训练04 圆与方程48道期中期末真题训练-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 训练04 圆与方程 一、单选题 1．（2023-24高二上·湖南常德·期中）若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（2023-24高二上·北京大兴·期中）圆关于点中心对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二上·海南·期末）圆与圆（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 5．（2023-24高二上·山西大同·期末）设圆，圆，则是两圆相切的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若平面内两定点，间的距离为2，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高二上·湖北武汉·期中）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（2023-24高二上·河南洛阳·期中）若是圆：的内接三角形，且，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2023-24高二下·云南昭通·期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 12．（2023-24高二上·天津武清·期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆 上，则r的取值范围是（    ） A．(2，+∞) B．[2，+∞) C．(2，8) D．[2，8] 13．（2023-24高二上·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24高二上·辽宁大连·期中）下列结论正确的是（ ） ①过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为； ②圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1； ③ 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ④已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 15．（2023-24高二上·浙江温州·期中）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2023-24高二上·浙江·期中）已知直线：，圆：，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径 B．直线与圆相交且平分圆的面积与周长 C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 D．若直线的倾斜角为，则 17．（2023-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（    ） A．两圆的圆心距 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和，使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 18．（2023-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（    ） A．圆关于直线对称的圆的方程为 B．直线被圆截得的弦长为 C．若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D．若点是圆上的动点，则的取值范围是 19．（2023-24高二上·广东广州·期中）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着个点到直线的距离为 20．（2023·浙江·一模）已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（    ） A．直线过定点 B．当时，线段长的最小值为 C．半径的取值范围是 D．当时，有最小值为 21．（2023-24高二上·江苏苏州·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有6条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过5 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 22．（2023-24高二上·河南郑州·期中）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于、两点，则的可能取值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 23．（2023-24高二下·广西南宁·期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 24．（2023-24高一下·重庆·期末）已知圆，圆心关于直线对称点为为圆上两点，且满足，点为坐标原点，则下列正确的是（  ） A． B．轴与圆相切 C．线段的中点轨迹为圆 D．的最大值为 三、填空题 25．（2023-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 . 26．（2024·江西九江·二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 27．（2023-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 28．（2023-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 29．（2023-24高三上·河北廊坊·期末）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则 . 30．（2023-24高二上·湖南·阶段练习）已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为 . 31．（2023-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 32．（2023-24高二下·江西抚州·期中）平面几何中有定理：若点为锐角的外心，直线，，分别与锐角外接圆交于另外一点，，，则．若锐角的外接圆方程为，且该圆与轴的交点分别为，，则六边形的面积的最大值为 ． 33．（2023-24高一下·河南三门峡·期中）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 ． 34．（2023-24高二上·山西朔州·期中）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 35．（2023-24高二上·广东河源·期中）在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围 . 36．（2023-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 37．（2023-24高二上·山东德州·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 38．（2023-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 四、解答题 39．（2023-24高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 40．（2023-24高二上·河北承德·阶段练习）已知点，，直线的方程为：． (1)求直线关于点对称的直线的方程； (2)求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 41．（2023-24高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 42．（2023-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 43．（2023-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 44．