新课标全国卷重组卷(四)-2024年甘肃省新高考模拟十二卷数学

2024年普通高等学校招生新课标全国卷重组卷(四) 本卷满分150分,考试时间120分钟。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.(2023·湖北武汉华中师大一附中校联考模拟预测)已知集合A={x|x2≤1},B={x||x-1| <a},若A∪B 中有且仅有三个整数,则正数a 的取值范围是 ( ) A.0<a<1 B.0<a≤1 C.a>1 D.a≥2 2.(2023·安徽亳州蒙城第一中学校联考模拟预测)若复数z=1-i,实数a,b满足z+ b z-a= 0,则a+b= ( ) A.2 B.4 C.-1 D.-2 3.(2023·山西省省际名校高三押题联考)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=23,且a⊥a-b , 则a在b方向上的投影向量为 ( ) A.a B. 3 4b C. 3 4b D. 3 3a 4.(2023·江苏南通统考模拟预测)现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容 积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为( ) A.0.25升 B.0.5升 C.1升 D.1.5升 5.(2024·安徽黄山屯溪一中校考模拟预测)为庆祝广益中学建校130周年,高二年级派出甲、 乙、丙、丁、戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动,活动结束后5名老师排成一排合影留 念,要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻,则排法共有( )种. A.40 B.24 C.20 D.12 6.(2023·辽宁实验中学校考模拟预测)过圆锥内接正方体(正方体的4个顶点在圆锥的底面,其 余顶点在圆锥的侧面)的上底面作一平面,把圆锥截成两部分,下部分为圆台,已知此圆台上底面 与下底面的面积比为1:4,母线长为6,设圆台体积为V1,正方体的外接球体积为V2,则 V1 V2 = ( ) A. 73 9 B. 26 9 C. 73 3 D. 21 9 7.(2023·四川省广安友谊中学校考模拟预测)油纸伞是中国传统工艺品,至今 已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,广安市文化宫于春分时 节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上, 如图所示,该伞的伞沿是一个半径为3的圆,圆心到伞柄底端距离为3,阳光 照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,广安的阳光与地面夹角为60°),若伞柄底 端正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为 ( ) A.3-1 B.2-1 C.2- 3 D. 2 2 8.(2022·湖南高三开学考试)已知a=2,b=5 1 3,c=(2+e) 1 e,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.(2023·湖南省长沙市高三上学期新高考适应性考试)已知双曲线的方程为y 2 64- x2 16=1 ,则 ( ) A.渐近线方程为y=± 1 2x B. 焦距为85 C.离心率为 5 2 D. 焦点到渐近线的距离为8 A D B C C A BF E P D 10.(2023·浙江省台州市高三第一次教学质量评估试题(台州一模)) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为边AD,AB 的 中点,点P 为线段D1F 上的动点,则 ( ) A.存在点P,使得B1C1∥平面BEP B.存在点P,使得B1B⊂平面BEP C.对任意点P,使得AB1D1∥平面BEP D.对任意点P,使得FCC1⊥平面BEP 11.(2022·广东中山一中高三阶段练习)达·芬奇的画作《抱银貂的女人》中,女士脖 颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬,显现出不一样的美与光泽,达·芬奇提 出固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链 线.