微专题06 集合与常用逻辑用语12种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2023-2024学年《题型通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题06 集合与常用逻辑用语12种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 集合的基本概念 题型2 集合的基本关系 题型3 子集、真子集的个数问题 题型4 利用集合的包含关系求参数 题型5 集合的交、并、补运算 题型6 根据集合的交、并、补求参问题 题型7 韦恩图的应用 题型8 集合新定义问题 题型9 充分必要条件的判断 题型10 充分必要条件的求参问题 题型11 全称量词与存在量词的否定 题型12 根据含有量词命题的真假求参数 1. 集合中元素的三个性质 确定性、互异性、无序性 2. 集合中元素与集合的关系 属于或不属于 若元素在集合中，记作， 若元素不在集合中，记作 3. 常用数集及其符号 名称 自然数集（非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 4. 子集与真子集的个数 集合中有个元素，子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个 5. 集合间的基本关系： （1） 子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，则是的子集；记作，读作包含于 （2） 真子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，集合中至少有一个元素不在集合中，则是的真子集；记作，读作真包含于 （3） 相等：若，，则 6. 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 7. 集合的基本运算 文字语言 图形表示 符号语言 集合的并集 所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合 ，或 集合的交集 所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 ，且 集合的补集 全集中不属于集合的所有元素组成的集合 ∁U，且 8. 集合的基本运算相关结论 并集运算的相关结论 交集运算的相关结论 补集运算的相关结论 9. 充分条件与必要条件 对于若则类型中，为条件，为结论 若充分性成立，若必要性成立 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 10. 全称量词命题与存在量词命题 全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 命题的否定 全称量词命题：，，否定为：， 存在量词命题：，，否定为：， 题型1 集合的基本概念 【例1】下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【变式5】【多选】已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 题型2 集合的基本关系 【例2】设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【变式2】集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，若集合，则的值为 ． 题型3 子集、真子集的个数问题 【例3】设集合，，，则集合的子集的个数是 ． 【变式1】设集合，则集合的真子集个数为 ． 【变式2】已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式3】已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 题型4 利用集合的包含关系求参数 【例4】若集合，，且，求满足的条件． 【变式1】设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 【变式2】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【变式5】已知集合，，若，求实数的取值范围． 题型5 集合的交、并、补运算 【例5】设集合，，则＝ ． 【变式1】已知，集合，.则 . 【变式2】【多选】已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合 ，，，则=（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 题型6 根据集合的交、并、补求参问题 【例6】已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式1】已知集合，. (1)若，，求实数的值； (2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围. 条件：①；②；③. 【变式2】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【变式3】已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型7 韦恩图的应用 【例7】某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有 人． 【变式1】某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 优秀 合格 合计 除草 15 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为 . 【变式2】一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为 . 【变式3】已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4】如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 题型8 集合新定义问题 【例8】已知集合A，B是实数集R的子集，定义，，若集合，且，则 ． 【变式1】在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．给出如下三个结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的序号是 ． 【变式2】约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，，有，．设且，，集合，则集合 ．（用列举法表示） 【变式3】用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ） A． B． C． D． 题型9 充分必要条件的判断 【例9】若，，则“，且”是“，且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】设，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【变式3】巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型10 充分必要条件的求参问题 【例10】设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知集合为非空集合． (1)若，求的值； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【变式2】已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【变式3】已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型11 全称量词与存在量词的否定 【例11】已知命题：，，则为（    ）. A．， B．， C．，或 D．，或 【变式1】命题“，有”的否定是（    ） A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 【变式2】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部；命题的否定是（    ） A．有的三角形的垂心在其内部. B．任意三角形的垂心在其内部. C．有的三角形的垂心在其内部或边上. D．任意三角形的垂心在其内部或边上. 题型12 根据含有量词命题的真假求参数 【例12】已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 【变式2】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式3】已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. $$2023-2024学年《题型通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题06 集合与常用逻辑用语12种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 集合的基本概念 题型2 集合的基本关系 题型3 子集、真子集的个数问题 题型4 利用集合的包含关系求参数 题型5 集合的交、并、补运算 题型6 根据集合的交、并、补求参问题 题型7 韦恩图的应用 题型8 集合新定义问题 题型9 充分必要条件的判断 题型10 充分必要条件的求参问题 题型11 全称量词与存在量词的否定 题型12 根据含有量词命题的真假求参数 1. 