第1章《专题5 全等三角形的性质与应用》 冲刺重高专题培优课件 2024--2025学年浙教版数学八年级上册

专题5 全等三角形的性质与应用 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【2】全等三角形的对应边上的高线、中线以及对应角的平分线相等. 【3】全等三角形的周长相等，面积相等。 知识梳理 【4】全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边. 【5】平移、翻折、旋转前后的图形全等，熟悉全等基本模型并能用变换的眼光找到全等三角形. 知识梳理 【6】在应用三角形全等的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.常见的辅助线作法： ①把三角形一边的中线延长，把分散的条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的常用方法. ②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”.这些问题经常需要用到全等三角形来证明. 【7】利用全等三角形解决实际问题一般是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键. 重点突破 知识点一：全等三角形在生活实际中的应用 【例1】小明利用一根长 的竿子 来测量垂直于地 面的路灯杆 的高度，方法如下：如图，在地面上 选一点 ，使 ，并测得 ，然 后把 在 的延长线上左右移动，使竿子 垂直 于地面，且 ，此时测得 重点突破 （1）此时 的度数为_ ____. <m></m> 思路点拨根据角之间的数量关系即可求得答案. [解析] 解题过程 故答案为 重点突破 （2）路灯杆 的高度为____ 8.2 思路点拨根据题意可得 ，进而利用 求出即可. [解析] 解题过程在 和 中， ，即 故答案为8.2. 重点突破 【跟踪训练1】如图， 两点分别位于一个池塘的两端， 小明通过构造 与 来测量点 间的距离， 其中 ，那么量出的 的长度 就是 的距离.请你判断小明这个方法正确与否，并给 出相应理由. [答案] 正确.理由如下： 在 和 中， 重点突破 知识点二：利用全等三角形的性质解决几何问题 【例2】如图， 分别是 的边 上的高 线，且 求证： 重点突破 （1） 思路点拨 首先证明 ，再加上条件 ， 可以证明 ，进而得到 . [答案] 解题过程 是 的高线， 在 和 中， 重点突破 （2） 思路点拨根据 可得 再证明 可得 ，即 ，即可 证出 . [答案] 解题过程 ，即 方法提炼 本题考查全等三角形的判定与性质，关键是证明 ，根据三角形全等可证明角和边的相等关系. 重点突破 【跟踪训练2】已知 和 中， 与 交于点 重点突破 （1）如图1，当 时，求证： [答案] ， 即 在 和 中， ， ，即 重点突破 （2）如图2，当 时，直接写出 的度数为_ ____. <m></m> [解析] 同（1）理可证 ， ，即 故答案为 重点突破 （3）如图3，直接写出 的度数为_ _________（用含 的式子表示）. <m></m> [解析] 同（1）理可证 ， ，即 故 答案为 重点突破 【例3】如图， 的角平分线 相交于点 ，设 重点突破 （1）当 时，求 的度数. 思路点拨根据 ，即可解决问题. [答案] 解题过程 是 的角平分线， 当 时， ，即 重点突破 （2）求 的度数.（用含 的代数式表示） 思路点拨利用(1)中的结论 ，即可解决问题. [答案] 解题过程 由（1）得 重点突破 （3）当 时，求证： 思路点拨在线段 上截取 ，使得 ，利用全等三角形的性 质，证明 ，进而可以解决问题. [答案] 解题过程 如图，在线段 上截取 ，使得 ，连结 重点突破 当 时， 在 和 中， 重点突破 在 和 中， 课后练习 A组 基础巩固 1.如图，要测量池塘两岸相对的两点 的距离， 小明在池塘外取 的垂线 上的点 ，使 ，再画出 的垂线 ，使点 与点 C A. B. C. D. 在一条直线上，这时测得 ，则 的长 为 ( ) 课后练习 2.如图，小雨同学为了测量一幢楼的高 ，在 旗杆 与楼之间选定一点 ，测得 与地面夹 角 ，测得 与地面夹角 ，量得点 到楼底的距离 与旗杆 B A. B. C. D. 的高度都是 ，量得旗杆与楼之间的距离 ，则楼高 为 ( ) 课后练习 3.