2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义课件专题15 全等的基本模型及应用

专题15 全等的基本模型及应用 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 常见的全等基本模型有： 【1】轴对称型全等（如图1）：此模型的特征是所给的图形可以沿某一直线折叠，折叠后的两个三角形完全重合，解题时要注意公共边或公共角等隐藏条件的应用. 知识梳理 【2】平移型全等（如图2）：此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两边分别平行，常利用平行线的性质确定对应角相等. 【3】旋转（手拉手）型全等（如图3）：此模型是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度构成，运用角的和差关系进行等角转化从而得到证明全等的条件. 【4】一线三等角型全等（如图4）：此模型的特征是有三个等角在同一条直线上，关键在于将三个等角进行转化得到证明全等的对应角相等.实际上是旋转型全等的变式. 重点突破 知识点一：轴对称与平移全等模型 【例1】如图， ，垂足分别为 ， 连结 与 交于点 重点突破 （1）求证： 思路点拨 根据 证明 ，利用全等三角形的性 质解答即可 [答案] 解题过程 在 和 中， 重点突破 （2）求证： 思路点拨 根据 证明 ，进而得出 ， 利用 证明 后解答即可 [答案] 解题过程 在 和 中， ，即 在 和 中， 重点突破 （3）连结 ，则图中共有___对全等三角形. 5 思路点拨 根据全等三角形的判定结合图形的轴对称性解答即可. [解析] 解题过程 由 可得 ， 由 可得 ， 全等三角形有 故答案为5. 重点突破 【跟踪训练1】如图， 为线段 上两点， ，连结 并延长至 点 ，连结 并延长至点 交于点 求证： 是等腰三角形. 重点突破 [答案] 在 和 中， 是等腰三角形. 重点突破 知识点二：旋转全等模型 【例2】如图， 和 都为等腰直角三角形， 的 顶点 在 的斜边 上，连结 重点突破 （1）求证： 思路点拨 证明 即可解决问题 [答案] 解题过程 ， ，即 在 和 中， 重点突破 （2）试探究线段 三条线段间的数量关系，并证明你的结论. 思路点拨 根据三角形全等和勾股定理即可解答. 重点突破 [答案] 解题过程 证明如下： 是直 角三角形. 在 中， ， 重点突破 【跟踪训练2】如图，正方形 的对角线相交于 点 又是正方形 的一个顶点，且这两 个正方形的边长相等 与 分别交 于点 重点突破 （1）求证： [答案] 四边形 是正方形， 易得 ， 在 和 中， 重点突破 （2）若 ，请直接写出四边形 的面积： _ ____________（用含 的式子表示）. <m></m> [解析] 四边形 的面积 四边形 的面积 故答案为 重点突破 （3）若 ，求 的长. [答案] 连结 ， ， ，解得 （负值已舍）. 重点突破 【例3】（1）如图1，在四边形 中， 分别是边 上的点，且 请直接写出线段 <m></m> 之间的数量关系：_ __________________. 重点突破 思路点拨 延长 到点 使 ，连结 ，即可证明 ，可得 ，再证明 ，可得 ，即可解题。 图3 [解析] 解题过程 如图3，延长 到点 ，使 ，连结 在 和 中， 重点突破 又 故答案为 重点突破 （2）如图2，在四边形 中， 分别 是边 上的点，且 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 思路点拨 同(1)可得 重点突破 图4 [答案] 解题过程（1）中的结论 仍然成立.证明如下： 如图4，延长 到点 ，使 ， 连结 在 和 中， 重点突破 同（1）理可得 又 重点突破 （3）在四边形 中， 分别是边 所在直线上的点，且 请直接写出线段 之间的数量关系：____________________________________ ______________. <m></m> 或 <m></m> 或 <m></m> 思路点拨 分三种情况:点 ， 分别在线段 ， 上:点 ， 分别 在线段 ， 的延长线上;点 ， 分别在线段 ， 的延长线上. 重点突破 [解析] 解题过程如图4，当点 分别在线 段 上时， 如图5，当点 分别在 的延长 线上时，在 上截取 ，使 ， 连结 在 和 中， 重点突破 又 重点突破 如图6，当点 分别在 的延长线上时，在 上截取 ， 使 ，连结 同理可得 故答案为 或 或 课后练习 A组 基础巩固 1.如图，在 和 中，点 分别在线段 上， 与 相交于点 ，请添加一 个条件，使 ，这个添加的条件不可以是 ( ) C A. B. C. D. 课后练习 2.如图， ，点 在线段 上， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 3.如图，在 中， 分别为边 上的点， 若 ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 课后练习 4.如图， 的延长线交 于点 ，则 _ __ __. <m></m> 5.如图，直线 上有三个正方形 ，若 的 面积分别为1和16，则 的面积为____. 17 课后练习 6.如图，在四边形 中， 是 的中 点， ，则 _ _______. <m></m> [解析] 如图，延长 交于点 ， 课后练习 为 的中点， 在 和 中， 课后练习 故答案为 课后练习 7.我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图， 四边形 是一个“筝形”，其中 （1）求证： [答案] 在 和 中， 课后练习 （2）设对角线 相交于点 ，垂足分别是 请直接写出图中的所有全等三角形. [答案] 图中的所有全等三角形有： 课后练习 8.如图，在 和 中， ，且点 在同一直线上，点 在 同侧，连结 交于点 课后练习 （1）求证： [答案] ，即 在 和 中， 课后练习 （2）若 ，求 的度数. [答案] 课后练习 B组 能力提升 9.如图， 是边长为3的等边三角形， 是等 腰三角形，且 ，以 为顶点作一个 角， 使其两边分别交 于点 ，交 于点 ，连结 ， 则 的周长为 ( ) B A.5 B.6 C.7 D.8 课后练习 [解析] 是等腰三角形，且 ， 是边长为3的等边三角形， 如图，延长 至点 ，使 ，连结 课后练习 在 和 中， 课后练习 在 和 中， 的周长为 故选 课后练习 10.如图，在同一平面内，直线 同侧有三个正方 形①，②，③，若正方形①，③的面积分别为16 和9，则涂色部分的总面积为____. 12 [解析] 如图，作 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 课后练习 四边形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16，9， ， 课后练习 同理可得 ， 涂色部分的总面积为12.故答案为12. 课后练习 11.如图， 和 是等边三角形，点 分别在 上，且 与 交 于点 ，连结 求证： （1） 课后练习 [答案] 和 是等边三角形， 在 和 中， 课后练习 （2） 平分 [答案] 如图，过点 作 于点 交 的延长线于 点 课后练习 和 是等边三角形， ， ， 课后练习 在 和 中， 又 ， 点 在 的平分线上，即 平分 课后练习 12.如图，在 中， 于点 是 的 中点，连结 （1）若 ，求 的长. [答案] 在 中， ， 由勾股定理得 ，即 ，解得 课后练习 （2）求证： [答案] 是 的中点， 课后练习 C组 思维拓展 13.如图，在 中，过点 分别作直线 ，且 ， 过点 作直线 交直线 于点 ，交直线 于点 ，设 课后练习 （1）如图1，若 分别平分 和 ，求 的度数. [答案] 平分 ， 同理可得 课后练习 （2）在（1）的条件下，若 ，求 的长. 图1 [答案] 如图1，在 上取一点 ，使 ， 连结 在 和 中， 课后练习 又 ， 课后练习 （3）如图2，若 ，且 ，求 的长.（用 含 的式子表示） 图2 [答案] 如图2，在 上截取 ，连结 ， 为等边三角形. ， 课后练习 为等边三角形. ， $$