新课标全国卷重组卷(一)-2024年甘肃省新高考模拟十二卷数学

2024年普通高等学校招生新课标全国卷重组卷(一) 本卷满分150分,考试时间120分钟。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.(2023·5月长郡、一中、雅礼、师大附中“一起考”)若(1+i)(1-z)=1(i为虚数单位),则复数 z的模为 ( ) A.1 B.2 C. 2 2 D.2 2.(2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测)已知集合A=x y= 10 x-3 ,B={x|x2-5x- 6≥0},则A∪B= ( ) A.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.(-∞,-1]∪(3,+∞) C.[-1,3) D.(3,6] 3.(2023·江西·校联考二模)“x>y”的一个充分条件可以是 ( ) A.2x-y> 1 e B.x 4>y4 C. x y >1 D.xt2>yt2 4.(2023·高考数学第二次模拟考试卷A(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通 用))如图,《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画,现收藏于中国台北故宫博 物馆.有甲、乙、丙三人想根据该图编排一个舞蹈,首先由他们来选取该图中小 孩扑枣的爬、扶、捡、顶、摇中的五个动作,每人至少模仿一个动作,且爬、扶、 捡、顶、摇都要被依序模仿到,则选择的方案共有 ( ) A.60种 B.90种 C.100种 D.150种 5.(2023·宁夏中卫·统考二模)已知点A(1,4)在直线 x a+ y b=1 (a>0,b>0)上,若关于t的不 等式a+b≥t2+5t+3恒成立,则实数t的取值范围为 ( ) A.[-6,1] B.[-1,6] C.(-∞,-1]∪[6,+∞) D.(-∞,-6]∪[1,+∞) 6.(2023·重庆市高考数学适应性考试第二次模拟试题)已知 2x+ 1 x n 的二项展开式中,第3 项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为 ( ) A.212 B.312 C.310 D.210 7.(2023·东北育才学校科学高中部高考模拟考试数学科试题)设函数f(x)=cosωx- 2π 3 (ω >0),已知f(x)在[0,π]上有且仅有4个零点,则下列说法错误的是 ( ) A.ω 的取值范围是 196 ,25 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 B.y=f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上的交点恰有2个 C.y=f(x)的图象与直线y=-1在(0,π)上的交点可能有2个 D.f(x)在 π 4 ,π 2 上单调递减 8.(2023·重庆市高三第六次质量检测命审单位:重庆南开中学)已知点A1,A2,A3,…,An,…和 数列{an},{bn}满足AnAn+1 →= cos 2nπ 3 ,sin 2nπ 3 (n∈N*),anAnAn+1→+an+1An+1An+2→=(0, bn),若a1=1,Sn,Tn 分别为数列{an},{bn}的前n 项和,则S60+2T60= ( ) A.-20 B.243 C.483-20 D.0 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.(2023·湖北黄冈浠水县第一中学校考模拟预测)下列命题正确的是 ( ) A.对于事件A,B,若A⊆B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(B|A)=1 B.若随机变量ξ~N(2,δ2),P(ξ<4)=0.84,则P(2<ξ<4)=0.16 C.相关系数r的绝对值越接近1,两个随机变量的线性相关程度越强 D.在做回归分析时,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差 10.(2023·重庆新高考数学仿真卷(一))已知点A(-2,-3),B(-2,9),圆C:x2+y2-4x+m =0,若在圆C 上存在唯一的点Q 使得∠AQB=90°,则m 可以为 ( ) A.3 B.-21 C.-93 D.-117 11.