建立适当的平面直角坐标系后,得到悬链线的函数解析式为f(x)=acos h x a (a>0),双曲余弦函数cos h(x)=e x+e-x 2 则以下正确的是 ( ) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在(-∞,0)上单调递减 C.∀x∈R,f(x)≥a D.∃a∈(0,+∞),f(x)≥x2 12.(2023·辽宁省鞍山市高三第九次模拟)将一组数据从小到大排列为:a1,a2,…a11,中位数和 平均数均为a,方差为s21,从中去掉第6项,从小到大排列为:b1,b2,…,b10,方差为s22,则下列 说法中一定正确的是 ( ) A.a6=a B.b1,b2,…,b10 的中位数为a C.b1,b2,…,b10 的平均数为a D.s21>s22 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(2023·高三昆明一中校考阶段练习)已知函数f(x)=ln x- x-1 x 在区间[1,e]上最大值为 M,最小值为m,则 M-m 的值是 . —31— 14.(2023·四川校联考模拟预测)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出谜题的概率分别为 1 2 ,2 3. 则谜题被破解的概率为 . 15.(2023·浙江温州乐清市知临中学校考二模)一个圆的圆周上均匀分布6个点,在这些点与圆 心共7个点中,任取3个点,这3个点能构成不同的等边三角形个数为 . 16.(2022·重庆高三阶段练习)已知l1,l2 是曲线f(x)=xln x-ax 的两条倾斜角互补的切线, 且l1,l2 分别交y 轴于点A 和点B,O 为坐标原点,若|OA|+|OB|>4,则实数a 的最小值 是 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17题10分;18 ~22题每题12分.) 17.(2023·上海市七宝中学校考模拟预测)已知数列{an}的前n 项和为Sn,a1=2,对任意的正 整数n,点(an+1,Sn)均在函数f(x)=x 图像上. (1)证明:数列{Sn}是等比数列; (2)证明:{an}中任何不同三项不构成等差数列. 18.(2023·河北衡水市第二中学校考三模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 sin Ccos B-2sin Bcos C=0. (1)证明:c2-b2= 1 3a 2; (2)若a=3,点D 在BC 边上,且AD⊥BC,AD= 3,求△ABC 的周长. —41— 19.(2023·吉林省长春市东北师范大学附属中学高三下学期第六次模拟考试)如图,△ABC 中, ∠C=90°,AC=BC=2,D、E 分别为AC、AB 中点,将△ADE 沿DE 翻折成△PDE,得到四 棱锥P-BCDE,M 为PB 中点. (1)证明:EM⊥平面PBC; (2)若直线PE 与平面PBC 成角为30°,求平面PEB 与平面PDC 夹角余弦值. CA B E P MD 20.(2023·浙江省绍兴市上虞区高三第二次适应性考试(二模))某手机APP公司对喜欢使用该 APP的用户年龄情况进行调查,随机抽取了100名喜欢使用该 APP的用户,年龄均在[15, 65]周岁内,按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图: 3C      











T  O M( (1)根据频率分布直方图,估计使用该视频APP用户的平均年龄的第85%分位数(小数点后 保留2位); (2)若所有用户年龄 X 近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ 为样本平均数的估计值,σ≈ 10.5,试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例; (3)用样本的频率估计概率,从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户,用P(X= k)表示这8名用户中恰有k名用户的年龄在区间[25,35)岁的概率,求P(X=k)取最大值时 对应的k的值; 附:若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2),则:P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973 —51— 21.