新课标全国卷重组卷(二)-2024年甘肃省新高考模拟十二卷数学

2024年普通高等学校招生新课标全国卷重组卷(二) 本卷满分150分,考试时间120分钟。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.(2023·天津河东·一模)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},A∪B=A,则实数a 的值为 ( ) A.{2} B.{-1,2} C.{1,2} D.{0,2} 2.(2023·广东·校联考模拟预测)棣莫弗公式(cos x+isin x)n=cos nx+isin nx(i为虚数单 位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,已知复数ω=cos 2π 3+ i·sin 2π 3 ,则ω4 的值是 ( ) A.-ω B. 1 ω C.ω D.ω 3.(2023·河北省邢台市名校联盟高三下学期3月模拟(二))下表是足球世界杯连续八届的进球 总数: 年份 1994 1998 2002 2006 2010 2014 2018 2022 进球总数 141 171 161 147 145 171 169 172 则进球总数的第40百分位数是 ( ) A.147 B.154 C.161 D.165 4.(2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测)已知向量a=(1,2),b=(-1,1),c= (m,2),且(a-2b)⊥c,则实数m= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.任意实数 5.(2023·辽宁省葫芦岛市高三第一次模拟考试)牛顿,英国皇家学会会长,英国 著名的物理学家,著有《自燃哲学的数学原理》、《光学》,为太阳中心说提供了强 有力的理论支持,推动了科学革命.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模 型:θ=(θ1-θ0)e-kt+θ0,其中t为时间(单位:min),θ0 为环境温度,θ1 为物体 初始温度,θ为冷却后温度,假设在室内温度为20的情况下,一桶咖啡由100降 低到60需要20 min,则k的值为 ( ) A. ln 2 20 B. ln 3 20 C.- ln 2 10 D.- ln 3 10 6.(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)若两条直线l1:y=x+m,l2:y=x+n 与 圆x2+y2-2x-2y+t=0的四个交点能构成矩形,则m+n= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)端午佳节,人们有包粽子和吃粽子的习俗,粽子 主要分为南北两大派系,地方细分特色鲜明,且形状各异,裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的 粽子,是用当地特有的冬叶、水草包裹糯米、绿豆、猪肉、咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子, 现将裹蒸粽看作一个正四面体,其内部的咸蛋黄看作一个球体,那么,当咸蛋黄的体积为4π 3 时, 该裹蒸粽的高的最小值为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 8.(2023·河南·校联考模拟预测)f(x)为定义在 R上的偶函数,对任意的x2>x1≥0,都有 f(x2)-f(x1) x2-x1 >2,且f(2)=4,则不等式f(x)>2|x|的解集为 ( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(-∞,2) 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.(2023·辽宁省葫芦岛市高三第一次模拟考试)有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工 的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3 台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%,则下列选项正确的有 ( ) A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015 B.任取一个零件是次品的概率为0.0525 C.如果取到的零件是次品,则是第2台车床加工的概率为 2 7 D.如果取到的零件是次品,则是第3台车床加工的概率为 2 7 10.(2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中)下列命题中真命题有 ( ) A.若a·b<0,则<a,b>是钝角 B.数列{an}的前n 项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则an= 1 n=1, 3·4n-1 n≥2 C.若定义域为R的函数f(x)是奇函数,函数f(x-1)为偶函数,则f(2)=0 D.