如图， ，点 在线段 上， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 4.如图，在 中， ，则 的度数 为( ) B A. B. C. D. 课后练习 5.“三月三，放风筝”，如图所示为小明制作的风筝的示意图， 他根据 ，不用测量，就知道 ，小明是通过全等三角形的知识得到的结论， 则小明判定三角形全等的依据是_ ____（用字母表示）. <m></m> 6.如图， ，过点 作 于点 ， 若 ，则 的度数为_ ____. <m></m> 课后练习 7.如图，在正方形网格中，若 ，则点 可能是图中点 中的点_ __. <m></m> 课后练习 8.如图，在 中， 是 上一点， 交 于点 若 ，则图中 涂色部分的面积为____. 30 课后练习 9.如图， 为码头， 两个灯塔与码头的距离相 等， 为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿 的平分线航行，在航行途中的某时刻测得船所 在的位置 与灯塔 的距离相等，此时轮船有没有 偏离航线？请说明理由. 课后练习 [答案] 此时轮船没有偏离航线.理由如下： 连结 在 和 中， 此时轮船没有偏离航线. 课后练习 10.如图， ，点 在边 上， 与 交于点 ，已知 （1）求 的度数. [答案] ，即 ，即 的度数为 课后练习 （2）求 与 的周长和. [答案] ， 与 的周长和为 课后练习 11.如图，在 与 中， 交 于点 ， 连结 下列结论：① ；② ； ③ ；④ 其中正确的是 ( ) C A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ B组 能力提升 课后练习 12.如图， ，若 ，则 的度数为_ ____. <m></m> [解析] ， 故答案为 课后练习 13.如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 为 上一点，连结 ，连结 有下列结论：① ； ② ；③若 ，则 ；④ 其中正确的是________.（填序号） ②③④ 课后练习 [解析] 如图，延长 至点 ，使 ，连结 ，设 与 交于点 垂直平分 课后练习 在 和 中， 故②正确. 平分 课后练习 当 时， ，则 ；当 时， ，则无法说明 故①不正确. 设 ，则 ， 故③正 确 故④正确.故答案为②③④. 课后练习 14.如图所示为某小区内小朋友荡秋千的侧面 示意图，静止时秋千位于铅垂线 上，转轴 中心 到地面的距离 在荡秋千过程 中，当秋千摆动到最高点 时，测得点 到 的距离 ，点 到地面的距离 ；当从 处摆动到 处时，有 求： 课后练习 （1）点 到 的距离. [答案] 如图，过点 作 ，垂足为 在 中， ， 课后练习 又 在 和 中， 且 ，即点 到 的距离是 课后练习 （2）点 到地面的距离. [答案] 由（1）知 如图，过点 作 ，垂足为 ，即点 到地面的距离是 课后练习 15.如图，在 中， 是 的中点，过点 的直线 交 于点 ，交 的平行线 于 点 ，交 于点 （1）求证： [答案] 是 的中点， 在 和 中， 课后练习 （2）判断 与 的大小关系，并证明你的结论. [答案] ＞ 理由如下： 连结 又 垂直平分 又 中， ＞ ＞ 课后练习 16.把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形 ，其中 ，以点 为顶点作 ，分别交边 于点 C组 思维拓展 课后练习 （1）如图1，若 ，当 绕点 旋转 时， 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论. 课后练习 [答案] 证明如下： 如图1，延长 到点 ，使 ，连结 在 和 中， 课后练习 ，即 在 和 中， 课后练习 （2）如图2，当 时， 三条线段之间 有何数量关系？证明你的结论. [答案] 证明如下： 如图2，延长 到点 ，使 ，连结 同（1）理得 ， ， 课后练习 在 和 中， ， 课后练习 （3）如图3，在（2）的条件下，若将 分别改在 的延长线上，完成图3，其余条件不变，则 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）？ 课后练习 [答案] 如图3，在 上截取 ，连结 同（1）（2）理得 ， $$