(2023·湘豫名校联考高三5月三模)已知椭圆C:y 2 a2 + x2 b2 =1(a>b>0)的上、下焦点分别为 F1,F2,离心率为 2 3 ,过点F1 作直线l(与y 轴不重合)交椭圆C 于M,N 两点,△MNF2 的周 长为12. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)若点A 是椭圆C 的上顶点,设直线l,AM,AN 的斜率分别为k,k1,k2,当k≠0时,求证: 1 k 1 k1 + 1 k2 为定值. F F O N M A y x 22.(2023·湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数f(x)=2ln x+mx2-2(m+1) x-8,m∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)对实数m=2,令g(x)=f(x)-3x,正实数x1,x2 满足g(x1)+g(x2)+2x1x2=0,求 x1+x2 的最小值. —61— 又a≥ x+ln x+1 xex ,∴a≥1,故a 的最小值是1. 法二:∴-x2+x+ln x≤axex-x2-1恒成立,即a≥ x+ln x+1 xex 恒成立 令g(x)= x+ln x+1 xex = x+ln x+1 eln x·ex = x+ln x+1 eln x+x 不妨令t=x+ln x(x>0),显然t=x+ln x 在(0,+∞)单调递增⇒t∈R. ∴a≥ t+1 et 在t∈R恒成立. 令h(t)= t+1 et ⇒h'(t)= -t et ∴当t∈(-∞,0)时,h'(t)>0; 当t∈(0,+∞)时,h'(t)<0即h(t)在(-∞,0)单调递增, h(t)在(0,+∞)单调递减, ∴h(t)min=h(0)= 0+1 e0 =1,∴a≥1,故a 的最小值是1. 2024年普通高等学校招生新课标全国卷重组卷(四) 1.B 解析:由题意可得A={x|-1≤x≤1},B={x|1-a<x<1+a},若A∪B 中有且仅有三 个整数,则只能是-1,0,1,故-2≤1-a<1+a≤2,解得0<a≤1,故选B. 2.B 解析:法一:∵z=1-i,∴1-i+ b 1-i-a=1-i+ b(1+i) 2 -a=1-a+ b 2+ -1+ b 2 i=0, ∴ 1-a+ b 2=0 , -1+ b 2=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a=2,b=2,a+b=4. 法二:∵z+ b z-a=0 ,∴z2-az+b=0,因为z=1-i,故z=1+i也满足z2-az+b=0,由韦 达定理可得a=1-i+1+i=2,b=(1-i)(1+i)=2,故a+b=4.故选B. 3.B 思路分析:根据投影向量的定义可得 a·b |b|× b |b| ,将数据代入计算,即可得到答案. 解析:由a⊥(a-b),得a·(a-b)=0,∴|a|2-a·b=0,于是a·b=9,因此a 在b 方向上 的投影向量为a ·b |b|× b b = 9 23 × b 23 = 3 4b. 故选B. 4.B 解析:设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1,a2,…a9,由题意可得a1+a2+a3=0.5, a7+a8+a9=2.5,所以3a2=0.5,3a8=2.5⇒a2+a8=1,∴a5= a2+a8 2 =0.5 ,故选B. 5.B 解析:由题意得,5名代表排成一排合影留念,要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相 邻,先令丙、丁两人相邻用捆绑法A22,再把丙、丁与戊排列在一起A22,最后插空令甲、乙两人不 相邻A23,则不同的排法共有A22×A22×A23=2×2×6=24种.