第七章 平行线的证明（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第七章 平行线的证明（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，下列说法正确的是（　　） A．由∠1＝∠3，可得EF∥GH B．由∠1＝∠2，可得AB∥CD C．由∠1＝∠3，可得AB∥CD D．由∠2＝∠4，可得EF∥GH 【分析】首先确定各选项中所给两个角的关系，根据平行线的判定定理进行分析，即可得出正确选项． 【详解】解：A．∠1与∠3不属于三线八角的范畴，即得不到EF∥GH，故本选项不符合题意； B．∠1与∠2的对顶角是同位角，即AB∥CD，故本选项符合题意； C．∠1与∠3不属于三线八角的范畴，即得不到AB∥CD，故本选项不符合题意； D．∠2与∠4不属于三线八角的范畴，即得不到EF∥GH，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（3分）将一块含45°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝68°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．28° C．23° D．17° 【分析】根据平行线的性质可得∠EFC＝∠1＝68°，再根据角的和差即可求出∠2的度数． 【详解】解： ∵AB∥CD， ∴∠EFC＝∠1＝68°， ∴∠2＝∠EFC﹣∠AFE＝68°﹣45°＝23°． 故选：C． 3．（3分）一架飞机从某机场向南偏东40°方向飞行了1200千米，飞机返回时的方向应为（　　） A．南偏东40°方向 B．北偏东40°方向 C．南偏西40°方向 D．北偏西40°方向 【分析】根据题意可得：∠BAC＝40°，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BAC＝∠ACD＝40°，从而根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：∠BAC＝40°，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝40°， ∴飞机返回时的方向应为北偏西40°方向， 故选：D． 4．（3分）将一个直角三角板按如图方式放置在一个无刻度的直尺上，可知∠1+∠2的度数为（　　） A．270° B．260° C．250° D．180° 【分析】过点C作CD∥AF，可得AF∥CD∥BE，再利用平行线性质分别得出∠1和∠2的等式，再利用整体法即可解决． 【详解】解：如图，过点C作CD∥AF， ∵AF∥BE， ∴AF∥CD∥BE， ∴∠1+∠ACD＝180°，∠2+∠DCB＝180°， ∴∠1+∠ACD+∠2+∠DCB＝360°， ∴∠1+∠2+（∠ACD+∠DCB）＝360°， ∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB＝90°， ∴∠1+∠2＝270°， 故选：A． 5．（3分）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 【分析】先根据∠CBD＝70°求出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠CBD＝70°， ∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°， ∵∠ADE是△ABD的外角， ∴∠A＝∠ADE﹣∠ABD＝150°﹣110°＝40°． 故选：C． 6．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：由外角的性质可得：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：C． 7．（3分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝48°，∠C＝62°，则∠DAE的度数是（　　） A．5° B．6° C．7° D．8° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可． 【详解】解：∵∠B＝48°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵AD是△ABC的BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝62°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝28°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝35°﹣28°＝7°， 故选：C． 8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若∠2＝30°，则AC∥DE；②若BC∥AD，则∠2＝45°；③∠BAE+∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据题意可知∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°，证明∠1＝∠E，可判断①正确；根据平行线的性质可判断②正确；根据∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，可判断③正确；证明AC∥DE，即可判断④正确． 【详解】解：由题意，知∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°， ∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠BAC﹣∠2＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正确； ∵BC∥AD， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴∠2＝∠DAE﹣∠3＝45°，故②正确； ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故③正确； ∵∠CAD＝150°，∠D＝30°， ∴∠CAD+∠D＝180°． ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C，故④正确． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）命题“同位角相等”的条件是 　两个角是同位角　，结论是 　相等　． 【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同位角”，由已知事项推出的事项是“相等”， 所以“两个角是同位角”是命题的题设部分，“相等”是命题的结论部分． 故答案为：两个角是同位角，相等． 10．（3分）把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果…那么的形式 　如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行　． 【分析】每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述．“如果”后面的内容是“题设”，“那么”后面的内容是“结论”． 【详解】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行， 改写成如果…那么…的形式为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 11．（3分）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与PO平行的方向射出．若∠AOB＝145°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　55　°． 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠POB＝∠OBD＝90°，那么∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝55°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OAC＝∠AOP＝55°． 