3.1.2椭圆的简单几何性质（九个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

3.1.2椭圆的简单几何性质 一、由标准方程研究几何性质 六、直线与圆的位置关系 二、由几何性质求标准方程 七、直线与椭圆的弦长问题 三、求椭圆的离心率 八、中点弦与点差法 四、求离心率的取值范围 九、椭圆的综合问题 五、点与圆的位置关系 知识点一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 重难点一 由标准方程研究几何性质 【例1】已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 从而，解得， 所以，则椭圆的长轴长为. 故选：C. 【例2】已知椭圆的上顶点、右顶点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化简可得，作出椭圆图象如下图所示： 则，易知为直角三角形， 所以. 故选：A 【变式1-1】已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由，得,，得，，， 所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、. （2）由，得，得，，得，，， 所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、. 【变式1-2】椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 【变式1-3】（多选）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（    ）    A．轨道Ⅱ的长轴长为 B．轨道Ⅱ的焦距为 C．若不变，越小，轨道Ⅱ的短轴长越大 D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越小 【答案】AB 【详解】设椭圆长轴，短轴，焦距， 对于A选项，由椭圆的性质可知，轨道Ⅱ的长轴长为，故选项A正确； 对于B选项，由椭圆的性质知，，又因为，所以，故选项B正确； 对于C选项，由前面选项知， 若R不变，越小，越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故选项C错误； 对于D选项，因为， 若r不变，R越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故选项D错误. 故选：AB. 重难点二 由几何性质求标准方程 【例3】焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】设椭圆的标准方程为. 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. 故答案为： 【例4】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为或. （2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为， 因为椭圆与有相同的焦点，且经过点， 所以可设椭圆方程为，且，解得， 故，解得（舍去）或，故. 所以椭圆的标准方程为. 【变式2-1】（多选）已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故， 因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即， 所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故， 因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即， 所以椭圆的方程为． 综上所述，椭圆的方程为或． 故选：BC． 【变式2-2】若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】椭圆：的离心率为. 则焦点在轴上离心率为的椭圆可取：. 故答案为： 【变式2-3】已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，的标准方程是 . 【答案】 【详解】依题意， 则，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 重难点三 求椭圆的离心率 【例5】已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， 在中，， 则， 即， 整理得， 所以的离心率. 故选：D. 【例6】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，不妨令，    由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，， 则，， 又因为，所以，则和都是直角三角形， 由勾股定理可得，， 即，解得， 所以，， 又，， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【变式3-1】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则， 阳光照射方向与地面的夹角为60°，即， 则， ， 在中，，即， 即，解得，而，故, . 故选：B. 【变式3-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为 【答案】/0.5 【详解】由题意知， 所以，即， 又，即， 所以， 故答案为： 【变式3-3】设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】设，则， 根据椭圆定义，因此，， 又因为，所以， 即，解得， 则 则在中，， 即，所以 故答案为： 重难点四 求离心率的取值范围 【例7】已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 【例8】已知椭圆，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，， 当时，，则； 当时，，则， 综上得， 故选：B． 【变式4-1】椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，则，，    椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以， 所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为． 故选：D． 【变式4-2】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图，    由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离， 于是，解得，， 在中，， 显然，解得， 所以的离心率的取值范围是. 故选：B 【变式4-3】已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，且椭圆上存在点使得，求椭圆的离心率的取值范围． 【答案】 【详解】设点．由知，点在以为直径的圆上． 圆的方程是，即①， 又点在椭圆上，故②， 把①代入②，得， 故， 因为，所以． 又，则 ，即， 两边同时除以，整理得，即，解得或， 又，所求椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是根据题意得出几何关系，由几何关系得出关于的等式或不等式，由关系式，把等式或不等式中的化为，解方程或不等式即可. 知识点二、直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 重难点五 点与圆的位置关系 【例9】设点是曲线上的点，又点，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：曲线，化为，它表示顶点分别为的菱形， 以，为焦点，长轴长为10，短轴长为6的椭圆方程， 在直角坐标系中，作出曲线和椭圆的图形，如下图所示： 由图形以及椭圆的定义可知：若在椭圆上，又在曲线上时，即或时，； 若在椭圆内部，又在曲线上时，则， 综上，. 故选：C. 【例10】（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【详解】由题意知，解得． 故选：BC 【变式5-1】已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的方程为， 因为不在椭圆的外部， 所以，因为， 所以，化简得：， 同除以得：，结合， 解得：， 故. 故选：B 【变式5-2】已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 【变式5-3】已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 . 【答案】点在椭圆外 【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外. 故答案为：点在椭圆外. 重难点六 直线与圆的位置关系 【例11】直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【详解】由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为， 所以直线与椭圆相切. 故选：B. 【例12】已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 【变式6-1】若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【答案】B 【详解】直线与：没有交点， 所以直线与：相离， 所以，得， 故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，所以 ，即在椭圆内部， 而易知在椭圆外， 所以过点、两点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B 【变式6-2】直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 【变式6-3】已知椭圆过点和. (1)求的离心率； (2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆过点和， 所以，解得， 由，得， 所以的离心率. （2）    由（1）可得的方程为，， 联立，得， 由，得， 直线的一般式方程为：. 知识点三、弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 重难点七 直线与椭圆的弦长问题 【例13】已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； （2）由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长．    