故选B. O OA A P 6.A 解析:设圆台的上下底面半径为r1,r2,由圆台上底面与下底面 的面积比为1∶4,得圆台上底面与下底面的半径比为 r1 r2 = 1 2 ,由题 意知正方体的棱长为 2 2×2r1= 2r1 ,如图,设AP 为圆台的一条 母线,AA1 为正方体的一条棱,O1,O2 为圆台上下底面的中心,在 Rt△AA1P 中,AP= 6,A1P=r2-r1=r1,A1A= 2r1,即(6)2=r21+(2r1)2,解得r1= 2,r2=22,则V1= 1 3π2r1 (r21+r1r2+r22)= 1 3π×2× (2+4+8)= 28π 3 ,正方体的外接球半 径为R= 3AA1 2 = 23 2 = 3 ,故V2= 4 3π (3)3=43π,所以 V1 V2 = 28π 3 43π = 73 9 ,故选A. C O FA B 7.C 解析:如图,伞的伞沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点,伞沿在 地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点,对应的伞沿为C,O 为 伞的圆心,F 为伞柄底端,即椭圆的左焦点,设椭圆的长半轴长为a,半焦距 为c,由OF⊥BC,|OF|=|OB|=3,得a+c=|BF|=32,∠FBC=45°, |AB|=2a,|BC|=6,在△ABC 中,∠BAC=60°,则∠ACB=75°,sin 75°=sin(45°+30°)= 2 2× 3 2 + 2 2 × 1 2= 6+ 2 4 ,由 正 弦 定 理 得, 2a sin 75°= 6 sin 60° ,解 得 a= 6× 6+ 2 4 2× 3 2 = 6+32 2 ,则c= 32- 6 2 ,所以该椭圆的离心率e= c a= 32- 6 32+ 6 =2- 3.故选C.(或AF= a-c=CFtan 30°= 6,联立BF=a+c=32,求出a,c) 8.A 解析:由题意,可得a=(2+2) 1 2,b=(2+3) 1 3,c=(2+e) 1 e,所以令f(x)= 1 x ·ln(2+x), (x>0),则f'(x)= x x+2-ln (2+x) x2 ,令g(x)= x x+2-ln (2+x),(x>0),则g'(x)= -x (x+2)2 <0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,g(x)<g(0)=-en2<0,所以f'(x)<0恒 成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,因为2<e<3,所以f(2)>f(e)>f(3),即 1 2ln (2+ —16— 2)> 1 eln (2+e)> 1 3ln (2+3),所以ln(2+2) 1 2>ln(2+e) 1 e>ln(2+3) 1 3,所以4 1 2>(2+e) 1 e> 5 1 3,即b<c<a.故选A. 9.BC 解析:y 2 64- x2 16=1 焦点在y 轴上,故渐近线方程为y=± a bx=±2x ,A错误;c2=64+ 16=80,故c=45,故焦距为85,B正确;离心率为 c a= 45 8 = 5 2 ,C正确;焦点坐标为(0, ±45),故焦点到渐近线y=±2x 的距离为 |±45| 4+1 =4,D错误.故选BC. 10.ABD 解析:当P 点运动到F 时,B1C1∥BC,BC⊂平面BEP,且B1C1⊄平面BEP,所以 B1C1∥平面BEP,故A正确;如图(1)取A1D1 中点 M,易证BB1∥EM,所以D1F 与平面 BB1ME 交于唯一点为P 点时,B1B⊂平面BEP,故B正确;如图(2)当P 点在D1 时,平面 AB1D1 与平面BEP 相交,故C错误;如图(3)易证BE⊥FC,CC1⊥BE,且FC∩CC1=C,即 BE⊥平面FCC1,所以对任意点P,平面FCC1⊥平面BEP,故D正确;故选ABD. A D B C C A BF E M P D (1) A D B C C A BF E P D (2) A D B C C A BF E P D (3) 11.BCD 解析:由题意可知,f(x)=acos h xa =a·e x a+e- x a 2 ,(a>0),定义域为 R,所以 f(-x)=a· e- x a+e x a 2 =f (x),所以f(x)是偶函数,故选项 A 错误;函数cos h(x)= ex+e-x 2 的导数为(cos h(x))'= ex-e-x 2 ,所以当x∈(-∞,0)时,(cos h(x))'<0,当x∈ (0,+∞)时,(cos h(x))'>0,所以函数cos h(x)= ex+e-x 2 ,单调递减区间为(-∞,0),单调 递增区间为(0,+∞),又a>0,所以函数y= x a 在(-∞,0)上单调递增,由复合函数的单调性 可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,故选项 B正确;由基本不等式可知,f(x)=a· e x a+e- x a 2 ≥a ·2 e x a·e- x a 2 =a ,当且仅当x=0时取等号,故选项C正确;由C可知,∀x∈ R,f(x)≥a,所以∃a∈(0,+∞),使得f(x)≥x2 成立,故选项D正确;故选BCD. 