若2OA→+OB→+3OC→=0,S△AOC,S△ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,则S△AOC∶ S△ABC=1∶6 —5— 11.(2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期末)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+ cx+d(a≠0),给出定义:f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f'(x)的导数,若方程 f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经探究发现:任 何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函 数f(x)= 2 3x 3-x2-12x+ 49 6 ,则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)的极大值为 137 6 B.f(x)有且仅有2个零点 C.点 12 ,2 是f(x)的对称中心 D.f 1 2 024 +f 22 024 +f 32 024 +…+f2 023 2 024 =4 046 12.(2023·湖北·校联考模拟预测)正方体ABCD-A1B1C1D1 棱长为2,P 是直线A1D 上的一 个动点,则下列结论中正确的是 ( ) A.BP 的最小值为 6 B.PA+PC 的最小值为2 2- 2 C.三棱锥B1-ACP 的体积不变 D.以点B 为球心,2为半径的球面与平面AB1C 的交线长 26 3 π 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)有3男3女共6位高三同学在高考考场 外合影留念.若从这6人中随机选取2人拍双人照,则选中的2人恰为1男1女的概率是 . 14.(2023·山东泰安·统考模拟预测)若(3x-4)5=a0+a1(x-1)+…+a5(x-1)5,则a1+2a2 +3a3+4a4+5a5= . 15.(2023·重庆市育才中学高三下学期4月诊断模拟数学试题)已知a,b为正实数,直线y=2x -a 与曲线y=ln(2x+b)相切,则 4 a+ 1 b 的最小值为 . 16.(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f(x)= x2+4x+2,x<0, 2|x-1|,x≥0, 则f(x)的最小值是 ,若关于x 的方程f(x)=x+a 有且仅有四个不同的实数解,则整数a 的一个取 值为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17题10分;18 ~22题每题12分.) 17.(2023·重庆·统考一模)已知公差不为0的等差数列{an}的前n 项和为Sn,且a1,a2,a5 成 等比数列,a2·a3=a8. (1)求数列{an}的前n 项和Sn. (2)若n≥2, 1 S2-1 + 1 S3-1 + 1 S4-1 +…+ 1 Sn-1 ≤ 21 40 ,求满足条件的n 的集合. 18.(2023春·重庆·高三统考开学考试)如图,△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 2a-c=2bcos C. (1)求角B 的大小; (2)已知b=3,若D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上一点,求AD+DC 的最大值. C A B D —6— 19.(2023·山东省济南市高三下学期针对性训练三模数学试卷)某校举行“学习二十大,奋进新 征程”知识竞赛,知识竞赛包含预赛和决赛. (1)下表为某10位同学预赛成绩: 得分 93 94 95 96 97 98 人数 2 2 3 1 1 1 求该10位同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数; (2)决赛共有编号为A,B,C,D,E 的5道题,学生甲按照A,B,C,D,E 的顺序依次作答,答 对的概率依次为2 3 ,1 2 ,1 2 ,1 3 ,1 3 ,各题作答互不影响,若累计答错两道题或五道题全部答完则 比赛结束,记X 为比赛结束时学生甲已作答的题数,求X 的分布列和数学期望. 20.(2023·重庆市育才中学校高三下学期4月诊断模拟数学试题)如图所示,在三棱柱ABF- DCE 中,点G、M 分别是线段AD、BF 的中点. (1)求证:AM∥平面BEG; (2)若三棱柱ABF-DCE 的侧面ABCD 和ADEF 都是边长为2的正方形,平面ABCD⊥平 面ADEF,求二面角E-BG-F 的余弦值. C G M F E A B D —7— 21.(2023·湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学、宜昌一中三校高三下学期5月第二次联考)已知 双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:x=1,l与x 轴交于点 H,l与双曲线C 的一条渐近线交于点T,且 HF→1+3HF → 2=0,TF → 1·TF → 2=-2. (1)求双曲线C 的方程; (2)设过点 H 与x 轴不重合的直线交双曲线C 于A,B 两点,直线AF2,BF2 分别交l于点 M,N,求证:|HM|=|HN|. 