(2023·山东省青岛市高三下学期第二次适应))底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1 各 棱长均为2,∠BAD=60°,点 M 是线段A1C1 上的动点,点E,F 分别是棱CC1,BC 的中点, 则 ( ) A.直线AM 与BD 为异面直线 B.直线EF∥平面AMD1 C.存在点 M,使D1M⊥EF D.直线B1D1 与EF 所成的角为60° 12.(2023·高考数学第二次模拟考试卷A(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用))已知函数 f(x)= ln x x ,下列说法正确的有 ( ) A.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1 B.f(x)的单调递减区间为(e,+∞) C.f(x)的极大值为 1 e D.方程f(x)=-1有两个不同的解 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(2022·陕西西安·统考模拟预测)若向量a=(2,x),b=(-2,1)不共线,且(a+b)⊥(a- b),则a·b= . 14.(2023·河南·校联考模拟预测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M 为AB 的中 点,过 点 M 的 平 面α 截 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 外 接 球 的 截 面 面 积 的 最 小 值 为 —1— . 15.(2023·辽宁省沈阳市高三三模)在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,AB=5,AC=3, cos∠ABC= 13 14 ,则BC= ,若AB<BC,则AD= . 16.(2023·山东聊城·统考三模)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为 R,若f(x+ 1)是偶函数,g(x)=(x-1)f'(x)-1恰有四个零点,则这四个零点的和为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17题10分;18 ~22题每题12分.) 17.(2023·广东·校联考模拟预测)已知函数f(x)=1+22cos x·sinx- π 4 ,f A2-π8 =-23. (1)求cos A; (2)若△ABC 的面积为102且sin B+sin C= 2,求△ABC 的周长. 18.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知数列{an}的前n 项和为Sn,当n ≥2时,Sn(Sn-an+1)=Sn-1. (1)证明:数列 1Sn 是等差数列; (2)若a1= 1 2 ,数列 2 n Sn 的前n 项和为Tn,若mTn≤(n2+16)·2n+1 恒成立,求正整数m 的 最大值. —2— 19.(2023·河南·校联考模拟预测)某车间购置了三台机器,这种机器每年需要一定次数的维 修,现统计了100台这种机器一年内维修的次数,其中每年维修2次的有40台,每年维修3 次的有60台,用X 代表这三台机器每年共需要维修的次数. (1)以频率估计概率,求X 的分布列与数学期望; (2)维修厂家有A,B 两家,假设每次仅维修一台机器,其中A 厂家单次维修费用是550元,B 厂家对同一车间的维修情况进行记录,前5次维修费用是每次600元,后续维修费用每次递 减100元,从每年的维修费用的期望角度来看,选择哪家厂家维修更加节省? 20.(2023·辽宁省沈阳市高三三模)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°, AP=BP=AB,PC⊥AC,点D 为BC 中点. (1)求二面角A-PD-B 的余弦值; (2)在直线AB 上是否存在点M,使得PM 与平面PAD 所成角的正弦值为 1 6 ,若存在,求出 点 M 的位置;若不存在,说明理由. C P A B D —3— 21.(2023·沈阳市第120中学下学期高三年级第十次质量监测)如图,已知椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1 (a>b>0)的离心率e= 1 2 ,由椭圆E 的四个顶点围成的四边形的面积为163. (1)求椭圆E 的标准方程; (2)设A 为椭圆E 的右顶点,过点 M(-2a,0)且斜率不为0的直线l与椭圆E 相交于点B, C(点B 在 MC 之间),若 N 为线段BC 上的点,且满足 |MB| |MC|= |BN| |NC| ,证明:∠ANC=2 ∠AMC. B C y x A O N M 22.