12.AC 解析:由a1,a2,…a11 的中位数和平均数均为a,可知a6=a,a1+a2+…+a11=11a,故 A正确;b1,b2,…,b10 的中位数为 b5+b6 2 = a5+a7 2 ,a5+a7 不一定等于2a,故b1,b2,…,b10 的中位数不一定为a,B错误;b1+b2+…+b10=a1+a2+…+a11-a6=11a-a=10a,故 b1,b2,…,b10 的 平 均 数 为 a,C 正 确;s21= (a1-a)2+(a2-a)2+…+(a1-a)2 11 ,s22= (b1-a)2+(b2-a)2+…+(b10-a)2 10 ,由于(a6-a)2=0,故(a1-a)2+(a2-a)2+…+ (a11-a)2=(b1-a)2+(b2-a)2+…+(b10-a)2,故s21<s22,D错误.故选AC. 13. 1 e 解析:由题意,x>0,f'(x)= x-1 x2 ,在[1,e]上f'(x)= x-1 x2 ≥0,故函数f(x)单调递增, 所以 M=f(e)= 1 e ,m=f(1)=0,M-m= 1 e ,故 M-m 的值是 1 e. 故答案为1 e. 14. 5 6 解析:设“甲独立地破解谜题”为事件A,“乙独立地破解谜题”为事件B,“谜题被破解”为 事件C,且事件A,B 相互独立,则P(C)=1-P(AB)=1-1- 1 2 ×1-23 =56.故答案为 5 6. 15.8 解析:如图1,由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形,共有6个;如图2,由圆上相间 隔的三点可构成等边三角形,共有2个;所以,7个点中,任取3个点,这3个点能构成不同的 等边三角形个数为6+2=8个.故答案为8. C A F E O B D 图1 图2 16.ln 2+2 解析:设切线l1,l2 的切点坐标为(x1,y1),(x2,y2),由函数f(x)=xln x-ax,求 导可得f'(x)=1+ln x-a,由题意可知,f'(x1)+f'(x2)=0,即ln(x1x2)=2a-2,可得 l1:y-y1=f'(x1)(x-x1),l2:y-y2=f'(x2)(x-x2),令x=0,y=(1+ln x1-a)(-x1)+ x1ln x1-ax1=-x1,故A(0,-x1),同理可得B(0,-x2),则|OA|+|OB|=x1+x2≥2 x1x2=2ea-2,由于x1≠x2,则等号不能取,即2ea-2≥4,解得a≥ln2+2,即a 的最小值为 ln2+2,故答案为ln2+2. 17.解:(1)点(an+1,Sn)均在函数f(x)=x 图像上,则Sn=an+1=Sn+1-Sn,故Sn+1=2Sn, S1=a1=2≠0,故{Sn}是首项为2,公比为2的等比数列. —26— (2)Sn=2n,故an= 2,n=1, 2n-1,n≥2, a1=a2,且从第二项起{an}严格增, 假设存在2≤m<n<p 使得am,an,ap 成等差数列,则2·2n-1=2m-1+2p-1, 即2n+1-m=1+2p-m,等式左边为偶数,右边为奇数,故假设不成立. 故{an}中任何不同三项不构成等差数列. 18.解:(1)由sin Ccos B-2sin Bcos C=0,可得sin Ccos B+sin Bcos C=3sin Bcos C, 所以sin(B+C)=3sin Bcos C, 因为B+C=π-A,可得sin(B+C)=sin A,即sin A=3sin Bcos C, 又由正弦、余弦定理得a=3b× a2+b2-c2 2ab ,可得2a2=3a2+3b2-3c2, 可得c2-b2= 1 3a 2. (2)因为a=3,由(1)知c2-b2=3,可得c2=b2+3, 由余弦定理得cos A= b2+c2-a2 2bc = 2b2-6 2bc , 又因为AD⊥BC,AD= 3,可得S△ABC= 1 2×3× 3= 33 2 , 又由S△ABC= 1 2bcsin A,所以 1 2bcsin A= 33 2 ,可得sin A= 33 bc , 因为cos2A+sin2A= 2b 2-6 2bc 2 + 33 bc 2 =1,整理得b2=4,解得b=2, 所以c2=b2+3=7,可得c= 7, 所以△ABC 的周长为a+b+c=3+2+ 7=5+ 7. 