19.2.1正比例函数教案2023-2024学年人教版数学八年级下册

19.2.1正比例函数（第1课时） 教材分析 一次函数是最基本的初等函数，是初中函数学习的重要内容，正比例函数是特殊的一次函数，也是初中学生接触到的第一种函数，要通过对正比例函数内容的学习，为后续类比学习一次函数打好基础，了解研究函数的基本思路和方法，积累研究一般一次函数乃至其他各种函数的基本经验. 本节课主要是通过对生活中大量实际问题的分析，写出变量间的函数解析式，观察比较概括出这些函数解析式具有的共同特征，根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念，再用正比例函数的概念对具体函数进行辨析，对实际事例进行分析，根据已知条件写出正比例函数的解析式. 学情分析 （1）学生的认知基础：正比例函数是初中学生接触到的第一种初等函数，由于函数概念比较抽象，学生对函数基本概念理解未必深刻，在对实际问题进行分析过程中，需进一步强化对函数概念的理解.在教学中需要通过大量的实例去引导学生进行分析，写出变量间的函数解析式，观察比较发现这些函数具有的共同特征，即函数与自变量的每一对对应值的比值一定，都等于自变量前的常数，这些函数都是常数与自变量的积的形式，再根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念.从而达到提高学生识图能力、分析函数图象信息能力.体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力. （2）学生的心理年龄特点：学生已经有了综合应用知识的意识，并且在学习中有了想自己动手、运用知识解决实际问题的欲望.因此，本节课主要是教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法.这样做增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为学习的主体.以及通过动手实践，理解记忆和强化训练的学法掌握本节课内容. 教材解析 教学分析 教学目标 1．数学抽象目标：理解正比例函数的概念，掌握正比例函数解析式特点；（重点） 2．逻辑推理目标：（1）初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；（难点） （2）逐步培养学生的观察、概括的能力，初步培养学生数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想. 3．数学建模目标：（1）通过小组合作讨论，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望； （2）通过本节课的教学希望能激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度. 课前准备 教师准备：多媒体课件 学生准备：预习新课 教学设计 上一节我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法.从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数-一次函数，本节课先研究特殊的一次函数-正比例函数. 一、设计问题，创设情境 问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km． 设列车的平均速度为300km／h．考虑以下问题： （1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？ （2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？ （3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？ 师生活动：教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程＝速度x时间”. （设计意图：让学生真切感受数学与实际的联系，即数学理论来源于实际又服务于实际.帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想.） 解：（1）京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h). （2）京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为y=300t(0≤t≤4.4). （3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当t=2.5时，函数y=300t的值，即y=300×2.5=750(km).这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站． 对问题1（1）学生解答后可追问：在京沪高速铁路上以平均速度300km／h运行的列车，其运行时间在什么范围内？ （设计意图：由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明.） 对问题1（2）的解答过程进行分析，并让学生回答下列问题： 追问1 这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由. （设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生探究的兴趣.对理由的说明学生可能有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量t变化时，另一个变量y随着t的变化而变化，并且对于变量t的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应.） 追问2 请你写出y与t之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？ 追问3 对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t 的比值是多少？这个比值会发生变化吗？ 师生活动：追问2学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；追问3分小组分别取不同的对应值，求出比值后先小组内统一意见，然后全班交流. （设计意图：让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式，左边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量的积的形式.正比例函数的基本特征：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数.） 对问题1（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否经过了南京南站的？ 师生活动：教师引导学生分析，根据函数解析式，求自变量t=2.．5时的函数值，得出列车出发2.5h的行程，再与两站的实际距离比较，对实际问题的作出解答. （设计意图：让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法.） 二、学生探索，尝试解决 问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. （1）圆的周长l随半径r的变化而变化． （2）铁的密度为7.9g／cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化． （3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化. （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化. 