(2023·重庆市高考数学适应性考试第二次模拟试题)已知函数p(x)= ax ex ,且a>0. (1)求p(x)的极值点; (2)设f(x)= 1 xp (x)+ 1 ap (ln x),若x0,x1 分别是f(x)的零点和极值点,证明:ln x1<x20 -x0+1. —4— 参考答案 2024年普通高等学校招生新课标全国卷重组卷(一) 1.C 思路分析:利用复数的除法运算求出z,再利用求模公式计算即可. 解析:由(1+i)(1-z)=1,得1-z= 11+i= 1-i 2 = 1 2- 1 2i ,即z=12+ 1 2i ,所以|z|= 1 2 2 + 12 2 = 2 2 ,故选C. 2.B 解析:由x-3>0,得x>3,即A={x|x>3},由x2-5x-6≥0,得x≤-1或x≥6,即B= {x|x≤-1或x≥6},所以A∪B={x|x≤-1或x>3}.故选B. 3.D 解析:由x>y,即x-y>0,所以对选项A,当x=0,y=1时,2x-y= 1 2> 1 e ,但x>y 不满 足,故A不正确,选项B,由x2>y2,则x2-y2>0⇒(x+y)(x-y)>0,则 x+y>0, x-y>0, 或 x+y<0, x-y<0, 故B项不正确,选项C,xy>1⇒xy-1>0⇒x-yy >0⇒y(x-y)>0,则 y>0 , x-y>0, 或 y<0, x-y<0, 故C不正确,选项D,由xt2>yt2 知t2>0,所以x>y,成立,故D正确.故选D. 4.D 思路分析:根据题意,分2步进行:第一步:将5个动作分为3组,第二步:将分好的三组交给 甲、乙、丙三人进行模仿,由分步计数原理计算可得答案. 解析:根据题意,分2步进行:第一步:将5个动作分为3组,若其中一组有3个动作,其他两组 各1个动作,有C35=10种分法;若其中一组有1个动作,其他两组各有2个动作,有 C25C23 A22 = 15种分法,所以,将5个动作分成3组共有10+15=25种分法;第二步:将分好的三组交给甲、 乙、丙三人进行模仿,有A33=6种情况,则有25×6=150种选择的方案.故选D. 5.A 解析:因为点A(1,4)在直线xa+ y b=1 (a>0,b>0)上,所以1a+ 4 b=1 ,故a+b=(a+b) 1 a+ 4 b =ba+4ab +5≥2 ba·4ab +5=9,当且仅当ba=4ab 且1a+4b=1,即a=3,b=6时等号 成立,因为关于t的不等式a+b≥t2+5t+3恒成立,所以9≥t2+5t+3,解得-6≤t≤1,所以 t∈[-6,1].故选A. 6.C 思路分析:先根据第3项与第9项的二项式系数相等列出等式,解出n=10,再用赋值法即 可得出结果. 解析:因为2x+ 1 x n ,且第3项与第9项的二项式系数相等,所以C2n=C8n,解得n=10,取x= 1,所以所有项的系数之和为310.故选C. 7.D 思路分析:由x∈[0,π]可求得ωx-2π3 的取值范围,结合已知条件可得出关于ω 的不等式 组,解出ω 的取值范围,可判断A选项;在x∈(0,π)时,由f(x)=1可得出ωx- 2π 3 的值,可判 断B选项;取3π<πω-2π3< 7π 2 ,由f(x)=-1可得出ωx- 2π 3 的可能取值,可判断C选项;利 用余弦型函数的单调性可判断D选项. 解析:对于A选项,因为ω>0,当x∈[0,π]时,-2π3≤ωx- 2π 3≤πω- 2π 3 ,因为函数f(x)= cosωx- 2π 3 在[0,π]上有且仅有4个零点,所以,5π2≤ωπ-2π3<7π2,解得196≤ω<256,A对;对 于B选项,当x∈(0,π)时,-2π3<ωx- 2π 3<πω- 2π 3 且5π 2≤ωπ- 2π 3< 7π 2 ,由f(x)= cosωx- 2π 3 =1可得ωx-2π3=0或2π,故y=f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上的交点恰 有2个,B对;对于C选项,若3π<πω-2π3< 7π 2 ,即当11 3<ω< 25 6 时,由f(x)=cosωx- 2π 3 = -1,可得ωx-2π3=π 或3π,所以,y=f(x)的图象与直线y=-1在(0,π)上的交点可能有 2个,C对;对于D选项,当x∈ π4 ,π 2 时,πω4-2π3<ωx-2π3<πω2-2π3,因为196≤ω<256,则π8≤ πω 4- 2π 3< 3π 8 ,11π 12≤ πω 2- 2π 3< 17π 12 ,所以,函数f(x)在 π 4 ,π 2 不一定单调递减,D错.