（2023-24高二上·浙江金华·期中）已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 45．（2023-24高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 46．（2023-24高二上·浙江杭州·期中）如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线为切点，且． (1)求的最小值； (2)以P为圆心作圆，若圆P与圆O有公共点，求半径最小的圆P的方程． 47．（2023-24高二上·河南·期末）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 48．（2023-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆， (1)已知直线，设与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，点为曲线上一点，点为直线上一点，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 训练04 圆与方程 一、单选题 1．（2023-24高二上·湖南常德·期中）若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为l经过第二、三、四象限，所以，， 所以，故位于第二象限. 故选：B 2．（2023-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】圆 ，即， 则圆心，半径，由点， 则， 即点在圆外，则. 故选：C. 3．（2023-24高二上·北京大兴·期中）圆关于点中心对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆，圆心，半径为， 设关于对称的对称点为， 则，解得，则， 故所求圆的方程为. 故选：B. 4．（2023-24高二上·海南·期末）圆与圆（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径； 圆即的圆心，半径； 则，则， 故两圆相交. 故选：B. 5．（2023-24高二上·山西大同·期末）设圆，圆，则是两圆相切的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题可得圆的圆心坐标为，半径为2， 圆的圆心坐标为，半径为， 故圆心距， 因为两圆相切可分为外切和内切， 当两圆外切时，圆心距，解得； 当两圆内切时，圆心距，解得，或（舍去）， 所以是两圆相切的充分不必要条件. 故选：B． 6．（2023-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 则由平行线间的距离公式得，得 故选：B. 7．（2023-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若平面内两定点，间的距离为2，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，设， 由，得，即， 所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 又， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：D. 8．（2023-24高二上·湖北武汉·期中）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为3， 圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为， 则 ，解得：， 故圆B的圆心为，半径为1， 由于此时圆心A与圆心B的距离为：， 大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为 故选：D. 9．（2023-24高二上·河南洛阳·期中）若是圆：的内接三角形，且，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意,, ，，， 线段的中点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆， 线段的中点的轨迹方程是：. 故选：D. 10．（2023-24高二下·云南昭通·期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，根据题意，可得圆的圆心为，半径. 若圆的切线关于直线对称，则， 结合直线的斜率， 可知直线的方程为， 由，解得， 所以， ， 由对称性可知， 故， 故选：B. 11．（2023-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 整理得， 联立消去二次项得公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为1， 所以公共弦长为. 故选：A 12．（2023-24高二上·天津武清·期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆 上，则r的取值范围是（    ） A．(2，+∞) B．[2，+∞) C．(2，8) D．[2，8] 【答案】D 【详解】圆心坐标， 设关于直线的对称点为， 由，可得， 所以圆关于直线对称圆的方程为， 则条件等价为：与有交点即可， 两圆圆心为，，半径分别为，3， 则圆心距， 则有， 由得，由得， 综上：， 所以r的取值范围是， 故选：D. 13．（2023-24高二上·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆心为，半径为，则原点到的距离， 要使总存在两个点到原点的距离为2， 若原点在圆外，则； 若原点在圆上，即，满足； 若原点在圆内，则； 综上，圆C半径r的取值范围是. 故选：C 14．（2023-24高二上·辽宁大连·期中）下列结论正确的是（ ） ①过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为； ②圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1； ③ 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ④已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【详解】对①，当截距为零时，易得直线l为，①错； 对②，圆的圆心为，半径，则圆心到l的距离为， 故圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，②对； 对③，对于选项C：由题知直线过定点， 曲线表示以为圆心，为半径的圆在直线及上方的半圆， 如图，直线为过点，与半圆相切的切线，切点为，    所以，要使直线与曲线有两个不同的交点，则， 所以，当直线与半圆相切时，有，解得，即 因为， 所以实数的取值范围是，③对； 对④，直线，过定点，则， 直线和以，为端点的线段相交，则或，④错；    故选：B 15．（2023-24高二上·浙江温州·期中）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆，可得， 所以圆的圆心为，半径为， 因为，且是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为, 可其圆心为，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包含圆， 又由圆心到直线的距离为， 所以的长度的最小值为. 故选：C.    二、多选题 16．（2023-24高二上·浙江·期中）已知直线：，圆：，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径 B．直线与圆相交且平分圆的面积与周长 C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】BD 【详解】 ，直线过定点. A：由可知，圆的圆心为，半径为，所以本选项不正确； B：因为直线过定点恰好是圆的圆心， 所以直线与圆相交且平分圆的面积与周长，因此本选项正确； C：当时， 直线的方程为，直线在两坐标轴上的截距都是零，显然相等，所以本选项不正确； D：因为直线的倾斜角为， 所以，因此本选项正确， 故选：BD 17．（2023-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（    ） A．