【例14】已知椭圆，一组平行直线的斜率是. (1)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上； (2)这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于两点，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设这组平行直线的方程为，则，消去y得， 由，得， 设交点坐标为， 则，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为， 显然点始终在直线上， 所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上. （2）椭圆的焦点坐标为，由对称性，不妨取焦点，直线， 设，由（1）知，， 所以. 【变式7-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 【变式7-2】已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4， 可得，， 则椭圆C的标准方程为：； （2）依题意， 解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为l：． 【变式7-3】已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得 设， 则， 点到直线的距离 ∴    知识点四、中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知是椭圆上的两个不同的点，是线段的中点， 则由，得， 变形得，即 重难点八 中点弦与点差法 【例15】已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 【例16】已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题可知，， 则，所以，即，解得， 所以，则， 所以， 故选：B． 【变式8-1】已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 【变式8-2】已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 【变式8-3】不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，，， 则，又， 所以，即， 即， 又，， 所以. 故选：A 重难点九、椭圆的综合问题 【例17】已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，在椭圆上， 且，当时，由， 得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 故线段PQ的垂直平分线恒过定点 故选：A． 【例18】已知O为坐标原点，点在椭圆C：，上，过左焦点和上顶点A的直线与椭圆相交于点A，B．记A，B的中点为M，有．过上顶点A的直线与椭圆相交于点C（C点异于B点）． (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的最大值， 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设，而点，则直线的方程为， 由消去并整理得，则点的横坐标为， 其纵坐标为，由，得，而，因此，， 椭圆C：，由点在椭圆C上，得， 所以椭圆C的方程为. （2）由（1）直线，点，， 设点，则点到直线距离 ，其中锐角由确定， 因此的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值是. 【变式9-1】已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．    (1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程； (2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，原点O到直线的距离为3，不符合题意； 当直线的斜率存在时，可设直线：， 由原点O到直线的距离为1可得：，解得， ∴直线的方程为或. （2）设直线：，，    如图可记，， 联立方程，得   ∴，， ∴，， ∴ ∵，都是锐角   ∴的定值． 即存在锐角，满足，． 【变式9-2】已知两点、，设圆O：与x轴交于A、B两点，且动点P满足：以线段为直径的圆与圆O相内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点． (1)求轨迹Γ的方程； (2)设线段的中点为Q，直线与直线相交于点R，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，设中点为，连接. 为的中位线，. 由以线段为直径的圆与圆O相内切可知，， ， 点轨迹为椭圆，、为焦点，，，， 轨迹的方程为. （2）设直线，，，， 联立， 可得，， 所以，即， 所以，. 当时，，即， ，又，，. 【变式9-3】已知椭圆的长轴长为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，过点不与轴重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设椭圆的方程为． 由题意得，解得，所以． 所以椭圆的方程为． （2）当直线垂直于轴，由直线过， 在椭圆方程中，令，解得， 不妨设，椭圆左顶点， 直线分别交直线于点和点，则分别与重合. 即，则以为直径的圆以为圆心，为半径， 该圆与轴交点为. 即以为直径的圆经过两点； 当直线的斜率存在时，设其方程为． 设，， 由 得． 所以，． 则直线的方程为. 令，得点．同理，点. 设以为直径的圆与轴交点为， ， 则 . 解得或. 故不论取何值，以为直径的圆经过轴上的两个定点； 综上所述，以为直径的圆经过轴上的定点. 一、单选题 1．已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为，则其离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为焦点在轴上的椭圆的短轴长为， 所以，则，又，所以， 所以离心率. 故选：D 2．已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意得， 设，又， 所以，解得， 即， 又由三点共线可知 当斜率不存在时，由对称性可知垂直于x轴， 所以，所以， 即，整理得，即； 当时， 所以，整理得， 所以. 故选：B. 3．已知椭圆的离心率为是椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意，得，所以. 设椭圆的左焦点为，则，在椭圆内部，且 ， 所以. 故选：A 4．已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意； 故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得， ， 有，，解得， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 5．如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于两点，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题意知：； ，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长， 由题意知斜率不为0，设，其与椭圆交于点和， 由得：，则， ，， ， 当时，取得最小值，的最小值为. 故选：C 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】B 【详解】由已知条件及椭圆的定义可得， 故，， 设，因为椭圆的离心率为，所以， 由余弦定理可得， 则，故的面积为，故， 则，故椭圆的焦距为. 故选：B． 二、多选题 7．已知，椭圆：，：的离心率分别为，.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】若，则，，则， 解得. 若，则，，则， 解得或（舍去）. 若，则，，，方程无解. 故选：AB. 8．已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 【答案】AD 【详解】对于A，椭圆中，，离心率为，A正确； 对于B，由对称性可得，所以，B错误； 对于C，设且，则， 故，所以C错误； 对于D，不妨设在第一象限，，则，得，则， 则，故，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 9．椭圆的长轴长是 ，短轴长是 ，离心率是 ；焦点坐标是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 4 ， ， ， ，． 【详解】化为标准方程，即，则. 则长轴，短轴，离心率，焦点，，顶点， ， ，． 故答案为：；4；； ，；， ， ，． 10．已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 【答案】 【详解】由椭圆的离心率为，可得，则， 所以椭圆的方程为，即， 由直线过椭圆的右焦点且斜率为，可得的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，则， 所以， 解得，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与交于两点.若的面积是面积的2倍，则的离心率为 . 【答案】 【详解】根据题意，作图如下： 设，则， 在△中，， 由余弦定理可得：， 即，解得； 在△中，，同理可得，故； 由题可知，，， 故，即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的方法诸多，选用焦半径的角度式从而解决焦半径比值问题，是常用的较为便捷的方式之一. 四、解答题 12．已知椭圆， (1)已知椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.求椭圆的方程； (2)已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，求椭圆的方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为， 解得， 由题意得， 解得， 所以椭圆的方程为. 13．