故选D. 8.D 思路分析:根据题意分析可得数列{an},bn 均是周期为6的数列,运算求解即可得结果. 解析:由题意可得:A3k-2A3k-1 →= - 1 2 ,3 2 ,A3k-1A3k→= -12,- 32 ,A3kA3k+1→= 1,0 ,则 a1 - 1 2 ,3 2 +a2 -12,- 32 = -12a1-12a2,32a1- 32a2 =(0,b1),∵a1=1,则a2=-1, b1= 3,由a2 - 1 2 ,- 3 2 +a3(1,0)= -12a2+a3,- 32a2 = 0,b2 ,则a3=-12,b2= 32, 同理a4=-1,b3=- 3 2 ;a5=1,b4=- 3;a6= 1 2 ,b5=- 3 2 ;a7=1,b6= 3 2 ;a8=-1,b7= 3; a9=- 1 2 ,b8= 3 2 ,…,即数列{an},{bn}均是周期为6的数列,而a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,∴S60+2T60=0.故选D. 9.ACD 解析:对于A,由于A⊆B,即A 发生必定有B 发生,根据条件概率的定义P(B|A)=1, 正确;对于B,根据正态分布密度函数的性质知P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.16,∴P(ξ<0)= —94— P(ξ>4)=0.16,P(0<ξ<4)=1-0.16×2=0.68,P(2<ξ<4)= P(0<ξ<4) 2 =0.34 ,错误;对 于C,根据相关系数的性质知:|r|约接近于1,表示线性相关程度越强,正确;对于D,残差点分 布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大,即回归效果越差,正确;故选ACD. 10.AD 解析:∵点A(-2,-3),B(-2,9),在圆C 上存在唯一的点Q 使得∠AQB=90°,∴Q 在以AB 为直径的圆上;因为AB 的中点即圆心为D(-2,3);且2r=9+3=12⇒r=6;∴ (x+2)2+(y-3)2=36;∵C:x2+y2-4x+m=0⇒(x-2)2+y2=4-m;∴其圆心C(2,0), 半径R= 4-m;又因为在圆C 上存在唯一的点Q 使得∠AQB=90°,故两圆相切;∴|CD|= R+r或者|CD|=R-r⇒ (-2-2)2+(3-0)2=5=6-R,或者 (-2-2)2+(3-0)2= 5=R-6⇒m=3或者m=-117.故选AD. A D B C O C E y O F x z M A B D 11.ABC 解析:设AC,BD 交于O,A1C1,B1D1 交于O1,因为ABCD- A1B1C1D1 为直棱柱,且底面为菱形,所以OA,OD,OO1 两两垂直, 以O 为原点,OA,OD,OO1 分别为x,y,z 轴建立如图所示坐标系, 因为ABCD-A1B1C1D1 各棱长均为2,∠BAD=60°,所以A( 3, 0,0),B(0,-1,0),D(0,1,0),E(- 3,0,1),F - 3 2 ,- 1 2 ,0 , B1(0,-1,2),D1(0,1,2),又因为点 M 是线段A1C1 上的动点,所以设 M(a,0,2),a∈ [- 3, 3],选项A:因为AM→=(a- 3,0,2),BD→=(0,2,0),令AM→=λBD→,λ无解,所以直 线AM 与BD 为异面直线,正确;选项B:EF→= 3 2 ,- 1 2 ,-1 ,AM→=(a- 3,0,2),AD1→= (- 3,1,2),设平面AMD1 的法向量n=(x,y,z),则 (a- 3)x+2z=0, - 3x+y+2z=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令x= 3得平面 AMD1 的一个法向量为n=( 3, 3a, 3- 3a 2 ),因为n·EF→=32- 3 2a+ - 3 2+ 3 2a = 0,所以直线EF∥平面AMD1,正确;选项C:D1M →=(a,-1,0),EF→= 3 2 ,- 1 2 ,-1 ,令 D1M →·EF→= 3 2a+ 1 2=0 ,解得a=- 3 3 ,所以存在点 M,使 D1M⊥EF,正确;选项D: B1D1 →=(0,2,0),EF→= 3 2 ,- 1 2 ,-1 ,因为|cos<B1D1→,EF→>|=|B1D1 →·EF→| |B1D1 →||EF→| = 1 2× 2 = 2 4 ,所以直线B1D1 与EF 所成的角不为60°,错误.本题也可用非向量法更简单.故选ABC. 