两圆的圆心距 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和，使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】AD 【详解】对于，因为圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标， 因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确； 对于，将两圆方程作差可得， 即得公共弦的方程为，故B错误； 对于，由B选项可知，直线的方程为，由于满足上， 故直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径， 故圆中不存在比长的弦，故C错误； 对于，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确， 故选：AD. 18．（2023-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（    ） A．圆关于直线对称的圆的方程为 B．直线被圆截得的弦长为 C．若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D．若点是圆上的动点，则的取值范围是 【答案】AC 【详解】圆：，化成标准方程为， 圆心坐标为，半径为. 圆关于直线对称的圆，圆心坐标为，半径为， 圆的方程为，A选项正确； 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为，B选项错误； 若圆上有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离小于， 即，解得，即的取值范围是，C选项正确； 若点是圆上的动点，满足，则， 由圆心坐标和半径可知，，则， 所以的取值范围是，D选项错误. 故选：AC 19．（2023-24高二上·广东广州·期中）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着个点到直线的距离为 【答案】ABD 【详解】 A选项：圆，即，，由圆心为，得，解得，，A选项正确； 圆的方程为，圆心，半径， B选项：由直线，即恒过点，且，所以点在圆内，所以，直线与圆一定相交，B选项正确； C选项：由已知当直线与垂直时，弦长最小，，所以，，即，此时，所以弦长为，C选项错误； D选项：当时，，此时，所以圆上存在着个点到直线的距离为，D选项正确； 故选：ABD. 20．（2023·浙江·一模）已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（    ） A．直线过定点 B．当时，线段长的最小值为 C．半径的取值范围是 D．当时，有最小值为 【答案】ABD 【详解】由直线，可化为， 由方程组，解得，即直线过定点，所以A正确； 当时，圆的方程为，可得圆心， 则，可得线段长的最小值为，所以B正确； 因为直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部， 所以，解得，所以C不正确； 当时，圆的方程为， 则， 当直线过圆心，此时，可得的最小值， 所以有最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 21．（2023-24高二上·江苏苏州·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有6条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过5 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】BD 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A错误； 对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确； 对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误； 对于D：到直线的距离， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确； 故选：BD 22．（2023-24高二上·河南郑州·期中）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于、两点，则的可能取值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】BCD 【详解】如图所示：中点为，连接，，故，，， 故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为， ，，即， 则. 故选：BCD 23．（2023-24高二下·广西南宁·期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，若圆关于直线对称，则圆心在直线上， 将代入方程解得，故正确. 对于，直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短， 此时，圆心到直线的距离为 弦长为，故错误. 对于，设，，，， 由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确. 对于，因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确.    故选：ACD 24．（2023-24高一下·重庆·期末）已知圆，圆心关于直线对称点为为圆上两点，且满足，点为坐标原点，则下列正确的是（  ） A． B．轴与圆相切 C．线段的中点轨迹为圆 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】，则， 圆心关于直线对称点为，则可得线段中垂线为，得 解得，故A正确； 由A知道，且，显然到轴距离为1,小于2，故与轴与圆相交，故B错误； 设，中点设为（∗）， 则，，两式相加得到， ，移项并把（∗）式代入得到， （∗∗）． ，根据平行四边形定则，，两边平方得， ，即， 由两点间的距离公式得，， 即， 即， 即，由（∗）（∗∗）式代入知道， ，化简得到， ，即，配方． 因此线段的中点轨迹为圆心为，半径为的圆．故C正确． ，则， 即（∗∗∗），则要使得最大，则最大即可． 由题可知,的轨迹为圆:，可画图辅助分析． 当最大时，位置如图所示，． 代入（∗∗∗）式，，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 25．（2023-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 . 【答案】 【详解】由题可知的圆心坐标为， 因为点在圆上， 所以圆的半径. 故答案为： 26．（2024·江西九江·二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 【答案】/ 【详解】依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为. 故答案为： 27．（2023-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】 由题知，圆心，半径， 圆心到直线的距离. 因为为直角三角形，且， 所以， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 28．（2023-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】（或写为） 【详解】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为， 由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则，故. 即直线的倾斜角为（或）. 故答案为：（或写为）. 29．（2023-24高三上·河北廊坊·期末）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则 . 【答案】 【详解】圆可化为，其圆心为， 由题意知直线过圆心，则，所以， 因为直线与直线垂直，所以，则， 所以； 故答案为：. 30．（2023-24高二上·湖南·阶段练习）已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】由圆和圆， 两圆的方程相减，可得， 即圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 故答案为：. 31．（2023-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【答案】 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 32．