集合中元素的三个性质 确定性、互异性、无序性 2. 集合中元素与集合的关系 属于或不属于 若元素在集合中，记作， 若元素不在集合中，记作 3. 常用数集及其符号 名称 自然数集（非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 4. 子集与真子集的个数 集合中有个元素，子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个 5. 集合间的基本关系： （1） 子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，则是的子集；记作，读作包含于 （2） 真子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，集合中至少有一个元素不在集合中，则是的真子集；记作，读作真包含于 （3） 相等：若，，则 6. 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 7. 集合的基本运算 文字语言 图形表示 符号语言 集合的并集 所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合 ，或 集合的交集 所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 ，且 集合的补集 全集中不属于集合的所有元素组成的集合 ∁U，且 8. 集合的基本运算相关结论 并集运算的相关结论 交集运算的相关结论 补集运算的相关结论 9. 充分条件与必要条件 对于若则类型中，为条件，为结论 若充分性成立，若必要性成立 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 10. 全称量词命题与存在量词命题 全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 命题的否定 全称量词命题：，，否定为：， 存在量词命题：，，否定为：， 题型1 集合的基本概念 【例1】下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：因为0是元素，是自然数集，则，故A错误； 对于选项B：因为与都是集合，且的元素为数值，用表示两集合关系不对，故B错误； 对于选项C：因为是整数集，则，可知，故C正确； 对于选项D：因为是有理数集，则，故D错误； 故选：C. 【变式2】已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 【变式3】若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 【变式4】已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 【变式5】【多选】已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，可设，，， 选项A，，则，故A正确； 所以，则，故B正确； 所以，其中，则，故C错误； 所以，其中，则，故D正确.故选：ABD. 题型2 集合的基本关系 【例2】设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 中的元素为点，故， 故选：B 【变式1】有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 【变式2】集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式3】已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以 ，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴ . ∴ 故答案为： 题型3 子集、真子集的个数问题 【例3】设集合，，，则集合的子集的个数是 ． 【答案】4 【解析】联立消去，得， 可知方程有两解，故集合中有2个元素，故的子集有个． 故答案为：4 【变式1】设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【解析】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 【变式2】已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【解析】由已知可得，1和2一定是集合的元素， 所以只需要考虑剩余元素3，4，5，6的情况即可. 又集合的子集个数为， 所以所有满足条件的集合的个数是16.故选：D. 【变式3】已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】(1)；；(2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集； (3)个子集，个真子集，个非空真子集. 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 题型4 利用集合的包含关系求参数 【例4】若集合，，且，求满足的条件． 【解析】由可知是的子集， ①当时，，所以； ②当时，， 所以，解得； ③当时， 所以，解得； ④当时，， 所以，解得； 综上可知，满足的条件为或或或. 【变式1】设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 【解析】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故. 解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1. （2）由，解得或， 由，整理可得，解得或， B⊆A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B⊆A， 当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2. 【变式2】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，根据求出实数的取值范围. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 【变式3】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，利用可得答案. 【详解】因为，所以， ①时，，解得； ②时，则有，解得. 综上，m的取值范围是. 故选：D. 【变式4】已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案； （2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 【变式5】已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】由， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述. 题型5 集合的交、并、补运算 【例5】设集合，，则＝ ． 【答案】 【解析】因为， 所以或， 所以， 故答案为： 【变式1】已知，集合，.则 . 【答案】 【解析】由题意，全集，集合，， 所以，所以. 故答案为：. 【变式2】【多选】已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为集合， 可得，，且， 对于A中，由，，可得， 所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中， 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 【变式3】已知集合 ，，，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的运算求解即可. 【详解】， 故. 故选：A 【变式4】已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由可得或， 所以，故选：B 题型6 根据集合的交、并、补求参问题 【例6】已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，所以或， 又且， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）若，则， 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，解得， 此时； 综上，实数a的取值范围为 【变式1】已知集合，. (1)若，，求实数的值； (2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围. 条件：①；②；③. 【解析】（1）由于， 所以，解得. （2）恒成立，所以是非空集合. 若选①，，， 则，解得. 若选②，， 或， 所以，解得. 若选③，， 或， 所以，解得. 