12.ABC 思路分析:对于A,利用导数的几何意义求解即可,对于B,对函数求导后,由导数小于 零可求得结果,对于C,求导后求出函数的单调区间,从而可求出函数的极大值,对于D,画出 f(x)的图象,利用图象求解. 解析:因为f(x)= ln x x ,x>0,所以f'(x)= 1 x ·x-ln x x2 = 1-ln x x2 ,对于 A,f(1)=0, f'(1)=1,则f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1,所以A正确;对于B,令f'(x)<0,解得 x>e,所以f(x)的单调递减区间为(e,+∞),所以B正确;对于C,令f'(x)>0,得0<x<e, 令f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以f(x)的 极大值为f(e)= 1 e ,所以C正确;对于D,由D的解析知f(x)在(0,e)上单调递增,在(e, +∞)上单调递减,且f(e)= 1 e ,当x>1时,f(x)>0,当0<x<1时,f(x)<0,所以画出 f(x)的图象,如图,方程f(x)=-1解的个数,即f(x)的图象与y=-1的交点个数,由图知 f(x)=-1只有一个解,所以D错误.故选ABC. y f x x y O   13.-3 解析:因为向量a=(2,x),b=(-2,1),所以a+b=(0,x+1),a-b=(4,x-1),因为 (a+b)⊥(a-b),所以0+(x+1)(x-1)=0,所以x=1或x=-1,又向量a=(2,x),b= (-2,1)不共线,所以2×1-x×(-2)≠0,所以x≠-1,所以x=1,即a=(2,1),所以a· b=2×(-2)+1×1=-3,故答案为-3. A D B C C A M O B D 14.π 解析:正方体的外接球球心O 为体对角线AC1 的中点,连接OM, BC1,过点M 且与OM 垂直的平面截得外接球的小圆面积是最小的,因 为OM∥BC1,AB⊥BC1,所以OM⊥AB,且A,B 两点都在外接球的表 面上,根据球的性质知,最小的截面面积是以AB 为直径的圆的面积,此 时圆的面积为π×12=π.故答案为π. 15.7或 16 7 15 8 解析:在△ABC 中,AB=5,AC=3,cos∠ABC=1314 ,由余弦定理可得AC2= AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即9=25+BC2-2×5×BC×1314 ,即7BC2-65BC+ 112=0,所以BC=167 或BC=7;若 AB<BC,则BC=7,由余弦定理可得cos∠BAC= AB2+AC2-BC2 2AB·AC = 25+9-49 2×5×3 =- 1 2 ,所以∠BAC=2π3 ,因为AD 为∠BAC 的平分线,所以 ∠BAD=∠CAD=π3. 所以S△ABC= 1 2×3×5×sin 2π 3= 1 2× (3+5)×AD×sinπ3. 解得 AD=158. 故答案为:16 7 或7; 15 8. —05— 16.4 解析:将函数g(x)向左平移1个单位,所以g(x+1)=(x+1-1)f'(x+1)-1= xf'(x+1)-1,因为f(x+1)是偶函数,由偶函数的导数为奇函数可知,f'(x+1)是奇函数, 且奇函数与奇函数的乘积为偶函数,则y=xf'(x+1)为偶函数,所以g(x+1)=xf'(x+ 1)-1为偶函数,又因为函数g(x)恰有四个零点,即函数g(x+1)恰有四个零点,且这四个零 点一定是两组关于y 轴对称,其四个零点之和为0,而g(x+1)是由g(x)向左平移了1个单 位,所以g(x)的四个零点之和为4.故答案为4. 17.解:(1)f(x)=1+22cos x 2 2sin x- 2 2cos x =1+2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x = 2sin2x- π 4 ,因为f A2-π8 =- 23, 所以 2sin2A2- π 8 -π4􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = 2sinA- π 2 =- 2cos A=- 23,解得cos A=13; (2)在△ABC 中,由(1)可得sin A= 1-cos2A= 22 3 , ∵S△ABC= 1 2bcsin A=102,即bc=30, 因为sin B+sinC= 2,则sin B+sinC sin A = 2 22 3 = 3 2 , 由正弦定理可得b+c a = 3 2 即b+c=32a , 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bc·13= 9 4a 2- 8 3×30 ∴a=8,则b+c=12, ∴三角形周长C△ABC=a+b+c=20. 