师生活动：学生根据每个问题中蕴涵的数量关系和已知条件，运用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式. 解：上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为： (1)l=2πr; (2)m=7.9V; (3)h=0.5n; (4)T=-2t. （设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力.） 三、信息交流，得出新知 追问：问题2中的这些函数解析式有哪些共同特征？ 师生活动：引导学生类比问题1的分析方法，对4个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生分组讨论，教师参与讨论并组织交流. 归纳：上述两个问题中的函数解析式都是常数与自变量的积的形式. 一般地，形如y-kx（常数k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. （设计意图：通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备.） 四、变式演练，深化提高 下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ (1) (4) 【参考答案】 （1）（2）（5）表示y是x的正比例函数 （设计意图：培养学生综合运用、分类讨论和归纳概括的能力） 五、交流分享，共同成长 本节课主要学习了哪些内容？ 正比例函数：一般地，形如y=kx(常数k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. （设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.） 六、反思小结，达标检测 教师从下面几个方面引导： 1．本节课你有哪些收获？ 2．你对自己本节课的表现有何评价？ 3．你在与同学的交流中有何感受？ 4．你对本节课还有哪些疑惑和建议？ （设计意图：通过归纳总结，调动学生的参与意识，培养学生的归纳、语言表达能力，互相取长补短，完善已有的知识结构.） 19.2.1正比例函数（第2课时） 教学设计 教学目标 1．数学抽象目标：理解正比例函数的概念，会画正比例函数的图象，并且能判断两个变量是否构成正比例关系.（重点） 2．数学建模目标：运用“描点法”作出正比例函数图象，培养学生运用正比例函数解决简单数学问题的能力；分析图象，培养学生的观察能力、概括能力，初步认知数学建模思想及数形结合思想.（难点） 3．逻辑推理目标：结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯.通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是由于人们需要而产生的，与现实世界密切相关，数学来源于生活并作用于生活. 课前准备 教师准备：多媒体课件 学生准备：预习新课 教学设计 一、设计问题，创设情境 （活动一）师：什么样的函数是正比例函数呢？ 生：形如y=kx(k是常数且k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 师：前面我们讲函数图象的画法时，是通过把解析式中的x，y的值分别取出来，作为横纵坐标在直角坐标系中描点，连线得到函数图象，那么对于正比例函数的图象我们同样也可以用列表，描点，连线的方法来画出它的图象. （设计意图：让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法.） 二、学生探索，尝试解决 【例1】在同一直角坐标系中用描点法画出正比例函数的图象. 解：①列表： x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ·.. ··· -6 0 2 4 6 ··· ··· 0 1 ··· ②描点并连线. 观察并思考 1．在k>0的情况下，函数图象经过哪些象限？图象从,左向右看，是上升还是下降？ 2．对应地自变量的值从左往右如何变化？对应的函数值是随着增大还是减小？ 三、信息交流，得出新知 【例2】在同一直角坐标系中用描点法画出正比例函数y=-1.5x,y=-4x的图象. 解：①列表： x ··· -2 -1 0 1 2 3 ··· 4.5 3 1.5 0 -1.5 -4.5 ··· 12 8 4 0 -4 -12 ··· ②描点并连线. 察并思考 （1）在k＜0的情况下，函数图象经过哪些象限？图象从左向右看，是上升还是下降？ （2）对应的自变量的值从左往右如何变化？对应的函数值是随着增大还是减小？ （3）无论在k>0或k<0,，它的图象都过哪个点？它的图象是什么线？你有没有画正比例函数的简便画法？ 【归纳】 （1）一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. （2）当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小. （3）因为过两点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（0,0）和（1．k）． 正比例函数的图象及性质 正比例函数 图象 y k 0 x y 1 O x k 正比例函数 k>0 k<0 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 图象形状 过原点，从左向右上升 过原点，从左向右下降 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 （设计意图：激发学生的探索冲动，利用描点法画出正比例函数的图象，及时巩固旧知识为简便画法埋下伏笔，学生经历活动操作、观察比较、分析思考、讨论交流的过程，并在这一过程中树立自值.） 四、变式演练，深化提高 练习1 在正比例函数y=(m-8)x中，如果y随自变量x的增大而减小，那么正比例函数y=(8-m)x的图象经过第 象限. 练习2 已知函数，当m为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？ 【参考答案】 练习1 一、三 解析：因为在正比例函数y=(m-8)x中，y的值随自变量x的增大而减小，所以m-8<0,，所以8-m>0，所以函数y=(8-m)x的图象经过第一、三象限. 练习2 解：因为此函数是正比例函数，所以|m|-=1，所以m=±3 因为正比例函数y随x的增大而增大，所以m-1>0, 所以m=-3不合题意，应舍去. 所以m=3时，正比例函数y随x的增大而增大. （设计意图：培养学生综合运用、分类讨论和归纳概括的能力.） 五、交流分享，共同成长 本节课主要学习了哪些内容？ 正比例函数的图象与性质： （1）一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. （2）当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小. （3）因为过两点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（0,0）和（1，k）． （设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.） 六、反思小结，达标检测 教师从下面几个方面引导： 1．本节课你有哪些收获？ 2．你对自己本节课的表现有何评价？ 3．你在与同学的交流中有何感受？ 4．你对本节课还有哪些疑惑和建议？ （设计意图：通过归纳总结，调动学生的参与意识，培养学生的归纳、语言表达能力，互相取长补短，完善已有的知识结构.） 学科网（北京）股份有限公司 $$