， ∴点的坐标为或． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接交y轴于C点． (1)求直线的截距； (2)动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）．设从出发起运动了x秒． ①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标； ②当时，y轴上是否存在一点E，使得的面积与的面积相等?若存在，求E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的截距为5 (2)①，；②存在，点E的坐标为：或 【分析】本题考查的是待定系数法求解析式，三角形的面积计算、点的坐标，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出直线的截距； （2）①根据题意写出，两点的坐标； ②根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把和的坐标分别代入， 可得 解得 ∴直线的表达式为． 当时，， ∴直线的截距为5． （2）①，； ②存在． 设E的坐标为， 当时，， ∵ ∴ ∴， 情况一；当点E在Q的上方时， ∵， ∴ ， ∴E点坐标为． 情况二；当点E在Q的下方时， ∵ ∴， ． ∴E点坐标为． 综上，点E的坐标为：或． 压轴必刷题十二、一次函数的行程问题 1．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元． (1)在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式； (3)若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？ 【答案】(1)行车里程是自变量，车费是因变量 (2) (3)8km 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据自变量和因变量的定义即可得到答案； （2）根据题意，列出关系式即可； （3）将车费代入（2）中所列关系式，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：行车里程是自变量，车费是因变量； （2）解：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元， 行车里程超过3km时，； （3）解：当时，即， 解得：， 答：小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了8km的里程． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息小时再往A镇参加救灾．一分队出发了后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为千米/时． (1)若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？ (2)下列图象中①②分别描述了一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并据图象直接指出甲乙谁先到达终点． 【答案】(1)8小时 (2)（b）、（d） 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像中获得信息，树形结合熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题意先分别求出二分队行至塌方处需时间，一分队到塌方处并打通道路需要的时间，从而得出二分队在塌方处需要停留小时，再列式求出结果即可； （2）先分别求出一分队到达A镇的时间，再根据a的取值，求出一分队与二分队同时到达A镇时的值，最后根据函数图像进行讨论即可． 【详解】（1）解：若二分队在营地不休息，则，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时）， ∵一分队到塌方处并打通道路需要（小时）， ∴二分队在塌方处需要停留小时， ∴二分队在营地不休息赶到镇需（小时）． （2）解：一分队赶到镇共需（小时）， 当时，二分队速度为5千米/时，行至塌方处需（小时），此时一分队正好打通道路，即二分队在塌方处追赶上一分队，然后与一分队一起赶到镇； 当时，二分队速度为6千米/时，行至塌方处需（小时）， ， ∴此时二分队在塌方处不需停留， 此时二分队到达A镇需要的时间为：（小时）， ∵， ∴此时与一分队一起到达A镇， 当时，二分队速度为7千米/时，行至塌方处需小时， ∵， ∴比一分队晚到达A镇， ∴当时，二分队在塌方处需停留，时，二分队在塌方处不需停留，且比一分队早到达A镇，时，二分队在塌方处不需停留，且比一分队晚到达A镇； （a）此图中一分队没有停留，故（a）不合理； （b）此图中，二分队在塌方处不需停留，且比一分队晚到达A镇，故（b）合理； （c）此图中二分队到达塌方处，一分队没有打通，但二分队没有停留，不合理，故（c）不合理； （d）此图中，二分队在塌方处不需停留，且比一分队早到达A镇，故（d）合理； 综上分析可知，合理的是（b）、（d）． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇，出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)求a的值． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用：行程问题，待定系数法解一次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合图象，设直线的表达式为，把代入，计算得，然后再把点代入，进行计算，即可作答． （2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，此时出租车距离乙地，即出租车距离甲地，把代入，解得，即可求出点，根据货车继续出发后，与出租车相遇，所以相遇时货车的速度为，故可设直线的表达式为，将点代入，解出，然后求出点，又因为出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，得点，即可求得出租车从乙地返回甲地的速度为，据此即可作答； （3）设出租车在返回的过程中，货车出发t小时与出租车相距，此时货车距离乙地，出租车距离乙地，然后分两种情况：①出租车和货车第二次相遇前，相距时，可得；②出租车和货车第二次相遇后，相距时，可得，分别求出的值，即可作答． 【详解】（1）解：由图象知，点， 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 把点代入， 解得； （2）解：由（1），得， ∴货车卸货时与乙地相距， ∵停下来装完货物后，发现此时与出租车相距， ∴此时出租车距离乙地， ∴出租车距离甲地， 把代入， 得， 解得， ∴货车装完货物时，， 即点， 根据直线的表达式为， 可得出租车从甲地到乙地的速度为， 根据货车继续出发后，与出租车相遇， 可得（出租车的速度货车的速度）， ∴相遇时，货车的速度为， 故可设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入， 得，解得， ∴点； ∵出租车到达乙地后立即按原路返回 ，结果比货车早15分钟到达甲地， ∴点， ∴出租车从乙地返回甲地的速度为； （3）解：设出租车在返回的过程中，货车出发t小时与出租车相距， 此时货车距离乙地，出租车距离乙地， 分两种情况： ①出租车和货车第二次相遇前，相距时， 可得，解得； ②出租车和货车第二次相遇后，相距时， 可得，解得， 综上所述，出租车在返回的过程中，货车出发或与出租车相距． 压轴必刷题十三、与三角形的高、中线与角平分线有关的计算 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）利用格点画图或计算： （1）画出中边上的高﹔ （2）画出中的角平分线； （3）每个格点小正方形的边长都为，则的面积为_____． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【分析】（1）根据网格确定出BC边上的高AD即可； （2）找出图中的点F，以A为端点，作射线AF，与BC边交于点E即可； （3）确定出AD与BC的长，利用三角形面积公式求出即可． 【详解】解：（1）画出CB边上的高AD，如图所示； （2）画出△ABC中∠BAC的角平分线AE，如图所示； （3）由网格得：AD=4cm，BC=6cm， 则S△ABC=BC•AD=×6×4=12cm2． 故答案为：12． 