19.思路分析:(1)根据题,取 BC 的中点 N,连接 EN,MN,先证 ED⊥平面 PCD,从而得到 BC⊥平面PCD,即可得到BC⊥MN,得到BC⊥平面 MEN,即可得到BC⊥EM,从而得到 结果. (2)根据题,证得ED⊥PD,然后以D 为坐标原点,DE,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系,结合空间向量的坐标运算即可得到结果. CA B E P M N D 解:(1)取BC 的中点N,连接EN,MN, 因为D、E 分别为AC、AB 中点,则DE∥BC,且DE= 1 2BC , 又因为N 为BC 中点,所以CN= 1 2BC ,即DE∥CN,且DE=CN, 所以四边形EDCN 为平行四边形,且∠C=90°, 所以四边形EDCN 为矩形, 所以ED⊥AC,且PD⊥ED,PD∩AC=D,PD,AC⊂平面PCD, 所以ED⊥平面PCD,因为BC∥ED,所以BC⊥平面PCD, 又因为PC⊂平面PCD,所以BC⊥PC, 因为 M,N 分别为BP,BC 中点,所以 MN∥PC, 则BC⊥MN,且EN⊥BC,EN∩MN=N,EN.MN⊂平面 MEN, 所以BC⊥平面 MEN,EM⊂平面 MEN,所以BC⊥EM, 因为AE=PE=BE,点 M 为PB 中点,所以EM⊥PB, 且PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,所以EM⊥平面PBC. CA B E x y z P M N D (2)由(1)可知EM⊥平面PBC, 因为直线PE 与平面PBC 成角为30°, 则其所成角为∠EPB, 所以∠EPB=∠EBP=30°,且EP=EB= 1 2AB= 2 , 所以PB= 6,且BC=2,则PC= 6-4= 2,则PD=1, PD2+CD2=PC2,∴PD⊥DC. 以D 为坐标原点,DE,DC,DP 所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则P(0,0,1),E(1,0,0),B(2,1,0),D(0,0,0),C(0,1,0), 所以PE→=(1,0,-1),PB→=(2,1,-1), 设平面PEB 的法向量为n=(x,y,z), 则 PE→·n=x-z=0, PB→·n=2x+y-z=0, 得 x=z , y=-x, 取x=1,则y=-1,z=1, 则其一个法向量为n=(1,-1,1), 易知平面PDC 的一个法向量为m=(1,0,0), 设平面PEB 与平面PDC 夹角为θ, 则|cos θ|=|cos<n,m>|= 1 3 = 3 3 , 且观察可知平面PEB 与平面PDC 夹角为锐角, 所以cos θ= 3 3. 20.思路分析:(1)结合频率分布直方图和百分位数的定义即可求解; (2)利用正态分布的性质即可求解; (3)利用二项分布的概率公式和二项式系数的最值列不等式组,解之即可. 解:(1)∵由直方图可知,第85%分位数位于区间[45,55), ∴第85%分位数=45+ 0.85-0.65 0.30 ×10=51.67 (岁). —36— 3C   









T  O    M( (2)∵x=(20×0.01+30×0.02+40×0.035+50×0.03+60×0.005)×10=40(岁) ∴μ=40 ∴P(X>61)=P(X>μ+2σ)= 1-0.9545 2 =0.02275 ∴使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的2.275%. (3)根据题意X~B(8,0.2), 要使P(X=k)取最大值,则 P(X=k)≥P(X=k+1), P(X=k)≥P(X=k-1), ∴ Ck80.2k0.88-k≥Ck+18 0.2k+10.87-k, Ck80.2k0.88-k≥Ck-18 0.2k-10.89-k, 解得45≤k≤95, 因为k∈N,所以k=1. 21.