【详解】解：∵BD∥PQ， ∴∠POB＝∠OBD＝90°， ∵∠AOB＝145°， ∴∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝145°﹣90°＝55°， ∵AC∥PQ， ∴∠OAC＝∠AOP＝55°． 故答案为：55． 12．（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝142°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为 　128°　． 【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥DE，由BC⊥AB，推出BC⊥CK，由垂直的定义得到∠BCK＝90°，求出∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝52°，由平行线的性质推出∠EDC+∠DCK＝180°，即可求出∠EDC＝128°． 【详解】解：如图所示，过点C作CK∥AB， ∵DE∥AB， ∴CK∥DE， ∵BC⊥AB， ∴BC⊥CK， ∴∠BCK＝90°， ∵∠DCB＝142°， ∴∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝52°， ∵CK∥DE， ∴∠EDC+∠DCK＝180°， ∴∠EDC＝128°． 故答案为：128°． 13．（3分）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为88°、22°、70°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝66°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC为 　84°或58.8°或30°　． 【分析】根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可． 【详解】解：设∠OAC＝x，则∠BAC＝90°﹣x， ∵∠MON＝66° ∴∠ACB＝66°+x，∠ABC＝24° ∵△ABC为“高倍三角形” 当∠ABC＝4∠BAC时， 即24°＝4（90°﹣x）， 解得：x＝84°； 当∠ABC＝4∠ACB时， 即24°＝4（66°+x）， 解得：x＝﹣60°（舍）； 当∠BCA＝4∠BAC时， 即66°+x＝4（90°﹣x）， 解得：x＝58.8°； 当∠BCA＝4∠ABC时， 即66°+x＝24°×4， 解得：x＝30°； 当∠BAC＝4∠ABC时， 即90°﹣x＝4×24°， 解得：x＝﹣6°（舍）； 当∠BAC＝4∠ACB时， 即90°﹣x＝4×（66°+x）， 解得：x＝﹣34.8°（舍）； 故答案为：84°或58.8°或30°． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（9分）如图，已知CF⊥AB，DE⊥AB，∠1＝∠2．试说明：FG∥AC． 解：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）， ∴∠DEA＝∠CFA＝90° ∴　DE　∥　CF　．（同位角相等，两直线平行） ∴∠1＝∠ACF（ 　两直线平行，同位角相等　）． ∵∠1＝∠2（已知）， .∴∠　ACF　＝∠　2　（等量代换）． ∴FG∥AC（ 　内错角相等，两直线平行　）． 【分析】根据垂直的定义得到∠DEA＝∠CFA＝90°，即可判定DE∥CF，根据平行线的性质等量代换推出∠ACF＝∠2，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】解：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）， ∴∠DEA＝∠CFA＝90°， ∴DE∥CF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠ACF（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠ACF＝∠2（等量代换）， ∴FG∥AC（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：DE；CF；两直线平行，同位角相等；ACF；2；内错角相等，两直线平行． 15．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE，再求解即可． 【详解】解：∵∠B＝38°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣38°﹣60°＝82°， ∵AE是∠BAC平分线， ∴， ∵AD是BC边上的高，∠B＝38°， ∴∠BAD＝180°﹣38°﹣90°＝52°， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣41°＝11°． 16．（8分）已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E． 【分析】直接利用平行线的判定与性质得出∠3＝∠E，∠A＝∠3，进而得出答案． 【详解】证明：∵∠1＝∠2， ∴DE∥AC， ∴∠3＝∠E， 又∵AD∥BE， ∴∠A＝∠3， ∴∠A＝∠E． 17．（8分）如图，已知AB、CD分别与MN交于点F、G，且EF⊥MN，∠BFE＝48°，若添加一个条件使得AB∥CD，请写出一个符合要求的条件：　∠CGM＝42° （答案不唯一）　，并说明理由． 【分析】根据垂直定义求出∠EFN＝90°，根据角的和差求出∠BFN＝42°＝∠CGM，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】解：符合要求的条件有∠CGM＝42°， 因为EF⊥MN， 所以∠EFN＝90°， 所以∠BFN＝∠EFN﹣∠BFE＝42°， 所以∠CGM＝∠BFN， 所以AB∥CD， 故答案为：∠CGM＝42° （答案不唯一）． 18．（9分）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°． （1）试说明CF∥BD； （2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数． 【分析】（1）依据题意，依据平行线的判定与性质，即可得到∠1与∠ABD的数量关系； （2）依据题意，结合（1）可得∠1＝∠ABD，又利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出∠2的度数，再根据∠ACB为直角，即可得出∠ACF． 【详解】解：（1）∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴BC∥DE． ∴∠3+∠CBD＝180°． 又∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝∠CBD． ∴CF∥DB． （2）由（1）CF∥DB， ∴∠1＝∠ABD． 又∵∠1＝70°， ∴∠ABD＝70°． 又∵BC平分∠ABD， ∴∠DBC∠ABD＝35°， ∴∠2＝∠DBC＝35°． 又∵BC⊥AE， ∴∠ACB＝90°． ∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°． 19．（9分）如图，直线CD、EF交于点O，AO⊥BO，且∠1+∠2＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）若OB平分∠DOE，∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 【分析】（1）首先根据题意可得∠AOB＝90°，进而可知∠AOC+∠2＝90°，结合∠1+∠2＝90°可证明∠AOC＝∠1，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义可得∠EOB＝∠2，设∠2＝∠EOB＝2x，则∠3＝5x，结合∠EOB+∠2+∠3＝180°可得关于x的一元一次方程，解得x的值，可求得∠AOE，然后由∠AOF＝180°﹣∠AOE求解即可． 【详解】（1）证明：∵AO⊥BO， ∴∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠2＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠AOC＝∠1， ∴AB∥CD； （2）解：∵OB平分∠DOE， ∴∠EOB＝∠2， ∵∠2：∠3＝2：5， 设∠2＝∠EOB＝2x，∠3＝5x， 则∠EOB+∠2+∠3＝180°， 即2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°， ∴∠EOB＝40°， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠EOB＝50°， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°． 