22.(2023·辽宁省实验中学高三第四次模拟考试)已知函数f(x)=(ax2-2x+3)ex-x-3(a∈ R). (1)当a≥1时,证明:f(x)+1≥x; (2)若x=0为函数f(x)的极小值点,求实数a 的值. —8— 设m(x)=xe2+(1-e)x-1,则m'(x)=[(1-e)x+1]e2+(1-e)x, 当e 3 4≤x1≤ex0<e时,即e - 1 4≤x<1时,(1-e)x+1<0,m'(x)<0,m(x)单调递减, 所以当e- 1 4≤x<1,m(x)>m(1)=e3-e-1>0,即当e 3 4≤x1<e时x1≤ex0<e成立, 再令n(x)=ln x-x2+x,则n'(x)= 1 x-2x+1 , 当0<x<1时,n'(x)>0,n(x)单调递增,所以当0<x<1时,n(x)<n(1)=0, 即ln x0<x20-x0,ln x1<x20-x0+1成立. 综上,若x0,x1 分别是f(x)的零点和极值点,有ln x1<x20-x0+1. 2024年普通高等学校招生新课标全国卷重组卷(二) 1.A 解析:由A∪B=A 知:B⊆A,当a+2=3,即a=1,则a2=1,与集合中元素互异性有矛 盾,不符合;当a+2=a2,即a=-1或a=2,若a=-1,则a2=1,与集合中元素互异性有矛 盾,不符合;若a=2,则A={1,3,4},B={1,4},满足要求.综上,a=2.故选A. 2.C 解 析:依 题 意 知,ω=cos 2π 3 +i ·sin 2π 3 = - 1 2+ 3 2i ,由 棣 莫 弗 公 式,得 ω4= cos 2π 3+i ·sin 2π 3 4 =cos 8π 3+i ·sin 8π 3=cos3π- π 3 +i·sin3π-π3 =-cosπ3+i·sinπ3= - 1 2+ 3 2i ,所以ω4=ω.故选C. 3.C 解析:将连续八届的进球总数从小到大排列为:141,145,147,161,169,171,171,172,由于 8×40%=3.2,故进球总数的第40百分位数是第4个数据161,故选C. 4.B 解析:因为a=(1,2),b=(-1,1),所以a-2b=(1,2)-2(-1,1)=(3,0),又c=(m,2), 且(a-2b)⊥c,所以(a-2b)·c=3m=0,解得m=0.故选B. 5.A 解析:依题意可得60=(100-20)e-20k+20,即e-20k= 1 2 ,所以-20k=ln 1 2 ,所以k= ln 2 20. 故选A. 6.A 解析:由题意直线l1,l2 平行,且与圆的四个交点构成矩形,则可知圆心到两直线的距离相 等,由圆x2+y2-2x-2y+t=0的圆心为:(1,1),圆心到l1:y=x+m 的距离为:d1= |1-1+m| 2 = |m| 2 ,圆心到l2:y=x+n 的距离为:d2= |1-1+n| 2 = |n| 2 ,所以|m| 2 = |n| 2 ⇒ |m|=|n|,由题意m≠n,所以m=-n⇒m+n=0,故选A. O C A B S D 7.A 解析:要使正四面体的高最小,当且仅当球与正四面体相内切,设正四 面体的棱长为a,高为h,内切球的半径为r,则 4π 3r 3= 4π 3 ,解得r=1,如图 正四面体S-ABC 中,令 D 为BC 的中点,O1 为底面三角形的中心,则 SO1⊥底面ABC,所以VS-ABC= 1 3S△ABCh= 1 3 ·4S△ABC·r,即h=4r= 4.故选A. 8.A 解 析:对 任 意 的 x2 >x1 ≥0,都 有 f(x2)-f(x1) x2-x1 >2,则 f(x2)-f(x1) x2-x1 -2= [f(x2)-2x2]-[f(x1)-2x1] x2-x1 >0,令g(x)=f(x)-2|x|,则g(x)=f(x)-2|x|在[0, +∞)上单调递增,因为f(x)为定义在 R上的偶函数,所以g(-x)=f(-x)-2|-x|= f(x)-2|x|=g(x),即g(x)=f(x)-2|x|为偶函数,又g(2)=f(2)-2×|2|=0,由 f(x)>2|x|,可得g(x)=f(x)-2|x|>0,即g(|x|)>g(2),所以|x|>2,所以f(x)> 2|x|的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞),故选A. 9.ABC 解析:A.由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%×25%=1.5%,正确; B.由题设,任取一个零件是次品的概率为6%×25%+5%×30%+5%×45%=5.25%,正确; C.由 条 件 概 率,取 到 的 零 件 是 次 品,则 是 第 2 台 车 床 加 工 的 概 率 为 5%×30% 6%×25%+5%×30%+5%×45%= 2 7 ,正确;D.由条件概率,取到的零件是次品,则是第3台 车床加工的概率为 5%×45% 6%×25%+5%×30%+5%×45%= 3 7 ,错误.