精品解析：河北省保定市河北安国中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

河北安国中学高一下学期月考试题 时间120分钟，满分150分 （考试范围：三角函数、解三角形、平面向量、复数） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在△ABC中，若，，，则边上的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高. 【详解】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点与对应的点关于虚轴对称，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算可得，再求解即可. 【详解】解：由， 又复数对应的点与对应的点关于虚轴对称， 则， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数在复平面对应的点，属基础题. 3. 已知复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用表示以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内， 表示到点距离为1的所有复数对应的点， 即表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为， 最长距离为， 则的取值范围是. 故选：D. 4. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 11 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件结合向量垂直的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题， 因为，所以. 故选：B. 5. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得. 【详解】由题意可得，，则， 所以， 所以． 故选：D． 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解． 【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可. 【详解】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ， 解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得，故正确. 故选：. 8. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，证得是平行四边形，从而有，再得出，然后由向量的线性运算法则求解． 【详解】取中点，连接， 因为是平行四边形，是中点， 则且，所以是平行四边形， 所以， 又，则， ， 所以. 故选：C． 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角的余弦判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，若，则，又，则，C正确； 对于D，若，则，又，于是， 则向量在向量上的投影向量为，D错误. 故选：AC 10. 已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】求出角的关系判断A；利用正弦定理推理判断B；利用正弦函数的性质判断C；确定角的范围判断D. 【详解】对于A，由，得或，则或， 因此是等腰三角形或者是直角三角形，A错误； 对于B，在中，由正弦定理及，得，B正确； 对于C，由是锐角三角形，得，则， 因此，即，C正确； 对于D，由，得，中，， 则，即，于是， 即，，因此是钝角，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：三角形中的几何计算，熟悉应用相关公式是解题的关键. 11. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，其中，，，，且，，则 B. 若（）为纯虚数，则 C. 若关于的方程，，的一个虚根为，则 D. 若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另一个虚根为，利用韦达定理运算求解；对于D：可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误； 对于选项B：若（）为纯虚数， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为， 则另一个虚根为， 可得，所以，故C错误； 对于选项D：若，，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以. 故答案为： 13. 已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围. 【详解】因与夹角为钝角， 可以得出，解得：， 且不平行，则， 即且，即. 故答案为： 14. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及余弦定理、正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】在中，由，得，而， 由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆， 所以外接圆的面积是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得，进而得到，进而求解； （2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因， 在中，，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 即，所以， 又，即， 所以的周长为. 16. 已知，的夹角为，且，，设，. （1）若，求实数的取值； （2）时，求与的夹角； （3）是否存在实数，使得，若存在，求出实数. 【答案】（1）； （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由列式求得值； （2）分别求出、、的值，代入夹角公式求解即可； （3）利用共线向量定理列式求解即可. 【小问1详解】 解：，的夹角为，且，， . 由，得 ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知且，， 当时，， ， . 所以. 所以与的夹角为； 【小问3详解】 解：由，得， 即，解得 所以存在实数，使得. 17. 已知是非零向量，，且. （1）求在方向上的投影向量； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. 【小问2详解】 由（1）， 所以， 得到. 18. 已知向量，，函数 （1）求函数的解析式和单调递增区间; （2）若，，分别为三个内角，，的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由; （3）若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值. 【答案】（1），； （2）答案见解析 （3）的取值范围为，的值为. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算求得解析式，再利用正弦函数性质求出单调区间. （2）利用正弦定理分段讨论判断三角形解的数量. （3）利用诱导公式及二倍角的余弦公式变形方程，再借助正弦函数的性质求解即得. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 在中，，由，得， 则，解得， 假设三角形存在，由正弦定理，得， ①当时，，三角形无解； ②当时，，，三角形有唯一解； ③当时，，此时，有两个不同的值，三角形有两解. ④当时，，，三角形有唯一解， 所以当时，三角形无解；当或时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解. 【小问3详解】 由（1）知， 方程化为， 即，整理得， 即，则或， 又时，给定方程有三个不同的实根， 且当时，不妨记其解为，则， 因此在上有两个不同的实根为，， 由，得，则，解得， 由正弦函数图象性质知，关于对称，即，则， ， 所以的取值范围为，的值为. 19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： （1）对于方程在复数集内的根为，求的值； （2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； （3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中阅读材料按公式求得三个根之间的关系，再计算的值； （2）根据题意推广得到一元四次方程根与系数的关系； （3）由题有的三个实根为，设，右侧展开利用对应系数相等得，计算并结合即可求最大值． 【小问1详解】 由阅读材料可知：，且， 有：； 【小问2详解】 由材料可知：一元四次方程可改写为展开得： ， 故可得：. 【小问3详解】 由题有三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为, 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北安国中学高一下学期月考试题 时间120分钟，满分150分 （考试范围：三角函数、解三角形、平面向量、复数） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在△ABC中，若，，，则边上的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 在复平面内，复数对应的点与对应的点关于虚轴对称，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 11 D. 4 5. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 8 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 10. 已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则一定是锐角三角形 11. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，其中，，，，且，，则 B. 若（）为纯虚数，则 C. 若关于的方程，，的一个虚根为，则 D. 若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则______． 13. 已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是______． 14. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对边分别a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知，的夹角为，且，，设，. （1）若，求实数的取值； （2）时，求与的夹角； （3）是否存在实数，使得，若存在，求出实数. 17. 已知是非零向量，，且. （1）求在方向上的投影向量； （2）求. 18 已知向量，，函数 （1）求函数的解析式和单调递增区间; （2）若，，分别为三个内角，，的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由; （3）若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值. 19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： （1）对于方程在复数集内的根为，求的值； （2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； （3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$