思路分析:(1)由条件结合椭圆的定义和离心率的定义列方程求a,b,c,由此可得椭圆方程; (2)由已知设l的方程为y=kx+2(k≠0),联立方程组利用设而不求法求 1 k1 + 1 k2 ,由此证明结 论. F F O N M A y x 解:(1)依题意,△MNF2 的周长为|MF2|+|MN|+|NF2|= |MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=12, 解得a=3. 设椭圆C 的半焦距为c, 因为椭圆C 的离心率为 2 3 , 所以e= c a= 2 3 ,即c 3= 2 3 ,解得c=2. 因为a2=b2+c2, 所以b= a2-c2= 32-22= 5. 所以椭圆C 的标准方程为y 2 9+ x2 5=1. (2)由(1)知,F1(0,2),A(0,3).易知直线l的方程为y=kx+2(k≠0). 由 y=kx+2, y2 9+ x2 5=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 消去y 得(5k2+9)x2+20kx-25=0, Δ=400k2+500k2+900=900(1+k2)>0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=- 20k 5k2+9 ,x1x2=- 25 5k2+9 . 所以k1= y1-3 x1 = kx1+2-3 x1 = kx1-1 x1 ,k2= y2-3 x2 = kx2+2-3 x2 = kx2-1 x2 . 所以k1+k2=k- 1 x1 +k- 1 x2 =2k- x1+x2 x1x2 = 6 5k. k1·k2=k- 1 x1 ·k-1x2 =k2-k×x1+x2x1x2 + 1x1x2=-925. 所以1 k1 + 1 k2 = k1+k2 k1·k2 =- 10 3k. 所以1 k 1 k1 + 1 k2 =-103,为定值. 22.解:(1)f'(x)= 2 x+2mx-2 (m+1)= 2(x-1)(mx-1) x (x>0). 若m≤0,当x∈(0,1)时,f'(x)≥0,即f(x)在(0,1)上单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,即f(x)在(1,+∞)上单调递减. 若0<m<1,当x∈(0,1)∪ 1m ,+∞ 时,f'(x)>0,即f(x)在((0,1),1m,+∞ 上均单调递 增; 当x∈1, 1 m 时,f'(x)<0,即f(x)在1,1m 上单调递减. 若m=1,则f'(x)≥0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增. 若m>1,当x∈0, 1 m ∪(1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在0,1m ,(1,+∞)上均单调递增; 当x∈ 1m ,1 时,f'(x)<0,即f(x)在 1m,1 上单调递减. (2)当实数m=2时,g(x)=f(x)-3x=2ln x+2x2-9x-8(x>0), g(x1)+g(x2)+2x1x2=0, ∴2ln x1+2x21-9x1-8+2ln x2+2x22-9x2-8+2x1x2=0, ∴2(x1+x2)2-9(x1+x2)-16=2x1x2-2ln(x1x2), 令t=x1x2,h(t)=2t-2ln t(t>0), 由于h'(t)= 2(t-1) t ,知当t∈(0,1)时,h'(t)<0,即h(t)单调递减; —46— 当t∈(1,+∞)时,h'(t)>0,即h(t)单调递增. 从而,h(t)min=h(1)=2, 于是,2(x1+x2)2-9(x1+x2)-16≥2,即[2(x1+x2)+3](x1+x2-6)≥0, 而x1,x2>0,所以x1+x2≥6, 而当x1=3-22,x2=3+22时,x1+x2 取最小值6. 2024年普通高等学校招生新课标全国卷重组卷(五) 1.C 解析:由题意可得:A={x|log2x>1}={x|x>2},∁RB={x|x>1},所以A∪∁RB= {x|x>1}.故选C. 2.D 解析:z= 2 1-i+i= 2(1+i) (1-i)(1+i)+i=1+i+i=1+2i ,所以|z|= 12+22= 5.故选D. 3.A 解析:因为a=(2,1),b=(x,-2),a∥b,所以2×(-2)-1×x=0,所以x=-4,所以b= (-4,-2),所以a+b=(-2,-1),故选A. C A B4.C 解析:梯形的上、下底平行且不相等,如图,若以AB 为底边,则可构成2个 梯形,根据对称性可知此类梯形有16个,若以AC 为底边,则可构成1个梯 形,此类梯形共有8个,所以梯形的个数是16+8=24,故选C. 5.C 解析:设该队小组出线为事件A,该队1/8决赛获胜为事件B,则P(a)= 0.3+0.6=0.9,P(AB)=0.6×0.9+0.3×0.3=0.63,所以P(B|A)= P(AB) P(A)= 0.63 0.9= 0.7.