18.解:(1)由题意知,当n≥2时,Sn(Sn-an+1)=Sn-1,所以Sn[(Sn-(Sn-Sn-1))+1]= Sn-1, 整理得:SnSn-1=Sn-1-Sn,即 1 Sn - 1 Sn-1 =1,所以数列 1Sn 是以1为公差的等差数列. (2)由a1= 1 2 ,由(1)知 1Sn 是以2为首项、1为公差的等差数列, 所以1 Sn =n+1,所以2 n Sn =(n+1)·2n, 所以Tn=2·2+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,① 所以2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,② ①-②得-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1, 所以-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以Tn=n·2n+1. 因为mTn≤(n2+16)·2n+1,所以m≤n+ 16 n , 由于n+16n≥8 ,当且仅当n=4时等号成立,故正整数m 的最大值为8. 19.解:(1)以频率估计概率,一台机器每年需要维修2次的概率为 2 5 ,需要维修3次的概率为 3 5 , 设Y 为这三台机器每年单个需要维修三次的台数, 则X=Y+6,且Y~B3, 3 5 , 所以P(X=6)=P(Y=0)= 25 3 = 8 125 ,P(X=7)=P(Y=1)=C13 2 5 2 × 3 5= 36 125 , P(X=8)=P(Y=2)=C23× 2 5× 3 5 2 = 54 125 ,P(X=9)=P(Y=3)= 35 3 = 27 125. 所以X 的分布列为 X 6 7 8 9 P 8125 36 125 54 125 27 125 则E(x)=E(Y)+6=3× 3 5+6= 39 5. (2)选择A 厂家每年维修费用的期望为 39 5×550=4 290(元), 选择B 厂家每年维修费用的期望为3500× 8 125+3 900× 36 125+4 200× 54 125+4 400× 27 125= 4 112(元), 因为4 112<4 290,所以选择B 厂家更加节省. 20.解:(1)∵PC⊥AC,∴∠PCA=90°,∵AC=BC,PA=PB,PC=PC, ∴ΔPCA≌ΔPCB,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥BC, 又AC∩BC=C,AC、BC⊂平面ACB, ∴PC⊥平面ACB,∴PC,CA,CB 两两垂直, 故以C 点为坐标原点,分别以CB,CA,CP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系,如图, C Ay x z P B D 则C(0,0,0),A(0,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2), AD→=(1,-2,0),PD→=(1,0,-2), 设平面PAD 的一个法向量n=(x,y,z), 则 n·AD→=x-2y=0, n·PD→=x-2z=0, 取x=2,得n=(2,1,1), 易知平面PDB 的一个法向量为CA→=(0,2,0), —15— ∴cos<n,CA→>= 6 6 , 设二面角A-PD-B 的平面角为θ, ∵θ是钝角,∴cos θ=- 6 6 . (2)存在,M 是AB 的中点或A 是MB 的中点. 由(1)知,设AM→=λAB→,则 M(2λ,2-2λ,0), PM→=(2λ,2-2λ,-2),n=(2,1,1), ∵|cos<PM→,n>|= |2λ| (2λ)2+(2-2λ)2+4· 6 = 1 6 , 解得λ= 1 2 或λ=-1, ∴M 是AB 的中点或A 是MB 的中点. 21.