（2023-24高二下·江西抚州·期中）平面几何中有定理：若点为锐角的外心，直线，，分别与锐角外接圆交于另外一点，，，则．若锐角的外接圆方程为，且该圆与轴的交点分别为，，则六边形的面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由得六边形的面积， 由题意，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 则圆心到轴的距离，故相交弦长， 则点到直线距离的最大值为， 所以的最大值为， 所以六边形的面积的最大值为． 故答案为：． 33．（2023-24高一下·河南三门峡·期中）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图以、所在直线分别为、轴，建立平面直角坐标系， 设点，易知以为直径的左半圆的方程为：， 以为直径的右半圆的方程为：， 点的横坐标的取值范围是， 又，， ． 故答案为： 34．（2023-24高二上·山西朔州·期中）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 由过作圆的两条切线，切点分别为，，得，垂直平分， 因此，即有 设，则，显然当最小时，的值最大， 此时最小，又的最小值为点到直线的距离，即，， 所以的最小值为． 故答案为： 35．（2023-24高二上·广东河源·期中）在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】 曲线，即（）， 图形为以为圆心，半径为2的半圆（轴右侧）， 当直线过点时，曲线与直线有且只有一个公共点， 可得，解得，直线向下平移， 当直线过点时，可得，解得，此时曲线与直线有两个交点不符合题意， 当直线与半圆相切时，曲线与直线有且只有一个公共点，此时由圆心到直线的距离等于半径得 ，解得或（舍）， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 36．（2023-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】 【详解】由直线与直线，得 所以两直线垂直， 又因为直线恒过，直线恒过， 所以点的轨迹为以点和点为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以， 圆心到直线的距离， 到直线距离的最小值为. 故答案为： 37．（2023-24高二上·山东德州·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 【答案】 / / 【详解】由，， 可得，即， 所以，解得， 所以点， 又，， 则， 所以当时，取最小值为， 经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意. 故答案为：，. 38．（2023-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 【答案】 /4.8 【详解】 根据题意，圆：，圆心，半径为3， 圆，圆心，半径为4， 则，，，易知， 根据等面积法可得； 联立两个圆方程，得， 在第二象限，可得，易知直线的斜率存在， 设直线的方程是，即， 因为， 所以， 解得：. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题的第一空关键是通过数形结合发现，从而即可利用等面积法求解，第二问的关键是先求出的坐标，然后设出直线的方程，利用弦长公式即可求解. 四、解答题 39．（2023-24高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1)半径为2，圆心坐标为 (2) 【详解】（1）圆可化为，则圆心为，半径为2； （2）设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为 40．（2023-24高二上·河北承德·阶段练习）已知点，，直线的方程为：． (1)求直线关于点对称的直线的方程； (2)求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则， 因为，所以， 整理得，即直线的方程． （2）解：设圆心， 由，则，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． 41．（2023-24高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设，，因为点与点关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点的坐标 （2）设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆由公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 42．（2023-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； （2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 43．（2023-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； （2）联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 44．（2023-24高二上·浙江金华·期中）已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）方法一：过点且斜率不存在的直线为， 圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相切，故满足题意； 当过点且斜率存在的直线为， 若直线与圆相切， 则，解得，此时满足题意的直线为， 综上所述，所求切线的方程为或. 方法二：所求切线经过点，设其方程为. 则该直线到点的距离为，即. 所以，此即，得. 故或，从而所求切线的方程为或. （2）方法一：如图所示： 设点关于直线的对称点，显然， 则，解得，所以的坐标为， 设与直线交于点， 则，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为. 方法二：设，则，从而. 故 . 从而 . 当，时，有，. 所以的最小值是. 45．（2023-24高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则，解得， 圆的一般方程为， 即标准方程为. （2）设，则圆的圆心到直线的距离， 解得，的最大值为. 46．（2023-24高二上·浙江杭州·期中）如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线为切点，且． (1)求的最小值； (2)以P为圆心作圆，若圆P与圆O有公共点，求半径最小的圆P的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 因为为圆的切线，所以， 在中，，又， 所以，即，整理得， 因为，即，故， 所以，则， 所以的最小值为. （2）由（1）知，当以为圆心的圆在垂直，且与圆外切时半径最小， 此时方程为，联立，解得，所以， 半径为， 所以圆的方程为. 47．（2023-24高二上·河南·期末）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意可知圆的圆心为，半径. 因为，所以，从而， 即，两边平方整理得， 又因为，所以. （2）由（1）知圆，点在圆上， 又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心， 显然直线的斜率不为0，设其方程为， 点到直线的距离为. 根据三角形的面积公式可得. 所以，解得， 所以直线的方程为或. 48．（2023-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆， (1)已知直线，设与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，点为曲线上一点，点为直线上一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 直线过定点， 则可知弦中点应在以为直径的圆上， 的中点为，，设， 则点的轨迹方程为， 由于直线不能表示直线， 则点的轨迹方程应为． （2）记点为点，则点到直线的距离为， 可知. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$