【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，角平分线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义和中线的性质． （1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可； （2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵是的高， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题： （1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积　 　△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得　 　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为　 　． （3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由． 【答案】（1）＝；（2），20；（3）S四边形ADOE＝13．理由见解析． 【分析】（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论； （2）利用题干所给解答方法解答即可； （3）连接AO，利用（2）中的方法，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H， ∵AD是△ABC的BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴，， ∴S△ABD＝S△ACD， 故答案为：＝； （2）解方程组得， ∴S△AOD＝S△BOD＝10， ∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20， 故答案为：，20； （3）如图3，连接AO， ∵AD：DB＝1：3， ∴S△ADO＝S△BDO， ∵CE：AE＝1：2， ∴S△CEO＝S△AEO， 设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y， 由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15， 可列方程组为：， 解得：， ∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2 y＝13． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了三角形的面积公式，等底同高的三角形面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比，二元一次方程组的解法．本题是阅读型题目，准确理解题干中的方法并正确应用是解题的关键． 压轴必刷题十四、三角形的内角 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）中，，，求的各内角的度数． 【答案】，，． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，将第一个等式代入第二等式中，用表示出，再根据三角形的内角和等于列方程求出，然后求解即可，用表示出然后列出关于的方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 由三角形内角和定理得： ， 解得： ∴， ． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及垂直的定义，解题时注意：三角形内角和等于． 先依据，可得，再根据中，，即可得到，最后在中，依据，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， 在中， ∵， ∴ ． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数． （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC= ； （2）若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BPC= ； （3）若∠A=60°，则∠BPC= ； （4）若∠A=100°，则∠BPC= ． （5）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC= ． 【答案】（1）120°；（2）120°；（3）120°；（4）140°；（5）90°+∠A． 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BDC=∠1+∠A，∠BPC=∠BDC+∠4，即∠BPC=∠A+∠1+∠4，根据三角形的内角和定理可证∠1+∠4=90°-∠A．进而求出∠BPC=90°+∠A． 【详解】解：延长BP交AD于点D， ∵BP、CP平分∠ABC和∠ACB， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠BDC=∠1+∠A， ∠BPC=∠BDC+∠4， ∴∠BPC=∠A+∠1+∠4， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠1+∠4=90°-∠A． ∴∠BPC=∠A+∠1+∠4=90°+∠A； （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠A=180°-50°-70°=60°， ∴∠BPC=120°； 故答案为：120°； （2）若∠ABC+∠ACB=120°，∠A=180°-120°=60°， ∴∠BPC=120°； 故答案为：120°； （3）若∠A=60°，则∠BPC=120°； 故答案为：120°； （4）若∠A=100°，则∠BPC=140°． 故答案为：140°； （5）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC=180°-（∠2+∠3）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A． 故答案为：90°+∠A． 【点睛】用到的知识点为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是180°；得到相应规律是：三角形两个内角平分线所夹的钝角等于90°+第三个角的一半． 压轴必刷题十五、三角形的外角 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图是一副三角板拼成的图案，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，由图可得，，进而根据三角形的外角性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，与分别是和的角平分线，则与，之间的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形的外角的性质、推出是解题的关键． 【详解】解：∵与分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，E是平面内一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，当点E在上方时，猜想与、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，连接，若，且，，求的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，得出，，再根据求解即可； （3）令与的交点为，根据平行线的性质和三角形外角的定义，得到，结合角平分线的定义，得到，由（2）可知，，进而得出，即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作，则， ，， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，则， ，， ，， ； （3）解：如图3，令与的交点为， ， ， ， ， 平分， ， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 压轴必刷题十六、推理与论证的压轴题 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期中）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】(1)7 (2)14 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 【答案】(1)3 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确， 针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第5题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的， 针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分， 针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：， 如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道， 即：他的答案可能是或或或等， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$