解:(1)由题设可知,2ab=163,即ab=83, 因为e= c a= 1 2 ,b2+c2=a2,所以a=2c,b= 3c, 所以c=2,a=4,b=23, 所以椭圆E 的标准方程为 x2 16+ y2 12=1. (2)由(1)可知 M(-8,0),设直线l的方程为x=my-8(m>0),其与椭圆E: x2 16+ y2 12=1 的 交点为B(x1,y1),C(x2,y2), 联立 x2 16+ y2 12=1 , x=my-8, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得(4+3m 2)y2-48my+144=0, Δ=(48m)2-4(4+3m2)×144>0,即m>2, 所以y1+y2= 48m 4+3m2 ,y1·y2= 144 4+3m2 , 设点N(x0,y0),因为 |MB| |MC|= y1 y2 ,所以BN→= y1 y2 NC→, 即(x0-x1,y0-y1)= y1 y2 (x2-x0,y2-y0),所以y0= 2y1y2 y1+y2 所以y0= 6 m ,x0=my0-8=-2, 因为点N 在直线x=-2上,因为直线x=-2垂直平分线段 MA, 所以|NM|=|NA|, 即∠AMC=∠MAN, 因为∠ANC 为△MNA 的一个外角, 所以∠ANC=∠AMC+∠MAN=2∠AMC. 22.思路分析:(1)利用导数求出函数的单调性,即得函数的极值点; (2)证明0<x0<1,0<x1<e,再证明0<x1<e 3 4 时,ln x1<x20-x0+1成立,最后证明当 e 3 4≤x1<e时,ln x1<x20-x0+1成立,原题即得证. 解:(1)因为p'(x)= a(1-x) ex 且a>0,当x<1时,p'(x)>0;当x>1时,p'(x)<0.所以 p(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以x=1是p(x)的极大值点,没有 极小值点. (2)因为f(x)=ae-x+ ln x x ,所以f'(x)=-ae-x+ 1-ln x x2 , 若x0,x1 分别是f(x)的零点和极值点,则f(x0)=ae -x0+ ln x0 x0 =0,即a=- ex0ln x0 x0 , f'(x1)=-ae -x1+ 1-ln x1 x21 =0,a= ex1(1-ln x1) x21 ,所以-a= ex1(ln x1-1) x21 = ex0ln x0 x0 . 由于a>0, ex1(ln x1-1) x21 = ex0ln x0 x0 <0,则ln x0<0,ln x1<1,即0<x0<1,0<x1<e, 因为x20-x0+1=x0- 1 2 2 + 3 4≥ 3 4 , 所以当ln x1< 3 4 ,即0<x1<e 3 4时,ln x1<x20-x0+1成立, 下面证明当e 3 4≤x1<e时,ln x1<x20-x0+1成立, 若x1≤ex0,则只需证明ln x0<x02-x0 设k(x)= ex(ln x-1) x2 ,则k'(x)= ex(xln x-2ln x-x+3) x3 , 设k1(x)=xln x-2ln x-x+3, 则k'1(x)=ln x- 2 x 为增函数,且k'1(1)=-2<0,k'1(e)=1- 2 e>0 , 所以存在唯一x2∈(1,e),使得k'1(x2)=ln x2- 2 x2 =0, 当x∈(1,x2)时,k'1(x)<0,k1(x)单调递减, 当x∈(x2,+∞)时,k'1(x)>0,k1(x)单调递增, 故k1(x)≥k1(x2)=5-x2+ 4 x2 >0,所以k'(x)>0,k(x)单调递增, 所以x1≤ex0, ex1(ln x1-1) x21 = ex0ln x0 x0 ≤ eex0ln x0 e2x20 ,等价于x0e 2+(1-e)x0-1≥0. —25— 设m(x)=xe2+(1-e)x-1,则m'(x)=[(1-e)x+1]e2+(1-e)x, 当e 3 4≤x1≤ex0<e时,即e - 1 4≤x<1时,(1-e)x+1<0,m'(x)<0,m(x)单调递减, 所以当e- 1 4≤x<1,m(x)>m(1)=e3-e-1>0,即当e 3 4≤x1<e时x1≤ex0<e成立, 再令n(x)=ln x-x2+x,则n'(x)= 1 x-2x+1 , 当0<x<1时,n'(x)>0,n(x)单调递增,所以当0<x<1时,n(x)<n(1)=0, 即ln x0<x20-x0,ln x1<x20-x0+1成立. 综上,若x0,x1 分别是f(x)的零点和极值点,有ln x1<x20-x0+1. 2024年普通高等学校招生新课标全国卷重组卷(二) 1.A 解析:由A∪B=A 知:B⊆A,当a+2=3,即a=1,则a2=1,与集合中元素互异性有矛 盾,不符合;当a+2=a2,即a=-1或a=2,若a=-1,则a2=1,与集合中元素互异性有矛 盾,不符合;若a=2,则A={1,3,4},B={1,4},满足要求.综上,a=2.故选A. 2.C 解 析:依 题 意 知,ω=cos 2π 3 +i ·sin 2π 3 = - 1 2+ 3 2i ,由 棣 莫 弗 公 式,得 ω4= cos 2π 3+i ·sin 2π 3 4 =cos 8π 3+i ·sin 8π 3=cos3π- π 3 +i·sin3π-π3 =-cosπ3+i·sinπ3= - 1 2+ 3 2i ,所以ω4=ω.