20．（10分）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE （1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数； （2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值． 【分析】（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF＝∠A、∠BCF＝180°﹣∠B，将其代入∠ACB＝∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数； （2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB（∠CBE﹣∠CAD），结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C＝180°； （3）由（2）的结论可得出∠CAD∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE＝180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出结论． 【详解】解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE． ∵CF∥AD∥BE， ∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B， ∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°． （2）在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE． ∵QM∥AD，QM∥BE， ∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ． ∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE， ∴∠NAD∠CAD，∠EBQ∠CBE， ∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM（∠CBE﹣∠CAD）． ∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB， ∴2∠AQB+∠C＝180°． （3）∵AC∥QB， ∴∠AQB＝∠CAP∠CAD，∠ACP＝∠PBQ∠CBE， ∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°∠CBE． ∵2∠AQB+∠ACB＝180°， ∴∠CAD∠CBE． 又∵QP⊥PB， ∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°， ∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°， ∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，下列说法正确的是（　　） A．由∠1＝∠3，可得EF∥GH B．由∠1＝∠2，可得AB∥CD C．由∠1＝∠3，可得AB∥CD D．由∠2＝∠4，可得EF∥GH 2．（3分）将一块含45°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝68°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．28° C．23° D．17° 3．（3分）一架飞机从某机场向南偏东40°方向飞行了1200千米，飞机返回时的方向应为（　　） A．南偏东40°方向 B．北偏东40°方向 C．南偏西40°方向 D．北偏西40°方向 4．（3分）将一个直角三角板按如图方式放置在一个无刻度的直尺上，可知∠1+∠2的度数为（　　） A．270° B．260° C．250° D．180° 5．（3分）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 6．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 7．（3分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝48°，∠C＝62°，则∠DAE的度数是（　　） A．5° B．6° C．7° D．8° 8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若∠2＝30°，则AC∥DE；②若BC∥AD，则∠2＝45°；③∠BAE+∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）命题“同位角相等”的条件是 　 　，结论是 　 　． 10．（3分）把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果…那么的形式 　 　． 11．（3分）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与PO平行的方向射出．若∠AOB＝145°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　 　°． 12．（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝142°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为 　 　． 13．（3分）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为88°、22°、70°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝66°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（9分）如图，已知CF⊥AB，DE⊥AB，∠1＝∠2．试说明：FG∥AC． 解：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）， ∴∠DEA＝∠CFA＝90° ∴　 　∥　 　．（同位角相等，两直线平行） ∴∠1＝∠ACF（ 　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， .∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）． ∴FG∥AC（ 　 　）． 15．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数． 16．（8分）已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E． 17．（8分）如图，已知AB、CD分别与MN交于点F、G，且EF⊥MN，∠BFE＝48°，若添加一个条件使得AB∥CD，请写出一个符合要求的条件：　 　，并说明理由． 18．（9分）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°． （1）试说明CF∥BD； （2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数． 19．（9分）如图，直线CD、EF交于点O，AO⊥BO，且∠1+∠2＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）若OB平分∠DOE，∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 20．（10分）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE （1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数； （2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$