故选ABC. C O FE A B 10.CD 解析:对于A,若a·b<0,则<a,b>∈ π2 ,π 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,故A错误;对 于B,因为an+1=3Sn(n∈N*),所以当n≥2时有an=3Sn-1,两 式相减可得an+1-an=3an(n≥2,n∈N*),即an+1=4an(n≥2, n∈ N* ),当 n =1 时,a2 =3S1 =3a1 =3,所 以 an = 1,n=1, 3·4n-2,n≥2, 故B错误;对于C,因为函数f(x-1)为偶函数, 所以f(x-1)=f(-x-1),所以f(-2)=f(0),因为f(x)是定义域为R 的奇函数,所以 f(2)=-f(-2)=-f(0)=0,故C正确;对于D,如图,设线段AC,BC 的中点分别为E,F, 连接EF,因为2OA→+OB→+3OC→=0,所以2(OA→+OC→)+OB→+OC→=0,所以4OE→+2OF→=0, 即OF→=-2OE→,即点O 是线段EF 靠近点E 的三等分点,所以S△AOC= 1 3S△AFC= 1 6S△ABC , 故D正确.故选CD. 11.ACD 解析:由函数f(x)= 2 3x 3-x2-12x+ 49 6 ,可得f'(x)=2x2-2x-12=2(x-3) —35— (x+2),令f'(x)<0f'(x)>0,解得x<-2或x>3;令f'(x)<0,解得-2<x<3,所以函 数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,3)上单调递减,在(3,+∞)单调递增,当x= -2时,f(x)取得极大值,极大值为f(-2)= 137 6 ,所以A正确;又由极小值f(3)=- 113 6 < 0,且当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以函数f(x)有3个零点,所 以B错误;由f'(x)=2x2-2x-12,可得f″(x)=4x-2,令f″(x)=0,可得x= 1 2 ,又由 f 1 2 =23× 12 3 - 12 2 -12× 1 2+ 49 6=2 ,所以点 1 2 ,2 是函数f(x)的对称中心,所以C正 确;因为 1 2 ,2 是函数f(x)的对称中心,所以f(x)+f(1-x)=4,令S=f 12 024 + f 2 2 024 +f 32 024 +…+f 2 023 2 024 ,可得S=f 2 023 2 024 +f 2 022 2 024 +f 2 021 2 024 +…+ f 1 2 024 , 所 以 2S = f 12 024 +f2 023 2 024 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + f 2 2 024 +f2 022 2 024 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + f 3 2 024 +f2 021 2 024 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + … + f 2 023 2 024 +f 12 024 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =4×2 023,所 以 S=4 046,即 f 1 2 024 +f 22 024 +f 32 024 +…f2 023 2 024 =4 046,所以D正确.故选ACD. 12.ACD 解析:对于A,在△BA1D 中,A1B=BD=A1D=22,即△BA1D 是边长为22的等 边三角形,∴BP 的最小值为△BA1D 的高,∴BPmin= 8-2= 6,A正确; A B P D 对于B,将△AA1D 与矩形A1B1CD 沿A1D 翻折到一个平面内,如图所示, A B C A D 则PA+PC 的最小值为AC;又AD=CD=2,∠ADA1= π 4 ,∠A1DC= π 2 , ∴在△ACD 中,由余弦定理得:AC2=4+4-8cos 3π 4=8+42 , ∴AC=2 2+ 2,即(PA+PC)min=2 2+ 2,B错误; 对于C,∵A1B1⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,∴A1B1⊥AD1; A D B C C A P B D ∵四边形ADD1A1 为正方形,∴AD1⊥A1D, 又A1B1∩A1D=A1,A1B1,A1D⊂平面A1B1CD,∴AD1⊥平面A1B1CD; ∴VB1-ACP=VA-B1CP= 1 3S△B1CP ·1 2AD1= 1 6S▱A1B1CD ·1 2AD1= 1 6×2×22× 2= 4 3 , 即三棱锥B1-ACP 的体积不变,C正确; 对于D,设点B 到平面AB1C 的距离为d, ∵VB-AB1C=VB1-ABC,∴ 1 3S△AB1C ·d= 1 3S△ABC ·BB1,即 1 2×22×22× 3 2d= 1 2×2×2× 2,解得:d= 23 3 , ∴以点B 为球心,2为半径的球面与平面AB1C 的交线是以 2-d2= 6 3 为半径的圆, ∴交线长为2π× 6 3= 26 3 π ,D正确.故选ACD. 13. 3 5 解析:设选中的2人恰为1男1女为事件A,故P(A)= C13·C13 C26 = 9 15= 3 5 ,故答案为:3 5. 14.240 解析:已知(3x-4)5=a0+a1(x-1)+…+a5(x-1)5,对式子两边同时求导,得15 (3x-4)4=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+5a5(x-1)4,令x=2,得15×(3×2-4)4= a1+2a2+…+5a5=240.