故选C. 6.A 解析:由题意可知,点F(-c,0)在直线x-y+1=0上,即1-c=0,可得c=1,直线x- y+1=0交y 轴于点C(0,1),设点A(m,n),FC →=(1,1),AC→=(-m,1-n),由FC→=2AC→ 可 得 -2m=1, 2(1-n)=1, 解得 m=- 1 2 , n= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的右焦点为E(1,0),则|AE|= 1+ 1 2 2 +0- 1 2 2 = 10 2 ,又|AF|= -1+ 1 2 2 +0- 1 2 2 = 2 2 ,∴2a=|AE|+|AF|= 10+ 2 2 ,因 此,该 椭 圆 的 离 心 率 为 e= 2c 2a = 2 10+ 2 2 = 4 10+ 2 = 4(10- 2) 8 = 10- 2 2 . 故选A. 7.C 解析:因为f - π 4-x +f -π4+x =0,所以f -π4 =0,则-π4ω+φ=mπ,m∈Z①, 因为y=fx+ π 4 是偶函数,所以直线x=π4是f(x)图象的对称轴,所以π4ω+φ=nπ+π2, n∈Z②.由①②可得,φ=(m+n) π 2+ π 4 ,m+n∈Z,又0<φ< π 2 ,所以φ= π 4 ,则ω=4n+1, n∈Z,因为f(x)在 π 18 ,π 4 上单调,f(x)的最小正周期为2πω,所以π4-π18≤πω,解得ω≤367,故 ω 的最大值为5,经检验,f(x)在 π 18 ,π 4 上单调.故选C. 8.C 解析:如图1,设棱台为ABCD-A1B1C1D1,如图2,该棱台外接球的球心为O,半径为R, 上底面中心为O1,下底面中心为O2, A D B C C P A B D 图1 A D B O O O C C A B D 图2 则由题意O1O2=1,AO2=2,A1O1=1,OA=OA1=R,当O 在O1O2 下方时,设OO2=h,则 在△AOO2 中,有:R2=h2+4(1),在△A1OO1 中,有:R2=(h+1)2+1(2),联立(1)、(2)得 h=1,R2=5,所以刍童外接球的表面积为20π.同理,当O 在O1O2 中间时,设OO1=h,则有 R2=h2+1,R2=(1-h)2+4,解得h=2,不满足题意,舍去.综上所述:刍童外接球的表面积 为20π.故选C. 9.ABC 解析:f(x)=sin 3x- 3cos 3x=2sin3x- π 3 ,当x∈ 0,π2􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,3x- π 3∈ - π 3 ,7π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , sin3x- π 3 ∈ - 32,1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,f(x)的取值范围是[- 3,2],A选项正确;当x∈ π 3 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,3x- π 3∈ 2π 3 ,7π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,f(x)=2sin3x- π 3 单调递减,B选项正确;当x=-π18时,3x-π3=-π2,y= f(x)的图像关于直线x=- π 18 对称,C选项正确;由函数y=sin 3x 的图像向右平移 π 3 个单位 得到y=sin3x- π 3 =sin3x-π =-sin 3x,D选项错误.故选ABC. 10.BD 解析:对于选项A,若AD⊥AC,又因为AA1⊥平面ABC,但是D 不一定在平面ABC 上,所以A不正确;对于选项B,因为A1C1∥AC,所以AC∥平面A1C1D,平面A1C1D∩平面 ACD=l,所以AC∥l,所以B正确;对于选项C,取ΔABC 的中心O,ΔA1B1C1 的中心O1, OO1 的中点为该三棱柱外接球的球心,所以外接球的半径R= 12+ 23 3 2 = 21 3 ,所以外 —56—