故选C. 3.C 解析:将连续八届的进球总数从小到大排列为:141,145,147,161,169,171,171,172,由于 8×40%=3.2,故进球总数的第40百分位数是第4个数据161,故选C. 4.B 解析:因为a=(1,2),b=(-1,1),所以a-2b=(1,2)-2(-1,1)=(3,0),又c=(m,2), 且(a-2b)⊥c,所以(a-2b)·c=3m=0,解得m=0.故选B. 5.A 解析:依题意可得60=(100-20)e-20k+20,即e-20k= 1 2 ,所以-20k=ln 1 2 ,所以k= ln 2 20. 故选A. 6.A 解析:由题意直线l1,l2 平行,且与圆的四个交点构成矩形,则可知圆心到两直线的距离相 等,由圆x2+y2-2x-2y+t=0的圆心为:(1,1),圆心到l1:y=x+m 的距离为:d1= |1-1+m| 2 = |m| 2 ,圆心到l2:y=x+n 的距离为:d2= |1-1+n| 2 = |n| 2 ,所以|m| 2 = |n| 2 ⇒ |m|=|n|,由题意m≠n,所以m=-n⇒m+n=0,故选A. O C A B S D 7.A 解析:要使正四面体的高最小,当且仅当球与正四面体相内切,设正四 面体的棱长为a,高为h,内切球的半径为r,则 4π 3r 3= 4π 3 ,解得r=1,如图 正四面体S-ABC 中,令 D 为BC 的中点,O1 为底面三角形的中心,则 SO1⊥底面ABC,所以VS-ABC= 1 3S△ABCh= 1 3 ·4S△ABC·r,即h=4r= 4.故选A. 8.A 解 析:对 任 意 的 x2 >x1 ≥0,都 有 f(x2)-f(x1) x2-x1 >2,则 f(x2)-f(x1) x2-x1 -2= [f(x2)-2x2]-[f(x1)-2x1] x2-x1 >0,令g(x)=f(x)-2|x|,则g(x)=f(x)-2|x|在[0, +∞)上单调递增,因为f(x)为定义在 R上的偶函数,所以g(-x)=f(-x)-2|-x|= f(x)-2|x|=g(x),即g(x)=f(x)-2|x|为偶函数,又g(2)=f(2)-2×|2|=0,由 f(x)>2|x|,可得g(x)=f(x)-2|x|>0,即g(|x|)>g(2),所以|x|>2,所以f(x)> 2|x|的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞),故选A. 9.ABC 解析:A.由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%×25%=1.5%,正确; B.由题设,任取一个零件是次品的概率为6%×25%+5%×30%+5%×45%=5.25%,正确; C.由 条 件 概 率,取 到 的 零 件 是 次 品,则 是 第 2 台 车 床 加 工 的 概 率 为 5%×30% 6%×25%+5%×30%+5%×45%= 2 7 ,正确;D.由条件概率,取到的零件是次品,则是第3台 车床加工的概率为 5%×45% 6%×25%+5%×30%+5%×45%= 3 7 ,错误.故选ABC. C O FE A B 10.CD 解析:对于A,若a·b<0,则<a,b>∈ π2 ,π 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,故A错误;对 于B,因为an+1=3Sn(n∈N*),所以当n≥2时有an=3Sn-1,两 式相减可得an+1-an=3an(n≥2,n∈N*),即an+1=4an(n≥2, n∈ N* ),当 n =1 时,a2 =3S1 =3a1 =3,所 以 an = 1,n=1, 3·4n-2,n≥2, 故B错误;对于C,因为函数f(x-1)为偶函数, 所以f(x-1)=f(-x-1),所以f(-2)=f(0),因为f(x)是定义域为R 的奇函数,所以 f(2)=-f(-2)=-f(0)=0,故C正确;对于D,如图,设线段AC,BC 的中点分别为E,F, 连接EF,因为2OA→+OB→+3OC→=0,所以2(OA→+OC→)+OB→+OC→=0,所以4OE→+2OF→=0, 即OF→=-2OE→,即点O 是线段EF 靠近点E 的三等分点,所以S△AOC= 1 3S△AFC= 1 6S△ABC , 故D正确.故选CD. 11.ACD 解析:由函数f(x)= 2 3x 3-x2-12x+ 49 6 ,可得f'(x)=2x2-2x-12=2(x-3) —35—