精品解析：河南省信阳市平桥区2024-2025学年九年级上册第一次月考数学试卷

2024-2025学年度上学期九年级调研测试 数学试题 本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，15 B. ，15 C. 6， D. ， 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（ ）． A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ） A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 8. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( ) A. B. C. D. 9. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图像上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式：______． 12. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 _________． 13. 已知二次函数，当自变量分别取，，2时，所对应的函数值分别为，则的大小关系为___________（用“>”或“<”连接）． 14. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___． 15. 若抛物线中，无论m取何值都通过定点，则这个定点的坐标为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知，，是的三边长，是整数且满足，求的值． 18. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值． 19. 拋物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）根据上表画出函数图像，并填空： ①对称轴是直线______，当______时，y随x增大而增大； ②拋物线经过点； ③当时，y的取值范围是______． （2）求抛物线的解析式． （3）若抛物线与x轴的交点记为A，B，该图象在x轴上方存在点C，且的面积为24，则C的坐标为______． 20. 如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度． 21. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行．在某场比赛中，球员甲在离对方球门23米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离对方球门11米时，足球达到最大高度6米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求满足条件的抛物线的函数表达式； （2）如果对方球员乙站在球员甲前3米处，乙球员跳起后最高能达到2.88米，请通过计算说明：乙球员能否在空中截住这次吊射？ 22. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数解析式； （2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 23. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______； （2）若，求______； （3）参照上面解题的思想方法解方程：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期九年级调研测试 数学试题 本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据：“只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，15 B. ，15 C. 6， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：方程的一次项系数和常数项分别是，． 故选D． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先变形得到x2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x2=9， x=±3， 所以x1=3，x2=-3． 故选：C． 【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 4. 已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 5. 如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴； 故选A． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 7. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ） A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解； 【详解】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线， 故选择：D 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键． 8. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，， 故选：B． 9. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解． 【详解】解：如图2， 先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为： 39+（）2×4＝39+25＝64， ∴该方程的正数解为 ﹣×2＝3． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程﹒ 10. 如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图像上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入，确定，，利用正方形的对角线相等计算选择即可． 【详解】∵正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图像上，点B的纵坐标是横坐标的2倍， ∴ 设，代入， 得， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，正方形的性质，熟练掌握抛物线的性质，正方形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为2即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 12. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论一元一次方程、一元二次方程有实数根时，所需满足条件的取值范围即可． 【详解】解：当 时，原方程可化为： ，该方程有解； 符合题意 当时，由题意可得： ， 解得： 综上可得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次方程与一元二次方程的定义；题中并没有确定该方程的种类，对此类问题进行分类讨论，避免漏解是解决问题的关键． 13. 已知二次函数，当自变量分别取，，2时，所对应的函数值分别为，则的大小关系为___________（用“>”或“<”连接）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出的值，结合，即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键． 15. 若抛物线中，无论m取何值都通过定点，则这个定点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断． 把含m的项合并，只有当m的系数为0时，不管m取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标． 【详解】解：∵ ∴ ∴当时，；且与m的取值无关； 故不管m取何值时都通过定点． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：将原方程变形为： ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 已知，，是的三边长，是整数且满足，求的值． 【答案】5或6或7 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，因式分解的应用，非负数的性质，利用完全平方公式把已知条件式变形为，则由非负数的性质可得，再由三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，是的三边长， ∴， ∴，即， ∵是整数， ∴的值为5或6或7． 18. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 方程有两个不相等的实数根； （2）12或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，勾股定理，公式法解一元二次方程． （1）先计算出，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为，，然后分类讨论，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：一元二次方程的解为，即，， ， 不可能是斜边长度， 当是斜边长度时，，解得， 当5是斜边长度时，， 解得或（舍弃负数值）， 综合上述，的值为12或3． 19. 拋物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）根据上表画出函数图像，并填空： ①对称轴是直线______，当______时，y随x增大而增大； ②拋物线经过点； ③当时，y的取值范围是______． （2）求抛物线的解析式． （3）若抛物线与x轴的交点记为A，B，该图象在x轴上方存在点C，且的面积为24，则C的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示， ①，；②；③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用描点法作出二次函数图象，再根据二次函数图象求解即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）由图象可得、，求得，利用三角形面积公式可得，求得，再把代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，①对称轴为，当时，y随x增大而增大； ②和关于对称轴对称， ∴抛物线经过点； ③当时，y的取值范围是， 故答案为：①，；②；③； 【小问2详解】 解：由图可得，抛物线对称轴为，顶点为， 设抛物线解析式为， ∵二次函数图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问3详解】 解：由图可得，抛物线与x轴的交点为、， ∴， ∵图象在x轴上方存在点C，且的面积为24， ∴， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴或． 20. 如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度． 【答案】小道进出口的宽度应为1米． 【解析】 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得． 整理，得． 解得，， ∵（不合题意，舍去）， ∴． 答：小道进出口的宽度应为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 21. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行．在某场比赛中，球员甲在离对方球门23米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离对方球门11米时，足球达到最大高度6米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求满足条件的抛物线的函数表达式； （2）如果对方球员乙站在球员甲前3米处，乙球员跳起后最高能达到2.88米，请通过计算说明：乙球员能否在空中截住这次吊射？ 【答案】（1） （2） 解：乙球员能在空中截住这次吊射， 理由如下： 当时，， 乙球员能在空中截住这次吊射． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 球员甲在离对方球门23米处的点起脚吊射， 球门的坐标为， 在离对方球门11米时，足球达到最大高度6米 ，即的横坐标为， 抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 22. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数解析式； （2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）40元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据“利润=销售单价减去成本价后再乘以销售量”即可得； （2）根据二次函数的值为200即可求得，并舍去不合题意的解. 【小问1详解】 解：， 与之间的函数解析式（）； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ， ∴不符合题意，舍去， 即该地摊销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 23. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______； （2）若，求______； （3）参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】（1） （2）4 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． （1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，原方程可变为：，解关于t的方程得出，，即可得出的值； （3）设，原方程变形为：，求出，即可得出，然后解关于x的分式方程即可得出x的值． 【小问1详解】 解：设，原方程可变形为：； 【小问2详解】 解：设，则原方程可变为：， 解得：，， ∴或（舍去）． 【小问3详解】 解：设，则， 原方程变形为：， 解得：， ∴， 去分母得： 解得：，， 经检验，和是上述分式方程的根， ∴原方程的解为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $