2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义课件专题13 直角三角形及其全等

专题13 直角三角形及其全等 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】全等三角形的判定方法: ， ， 和 . 【2】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成"斜边、直角边"或“ ”). 知识梳理 【3】直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性， 就是直角三角形独有的判定方法，所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 知识梳理 【4】两个直角三角形已知直角相等，所以边角之间只要再满足两个相等条件就可以 判定全等，通常有以下四种情况： （1）一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合 ，能判定全等； （2）一个锐角和直角边对应相等的两个直角三角形，符合 或 ，能判定全等； （3）两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合 ，能判定全等； （4）一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合 ，能判定全等. 知识梳理 【5】直角三角形是最常见的几何基本图形之一，因此直角三角形全等也是最常见的全等关系之一，在几何问题的解决过程中应用广泛. 重点突破 知识点一：直角三角形全等的判定 【例1】如图， 是 上一点， 于点 于点 ，求证： 思路点拨 连结 、由“ ”判定定理证得 ，根据 全等三角形的性质得到 ，再由“ ”判定定理即可证得 重点突破 [答案] 解题过程 如图，连结 在 和 中， 重点突破 于点 于点 在 和 中， 重点突破 【跟踪训练1】如图，已知 分别是钝角三角形 和钝角三角形 的高线， 求证： [答案] 分别是钝角三角形 和钝角三角形 的高线， 且 ， ，即 重点突破 知识点二：直角三角形全等的应用 【例2】如图，在 中， 于点 的垂直平分线 与 交于点 ，与 交于 点 重点突破 （1）判断 的形状并证明你的结论. 思路点拨 根据已知条件得到 ，求得 ，可得结论 [答案] 解题过程 是等腰直角三角形.证明如下： 是等腰直角三角形. 重点突破 （2）求证： 思路点拨 证明 ，即可得到结论 [答案] 解题过程 在 和 中， 重点突破 （3）求证： 思路点拨 根据线段垂直平分线的性质即可得到结论. [答案] 解题过程 是 的垂直平分线， 重点突破 【跟踪训练2】如图，在长方形 中， ，动点 从点 出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动； 动点 同时从点 出发沿线段 以每秒3个 （1）在运动过程中当 两点相遇时，求 的值. [答案] 根据题意得 ，解得 单位长度的速度向终点 运动 于点 于点 ，设运 动的时间为 重点突破 （2）在整个运动过程中，求 的长.（用含 的代数式表示） [答案] 当 时， ；当3 ＜ 时， 重点突破 （3）当 与 全等时，请直接写出所有满足条件的 的长. [答案] 当点 不在同一条边上时， ， 当点 在同一条边上时， 当 时， 与 全等. 重点突破 当 时， ，解得 ，此时 的长为2；当 ＜ 时， ，解得 ，此时 的长为1；当 ＜ 时， ，不合题意舍去；当3 ＜ ＜ 8时， ，解得 ，此时 的长为3. 综上所述， 的长为1或2或3. 重点突破 【例3】如图，两把全等的含 角的三角尺 和三角尺 放置在一起， 三点在一条直线上，连结 ，取 的中点 ， 连结 ，试判断 的形状，并说明理 由. 重点突破 [答案] 解题过程 的形状是等腰直角三角形.理由如下：如图， 连结 ， 为 的中点， 重点突破 同理 在 和 中， ，即 是等腰直角三角形. 课后练习 A组 基础巩固 1.如图， ，则判定 的依据是( ) C A. B. C. D.无法确定 课后练习 2.两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对 应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等.其中能使这两个直角 三角形全等的是 ( ) A A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 3.如图，在 和 中， ，则 的长为 ( ) B A.1.5 B.2 C.3 D.5 课后练习 4.如图， 于点 于点 与 交 于点 ，连结 ，则图中全等的直角三角 形共有 ( ) B A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 5.如图，在 中， ，分别 过点 作过点 的直线的垂线 ，若 ，则 ___ 7 课后练习 6.如图， ，垂足分别为 ，添加一个条件，使 ，添加的条件 是_ _______________________.（写出一个即可） <m></m> （答案不唯一） 课后练习 7.如图，在 和 中， 与 相交于点 （1）求证： [答案] 在 和 中， 课后练习 （2） 是何种三角形？证明你的结论. [答案] 是等腰三角形.证明如下： 是等腰三角形. 课后练习 8.如图， 平分 于点 于 点 ，且 ，求证： [答案] 平分 于点 于点 ， 在 和 中， 课后练习 B组 能力提升 9.如图， ， 现有下列结论：① ；②若 ，则 ；③ ；④ 其中正确的有 ( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 课后练习 [解析] 如图，延长 交 于点 ， 在 和 中， 课后练习 故①正确. 故③正确. 故②正确. 故④ 正确.故选 课后练习 10.如图，在 中， 为 边上的高 线，点 从点 出发，在直线 上以 的速度移 动，过点 作 的垂线交直线 于点 ，当点 运动 ______ 时， 2或5 课后练习 11.如图， ，垂足为 ，射线 ，垂足为 ，一动点 从点 出发以2个单位 长度/秒的速度沿射线 运动， 为射线 上一动 点，随着点 运动而运动，且始终保持 ，当 点 运动____________ 时， 与 全等. 0，2，6或8 课后练习 [解析] ①当点 在线段 上， 时， 点 的运动时间为 ②当点 在射线 上， 时， ， 点 的运动时间为 ③当点 在线段 上， 时， ，这时点 在 点 未动，因此时间为 课后练习 ④当点 在射线 上， 时， ， 易得 ，点 的运动时间为 ， 故答案为0，2，6或8. 课后练习 12.已知在 中， 是 的高线，分别交 于点 相交于点 课后练习 （1）如图1，若 ，且 ，求 的度数. [答案] 课后练习 （2）如图2，若 ①求 的度数. [答案] 平分 课后练习 ②求证： [答案] ， 在 和 中， 课后练习 C组 思维拓展 13.如图，已知 ，连 结 交 于点 ，连结 （1）连结 ，求证： [答案] ， 又 ， 课后练习 （2）若 ，求证： 为 的中点. [答案] 如图，过点 作 交 的延长线于 点 ，过点 作 于点 ， ， 课后练习 ， ， ，即 是 的中点. $$