【变式2】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 当即时，满足题意； 当即时，；欲使，则有，即. 综上所述：实数的取值范围是. （2）易得 当即时，，不符合题意； 当即时，，若中只有一个整数，则此整数为 依题意得，即 综上所述：实数的取值范围是. 【变式3】已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，得，解得. 故. 又因为，所以得. 代入得，解得：， 综上可得：.故选：C. 【变式4】已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以， 因为，所以，故．故选：C． 题型7 韦恩图的应用 【例7】某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有 人． 【答案】8 【解析】设全集为，集合表示喜欢打篮球的学生，集合表示喜欢打羽毛球的学生， 如图所示，由图可得该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有人． 故答案为：8 【变式1】某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 优秀 合格 合计 除草 15 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为 . 【答案】15 【解析】设集合表示除草优秀的学生，集合表示植树优秀的学生，全班学生用集合表示， 则表示除草合格的学生，表示植树合格的学生，作出图，如图， 设两项劳动都优秀的人数为，两项劳动都合格的人数为， 由图可得，即， 因为，所以， 即两个项目中都优秀的同学最多为15. 故答案为：15. 【变式2】一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为 . 【答案】108 【解析】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图所示： 根据题意可得， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此， 解得．因此学生总数为． 故答案为：108. 【变式3】已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解. 【详解】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为， 故选：. 【变式4】如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是. 故选：D. 题型8 集合新定义问题 【例8】已知集合A，B是实数集R的子集，定义，，若集合，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得：或， ， 所以. 故答案为：. 【变式1】在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．给出如下三个结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】对于①：因为，所以故①正确； 对于②：因为，所以，故②错误； 对于③：因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，所以，故③正确． 故答案为：①③. 【变式2】约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，，有，．设且，，集合，则集合 ．（用列举法表示） 【答案】/ 【解析】由题意得：且①， 又且，， 则当，时；； 当，时，； 所以, 故答案为：. 【变式3】用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，因为，所以或． 当时，若要满足题意，则有一个实根，即， 此时没有实根，所以符合题意； 当时，若要满足题意，有两个不等实根， 则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且，所以， 此时的三个根为，符合题意． 综上，或，故．故选：B． 题型9 充分必要条件的判断 【例9】若，，则“，且”是“，且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“，且”，则“，且”， 若已知“，且”，可取，，满足，且，但不满足，且， 所以“，且”是“，且”的充分不必要条件； 故选：A 【变式1】设，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式2】若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集， 对于选项A，不是的子集，故A不满足； 对于选项B，不是的子集，故B不满足； 对于选项C，不是的子集，故C不满足； 对于选项D，不是的子集，故D满足. 故选：D 【变式3】巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种， 则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”. 所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.故选：B 题型10 充分必要条件的求参问题 【例10】设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】依题意可得（等号不同时成立），求出的范围，再检验端点值是否符合题意. 【详解】因为，， 若是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），解得， 当时，满足是的充分不必要条件； 当时，满足是的充分不必要条件； 综上可得实数的取值范围为． 故选：A． 【变式1】已知集合为非空集合． (1)若，求的值； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，解得． 故的值为． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以为真子集，所以 解得． 故的取值范围是． 【变式2】已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【解析】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解. ∴不存在满足条件的. （2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得， ∴问题中的存在，且的取值集合. 选②，则是的真子集， 当时，，即，满足是的真子集； 当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得； 综上所述：. 所以问题中的存在，且的取值集合. 【变式3】已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2） 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 题型11 全称量词与存在量词的否定 【例11】已知命题：，，则为（    ）. A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】D 【解析】由全称命题的否定是特称命题知： 原命题的否定为，或. 故选：D 【变式1】命题“，有”的否定是（    ） A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 【变式2】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题“，”的否定为，.故选：C. 【变式3】存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部；命题的否定是（    ） A．有的三角形的垂心在其内部. B．任意三角形的垂心在其内部. C．有的三角形的垂心在其内部或边上. D．任意三角形的垂心在其内部或边上. 【答案】D 【解析】量词命题的否定步骤为：改量词，否结论， 所以存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部， 其否定为：任意三角形的垂心在其内部或边上.故选：D. 题型12 根据含有量词命题的真假求参数 【例12】已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 【变式1】已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】由，可得，即； 由，可得，解之得； 由是真命题，是假命题，可得，解之得 故实数的取值范围为. 【变式2】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【变式3】已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若命题为假命题，则命题为真命题， 即在恒成立，所以， 即实数的取值范围是. （2）当命题为真命题时，因为， 所以，解得或， 因为为真命题，则， 又由（1）可知，命题为真命题时， 所以且，即实数的取值范围是. $$