故答案为:240. 15.9 解析:已知a,b为正实数,直线y=2x-a 与曲线y=ln(2x+b)相切,得a+b=1, 4 a+ 1 b= 4 a+ 1 b (a+b)= 4(a+b) a + a+b b =5+ 4b a+ a b≥5+24=9 ,a=2b时等号成立. yx yx      yx yx xO y yf x 16.-2 1(答案不唯一,a∈{0,1}即可) 解析:当x<0时,f(x)= x2+4x+2=(x+2)2-2,易知当x=-2时,f(x)有最小值-2; 当x≥0时,f(x)=2|x-1|,由x≥0,得|x-1|≥0,则2|x-1|≥20= 1,此时f(x)最小值为1;综上:函数f(x)的最小值为-2.因为方 程f(x)=x+a 有且仅有四个不同的实数解,即函数f(x)的图 像与函数y=x+a 的图像有四个不同的交点,作出函数f(x)的 —45— 图像,由于a 为整数,如图所示,只有函数y=x+1和y=x 的图像与函数f(x)的图像有四 个不同的交点,所以整数a 的取值可以为{0,1}中的一个.故答案为:-2;1(答案不唯一,a∈ {0,1}即可) 17.思路分析:(1)由三项成等比列式,应用基本量运算,结合通项公式和前n 项和公式求解即可; (2)裂项求和后解不等式即可. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a1,a2,a5 成等比,所以a22=a1a5,即得a1(a1+4d)=(a1+d)2 化简得2a1d=d2,又因为d≠0,所以2a1=d. 因为a2·a3=a8,所以(a1+d)(a1+2d)=a1+7d,即得a21-a1=0 解得a1=0或者a1=1 当a1=0时,d=2a1=0不合题意舍; 当a1=1时,d=2a1=2,则an=2n-1,Sn= n(a1+an) 2 = n(1+2n-1) 2 =n 2 (2)因为 1 Sn-1 = 1 n2-1 = 1 2 1 n-1- 1 n+1 当 n ≥ 2 时, 1 S2-1 + 1 S3-1 + 1 S4-1 + … + 1 Sn-1 = 1 2 1- 1 3 + 12-14 +…+ 1n-1- 1n+1 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = 1 2 3 2- 1 n- 1 n+1 由题得1 2 3 2- 1 n- 1 n+1 ≤2140,化简得1n+ 1n+1≥920, 即9n2-31n-20≤0,(9n+5)(n-4)≤0 解得n≤4,又因为n≥2,所以2≤n≤4(n∈N*), 所以n∈{2,3,4}. 18.思路分析:(1)法一:利用正弦定理和两角和的正弦公式可得sin C(2cos B-1)=0,再利用三 角形内角的取值范围即可求解; 法二:利用余弦定理得出cos B= 1 2 ,根据三角形内角的取值范围即可求解; (2)方法一:设∠DAC=θ,则∠DCA= π 3-θ ,利用正弦定理得出AD=23sinπ3-θ ,DC= 23sin θ, 然后利用辅助角公式和正弦函数的图象和性质即可求解;方法二:利用余弦定理和基本不等 式即可求解. 解:(1)法一:∵2a-c=2bcos C,由正弦定理得2sin A-sin C=2sin Bcos C,2sin(B+C)- sin C=2sin Bcos C, ∴2(sin Bcos C+sin Ccos B)-sin C=2sin Bcos C, ∴sin C(2cos B-1)=0,∵sin C≠0, ∴cos B= 1 2 ,又∵0<B<π,∴B= π 3 , 法二:∵2a-c=2bcos C, 由余弦定理得2a-c=2b· a2+b2-c2 2ab ⇒2a 2-ac=a2+b2-c2, ∴a2+c2-b2=ac,∴cos B= a2+c2-b2 2ac = 1 2 , ∵0<B<π,∴B= π 3. (2)由(1)知,B= π 3 ,平面四边形ABCD 内角互补,则∠ADC= 2π 3 , 法一:设∠DAC=θ,则∠DCA= π 3-θ ,0<θ< π 3 由正弦定理得 AD sinπ3-θ = DC sin θ= AC sin 2π 3 =23, ∴AD=23sinπ3-θ ,DC=23sin θ, ∴AD+DC=23sinπ3-θ +23sin θ=3cos θ+ 3sin θ=23sinθ+π3 ≤23, 当且仅当AD=DC= 3时,AD+DC 的最大值为23. 法二:在△ADC 中,∠ADC= 2π 3 ,AC=3, 由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos 2π 3 , ∴(AD+DC)2=9+AD·DC≤9+ (AD+DC)2 4 , ∴AD+DC≤23, 当且仅当AD=DC= 3时,AD+DC 的最大值为23. 19.