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)直线的方程； (2)弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵直线过椭圆的右焦点，且斜率为2， ∴直线的方程为，即. （2）法一：联立 解得或， 不妨设，， ∴. 法二：联立，消去得，， 设点， 则，， ∴ 法三：联立，消去得，， 设点， 则由根与系数的关系得， 所以. 14．已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，设椭圆的短半轴长，令长半轴长为， 由离心率，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设其方程为，设， 由消去得，显然， ，， 则的面积，则有，解得， 所以直线的方程是. 15． 已知椭圆 与圆 在第一、第二象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由对称性知，， 因为，，所以△是边长为1的等边三角形， 因为位于第一象限，所以,， 代入椭圆的方程有， 代入圆的方程有， 联立解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：设，，则直线的斜率为，且，即， 因为，所以四边形是平行四边形，， 设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 所以， 因为， 所以， 整理得，即， 而点到直线的距离为， 所以四边形的面积，为定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2椭圆的简单几何性质 一、由标准方程研究几何性质 六、直线与圆的位置关系 二、由几何性质求标准方程 七、直线与椭圆的弦长问题 三、求椭圆的离心率 八、中点弦与点差法 四、求离心率的取值范围 九、椭圆的综合问题 五、点与圆的位置关系 知识点一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 重难点一 由标准方程研究几何性质 【例1】已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知椭圆的上顶点、右顶点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． (1)； (2)． 【变式1-2】椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【变式1-3】（多选）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（    ）    A．轨道Ⅱ的长轴长为 B．轨道Ⅱ的焦距为 C．若不变，越小，轨道Ⅱ的短轴长越大 D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越小 重难点二 由几何性质求标准方程 【例3】焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 . 【例4】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 【变式2-1】（多选）已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 . 【变式2-3】已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，的标准方程是 . 重难点三 求椭圆的离心率 【例5】已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例6】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【变式3-1】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为 【变式3-3】设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 . 重难点四 求离心率的取值范围 【例7】已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知椭圆，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，且椭圆上存在点使得，求椭圆的离心率的取值范围． 知识点二、直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 重难点五 点与圆的位置关系 【例9】设点是曲线上的点，又点，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例10】（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【变式5-1】已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 . 重难点六 直线与圆的位置关系 【例11】直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【例12】已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式6-1】若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【变式6-2】直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【变式6-3】已知椭圆过点和. (1)求的离心率； (2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 知识点三、弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 重难点七 直线与椭圆的弦长问题 【例13】已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 【例14】已知椭圆，一组平行直线的斜率是. (1)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上； (2)这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于两点，求. 【变式7-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【变式7-2】已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【变式7-3】已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 知识点四、中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知是椭圆上的两个不同的点，是线段的中点， 则由，得， 变形得，即 重难点八 中点弦与点差法 【例15】已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 【变式8-2】已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 重难点九、椭圆的综合问题 【例17】已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例18】已知O为坐标原点，点在椭圆C：，上，过左焦点和上顶点A的直线与椭圆相交于点A，B．记A，B的中点为M，有．过上顶点A的直线与椭圆相交于点C（C点异于B点）． (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的最大值， 【变式9-1】已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．    (1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程； (2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 【变式9-2】已知两点、，设圆O：与x轴交于A、B两点，且动点P满足：以线段为直径的圆与圆O相内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点． (1)求轨迹Γ的方程； (2)设线段的中点为Q，直线与直线相交于点R，求证：． 【变式9-3】已知椭圆的长轴长为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，过点不与轴重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 一、单选题 1．已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为，则其离心率为（     ） A． B． C． D． 2．已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的离心率为是椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 4．已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于两点，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．6 D．12 二、多选题 7．已知，椭圆：，：的离心率分别为，.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 8．已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 三、填空题 9．椭圆的长轴长是 ，短轴长是 ，离心率是 ；焦点坐标是 ，顶点坐标是 ． 10．已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与交于两点.若的面积是面积的2倍，则的离心率为 . 四、解答题 12．已知椭圆， (1)已知椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.求椭圆的方程； (2)已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，求椭圆的方程； 13．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)直线的方程； (2)弦长. 14．已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程. 15． 已知椭圆 与圆 在第一、第二象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$