解:(1)因为10×0.75=7.5,所以上四分位数为第八个成绩,为96; 平均数为93×2+94×2+95×3+96+97+98 10 =95. (2)由题意可知X 的取值为2,3,4,5, 所以P(X=2)= 1 3× 1 2= 1 6 , P(X=3)= 1 3× 1 2× 1 2+ 2 3× 1 2× 1 2= 3 12= 1 4 , —55— P(X=4)= 1 3× 1 2× 1 2× 2 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 2 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 2 3= 10 36= 5 18 , P(X=5)= 2 3× 1 2× 1 2× 1 3+ 1 3× 1 2× 1 2× 1 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 1 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 1 3+ 2 3× 1 2× 1 2× 2 3= 11 36 , 所以X 的分布列为: X 2 3 4 5 P 16 1 4 5 18 11 36 E(X)=2× 1 6+3× 1 4+4× 5 18+5× 11 36= 134 36= 67 18. 20.解:(1)取BE 中点N,则 MN 平行且等于 1 2FE ,AG 也平行且等于 1 2FE ,MN 平行且等于 AG,四边形AMNG 为平行四边形,AM∥GN, C y x M G F z E A B D 又AM⊄平面BEG,所以AM∥平面BEG; (2)由已知易证AF⊥AD,AF⊥AB,AB⊥AD 建立以A 为原 点,以AB→,AD→,AF→ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直 角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E (0,2,2),F(0,0,2),G(0,1,0),M(1,0,1), 所以BE→=(-2,2,2),BG→=(-2,1,0), 设n=(x,y,z)为平面BEG 的法向量,则 n·BE→=-2x+2y+2z=0, n·BG→=-2x+y=0, 令z=1,可得n=(-1,-2,1),同理可求平面BFG 的法向量为m=(1,2,1), cos<n,m>= n·m |n||m|= 1×1+2×2+1×(-1) 66 = 2 3. 21.解:(1)设双曲线C 的焦距为2c,其中c2=a2+b2,则F1(-c,0),F2(c,0),H(1,0). 所以 HF→1=(-c-1,0),HF → 2=(c-1,0). 由 HF→1+3HF → 2=0,有-c-1+3(c-1)=0,得c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0). 因为双曲线C 的渐近线方程为y= b ax ,有T1, b a , 所以TF→1= -3,- b a ,TF→2=1,-ba . 由TF→1·TF → 2=-2,有-3+ b2 a2 =-2,即-3+ 4-a2 a2 =-2,得a2=2. 所以b2=c2-a2=2.所以C 的方程为 x2 2- y2 2=1. (2)设AB 的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程组 y=k(x-1), x2 2- y2 2=1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 得(1-k2)x2+2k2x-k2-2=0. 所以1-k2≠0,Δ=4k4-4(1-k2)(-k2-2)>0,x1+x2= 2k2 k2-1 ,x1·x2= k2+2 k2-1 . 所以kAF2+kBF2= y1 x1-2 + y2 x2-2 = k(x1-1) x1-2 + k(x2-1) x2-2 =k× 2x1x2-3(x1+x2)+4 (x1-2)(x2-2) = k (x1-2)(x2-2) [2× k2+2 k2-1 -3× 2k2 k2-1 +4]=0. 所以kBF2=-kAF2,即∠MF2H=∠NF2H. 因为 MN⊥HF2,所以 HM=HN. 22.解:(1)当a≥1时,有ax2-2x+3≥x2-2x+3=(x-1)2+2≥2, 所以,要证f(x)+1≥x,只需证f(x)+1=(ax2-2x+3)ex-x-2≥2ex-x-2≥x, 即证2ex-2x-2≥0,ex-x-1≥0 设g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1, 令g'(x)=0,则x=0, 当x>0时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增, 当x<0时,g'(x)<0,g(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以g(x)≥g(0)=e0-1=0,即ex≥x+1, 所以f(x)+1=(ax2-2x+3)ex-x-2≥2ex-x-2≥x; (2)f'(x)=[ax2+(2a+2)x+1]ex-1=h(x),f'(0)=0, h'(x)=[ax2+(4a-2)x+2a-1]·ex, 由h'(0)=2a-1=0,得a= 1 2 , 下面证明当a= 1 2 时,x=0是f(x)的极小值点. 当a= 1 2 时,h'(x)= 1 2x 2ex≥0,当且仅当x=0时,h'(0)=0, 所以f'(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 由f'(0)=0知,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以x=0是f(x)的极小值点, 综上可知,当x=0是f(x)的极小值点时,a 的值为 1 2. —65—